信号与系统王明泉科学出版社第六章习题解答

第6章 线性时不变离散系统的时域分析

6.6本章习题全解

6.1 分别绘出以下各序列的图形

n(1)x(n)???1??2??u(n)

n?1(2)x(n)????1??2??u(?n)

(3)x(n)?2n?1u(n?1) (4)x(n)?nu(n) (5)x(n)?cos(n?5??10) n(6)x(n)???5??6??sin(n?5)

解

nx(???1??2??n)...nx(n)?2n?1u(n?1)...n：

n?1x(???1??2??n...nx(n)?nu(n)...n)

x(n)?cos(n???)510...n

n??5?x(n)???sin()5?6?n...n

6.2 判断以下序列是否是周期性的，如果是周期性的，试确定其周期。

3??(1)x(n)?Acos(n?)7813(3)x(n)?Asin(?n)3(2)x(n)?enj(??)8

(4)x(n)?Acos(5n)解：设信号的最小周期为N，则有x(n)?x(n?kN)，k为任意整数 对于正弦信号x(n)?Acos(?n??)，x(n?kN)?Acos(?n?kN???)， 所以只有当kN??2?m(m,k为整数)时，x(n)?x(n?kN)成立 即满足N?2m??(m为整数)，所以只有

?（?为有理数）为有理数时，即????时，

?可得到x(n)为周期序列。 根据以上的分析，可得

3?，x(n)为周期序列，当取m?3时，可得周期N?14 71（2）??，x(n)为非周期序列

8（1）??（3）??13?，x(n)为周期序列，当取m?13时，可得周期N?6 3（4）??5，x(n)为非周期序列

6.3设x1(n),x2(n)和x3(n)均为周期序列, 其周期分别为N1,N2和N3, 请问这三个序列的线性组合是否还是周期序列? 若是, 周期是多少? 解：该序列还是周期序列。

设x(n)?ax1(n)?bx2(n)+cx3(n)，周期为N

则x(n?kN)?ax1(n?kN)?bx2(n?kN)+cx3(n?kN) 因为x1(n),x2(n)和x3(n)均为周期序列,

所以x1(n)?x1(n?k1N1)，x2(n)?x2(n?k2N2)，x3(n)?x3(n?k3N3) 所以只有当kN?k1N1?k2N2?k3N3(k为任意的整数，k1、k2、k3为整数)时，

x(n)?x(n?kN)成立。

此时N?k1N1?k2N2?k3N3(k1、k2、k3为整数)，即表示N为N1,N2和N3的最小公倍

数。

所以这三个序列的线性组合还是周期序列周期是N1,N2和N3的最小公倍数。

6.4 巳知序列的图形如下图表示， (1) 写出它们的数值序列； (2)求下列卷和的数值序列表示式； (3) 将所求各卷和用单位函数序列表示。

a.b.c.d.f1(n)?f2(n)f2(n)?f3(n)f2(n)?f4(n)[f2(n)?f1(n)]?f3(n)

f1(n) 2 1 1 n -1 0 (a) f3(n) f2(n) 1 1 n -2 -1 0 1 2 (b) 1 f4(n) 3 2 1 0 1 2 (c) n 1 0 -1 (d) -1

1 n 题图6-6

解：（1）?f1(n)??1,2,1，?f2(n)??1,1,1,1,1

??34?????f(n)???3,2,1?，?f(n)???1,?1,1,?1?

??（2）求y1(n)?f1(n)?f2(n) 1.做出f1(m)和f2(m)的波形；

2.翻褶。以m?0为对称轴，折叠f1(m)，得到f1(?m)，对应序号相乘，相加得y1(0)； 3.将f1(?m)位移一个单元，对应序号相乘，相加得y1(1)； 4.重复步骤3，得y1(2),y1(3),y1(?1),y1(?2),y1(?3) 最终得到结果如下：

y1(0)?1?1?1?2?1?1?4 y1(1)?1?1?1?2?1?1?4 y1(2)?1?1?1?2?3 y1(3)?1?1?1

y1(?1)?1?1?1?2?1?1?4 y1(?2)?1?1?1?2?3

y1(?3)?1?1?1

所以?y1(n)??1,3,4,4,4,3,1

???同理求y2(n)?f2(n)?f3(n)

y2(0)?3?1?2?1?1?1?6 y2(1)?3?1?2?1?1?1?6 y2(2)?3?1?2?1?1?1?6 y2(3)?2?1?1?1?3 y2(4)?1?1?1

y2(?1)?3?1?2?1?5 y2(?2)?3?1?3

所以?y2(n)??3,5,6,6,6,3,1

???同理求y3(n)?f2(n)?f4(n)

y3(0)?1?1?(?1)?1?1?1?1

y3(1)?1?1?(?1)?1?1?1?(?1)?1?0 y3(2)?1?1?(?1)?1?1?1?(?1)?1?0 y3(3)?(?1)?1?1?1?(?1)?1??1 y3(4)?1?1?(?1)?1?0

y3(5)?(?1)?1??1 y3(?1)?1?1?(?1)?1?0 y3(?2)?1?1?1

所以?y3(n)??1,0,1,0,0,?1,0,?1

???同理求y4(n)??f2(n)?f1(n)??f4(n)

1,0,1? ?f2(n)?f1(n)???1,0,??y4(0)?3???1??2?0?1?1??2 y4(1)?3?0?2???1??1?0??2 y4(2)?3?1?2?0?1???1??2 y4(3)?2?1?1?0?2 y4(4)?1?1?1 y4(?1)?3?0?2?1?2 y4(?2)?3?1?3

所以?y4(n)??3,2,?2,?2,2,2,1

???（3）y1(n)??(n?3)?3?(n?2)?4?(n?1)?4?(n)?4?(n?1)?3?(n?2)??(n?3)

y2(n)?3?(n?2)?5?(n?1)?6?(n)?6?(n?1)?6?(n?2)?3?(n?3)??(n?4) y3(n)??(n?2)??n(?)?1n(?3??)n?( 5)y4(n)?3?(n?2)?2?(n?1)?2?(n)?2?(n?1)?2?(n?2)?2?(n?3)??(n?4)

6.5 已知序列x(n)和h(n)如下：

?an,0?n?Nh(n)??

0,其它???n?n0,n0?nx(n)??

n?n0?0求线性卷积y(n)?x(n)*h(n)，并用公式表示。

解：y(n)?x(n)*h(n)?m????x(m)h(n?m)

?(1) 当 n?n0时 y(n)?0

(2) 当n0?n?n0?N?1时 , 部分重叠

y(n)?m?n0?x(m)h(n?m)???m?n0n0nnm?n0?n?m?n?n?n?1?n00????? ?m?n0???nm

???n?n0?????????????????n?1y(n)??n?n0?n?1?n0?,???

(3) 当n?n0?N?1时,全重叠

?1??????n?1?n0,???

???y(n)?m?n?N?1?x(m)h(n?m)????n0nnm?n0?n?mm?n?N?1?n?n?0????? ???m?n?N?1?nm???n????????n?N?1??????????1??n?1??n?1?N?n0?N??N,???

???y(n)?N?n?n0,???

6.6 卷积的一个重要的性质是结合律。即

x(n)?[g(n)?h(n)]?[x(n)?g(n)]?h(n)?[x(n)?h(n)]?g(n)

若x(n)?()u(n),h(n)?()u(n),g(n)??(n)?计算卷积，根据结果能得出什么结论？ 解：（1）

12n12n1?(n?1)。分别按上述三种结合方式211??h(n)*g(n)?()nu(n)*??(n)??(n?1)?22??11 ?()nu(n)?()n?1u(n?1)221?1????(n)?()nu(n)?2?2?11?1?x(n)*?h(n)*g(n)??()nu(n)*??(n)?()nu(n)?22?2?11?()n?1u(n)?n()n?1u(n) 221?(n?1)()n?1u(n)2（2）

11??x(n)*g(n)?()nu(n)*??(n)??(n?1)?22???1?1n??(n)?()u(n)?2?2??

?x(n)*g(n)?*h(n)?1?1n?1n?(n)?()u(n)*()u(n)??2?2?2

1?(n?1)()n?1u(n)2（3）

11x(n)*h(n)?()nu(n)*()nu(n)22

1n?(n?1)()u(n)2?x(n)*h(n)?*g(n)?(n?1)(1n?11??)u(n)*??(n)??(n?1)?22?? 1?(n?1)()n?1u(n)2

6.8 判断以下系统是否线性的，是否时不变的，是否稳定或因果的？

(1)y(n)?4x(n)?2(3)y(n)?x(n)sin((5)y(n)?3??n?)74(2)y(n)?x(n?3)

(4)y(n)??x(n)?(6)y(n)?ex(n)3m?n0?x(m)?

解：（1）y1(n)?T?x1(n)??4x1(n)?2

y2(n)?T?x2(n)??4x2(n)?2

T?ax1(n)?bx2(n)??4?ax1(n)?bx2(n)??2

ay1(n)?by2(n)?a?4x1(n)?2??b?4x2(n)?2??4?ax1(n)?bx2(n)??2(a?b)

所以ay1(n)?by2(n)?T?ax1(n)?bx2(n)?，系统为非线性

T?x(n?m)??4x(n?m)?2?y(n?m)，系统为时不变

对于任意的x(n)?M，则有y(n)?4x(n)?2?4x(n)?2?4M?2，所以系

统是稳定的。

y(n)只根n时刻的输入x(n)有关，所以系统是因果的

（2）y1(n)?T?x1(n)??x1(n?3)

y2(n)?T?x2(n)??x2(n?3)

T?ax1(n)?bx2(n)??ax1(n?3)?bx2(n?3)?ay1(n)?by2(n)，系统为非线性 T?x(n?m)??x(n?3?m)?y(n?m)，系统为时不变

对于任意的x(n)?M，则有y(n)?x(n?3)?M，所以系统是稳定的。

y(n)根n-3时刻的输入有关，所以系统是非因果的

（3）y1(n)?T?x1(n)??x1(n)sin(3??n?) 743??y2(n)?T?x2(n)??x2(n)sin(n?)

743??n?) 74T?ax1(n)?bx2(n)???ax1(n)?bx2(n)?sin(ay1(n)?by2(n)?ax1(n)sin(3??3??n?)?bx2(n)sin(n?)7474

3????ax1(n)?bx2(n)?sin(n?)74所以ay1(n)?by2(n)?T?ax1(n)?bx2(n)?，系统为线性

T?x(n?m)??x(n?m)sin(y(n?m)?x(n?m)sin(3??n?)， 743??(n?m)?)， 74所以y(n?m)?T?x(n?m)?，系统为时变 对于任意的x(n)?M，则有y(n)?x(n)sin(统是稳定的。

3??n?)?x(n)?M，所以系74y(n)只根n时刻的输入x(n)有关，所以系统是因果的

（4）y1(n)?T?x1(n)???x1(n)?

3y2(n)?T?x2(n)???x2(n)?

T?ax1(n)?bx2(n)???ax1(n)?b2x(n)? ay1(n)?by2(n)?a?x1(n)??b?x2(n)?

所以ay1(n)?by2(n)?T?ax1(n)?bx2(n)?，系统为非线性

3333T?x(n?m)???x(n?m)??y(n?m)，系统为时变

对于任意的x(n)?M，则有y(n)??x1(n)??M，所以系统是稳定的。

333y(n)只根n时刻的输入x(n)有关，所以系统是因果的

（5）y1(n)?T?x1(n)??m?n0?x(m)

1?y2(n)?T?x2(n)??m?n0?x(m)

2?T?ax1(n)?bx2(n)??m?n0??ax(m)?bx(m)?

12?ay1(n)?by2(n)?a?x1(m)?b?x2(m)?m?n0m?n0??m?n0??ax(m)?bx(m)?

12?所以ay1(n)?by2(n)?T?ax1(n)?bx2(n)?，系统为线性

T?x(n?u)???x(m?u)?m?n?m?n?u??x(m)?y(n?u)，系统为时不变

?对于任意的x(n)?M，则有y(n)?m?n?x(m)，所以系统是不稳定的。

y(n)根n时刻以后时刻的输入有关，所以系统是非因果的

（6）y1(n)?T?x1(n)??e1x(n)

y2(n)?T?x2(n)??ex2(n) T?ax1(n)?bx2(n)??eax1(n)?bx2(n) ay1(n)?by2(n)?aex1(n)?bex2(n)

所以ay1(n)?by2(n)?T?ax1(n)?bx2(n)?，系统为线性

T?x(n?m)??ex(n?m)?y(n?m)，系统为时不变

x(n)?eM，所以系统是不稳定的。 对于任意的x(n)?M，则有y(n)?ey(n)只根n时刻的输入有关，所以系统是因果的

6.9 以下各序列是系统的单位样值响应h(n)，试判断各系统的因果性和稳定性。 (1) ?(n?2) (2) ?(3?n)

n(3) u(4?n) (4) 3u(?n)

(5) 2?u(n)?u(n?3)? (6)

n1u(n) n!解：（1）当n?0时，h(n)?0，所以该系统是因果系统

n?????h(n)?n?????(n?2)?1，所以该系统是稳定系统

?

（2）当n?0时，h(n)?0，所以该系统是因果系统

n?????h(n)?n?????(3?n)?1，所以该系统是稳定系统

?（3）当n?1,2,3时，h(n)?1，所以该系统是非因果系统

n?????h(n)?n????u(4?n)??，所以该系统是不稳定系统

?（4）当n??1时，h(n)?3?n，所以该系统是非因果系统

n?????h(n)?n????3u(?n)??3?n?nn?1??1，所以该系统是稳定系统 2（5）当n?0时，h(n)?0，所以该系统是因果系统

n?????h(n)??2n?1?2?4?8?15，所以该系统是稳定系统

n?03（6）当n?0时，h(n)?0，所以该系统是因果系统

n?????h(n)??1??，所以该系统是不稳定系统 n?0n!?

6.10 求题图6-10所示的复合系统有三个系统组成，它们的单位样值响应分别为 h1(n)?u(n)，h2(n)?u(n?5)，求复合系统的单位样值响应。

题图6-10

解：根据题意得复合系统的单位样值响应为

h(n)??h1(n)?h2(n)?*h1(n)??u(n)?u(n?5)?*u(n) ?nu(n)?(n?5)u(n?5)

6.11两个离散时间系统A和B，其中系统A是一个LTI系统，其单位样值响应为

h(n)?(1/2)nu(n)

系统B分别为：（1）z(n)?nw(n)；（2）z(n)?w(n)?2。其中w(n)是B的输入，z(n)是B的输出。分别计算题图6-21 (a)、(b)所示两个级联系统的单位样值响应。证明这两个系统不具备交换律性质。

题图6-21

解：（a）设x(n)??(n)时，系统A的输出为y1(n)，

则y1(n)?h(n)?(1/2)nu(n) 所以y(n)?ny1(n)?n(1/2)nu(n)

（b）设x(n)??(n)时，系统B的输出为y1(n)，

则y1(n)??(n)?2

y(n)?y1(n)*h(n)???(n)?2?*(1/2)nu(n)???(n)?2?*(1/2)nu(n)?(1/2)n?1?2n?u(n)

6.12 试证明：如果一个离散时间LTI系统的输入x(n)是周期为N的周期信号，则输出y(n)也是周期为N的周期信号。

证明：x(n)是周期为N的周期信号，即x(n)?x(n?kN) 设LTI系统的单位样值响应函数为h(n)

则系统输出为y(n)?h(n)*x(n)?m????h(n?m)x(m)

?因为系统为LTI系统，满足移不变特性，所以

y(n?kN)?h(n)*x(n?kN)??m????h(n?m)x(m?kN)

??m????h(n?m)x(m)?h(n)*x(n?kN)?y(n)所以y(n)也是周期为N的周期信号

6.13 以每月支付D美元的办法偿还一笔100000美元的贷款。利息（按月复利）是按每年未偿还金额的12%计算的。例如，第一个月总的欠款为

100000?(0.12)?100000?101000 12设y(n)为第n个月支付的余下未付欠款，贷款是第0个月借的，第一个月开始每月偿还，试写出差分方程。 解： y(n)?(0.12)?y(n)?D?y(n?1) 12即y(n?1)?1.01?y(n)?D?0 其中y(0)?100000

6.14 一个乒乓球从Ｈ米高度自由下落至地面，每次弹起的最高值是前一次最高值的1／３，若以y(n)表示第n次跳起的最高值，试列写描述此方程的差分方程。 解：y(n)?11y(n?1)，即y(n)?y(n?1)?0 33初始条件y(?1)?H

6.15 试利用经典法求解下列系统的全响应

（1）y(n?2)?3y(n?1)?2y(n)?0，y(?1)?0，y(0)?1 （2）y(n)?2y(n?1)?(n?2)?u(n)，y(0)?1

解：（1）特征方程为??3??2?0，特征根为?1??1,?2??2， 因为方程的输入为0，

所以可设方程的解为y(n)?C1(?1)n?C2(?2)n 带入初始条件y(?1)?0，y(0)?1，解得

2C1??1,C2?2

所以y(n)?(?1)n?1?(?2)n?1

（2）设特解为yp(n)?An1?A2，代入方程，得

14A1?,A2??

39所以yp(n)?14n? 39特征方程为??2?0，特征根为?1??2， 设方程的其次解为yh(n)?C(?2)n

所以完全解为y(n)?yh(n)?yp(n)?C(?2)?带入初始条件y(0)?1，解得C?所以 y(n)??n14n? 3913 914??13(?2)n?n??u(n)

39??9

6.16 已知各系统的差分方程如下，求各系统的零输入响应

(1)y(n?3)?6y(n?2)?12y(n?1)?8y(n)?u(n),y(1)?1，y(2)?2，y(3)??23； （2）5y(n)?6y(n?1)?10u(n)，y(0)?1。

解：（1）特征方程为??6??12??8?0，特征根为?1,2,3??2

2n因为是三重根，设方程的解为y(n)?C1n?C2n?C3(?2)

32??代入初始条件y(1)?1，y(2)?2，y(3)??23，解得

C1?11171,C2??,C3?? 16168171??11y(n)??n2?n??(?2)n

168??16（2）特征方程为5??6?0，特征根为?1?设方程的解为y(n)?C() 代入初始条件y(0)?1，解得C?1

6 565n6y(n)?()n

5

6.17 已知系统的差分方程为

y(n)?3y(n?1)?2y(n?2)?x(n)?x(n?1)

初始条件y(?1)?2，y(0)?0。

（1） 求系统的零输入响应和单位样值响应； （2） 若x(n)?2nu(n)，求系统的零状态响应。

解：（1）特征方程为??3??2?0，特征根为?1?1,?2?2 设零输入响应为y(n)?C1?C22n

代入初始条件y(?1)?2，y(0)?0，解得

2C1?4,C2??4，

所以y(n)?4?4?2n?4?2n?2

当系统方程输入为?(n)时，系统输出为h1(n)，此时差分方程为

h1(n)?3h1(n?1)?2h1(n?2)??(n)

n所以h1(n)?C1?C22u(n)，

??根据系统方程，以及h1(?2)?h1(?1)?0，可得起始状态h1(0)?1,h1(1)?3 代入条件??1?C1?2C2

3?C?4C?12解得C1??1,C2?1

n所以h1(n)??1?2u(n)

n?1u(n?1) 另外输入为?(n?1)时，输出为h1(n?1)??1?2????所以系统的单位样值响应

h(n)?h1(n)?h1(n?1)???1?2n?u(n)???1?2n?1?u(n?1)??(n)?(?2?3*2)u(n?1)（2）系统的零状态响应

n?1

y(n)?x(n)*h(n)n?1?2nu(n)*??(n)?(?2?3*2)u(n?1)????nn?m??2u(n)???2(?2?3*2n?1)?u(n?1)

?m?1?n2n?2n?1?2nu(n)???2?3?2(2?1)???u(n?1)n??(n)?3?22n?2(2n?1?1)u(n?1)

6.18 已知系统的差分方程为

y(n?2)?5y(n?1)?6y(n)?u(n)

初始条件y(0)?1，y(1)?4。 求系统的全响应。 解：设特解yp(n)?K

代入方程得K?5K?6K?1,所以K?21 2特征方程为??5??6?0，特征根为?1?2,?2?3 设完全响应为y(n)?C12?C23?代入初始条件y(0)?1，y(1)?4

nn1 21?1?C?C?12??2 ?1?4?2C?3C?12??2解得C1??2,C2?所以y(n)???25 2??n?151???3n??u(n) 22?6.19 某系统的输入输出关系可由二阶常系数线性差分方程描述，如果相应于输入为

x(n)?u(n)的响应为

y(n)?[2n?3?5n?10]u(n)

（1） 若系统起始为静止的，试决定此二阶差分方程。

（2） 若系统激励为x(n)?2[u(n)?u(n?10)]，求响应y(n)。

解：根据方程的解可知，其次解为yh(n)?[2?3?5]u(n)，即特征根为2，5 特解为yp(n)?10u(n)

设差分方程为y(n)?7y(n?1)?10y(n?2)?ax(n)?bx(n?1)?cx(n?2) 将特解代入方程，得

a?b?c?40 （式1）

根据解得，y(?1)?y(?2)?0,y(0)?14,y(1)?27,y(2)?89，

nn代入方程得 a?14，

a?b?27?14?7??71

a?b?c?89?7?27?10?14?40

所以a?14,b??85,c?111

所以系统差分方程为y(n)?7y(n?1)?10y(n?2)?14x(n)?85x(n?1)?111x(n?2) （2）输出为

y(n)?[2n?3?5n?10]u(n)?[2n?10?3?5n?10?10]u(n?10)10n?1010n?10?u(n?10)??2n?3?5n?10??u(n)?u(n?10)???2?12?3?5?13?5??????

6.20 已知线性时不变系统的单位样值响应h(n)以及输入x(n)，求输出y(n)，并绘图示出

y(n)。

(1)h(n)?2n?u(n)?u(n?3)?

（2）x(n)??(n)??(n?2) 解：根据系统时域分析

y(n)?x(n)?h(n)?2n?u(n)?u(n?3)????(n)??(n?2)??2n?u(n)?u(n?3)??2n?2?u(n?2)?u(n?5)???(n)?2?(n?1)?3?(n?2)?2?(n?3)?4?(n?4)y(n)

3 2 1 0

6.22 已知x(n)和y(n)是两个实数值的离散时间信号，x(n)和y(n)的自相关函数和互相关函数分别定义为

1

2

3

4 2 4

n

Rxx(n)?m????x(m?n)x(m),R?xy(n)?m????x(m?n)y(m)

?(1) 对题图6-22所示的信号，计算自相关序列； (2) 计算互相关序列Rxy(n)和Ryx(n)；

(3) 设一LTI系统的y(n)?x(n)?h(n)，利用Rxx(n)和h(n)表示Rxy(n)

题图6-22

解：（1）x(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)

Rxx(n)??m?????x(m?n)x(m)???(m?n?1)??(m?n?2)??(m?n?3)???(m?1)??(m?2)??(m?3)??m?????(n)??(n?1)??(n?2)??(n?1)??(n)??(n?1)??(n?2)??(n?1)??(n)??(n?2)?2?(n?1)?3?(n)?2?(n?2)??(n?1)（2）y(n)??(n?1)??(n)??(n?1)??(n?2)

Rxy(n)??m?????x(m?n)y(m)???(m?n?1)??(m?n?2)??(m?n?3)???(m?1)??(m)??(m?1)??(m?2)??m?????(n?2)??(n?3)??(n?4)???(n?1)??(n?2)??(n?3)????(n)??(n?1)??(n?2)????(n?1)??(n)??(n?1)????(n?1)??(n?1)??(n?2)??(n?4)Ryx(n)??m??????y(m?n)x(m)m??????(m?n?1)??(m?n)??(m?n?1)??(m?n?2)???(m?1)??(m?2)??(m?3)???(n?2)??(n?3)??(n?4)???(n?1)??(n?2)??(n?3)????(n)??(n?1)??(n?2)????(n?1)??(n)??(n?1)???(n?4)??(n?2)??(n?1)??(n?1)

（3）

Rxy(n)?????m?????x(m?n)y(m)??x(m?n)?x(m)*h(m)?m?????m?????x(m?n)?x(m?u)h(u)u????m???u??????x(m?n)x(m?u)h(u)?m????

u?????h(u)?x(m?n)x(m?u)?h(u)Rxx(n?u)u????h(n)*Rxx(n)

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