北京人大附中2011届高考三模理科数学试题及答案
更新时间:2023-05-22 10:10:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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人大附中2011届5月适应性考试数学试题(理)
一、选择题:在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.如果集合P = {x | x 2> 4},集合T = {x |
x 0},那么,集合P∩(ðRT)等于( )
A. {x | x > 0} B. {x | x < 2或x > 0} C. {x | x > 2} D. {x | x < 2或x > 2} 2.命题p:“ x
0,都有x2 x 0”,则 p是( )22
A. x 0,使得x x 0 B. x 0,使得x x 0
22
C. x 0,都有x x 0 D. x 0,都有x x 0
x cos2
3.参数方程
y sin
( 为参数)所表示的曲线为( )
A.圆 B.抛物线 C.抛物线的一部分 D.双曲线的一部分
4.在已知的程序框图中,若输入为( ).
m 4,n 10,运行相应的程序,则输
出
a
A.8 B. 12 C. 16 D. 20
x2y2
1(a 0)的一个焦点,5.若抛物线y 12x的焦点是双曲线2
a5
2
则双
曲线的离心率为( )
A.
34
B.23
C.
14
D.
11
6.直线l1,l2,l3, 依次为函数A.
则直线l4的方程为( ) y 2sinxcosx cos2x图象在y轴右侧从左到右的对称轴,
x
7
12
B.
x
13 12
C.
x
19 12
D.
x
25 12
7.如图,目标函数z
32
,A(1,0)、C(0,1),若B(,)为目标函数取最大 kx y的可行域为四边形OABC(含边界)
43
值时的最优解,则k的取值范围是( )
A.
48
, B. 93 84
, 39
C.
8448
( , ] [ , ) D. ( ,] [, )
3993
P
P ABCD中,侧面PAD为正三角形,底面ABCD
为正方形,侧面
PAD⊥底面ABCD.M为底面ABCD内的一个动点,且满足MP=ABCD内的轨迹为( )
8.如图,在四棱锥
.则
点M在正方形
A B C D 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 把答案填在题中横线上.
2 ai
2i,其中i为虚数单位,则实数a.
1 i
a52
10.二项式(x )的展开式中x项的系数为 10,则常数a的值为__________.
x
11.已知P是 ABC所在平面内一点,BC BA 2BP,现将一粒黄豆随机撒在 ABC 内,则黄豆落在 PBC
9. 若
概率是 .
12.如图,AB为圆O的直径,D为AB延长线上一点,直 线DC切圆O于点C, DAC径r
13.在 ABC中,内角A、B、C所对边长分别为a、b、c,已知a
. 14.已知二次函数在0
2
内的
30 ,OD=10,则圆O的半
c2 b,且sinAcosC 3cosAsinC, 则b
f x x2 ax a x R 同时满足:①不等式f x 0的解集有且只有一个元素;②在定义域内存
x1 x2,使得不等式f x1 f x2 成立,则实数a ;又设数列 an 的前n项和Sn f n ,
aan
(n N),则所有满足ci
cn 1 ci 1 0的正整数i的个数为.
三、解答题:本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.在各项都为正数的等比数列{an}中,已知a3 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列
4,前三项的和为28.
bn 满足:bn log2an,
b1 b2 bn Sn,
求
SS1S2
n12n
取最大时n的值.
16.某糖果厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上40件产品作为样本,它们的质量(单位:克)的分组区间为(990,995 ,(995,1000 ,……(1010,1015 ,由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.
(Ⅰ)求图中x的值,并由此估计:从该流水线上任取其质量在1000~1010克的概率;
(Ⅱ)从该流水线上任取3件产品(可看作有放回的产中恰有X件产品的质量在1000~1010克,求随机变量X的
品抽样),其分布列及
数
一件产品
学期望E(X).
17、(本小题满分14分)
如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,BC⊥平面
A1ACC1,
ACC1 60 ,AA1=BC=AC=2,D为AC的中点.
(Ⅰ)求证:AB1∥平面BDC1;
(Ⅱ)求证:平面BDC1 平面ABC;
(Ⅲ)求直线
18.设函数
AA1与平面BDC1所成角的正弦值.
f(x) (x2 ax a) e x,其中x R, a是实数
常数,e是自
然对数的底数. (Ⅰ)当a
2时,求f(x)在( 1,f( 1))处的切线方程;
(Ⅱ)是否存在实数a,使得f(x)的极大值为2,若存在,求出a的值,若不存在,说明理由.
19、如图,过圆
x2 y2 4与x轴的两个交点A、B作圆的切线AC、BD,再过圆上任意一点H作圆的切线,交AC、BD于C、D
两点,设AD、BC的交点为R.
(Ⅰ) 求动点R的轨迹E的方程;
(Ⅱ)设E的上顶点为M,直线l交曲线E于P、Q两点,问:是否存在这样的直线l,使点G(1,0)恰为 PQM的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
20、设n是正整数,如果1,2,3, ,2n的一个排列x1,x2,x3, ,x2n满足:
在
1,2, 2n 1 中至少有一个i使得xi xi 1
(Ⅰ)当n
n,则称排列x1,x2,x3, ,x2n具有性质P.
2时,写出4个具有性质P的排列;
(Ⅱ)求n 3时不具有性质P的排列的个数;
(Ⅲ)求证:对于任意n,具有性质P的排列比不具有性质P的排列多.
人大附中2010届高三5月份适应性理科数学试题参考答案
1-8 CBCD ACAD
9、 2; 10、 1; 11、
12
; 12、5,
; 13、2; 14、4, 3.
0)
15、解:(Ⅰ)设各项都为正数的等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q
a3 a1q2 4 ①, a1 a2 a3 a1(1 q q2) 28 ②
由①②消去a1,得
6q2 q 1 0,解得q
11
或q (舍) 23
所以数列{an}的通项公式an(Ⅱ) an
1
a3qn 3 4 ()n 3 25 n,n N*.
2
25 n, bn log2an log225 n 5 n
bn 1 bn 1,b1 4,所以数列{bn}是以b1 4为首项, 1为公差的等差数列
Sn
Snn9n(9 n)
, ,故
2n22
SS1S219 n (1 2 n) n 12n22
n(n 1)9
n42 117289 [(n )2 ].
424
取得最大值 .
故n=8或9时,
SS1S2
n12n
16、解:(1)(0.01 0.03 0.04 0.05 x) 5 1,解得x 0.07
记事件A=“从该流水线上任取一件产品其质量在1000~1010克”
所以P(A) (0.05 0.07) 5 0.6. 所以从该流水线上任取一件产品其质量在1000~1010克的概率为0.6.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,由题意知
003
P(X 0) C 30.6 0.4
X B(3,0.6)
,0.0 64
1P(X 1) C30.61 0.42 0.288, 2P(X 2) C30.62 0.41 0.432, 3P(X 3) C30.63 0.40 0.216
所以X的分布列为
数学期望E(X) 0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216 1.8
.
或E(X) 3 0.6 1.8(件)
17、解:(Ⅰ)证明:连结B1C与BC1相交于O,连接OD,如图.
∵四边形BCC1B1是平行四边形,
∴O是B1C的中点,又D是AC的中点, ∴OD∥AB1.
∵AB1 平面BDC1,OD 平面BDC1, ∴AB1∥平面BDC1.
(Ⅱ)在 DCC1中,由 ACC1
60 ,DC=1,CC1
=2,可
得
DC1CD C1D.
∵BC⊥平面A1ACC1,
∴BC C1D,又BC CD C, ∴C1D⊥平面ABC, 又C1D 平面BDC1,
所以,平面C1BD 平面ABC.
(Ⅲ)由于C1D CD,以D为原点建立空间直角坐标系D xyz,如图所示.
则C1
(0,,B(-1,0,2),C(-1,0,0),D(0,0,0),A(1,0,0)
DB ( 1,0,2),DC1 (0,.
设n=(x,y,z)是平面BDC1的一个法向量,
n DC1 0, 0,则 ,即,
x 2z 0. n
DB 0.
取x=2,则n=(2,0,1).
易知AA,设直线AA1与平面BDC1所成的角为 ,则
1 CC1 (1
|n AA1| sin |cos n,AA1 |
|n| |AA1|
18、(1)解:当a
2时,f(x) (x2 2x 2) e x,
f (x) (2x 2) e x (x2 2x 2) e x x2 e x
∴切线斜率k∴切线方程为
f ( 1) e,f( 1) e,
y e e x 1 即ex y 0
x
(2) f (x) (2x a) e令
(x2 ax a) e x x x 2 a e x
f (x) 0得:x1 0,x2 2 a,
①当a
2时,2 a 0
和题意可知
由上表
f极大 x f 0 a 2,
而a
2,所以,此时不存在. ②当a 2时,2 a 0
由上表可知∵a∴g
f极大 x f 2 a 4 a ea 2,令g a 4 a ea 2,
2,∴g a ea 2 4 a ea 2 3 a ea 2 0
a 4 a ea 2在 ,2 上是增函数,∴g a g 2 2,
f极大 x f 2 a 4 a ea 2 2无解
③当a
2时,f(x) (x2 2x 2) e x,
f (x) (2x 2) e x (x2 2x 2) e x x2 e x 0
∴
f(x) (x2 2x 2) e x是减函数,无极大值.
综上,满足条件的实数a不存在。
19. 法一:根据题意,设C( 2,yC),D(2,yD),yCyD>0,R(x,y) 由题意知 所以yCyD
AC BD CD即(yC yD)2 (2 2)2 (yD yC)2 4
因为C,R,B(2,0)共线,所以BR//BC,所以(x 2,y)//( 4,yC),
所以(x 2) yC=-4y ①
因为A(-2,0),R,D共线,所以AR//AD,所以(x+2,y)//(4,yD),
所以(x+2) yD=4y ②
① ②得
x22
(x-4)yCyD=4(x-4) 16y即+y 1.
4
2
2
2
x22
+y 1. 所以动点R的轨迹E的方程为4
20、答案(1)
2,1,3,4 ; 2,3,1,4 ; 4,1,3,2 ; 4,3,1,2
6; A6
1
2
5
(2)1,2,3,4,5,6的全排列数为
1,4;2,5;3,6三对数中,至少有一对相邻的排列数为C3A2A5;
至少有两对相邻C3A2A2A4; 三对全相邻
所以,n
3222A3A2A2A2
2
2
2
4
612522243222
3时不具有性质P的排列的个数共有:A6 C3A2A5 C3A2A2A4 A3A2A2A2 240;
(3)证明:记
A (x1,x2, ,x2n)(x1,x2, ,x2n)具有性质P
B (x1,x2, ,x2n)(x1,x2, ,x2n)不具有性质P
C (x1,x2, ,x2n)恰有某一个i使xi xi 1 n,i 1
显然C是集,所以
是A的真子
A的子集,而且 n 1,1,2, n,n 2, ,2n A, n 1,1,2, n,n 2, ,2n C,所以CA中元素个数大于C中元素个数;
考虑B中任一元素(y1,y2, ,y2n),则y2 y1 n,因此与y1相差n的数一定是某个yk
k 2,把y1放到yk的左边得到一个新排列(y2,y3, ,yk 1,y1,yk, ,y2n)这个排列一定是C的元素,作映射:
(y1,y2, ,y2n) (y2,y3, ,yk 1,y1,yk, ,y2n)不难证明这是一一对应,所以C中元素个数等于B中元素个数
综上
A中元素个数大于B中元素个数
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