北京人大附中2011届高考三模理科数学试题及答案

人大附中2011届5月适应性考试数学试题（理）

一、选择题：在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．如果集合P = {x | x 2> 4}，集合T = {x |

x 0}，那么，集合P∩(ðRT)等于( )

A. {x | x > 0} B. {x | x < 2或x > 0} C. {x | x > 2} D. {x | x < 2或x > 2} 2．命题p：“ x

0，都有x2 x 0”，则 p是（ ）22

A. x 0，使得x x 0 B. x 0，使得x x 0

22

C. x 0，都有x x 0 D. x 0，都有x x 0

x cos2

3．参数方程

y sin

（ 为参数）所表示的曲线为（ ）

A．圆 B．抛物线 C．抛物线的一部分 D．双曲线的一部分

4．在已知的程序框图中，若输入为（ ）.

m 4，n 10，运行相应的程序，则输

出

a

A.8 B. 12 C. 16 D. 20

x2y2

1(a 0)的一个焦点，5．若抛物线y 12x的焦点是双曲线2

a5

2

则双

曲线的离心率为（ ）

A．

34

B．23

C．

14

D．

11

6．直线l1,l2,l3, 依次为函数A.

则直线l4的方程为（ ） y 2sinxcosx cos2x图象在y轴右侧从左到右的对称轴，

x

7

12

B.

x

13 12

C.

x

19 12

D.

x

25 12

7．如图，目标函数z

32

，A(1,0)、C(0,1)，若B(,)为目标函数取最大 kx y的可行域为四边形OABC（含边界）

43

值时的最优解，则k的取值范围是（ ）

A.

48

, B. 93 84

, 39

C.

8448

( , ] [ , ) D. ( ,] [, )

3993

P

P ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD

为正方形，侧面

PAD⊥底面ABCD．M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=ABCD内的轨迹为（ ）

8．如图，在四棱锥

．则

点M在正方形

A B C D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.

2 ai

2i，其中i为虚数单位，则实数a．

1 i

a52

10．二项式(x )的展开式中x项的系数为 10，则常数a的值为__________.

x

11．已知P是 ABC所在平面内一点，BC BA 2BP，现将一粒黄豆随机撒在 ABC 内，则黄豆落在 PBC

9． 若

概率是 .

12．如图，AB为圆O的直径，D为AB延长线上一点，直 线DC切圆O于点C， DAC径r

13．在 ABC中，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，已知a

． 14．已知二次函数在0

2

内的

30 ，OD=10，则圆O的半

c2 b，且sinAcosC 3cosAsinC, 则b

f x x2 ax a x R 同时满足：①不等式f x 0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存

x1 x2，使得不等式f x1 f x2 成立，则实数a ；又设数列 an 的前n项和Sn f n ，

aan

（n N），则所有满足ci

cn 1 ci 1 0的正整数i的个数为．

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．在各项都为正数的等比数列{an}中，已知a3 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列

4,前三项的和为28.

bn 满足：bn log2an,

b1 b2 bn Sn,

求

SS1S2

n12n

取最大时n的值.

16．某糖果厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，它们的质量（单位：克）的分组区间为（990,995 ，（995,1000 ，……（1010,1015 ，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．

（Ⅰ）求图中x的值，并由此估计：从该流水线上任取其质量在1000~1010克的概率；

（Ⅱ）从该流水线上任取3件产品（可看作有放回的产中恰有X件产品的质量在1000~1010克，求随机变量X的

品抽样），其分布列及

数

一件产品

学期望E(X).

17、(本小题满分14分)

如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，BC⊥平面

A1ACC1，

ACC1 60 ，AA1＝BC＝AC＝2，D为AC的中点．

（Ⅰ）求证：AB1∥平面BDC1；

（Ⅱ）求证：平面BDC1 平面ABC；

（Ⅲ）求直线

18．设函数

AA1与平面BDC1所成角的正弦值.

f(x) (x2 ax a) e x，其中x R, a是实数

常数，e是自

然对数的底数. （Ⅰ）当a

2时,求f(x)在( 1,f( 1))处的切线方程；

（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）的极大值为2，若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．

19、如图，过圆

x2 y2 4与x轴的两个交点A、B作圆的切线AC、BD，再过圆上任意一点H作圆的切线，交AC、BD于C、D

两点，设AD、BC的交点为R.

（Ⅰ） 求动点R的轨迹E的方程；

（Ⅱ）设E的上顶点为M，直线l交曲线E于P、Q两点，问：是否存在这样的直线l，使点G(1,0)恰为 PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

20、设n是正整数，如果1,2,3, ,2n的一个排列x1,x2,x3, ,x2n满足：

在

1,2, 2n 1 中至少有一个i使得xi xi 1

（Ⅰ）当n

n，则称排列x1,x2,x3, ,x2n具有性质P．

2时，写出4个具有性质P的排列；

（Ⅱ）求n 3时不具有性质P的排列的个数；

（Ⅲ）求证：对于任意n，具有性质P的排列比不具有性质P的排列多．

人大附中2010届高三5月份适应性理科数学试题参考答案

1-8 CBCD ACAD

9、 2； 10、 1； 11、

12

； 12、5，

； 13、2； 14、4， 3.

0)

15、解：（Ⅰ）设各项都为正数的等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q

a3 a1q2 4 ①， a1 a2 a3 a1(1 q q2) 28 ②

由①②消去a1，得

6q2 q 1 0，解得q

11

或q （舍） 23

所以数列{an}的通项公式an（Ⅱ） an

1

a3qn 3 4 ()n 3 25 n,n N*.

2

25 n, bn log2an log225 n 5 n

bn 1 bn 1,b1 4，所以数列{bn}是以b1 4为首项， 1为公差的等差数列

Sn

Snn9n(9 n)

， ，故

2n22

SS1S219 n (1 2 n) n 12n22

n(n 1)9

n42 117289 [(n )2 ].

424

取得最大值 .

故n=8或9时，

SS1S2

n12n

16、解：（1）(0.01 0.03 0.04 0.05 x) 5 1，解得x 0.07

记事件A=“从该流水线上任取一件产品其质量在1000~1010克”

所以P(A) (0.05 0.07) 5 0.6. 所以从该流水线上任取一件产品其质量在1000~1010克的概率为0.6.

（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，由题意知

003

P(X 0) C 30.6 0.4

X B(3,0.6)

，0.0 64

1P(X 1) C30.61 0.42 0.288， 2P(X 2) C30.62 0.41 0.432， 3P(X 3) C30.63 0.40 0.216

所以X的分布列为

数学期望E(X) 0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216 1.8

.

或E(X) 3 0.6 1.8(件)

17、解:（Ⅰ）证明：连结B1C与BC1相交于O，连接OD，如图．

∵四边形BCC1B1是平行四边形，

∴O是B1C的中点，又D是AC的中点， ∴OD∥AB1.

∵AB1 平面BDC1，OD 平面BDC1， ∴AB1∥平面BDC1.

（Ⅱ）在 DCC1中，由 ACC1

60 ，DC＝1，CC1

＝2，可

得

DC1CD C1D.

∵BC⊥平面A1ACC1，

∴BC C1D,又BC CD C， ∴C1D⊥平面ABC， 又C1D 平面BDC1，

所以，平面C1BD 平面ABC.

（Ⅲ）由于C1D CD，以D为原点建立空间直角坐标系D xyz，如图所示.

则C1

(0,，B(-1,0,2)，C(-1,0,0)，D(0,0,0)，A(1,0,0)

DB ( 1,0,2)，DC1 (0,.

设n＝(x，y，z)是平面BDC1的一个法向量，

n DC1 0, 0,则 ，即，

x 2z 0. n

DB 0.

取x＝2，则n＝(2，0，1)．

易知AA,设直线AA1与平面BDC1所成的角为 ，则

1 CC1 (1

|n AA1| sin |cos n,AA1 |

|n| |AA1|

18、（1）解：当a

2时，f(x) (x2 2x 2) e x，

f (x) (2x 2) e x (x2 2x 2) e x x2 e x

∴切线斜率k∴切线方程为

f ( 1) e，f( 1) e，

y e e x 1 即ex y 0

x

（2） f (x) (2x a) e令

(x2 ax a) e x x x 2 a e x

f (x) 0得：x1 0，x2 2 a，

①当a

2时，2 a 0

和题意可知

由上表

f极大 x f 0 a 2，

而a

2，所以，此时不存在. ②当a 2时，2 a 0

由上表可知∵a∴g

f极大 x f 2 a 4 a ea 2,令g a 4 a ea 2，

2，∴g a ea 2 4 a ea 2 3 a ea 2 0

a 4 a ea 2在 ,2 上是增函数，∴g a g 2 2,

f极大 x f 2 a 4 a ea 2 2无解

③当a

2时，f(x) (x2 2x 2) e x，

f (x) (2x 2) e x (x2 2x 2) e x x2 e x 0

∴

f(x) (x2 2x 2) e x是减函数，无极大值.

综上，满足条件的实数a不存在。

19. 法一：根据题意，设C( 2,yC),D(2,yD)，yCyD>0，R(x,y) 由题意知 所以yCyD

AC BD CD即(yC yD)2 (2 2)2 (yD yC)2 4

因为C,R,B(2,0)共线，所以BR//BC，所以(x 2,y)//( 4,yC)，

所以(x 2) yC=-4y ①

因为A(-2,0),R,D共线，所以AR//AD，所以(x+2,y)//(4,yD)，

所以(x+2) yD=4y ②

① ②得

x22

(x-4)yCyD=4(x-4) 16y即+y 1.

4

2

2

2

x22

+y 1. 所以动点R的轨迹E的方程为4

20、答案（1）

2,1,3,4 ; 2,3,1,4 ; 4,1,3,2 ; 4,3,1,2

6; A6

1

2

5

（2）1，2，3，4，5，6的全排列数为

1，4；2，5；3，6三对数中，至少有一对相邻的排列数为C3A2A5；

至少有两对相邻C3A2A2A4； 三对全相邻

所以，n

3222A3A2A2A2

2

2

2

4

612522243222

3时不具有性质P的排列的个数共有：A6 C3A2A5 C3A2A2A4 A3A2A2A2 240；

（3）证明：记

A (x1,x2, ,x2n)(x1,x2, ,x2n)具有性质P

B (x1,x2, ,x2n)(x1,x2, ,x2n)不具有性质P

C (x1,x2, ,x2n)恰有某一个i使xi xi 1 n,i 1

显然C是集，所以

是A的真子

A的子集，而且 n 1,1,2, n,n 2, ,2n A, n 1,1,2, n,n 2, ,2n C,所以CA中元素个数大于C中元素个数；

考虑B中任一元素(y1,y2, ,y2n)，则y2 y1 n，因此与y1相差n的数一定是某个yk

k 2，把y1放到yk的左边得到一个新排列(y2,y3, ,yk 1,y1,yk, ,y2n)这个排列一定是C的元素，作映射：

(y1,y2, ,y2n) (y2,y3, ,yk 1,y1,yk, ,y2n)不难证明这是一一对应，所以C中元素个数等于B中元素个数

综上

A中元素个数大于B中元素个数

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pzi4.html