（全国通用）2016高考数学二轮复习第2部分大专题综

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2016年高考数学全国二卷推荐度：
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5 解析几何

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(20152郑州市质检)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的( )

A．充要条件 C．必要不充分条件 [答案] B

[解析] 两直线垂直的充要条件为a(a＋2)－3＝0，解得a＝－3或a＝1，故选B． 2．(文)已知圆O的方程是x＋y－8x－2y＋10＝0，则过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是( )

A．x＋y－3＝0 C．2x－y－6＝0 [答案] A

[解析] 圆O的方程是x＋y－8x－2y＋10＝0，即(x－4)＋(y－1)＝7，圆心O(4,1)，设过点M(3,0)的最短弦所在的直线为l，∵kOM＝1，∴kl＝－1， ∴l的方程为：y＝－12(x－3)，即x＋y－3＝0.

(理)已知动圆C经过点F(0,1)并且与直线y＝－1相切，若直线3x－4y＋20＝0与圆C有公共点，则圆C的面积( )

A．有最大值为π C．有最大值为4π [答案] D

[解析] 如图所示，由圆C经过点F(0,1)，并且与直线y＝－1相切，可得点C的轨迹为抛物线x＝4y，显然以抛物线x＝4y上任一点为圆心可作出任意大的圆与直线3x－4y＋20＝0相交，且此圆可无限大，即圆C的面积不存在最大值，设圆C与3x－4y＋20＝0相切于点A，其3x0－4y0＋20圆心为(x0，y0)，则由AC＝PC可得d＝＝y0＋1(点C在直线

3x0－x0＋201210

3x－4y＋20＝0的右方)，即＝x0＋1，解得x0＝－2或x0＝(舍去)，当x0＝－

5432时，圆心C坐标为(－2,1)，此时圆C的半径为2，即可得圆C的面积的最小值为4π，故应选D．

B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

B．x－y－3＝0 D．2x＋y－6＝0

B．有最小值为π D．有最小值为4π

x2y2

3．(文)(20152江西上饶三模)已知点M(－6,5)在双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)上，

ab双曲线C的焦距为12，则它的渐近线方程为( )

A．y＝±

5x 2

B．y＝±x

D．y＝±x

C．y＝±x

3[答案] A

3625??a－b＝1，

[解析] 由条件知?a＋b＝c，

??c＝6，

222

?a＝4，

∴?b＝25，?c＝6.

∴渐近线方程为y＝±5x. 2

(理)(20152新课标Ⅱ理，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )

A.5 C.3 [答案] D

[解析] 考查双曲线的标准方程和简单几何性质．

B．2 D．2

x2y2

设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，如图所示，|AB|＝|BM|，∠ABM＝120°，过点Mab作MN⊥x轴，垂足为N，在Rt△BMN中，|BN|＝a，|MN|＝3a，故点M的坐标为M(2a，3

a)，代入双曲线方程得a2＝b2＝c2－a2，即c2＝2a2，所以e＝2，故选D．

4．抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A、B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为( )

A．y＝2x C．x＝2y [答案] B

B．y＝2x D．y＝－2x

??y1＝2px12

[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y＝2px，则?2

?y2＝2px2?

，两式相减

可得2p＝B．

y1－y22

3(y1＋y2)＝kAB32＝2，即可得p＝1，∴抛物线C的方程为y＝2x，故应选x1－x2

5．(文)(20152新课标Ⅰ文，5)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦

2点与抛物线C：y＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( )

A．3 C．9 [答案] B

[解析] 抛物线y＝8x的焦点坐标为(2,0)．因为E的右焦点与抛物线焦点重合，所以

B．6 D．12

椭圆中c＝2，离心率e＝＝，所以a＝4，

所以b＝a－c＝16－4，则椭圆方程为＋＝1，因为抛物线的准线方程为x＝－2，

1612当x＝－2时，y＝±3，则|AB|＝233＝6.故本题正确答案为B．

x2y2

(理)过原点O作直线l交椭圆2＋2＝1(a>b>0)于点A、B，椭圆的右焦点为F2，离心率

ab为e.若以AB为直径的圆过点F2，且sin∠ABF2＝e，则e＝( )

1A. 2C.2 3

B．

2 23 2

D．

[答案] B

[解析] 记椭圆的左焦点为F1，依题意得|AB|＝2c，四边形AF1BF2为矩形，sin∠ABF2

|AF2||AF2|222222＝＝＝e，|AF2|＝2ce，|AF1|＝(2a－|AF2|)＝(2a－2ce)，|AF1|＋|AF2|＝|F1F2|，|AB|2c(2a－2ce)＋(2ce)＝(2c)，由此解得e＝2

，选B． 2

6．半径不等的两定圆O1、O2没有公共点，且圆心不重合，动圆O与定圆O1和定圆O2都内切，则圆心O的轨迹是( )

A．双曲线的一支 C．双曲线的一支或椭圆 [答案] C

[解析] 设⊙O1、⊙O2、⊙O的半径分别为r1、r2、R，且r1>r2>0，当⊙O1与⊙O2外离时，

B．椭圆 D．双曲线或椭圆

由条件知⊙O1与⊙O2都内切于⊙O，∴|OO1|＝R－r1，|OO2|＝R－r2，∴|OO2|－|OO1|＝r1－

r2,0

于⊙O1时，应有⊙O内切于⊙O1，⊙O2内切于⊙O，

∴|OO1|＝r1－R，|OO2|＝R－r2，∴|OO1|＋|OO2|＝r1－r2，∵O1与O2不重合，且r1>r2，∴r1－r2>|O1O2|，∴点O的轨迹为以O1、O2为焦点的椭圆，故选C.

7．(文)已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是

2－k2k－1

( )

A．(，2)

2C．(1,2) [答案] C

[解析] 由题意可得，2k－1>2－k>0，

??2k－1>2－k，即?

?2－k>0，?

B．(1，＋∞) 1

D．(，1)

解得1

(理)(20142广东文，8)若实数k满足0

165－k16－k5的( )

A．实半轴长相等 C．离心率相等 [答案] D

[解析] ∵0

x2y2x2y2

B．虚半轴长相等 D．焦距相等

x2y2

8．(20142大纲全国理，6)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心

ab率为

，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为43，则C的方程为( ) 3

A.＋＝1 32C.

＋＝1 128

x2y2x2

B．＋y＝1

3D．＋＝1 124

y2x2y2

[答案] A

c3x22

[解析] 根据条件可知＝，且4a＝43，∴a＝3，c＝1，b＝2，椭圆的方程为a33

＋＝1.

x2y2

9．(文)已知P点是x＋y＝a＋b与双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)在第一象限内的交

ab2

点，F1、F2分别是C的左、右焦点，且满足|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率e为( )

A．2 C.

10 2

B．D．

6 25 2

[答案] C

[解析] 设|PF2|＝x，则|PF1|＝3x， ∴|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|＝10x＝4c， ∴c＝10x， 2

由双曲线的定义知，2a＝|PF1|－|PF2|＝2x， ∴a＝x，∴e＝＝ca10

，故选C. 2

x2y2

(理)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点A在双曲线上，且

abAF2⊥x轴，若

|AF1|5

＝，则双曲线的离心率等于( ) |AF2|3

B．3 D．3

A．2 C.2 [答案] A

[解析] 设|AF2|＝3x，则|AF1|＝5x， ∴|F1F2|＝4x，∴c＝2x，

由双曲线的定义知，2a＝|AF1|－|AF2|＝2x， ∴a＝x，∴e＝＝2.

10．(文)过抛物线y＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直→→→→

线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若AF＝FB，BA2BC＝36，则抛物线的方程为( )

A．y＝6x C．y＝12x [答案] D

[解析] ∵F(，0)，设A(x0，y0)，y0>0，则C(－，y0)，B(p－x0，－y0)，由条件知p22

caB．y＝3x D．y＝23x

p3p－x0＝－，∴x0＝，

3pp3pp→→22

∴y0＝2p2＝3p，∴y0＝3p，∴B(－，－3p)，A(，3p)，C(－，3p)，∴BA2BC2222＝(2p,23p)2(0,23p)＝12p＝36，∴p＝3，

∴抛物线方程为y＝23x.

(理)过双曲线M：x－2＝1的左顶点A作斜率为2的直线l，若l与双曲线M的两条渐

→→

近线分别相交于点B、C，且BC＝2AB，则双曲线M的离心率是( )

A.5 C.17 [答案] C

→

[解析] 由条件知A(－1,0)，∴l：y＝2(x＋1)，双曲线渐近线方程为y＝±bx，∵BC＝

??y＝2?x＋1?，→

2AB，∴B在A，C之间，∴由?

??y＝－bx，

??y＝2?x＋1?，

由?

?y＝bx，?

B．10 D．37

得B(－

22b，)， b＋2b＋2

得C(22b，)， b－2b－2

→→

再由BC＝2AB得b＝4，∴e＝17.

11．若抛物线y＝2px上恒有关于直线x＋y－1＝0对称的两点A、B，则p的取值范围是( )

A．(－，0)

C．(0，)

3[答案] C

[解析] 设直线AB：y＝x＋b，代入y＝2px中消去x得，y－2py＋2pb＝0，∴y1＋y2

＝2p，x1＋x2＝y1＋y2－2b＝2p－2b，由条件知线段AB的中点(

B．(0，)

D．(－∞，0)∪(，＋∞)

x1＋x2y1＋y2

2，2

)，

即(p－b，p)在直线x＋y－1＝0上，∴b＝2p－1，Δ＝4p－8pb＝4p－8p(2p－1)＝－22

12p＋8p>0，∴0

x2y2

12．(20152郑州市质检)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的两焦点分别是F1，F2，过F1的直

ab线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|＝|F1F2|，且2|PF1|＝3|QF1|，则椭圆的离心率为( )

3A. 53C. 4[答案] A

[解析] 由已知得|PF2|＝|F1F2|＝2c， ∴|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2c，

4B． 532D．

24224

|QF1|＝|PF1|＝(a－c)，|QF2|＝2a－|QF1|＝2a－(2a－2c)＝a＋c

3333310

|PQ|＝(a－c)

在△PF1F2和△PF2Q中，由余弦定理得： |PF1|＋|PF2|－|F1F2|

cos∠F2PQ＝

2|PF1|2|PF2||PQ|＋|PF2|－|QF2|＝

2|PQ|2|PF2|

?2a－2c?＋?2c?－?2c?即 2?2a－2c?22c2

＝

?10a－10c?2＋?2c?2－?2a＋4c?2?3?33?3?????

1010

2?a－c?22c33

整理得5c－8ac＋3a＝0，即5e－8e＋3＝0， 3

∴e＝或e＝1(舍)．

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)

x2y22

13．(文)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)与抛物线y＝8x有公共焦点，且双曲线上的

ab点到坐标原点的最短距离为1，则该双曲线的离心率为________．

[答案] 2

x2y2

[解析] ∵抛物线y＝8x的焦点为(2,0)，∴双曲线2－2＝1(a>0，b>0)中c＝2，

ab2

又a＝1，∴e＝＝2.

cax2y2

(理)过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线

abx2y2

＋＝1上，则双曲线的离心率为________． b2a2

[答案] 2

[解析] 不妨设双曲线的一个焦点为(c,0)，(c>0)，一条渐近线方程为y＝x，由

baay－0＝－?x－c???b?b??y＝ax

a2abx2y2a4

得垂足的坐标为(，)，把此点坐标代入方程2＋2＝1，得22

ccbabca2b2c222

＋22＝1，化简，并由c＝a＋b得a＝b，∴e＝＝2. aca14．(文)设抛物线x＝4y的焦点为F，经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A、B两→→

点，且点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________.

[答案] 10

[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知x1＋x2＝2，且x1＝4y1，x2＝4y2，两式相减整理得，

y1－y2x1＋x212

＝＝，所以直线AB的方程为x－2y＋7＝0，将x＝2y－7代入x＝4yx1－x242

→→2

整理得4y－32y＋49＝0，所以y1＋y2＝8，又由抛物线定义得|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝10.

x2y2

(理)椭圆Γ：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，若直线y＝3

ab(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．

[答案]

3－1

[解析] 本题考查了椭圆离心率的求解．

如图，由题意易知F1M⊥F2M且|MF1|＝c，|MF2|＝3c，∴2a＝(3＋1)c，∴＝3－1.

ca23＋1

＝

15．(20152潍坊市模拟)抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O、

F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线方程为________．

[答案] y＝16x

[解析] 由圆的面积为36π，得圆的半径r＝6，圆心到准线的距离为＋＝6，得p＝

248，所以抛物线方程为y＝16x.

pp16．(文)(20152兰州市诊断)椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率12

等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x＝83y的焦点，则椭圆C的标准方程为________．

[答案]

＋

＝1 12

[解析] 由题设知抛物线的焦点为(0,23)，所以椭圆中b＝23.因为e＝＝，所以

a2a＝2c，又因为a－b＝c，联立解得c＝2，a＝4，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

x2y2

(理)(20142安徽理，14)若F1、F2分别是椭圆E：x＋2＝1(0

点F1的直线交椭圆E于A、B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．

322

[答案] x＋y＝1

[解析] 如图，由题意，A点横坐标为c，

∴c＋2＝1，

又b＋c＝1，∴y＝b，∴|AF2|＝b，又∵|AF1|＝3|BF1|， 512

∴B点坐标为(－c，－b)，

?－b????－5c?＋3＝1，

代入椭圆方程得，?3b??b＝1－c，

c＝，??3∴?2

b＝??3

322

方程为x＋y＝1.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(20152唐山市二模)已知抛物线E：x＝4y，m，n是过点A(a，－1)且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．

(1)求m的斜率k的取值范围；

(2)当n过E的焦点时，求B到n的距离．

[解析] (1)m：y＋1＝k(x－a)，n：y＋1＝－k(x－a)，分别代入x＝4y，得

x2－4kx＋4ka＋4＝0 ①， x2＋4kx－4ka＋4＝0 ②，

由Δ1＝0得k－ka－1＝0，由Δ2＞0得k＋ka－1＞0，

故有2k－2＞0，得k＞1，即k＜－1或k＞1. －2

(2)E的焦点F(0,1)，kAF＝＝－k，所以ak＝2.

a∴k＝ka＋1＝3，B(2k，k)，

|3k－ak＋1||3k－1|

所以B到n的距离d＝＝＝4. 22

1＋k1＋k18．(本题满分12分)(20152石家庄市一模)在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点(1,0)且与直线x＝－1相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)已知点A(5,0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且与曲线E4交于M、N两点，求△AMN面积的最大值，及此时直线l的方程．

[解析] (1)由题意可知圆心到点(1,0)的距离等于到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：y＝4x.

(2)解法一：由题意，可设l的方程为y＝x－m，其中0＜m＜5

??y＝x－m由方程组?2

??y＝4x2

，消去y，得x－(2m＋4)x＋m＝0 ①

当0＜m＜5时，方程①的判别式Δ＝(2m＋4)－4m＝16(1＋m)＞0成立．设M(x1，y1)，N(x2，y2)则x1＋x2＝4＋2m，x12x2＝m， ∴|MN|＝2|x1－x2|＝ 42＋2m 5－m又因为点A到直线l的距离为d＝ 2∴S△AMN＝2(5－m)1＋m＝2m－9m＋15m＋25. 令f(m)＝m－9m＋15m＋25，(0

322

f′(m)＝3m2－18m＋15＝3(m－1)(m－5)，(0

所以函数f(m)在(0,1)上单调递增，在(1,5)上单调递减．当m＝1时，f(m)有最大值32，

故当直线l的方程为y＝x－1时，△AMN的最大面积为82.

解法二：由题意，可设l与x轴相交于B(m,0), l的方程为x ＝ y ＋m，其中0＜m＜5 由方程组?

??x＝y＋m??y＝4x2

，消去x，得y－4y－4m＝0 ①

∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，

∴方程①的判别式Δ＝(－4)＋16m＝16(1＋m)＞0必成立，设M(x1，y1)，N(x2，y2)则y1＋y2＝4，y12y2＝－4m. 1

∴S△＝(5－m) |y1－y2|

212

＝(5－m)?y1＋y2?－4y1y2 2

＝2(5－m)1＋m＝2m－9m＋15m＋25. 令f(m)＝m－9m＋15m＋25，(0

f′(m)＝3m2－18m＋15＝3(m－1)(m－5)，(0

所以函数f(m)在(0,1)上单调递增，在(1,5)上单调递减．当m＝1时， f(m)有最大值32，

故当直线l的方程为y＝x－1时，△AMN的最大面积为82.

19．(本题满分12分)(文)设点P是曲线C：x＝2py(p>0)上的动点，点P到点(0,1)的5

距离和它到焦点F的距离之和的最小值为.

(1)求曲线C的方程；

(2)若点P的横坐标为1，过P作斜率为k(k≠0)的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

p51

[解析] (1)依题意知1＋＝，解得p＝. 242

所以曲线C的方程为x＝y.

(2)由题意直线PQ的方程为：y＝k(x－1)＋1，则点M(1－，0)．

k联立方程组?

?y＝k?x－1?＋1???y＝x2

，消去y得x－kx＋k－1＝0，得Q(k－1，(k－1))．

11222

所以得直线QN的方程为y－(k－1)＝－(x－k＋1)．代入曲线方程y＝x中，得x＋

kkx－1＋－(1－k)2＝0.

k112

解得N(1－－k，(1－k－))．

?1－k－?所以直线MN的斜率kMN＝

11?1－－k?－?1－?

kkk12

?1－k－?k＝－. k1过点N的切线的斜率k′＝2(1－k－)．

k12

?1－k－?k1

由题意有－＝2(1－k－)．

kk－1±5解得k＝.

－1±5

故存在实数k＝使命题成立．

x2y2

(理)(20152郑州市质检)设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，F1，F2为左、右焦点，B为短轴

ab端点，且S△BF1F2＝4，离心率为(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恰有两个交点M、N，→→→→

且满足|OM＋ON|＝|OM－ON|？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由．

，O为坐标原点． 2

x2y21

[解析] (1)因为椭圆C：2＋2＝1(a>0，b>0)，由题意得S△BF1F2＝32c3b＝4，e

ab2

?a＝8，?c2222

＝＝，a＝b＋c，所以解得?2

a2??b＝4.

所以椭圆C的方程为＋＝1.

x2y2

(2)假设存在圆心在原点的圆x＋y＝r，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交→→→→→→

点M，N，因为|OM＋ON|＝|OM－ON|，所以有OM2ON＝0，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为y＝kx＋m，由方程

y＝kx＋m??22组?xy＋＝1??84

得x＋2(kx＋m)＝8，即(1＋2k)x＋4kmx＋2m－8＝0，则Δ＝16km－4(1＋2k)(2m－8)＝8(8k－m＋4)>0，即8k－m＋4>0，

2222

－4km±16km－4?1＋2k??2m－8?x1,2＝ 22?1＋2k?4km2m－8

∴x1＋x2＝－2，x1x2＝2；

1＋2k1＋2k2

2222

k2?2m2－8?4k2m2m2－8k22

y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝kx1x2＋km(x1＋x2)＋m＝－ 22＋m＝2，

1＋2k1＋2k1＋2k2

2m－8m－8k→→22

要使OM2ON＝0，需x1x2＋y1y2＝0，即2＋2＝0，所以3m－8k－8＝0，所以

1＋2k1＋2k3m－8k＝≥0，

222

??m>2

又8k－m＋4>0，所以?2

??3m≥8

，

826262

所以m≥，即m≥或m≤－，因为直线y＝kx＋m为圆的一条切线，

333所以圆的半径为r＝

|m|1＋k，r＝2＝

1＋km2

21＋

m282622

＝，r＝，所求的圆为x＋y＝2

3m－833

， 3

2626

此时圆的切线y＝kx＋m都满足m≥或m≤－，

26xy而当切线的斜率不存在时，切线为x＝±与椭圆＋＝1的两个交点为

384826??2626??26→→22

?，±?或?－，±?满足OM2ON＝0，综上，存在圆心在原点的圆x＋y＝3满

3??33??3足条件．

20．(本题满分12分)(20152北京文，20)已知椭圆C：x＋3y＝3.过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；

(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．

[分析] 本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先将椭圆方程化为标准方程，得到a，b，c的值，再利用e＝计算离心率；第二问，由直线AB的特殊位置，设出A，B点坐标和直线AE的方程，由直线AE与x＝3相交于M点，得到M点坐标，利用点B、点M的坐标，求直线BM的斜率；第三问，分直线AB的斜率存在和不存在两

ca种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB和直线AE的方程，将椭圆方程与直线AB的方程联立，消参，得到x1＋x2和x1x2，代入到kBM＝1中，只需计算出等于0即可证明kBM＝kDE，即两直线平行．

[解析] (1)椭圆C的标准方程为＋y＝1.

3所以a＝3，b＝1，c＝2. 所以椭圆C的离心率e＝＝x2

ca6. 3

(2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴，所以可设A(1，y1)，B(1，－y1)．直线AE的方程为y－1＝(1－y1)(x－2)．令x＝3，得M(3,2－y1)．

2－y1＋y1

所以直线BM的斜率kBM＝＝1.

3－1(3)直线BM与直线DE平行．证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知kBM＝1. 又因为直线DE的斜率kDE＝

1－0

＝1，所以BM∥DE. 2－1

当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)(k≠1)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AE的方程为y－1＝令x＝3，得点M(3，

?x＋3y＝3，?由???y＝k?x－1?

y1－1

(x－2)． x1－2

y1＋x1－3

)．

x1－2

得(1＋3k)x－6kx＋3k－3＝0. 6k3k－3

所以x1＋x2＝2，x1x2＝2.

1＋3k1＋3k2

y1＋x1－3

－y2

x1－2

直线BM的斜率kBM＝. 3－x2

因为kBM－1＝

k?x1－1?＋x1－3－k?x2－1??x1－2?－?3－x2??x1－2?

?3－x2??x1－2?

＝

?k－1?[－x1x2＋2?x1＋x2?－3]

?3－x2??x1－2?

－3k＋312k?k－1?[2＋2－3]

1＋3k1＋3k＝＝0，

?3－x2??x1－2?所以kBM＝1＝kDE. 所以BM∥DE.

综上可知，直线BM与直线DE平行．

x?1?9

21．(本题满分12分)(文)(20152南昌市一模)已知圆E：x＋?y－?2＝经过椭圆C：2

a?2?4

＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点b→→

共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且MN＝λOA(λ≠0)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)当三角形AMN的面积取到最大值时，求直线l的方程． [解析] (1)如图，圆E经过椭圆C的左、右焦点F1，F2，

∵F1，E，A三点共线，

∴F1A为圆E的直径，∴AF2⊥F1F2，∴F2(c,0)在圆上，

?1?292

∴c＋?0－?＝，

?2?4

∵c>0，∴c＝2，

|AF2|＝|AF1|－|F1F2|＝9－8＝1，∴|AF2|＝1,2a＝|AF1|＋|AF2|＝3＋1＝4，∴a＝2， ∵a＝b＋c，解得b＝2， ∴椭圆C的方程＋＝1.

→→

(2)点A的坐标(2，1)，∵MN＝λOA(λ≠0)，

x2y2

所以直线l的斜率为2

?y＝?2x＋m，由?xy??4＋2＝1，

，故设直线l的方程为y＝x＋m 22

消去y得，x＋2mx＋m－2＝0，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)

∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝m－2，Δ＝2m－4m＋8>0， ∴－2

|MN|＝1＋k|x2－x1|＝点A到直线l的距离d＝

122

1＋?x1＋x2?－4x1x2＝12－3m， 26|m|

， 3

S△AMN＝|MN|2 d＝

12162

12－3m3|m| 23

224－m＋m22

＝?4－m?m≤3＝2， 222

当且仅当4－m＝m，即m＝±2时，S△AMN取到最大值2，直线l的方程为y＝

x±2. 2

(理)(20142上海八校调研)已知点F1、F2为双曲线C：x－2＝1(b>0)的左、右焦点，

b过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°.圆O的方程是

x2＋y2＝b2.

(1)求双曲线C的方程；

(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求

PP12PP2的值；

(3)过圆O上任意一点Q(x0，y0)作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB的中点为

→→

M，求证：|AB|＝2|OM|.

[解析] (1)设F2、M的坐标分别为(1＋b，0)，(1＋b，y0)，

→→

y20

因为点M在双曲线C上，所以1＋b－2＝1，

即y0＝±b，所以|MF2|＝b，

在Rt△MF2F1中，∠MF1F2＝30°，|MF2|＝b，所以|MF1|＝2b，

由双曲线的定义可知|MF1|－|MF2|＝b＝2，

故双曲线C的方程为x－＝1.

(2)由条件可知两条渐近线方程为l1：2x－y＝0，l2：2x＋y＝0. 设双曲线C上的点P(x0，y0)，两渐近线的夹角为θ，

y＝2x的倾斜角为α，则

sinα－cosα2－11

cosθ＝cos(π－2α)＝2＝＝. 2

sinα＋cosα2＋13点P到两条渐近线的距离分别为

|2x0－y0||2x0＋y0|

|PP1|＝，|PP2|＝，

因为P(x0，y0)在双曲线C：x－＝1上，所以2x0－y0＝2，

2→→|2x0－y0||2x0＋y0|所以PP12PP2＝2cos(π－θ)

33|2x0－y0|12

＝2(－)＝－.

339

→→

(3)证明：由题意，要证|AB|＝2|OM|，即证OA⊥OB．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，切线l的方程为x0x＋y0y＝2. ①当y0≠0时，切线l的方程代入双曲线C的方程中，化简得(2y0－x0)x＋4x0x－(2y0＋4)＝0， 4x02y0＋4

所以x1＋x2＝－22，x1x2＝－22，

2y0－x02y0－x0

2－x0x12－x0x212

又y1y2＝2＝2[4－x0(x1＋x2)＋x0x1x2]

y0y0y0

8－2x0

＝22， 2y0－x0

2y0＋48－2x0→→

所以OA2OB＝x1x2＋y1y2＝－22＋22 2y0－x02y0－x04－2?x0＋y0?＝＝0； 222y0－x0

②当y0＝0时，易知上述结论也成立， →→

即OA2OB＝x1x2＋y1y2＝0.

→→

综上所述，OA⊥OB，所以|AB|＝2|OM|.

x2y22

22．(本题满分12分)(文)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的短轴长为2，且与抛物线yab＝43x有共同的一个焦点，椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上

方的动点，直线AP、BP与直线y＝3分别交于G、H两点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)求线段GH的长度的最小值；

(3)在线段GH的长度取得最小值时，椭圆C上是否存在一点T，使得△TPA的面积为1，若存在求出点T的坐标，若不存在，说明理由．

[解析] (1)由已知得，抛物线的焦点为(3，0)，则

c＝3，又b＝1，由a2－b2＝c2，可得a2＝4.

故椭圆C的方程为＋y＝1.

(2)直线AP的斜率k显然存在，且k>0，故可设直线AP的方程为y＝k(x＋2)，从而G(

k－2,3)．

y＝k?x＋2?，??2由?x2

＋y＝1.??4

得(1＋4k)x＋16kx＋16k－4＝0.

2222

16k－4设P(x1，y1)，则(－2)x1＝2，

1＋4k2－8k4k2－8k4k所以x1＝2，从而y1＝2.即P(2，2)，

1＋4k1＋4k1＋4k1＋4k1

又B(2,0)，则直线PB的斜率为－. 4k1??y＝－?x－2?，4k由???y＝3.

??x＝－12k＋2，

得?

?y＝3.?

所以H(－12k＋2,3)．

故|GH|＝|－2＋12k－2|＝|＋12k－4|.

kk3

又k>0，＋12k≥2

kk3

212k＝12.

当且仅当＝12k，即k＝时等号成立．

k21

所以当k＝时，线段GH的长度取最小值8.

(3)由(2)可知，当GH的长度取最小值时，k＝.

则直线AP的方程为x－2y＋2＝0，此时P(0,1)，|AP|＝5.

若椭圆C上存在点T，使得△TPA的面积等于1，则点T到直线AP的距离等于，

525

所以T在平行于AP且与AP距离等于的直线l上．

设直线l：y＝x＋t.

y＝x＋t，??2则由?x??4＋y＝1.

得x＋2tx＋2t－2＝0.

Δ＝4t－8(t－1)≥0.即t≤2. 由平行线间的距离公式，得

|2－2t|25

＝， 55

解得t＝0或t＝2(舍去)．可求得T(2，

)或T(－2，－)． 22

x2y2

(理)设椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的

ab中点为B(O为坐标原点)，如图．若抛物线C2：y＝x－1与y轴的交点为B，且经过F1、F2点．

(1)求椭圆C1的方程；

(2)设M(0，－)，N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、

Q两点，求△MPQ面积的最大值．

[解析] (1)由题意可知B(0，－1)，则A(0，－2)，故b＝2. 令y＝0得x－1＝0即x＝±1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，故c＝1. 所以a＝b＋c＝5，

于是椭圆C1的方程为：＋＝1.

(2)设N(t，t－1)，由于y′＝2x知直线PQ的方程为：

x2y2

y－(t2－1)＝2t(x－t)．

即y＝2tx－t－1.

代入椭圆方程整理得：4(1＋5t)x－20t(t＋1)x＋5(t＋1)－20＝0， Δ＝400t(t＋1)－80(1＋5t)[(t＋1)－4] ＝80(－t＋18t＋3)，

5t?t＋1?5?t＋1?－20

x1＋x2＝，x1x2＝， 22

1＋5t4?1＋5t?故|PQ|＝1＋4t|x1－x2| ＝1＋4t2?x1＋x2?－4x1x2 521＋4t2－t＋18t＋3

＝. 21＋5t设点M到直线PQ的距离为d，则 4212

|－t－1||t＋|55d＝＝. 221＋4t1＋4t1

所以，△MPQ的面积S＝|PQ|2d

1521＋4t2－t＋18t＋3＝ 2 2221＋5t1＋4t＝

554222

－t＋18t＋3＝－?t－9?＋84 10105105

84＝. 105

2422

t2＋

≤

当t＝±3时取到“＝”，经检验此时Δ>0，满足题意．综上可知，△MPQ的面积的最大值为

105. 5

[方法点拨] 1.涉及直线与二次曲线有两个交点时，一般方法是设出直线的方程与曲线方程联立，用根与系数的关系“整体代入设而不求”和用判别式处理，中点弦问题还可用点差法解决．

2．涉及圆锥曲线的焦点弦、焦点三角形问题，常结合定义，正余弦定理等知识解决． 3．涉及垂直问题可结合向量的数量积解决．

反馈练习

一、选择题

1．(文)“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 [答案] C

[解析] 若a＝2，则直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1，反之也成立，即“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充要条件，故应选C.

(理)若直线2tx＋3y＋2＝0与直线x＋6ty－2＝0平行，则实数t等于( ) 111A.或－ B． 2221C．－ 2[答案] B

2t321

[解析] 由条件知，＝≠，∴t＝.

16t－22

2．(文)若直线l1：x－ay＋1＝0与直线l2：(a＋4)x＋(2a－1)y－5＝0互相垂直(a<0)，则直线l1的倾斜角为( )

A．45° C．60° [答案] B

[解析] ∵l1⊥l2，∴13(a＋4)－a(2a－1)＝0， ∴a＝－1或2，∵a<0，∴a＝1， ∴l1的方程为x＋y＋1＝0， ∴l1的倾斜角为135°.

(理)若曲线y＝2x的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为( ) A．x＋4y＋3＝0 C．4x－y＋3＝0 [答案] D

[解析] y′＝4x，直线x＋4y－8＝0的斜率k＝－，令4x＝4得x＝1，

4∴切点(1,2)，∴切线l：y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0，故选D．

3．(20152东北三省四市第二次联考)已知直线y＝22(x－1)与抛物线C：y＝4x交于

D．既不充分也不必要条件

1D． 4

B．135° D．30°或135°

B．x＋4y－9＝0 D．4x－y－2＝0

A，B两点，点M(－1，m)，若MA2MB＝0，则m＝( )

→→

A.2 1C. 2[答案] B

B．

2 2

D．0

[解析] 求出点A，B的坐标，利用数量积的坐标运算建立方程求解．联立直线y＝2213→→2

(x－1)和抛物线C：y＝4x，解得A(2,22)，B(，－2)，所以MA2MB＝(3,22－m)2(，

229122

－2－m)＝＋(22－m)(－2－m)＝0，化简得m－2m＋＝0，∴m＝，故选B．

222

[点评] 当A、B坐标互换时，求得m的另一个值，但结合选项知只能选B．

x2y25

4．(20152广东理，7)已知双曲线C：2－2＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，

ab4

则双曲线C的方程为( )

A.－＝1

43C.

－＝1 169

x2y2x2

B．－＝1

916D．－＝1

x2y2

y2x2y2

[答案] C

[解析] 本题考查双曲线的标准方程及其简单几何性质，属于容易题．

c5222

因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，b＝c－aa4

＝9，所以所求双曲线方程为

－＝1，故选C. 169

x2y2

5．(文)(20142天津理，5)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：

aby＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )

A.－＝1 5203x3yC.－＝1 25100[答案] A

[解析] 由于一个焦点在直线y＝2x＋10上，则一个焦点为(－5,0)，又由渐近线平行于直线y＝2x＋10.则＝2，结合a＋b＝c，c＝5得，

∴a＝5，b＝20，双曲线标准方程为－＝1，选A.

520

x2y2

B．－＝1 2053x3yD．－＝1 10025

x2y2

ba222

x2y2

(理)(20142江西文，9)过双曲线C：2－2＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐

ab近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A、O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为( )

A.－＝1 412C.－＝1 88[答案] A

[解析] 如图设双曲线的右焦点F，右顶点B，设渐近线OA方程为y＝x，

x2y2

B．－＝1

79D．－＝1 124

x2y2x2

x2y2y2

由题意知，以F为圆心，4为半径的圆过点O，A， ∴|FA|＝|FO|＝r＝4.

∵AB⊥x轴，A为AB与渐近线y＝x的交点， ∴可求得A点坐标为A(a，b)．

∴在Rt△ABO中，|OA|＝OB＋AB＝a＋b＝c＝|OF|＝4，

∴△OAF为等边三角形且边长为4，B为OF的中点，从而解得|OB|＝a＝2，|AB|＝b＝23，

∴双曲线的方程为－＝1，故选A.

412

bax2y2

x2y22

6．(文)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y＝2px(p>0)的准线分

ab别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p＝( )

A．1 C．2 [答案] C

[解析] ∵e＝＝2，∴b＝c－a＝3a，∴＝3，双曲线的两条渐近线方程为y＝±3

B． 2D．3

ca2222

bap3pp3pp1px，不妨设A(－，)，B(－，－)，则AB＝3p，又三角形的高为，则S△AOB＝32

33p＝3，∴p＝4，又p>0，∴p＝2.

x2y2

(理)已知点F1、F2分别为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上

ab|PF2|

的任意一点，若的最小值为9a，则双曲线的离心率为( )

|PF1|

A．2 C．3 [答案] B

[解析] 由双曲线定义得|PF2|＝2a＋|PF1|，

|PF2|?2a＋|PF1|?4a∴＝＝|PF1|＋＋4a，其中|PF1|≥c－a.当c－a≤2a时，y＝x|PF1||PF1||PF1|4a4a＋在[c－a，＋∞)上为减函数，没有最小值，故c－a>2a，即c>3a?e>3，y＝x＋在[c2

B．5 D．2或5

xx4a22

－a，＋∞)上为增函数，故f(x)min＝f(c－a)＝c－a＋＋4a＝9a，化简得10a－7ac＋cc－a＝0，两边同除以a可得e－7e＋10＝0，解得e＝5或e＝2(舍去)．

7．(20152邯郸市二模)已知点P为椭圆＋＝1上一点，点F1，F2分别为椭圆的左、

43右焦点，点I为△PF1F2的内心，若△PIF1和△PIF2的面积和为1，则△IF1F2的面积为( )

1A. 4C．1 [答案] B

[解析] 由椭圆方程知，a＝2，c＝1，设内心到三边距离为d，则由椭圆定义及条件知，

1B． 2D．2

x2y2

S△PIF1＋S△PIF2＝|PF1|2d＋|PF2|2d＝(|PF1|＋|PF2|)2d＝2d＝1，∴d＝，∴S△IF1F2＝|F1F2|2d＝cd＝.

8．抛物线y＝x(－2≤x≤2)绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是( )

2121212

1212

A．1 C．22 [答案] B

[解析] 当x＝2时，y＝4，设正方体的棱长为a，由题意知(21

a,4－a)在抛物线y＝x2上，∴4－a＝a2，∴a＝2. 22

B．2 D．4

x2y2

9．(文)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的

ab圆与双曲线的一条渐近线相交于O，A两点，若△AOF的面积为b，则双曲线的离心率等于( )

A.3 3C. 2[答案] D

[解析] ∵A在以OF为直径的圆上，∴AO⊥AF，

B．5 D．

5 2

aba2cabc2

∴AF：y＝－(x－c)与y＝x联立解得x＝22，y＝22，∵△AOF的面积为b，

baa＋ba＋b1abc52

∴2c22. 2＝b，∴e＝2a＋b2

x2y2

(理)过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A、B两点，

ab若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为( )

A.C.

5＋1

217＋1

B．D．

10 222 4

[答案] A

2b125222

[解析] 依题意得＝2c，c－ac－a＝0，即e－e－1＝0，(e－)＝，又e>1，因

a24155＋1

此e－＝，e＝，故选A.

222

10．(20152洛阳市期末)若直线l：ax＋by＋1＝0(a≥0，b≥0)始终平分圆M：x＋y＋4x＋2y＋1＝0的周长，则a＋b－2a－2b＋3的最小值为( )

4A. 5C．2 [答案] B

[解析] 由题意知直线经过圆心(－2，－1)，∴2a＋b－1＝0，∴(a－1)＋(b－1)的

9B． 59D． 4

?2?2422

最小值为(1,1)到直线2a＋b－1＝0的距离的平方，即??＝，∴a＋b－2a－2b＋3的最

?5?5

49小值为＋1＝.

x2y2222

11．(20142唐山市二模)已知椭圆C1：2＋2＝1(a＞b＞0)与圆C2：x＋y＝b，若在椭

ab圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是( )

A．[，1)

2C．[2

，1) 2

B．[

23，] 223

，1) 2

D．[

[答案] C

[解析] 如图，设切点为A、B，则OA⊥PA，OB⊥PB，∵∠APB＝90°，连接OP，则∠

c212

APO＝45°，∴AO＝PA＝b，OP＝2b，∴a≥2b，∴a≤2c，∴2≥，∴e≥，

a22

又∵e<1，∴2

≤e<1. 2

12．(20152河南八市质量监测)已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l2

交抛物线于A，B两点，若A(3，y0)且AF＝4，则△OAB的面积为( )

A.23

343

B．3 53D．

[答案] C

[解析] 由条件及抛物线的定义知，4＝3＋，∴p＝2，

∴抛物线方程为y＝4x，∴A(3,23)，kAF＝3，∴lAB：y＝3(x－1)，

p?y＝4x由?

?y＝3?x－1?

可得3(x－1)－4x＝0，解得x1＝3，x2＝，所以y1

＝23，y2＝－，

∴S△AOB＝|OF|2|y1－y2|

2123?43?

＝313?23＋?＝3. 23??二、填空题

13．已知圆C：(x＋1)＋y＝8.若点Q(x，y)是圆C上一点，则x＋y的取值范围为________．

[答案] [－5,3]

[分析] 设x＋y＝t，则Q是⊙C与直线x＋y＝t的公共点，则问题转化为直线与⊙C有公共点时，求参数t的取值范围问题．

[解析] 设x＋y＝t，∵Q(x，y)是⊙C上任意一点，∴直线与圆相交或相切，∴|－1＋0－t|

≤22，∴－5≤t≤3. 2

14．已知圆C的圆心与抛物线y＝4x的焦点F关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．

[答案] x＋(y－1)＝10

[分析] 由圆心C与F关于直线y＝x对称可求得C点坐标，再由弦长|AB|＝6可求得圆的半径，进而可得圆的方程．

[解析] 抛物线y＝4x的焦点F(1,0)关于直线y＝x的对称点C(0,1)是圆心，C到直线|430－331－2|4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，

又圆截直线4x－3y－2＝0的弦长为6，

∴圆的半径r＝1＋3＝10. ∴圆方程为x＋(y－1)＝10.

15．(文)已知直线2ax＋by＝1(其中a、b为非零实数)与圆x＋y＝1相交于A、B两12

点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则2＋2的最小值为________．

ab[答案] 4

[解析] ∵△AOB为等腰直角三角形，⊙O的半径为1，∴O到直线2ax＋by－1＝0的21212122a＋b2ab22

距离为，即＝，∴2a＋b＝2，∴＋＝(＋)()＝2＋22222＋2≥4，2222abab2b2a2a＋b2ab等号在2＝2，

b2a即b＝2a＝1时成立，∴所求最小值为4.

(理)过抛物线y＝4x的焦点F作一条倾斜角为α，长度不超过8的弦，弦所在的直线322

与圆x＋y＝有公共点，则α的取值范围是________．

ππ2π3π

[答案] [，]∪[，]

4334

[解析] F(1,0)，直线AB：y＝tanα(x－1)，由条件知，圆心(0,0)到直线AB的距离d＝

|tanα|1＋tanα

≤3

，∴－3≤tanα≤3.(1) 2

将y＝k(x－1)代入y＝4x中消去y得，

k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，

2k＋44

∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝，

kkk2＋22

∴AB的中点坐标为P(2，)，

kkk2＋2

∵|AB|≤8，∴P到准线的距离2＋1≤4，

k∴|k|≥1，∴|tanα|≥1，(2) ππ2π3π

由(1)(2)得≤α≤或≤α≤. 4334

16．(文)(20142吉林市质检)已知点F为抛物线y＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值是________．

[答案] 213

[分析] 设O关于直线x＝2的对称点为O′，则|PA|＋|PO|＝|PA|＋|PO′|，故当P、

A、O′三点共线时取到最小值．

[解析] 如图，∵|AF|＝4，∴A到准线距离为4，又准线方程为x＝2，∴A(－2,4)，作点O关于直线x＝2的对称点O′，则O′的坐标为(4,0)，连接

AO′与直线x＝2相交于点P，则点P为所求，|PA|＋|PO|＝|PA|＋

|PO′|＝|AO′|＝213.

(理)已知直线l1：x－y＋5＝0，和l2：x＋4＝0，抛物线C：y2

＝16x，P是C上一动点，则P到l1与l2距离之和的最小值为________．

[分析] 观察抛物线C与直线l2的系数可以发现，l2为C的准线，由抛物线的定义可将

P到l2的距离转化为P到焦点F的距离，则问题变为P到F的距离与P到l1的距离之和最小，

画出图形易见，当PF⊥l1时，“距离之和”取到最小值．

[答案]

[解析] 在同一坐标系中画出直线l1、l2和曲线C如图．

P在C上任意一点，由抛物线的定义知，|PF|＝d2，

∴d1＋d2＝d1＋|PF|，显见当PF⊥l1，即P为P1点时d1＋d2＝|FM|，此时距离之和取到最小值，

9292

∵|FM|＝，∴所求最小值为. 22

[点评] 当问题涉及抛物线上动点到焦点(或准线)的距离，或双曲线(椭圆)上动点到两焦点距离时，应考虑定义是否能发挥作用．

三、解答题

17．(文)已知圆C1：x＋y＝r截直线x＋y－2py(p>0)的焦点在圆C1上．

(1)求抛物线C2的方程；

(2)过点A(－1,0)的直线l与抛物线C2交于B、C两点，又分别过B、C两点作抛物线

＝0所得的弦长为3.抛物线C2：x＝2

C2的切线，当两条切线互相垂直时，求直线l的方程．

[解析] (1)易求得圆心到直线的距离为，

2所以半径r＝

1232p222??＋??＝1.∴圆C1：x＋y＝1.抛物线的焦点(0，)在圆x222

＋y＝1上，得p＝2，

所以x＝4y.

(2)设所求直线的方程为y＝k(x＋1)，

B(x1，y1)，C(x2，y2)．

将直线方程代入抛物线方程可得x－4kx－4k＝0， ∴x1x2＝－4k.

因为抛物线y＝，所以y′＝， 42所以两条切线的斜率分别为、，

x2xx1x2

x1x2－4k所以2＝－1＝，所以k＝1.

224

故所求直线方程为x－y＋1＝0.

(理)(20152唐山市一模)已知圆O：x＋y＝4，点A(3，0)，以线段AB为直径的圆

O1内切于圆O，记点B的轨迹为Γ.

(1)求曲线Γ的方程；

(2)当OB与圆O1相切时，求直线AB的方程． [解析] (1)设⊙O1与⊙O的切点为P，连OO1，O1P，

则|OO1|＋|O1P|＝|OP|＝2，取A关于y轴的对称点A1，连A1B，故|A1B|＋|AB|＝2(|OO1|＋|O1P|)＝4.

所以点B的轨迹是以A1，A为焦点，长轴长为4的椭圆．

其中，a＝2，c＝3，b＝1，则曲线Γ的方程为＋y＝1.

→→

(2)因为OB与圆O1相切，所以OB⊥AB.

设B(x0，y0)，则x0(x0－3)＋y0＝0. 222

又＋y0＝1，解得x0＝，y0＝±. 433则kOB＝±2

，kAB＝?2， 2

x20

则直线AB的方程为y＝±2(x－3)，即 2x＋y－6＝0或2x－y－6＝0.

18．(20152江西省质量监测)在平面平直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：ax－y＝1(a>0)

(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，若该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积不超过

，求实数a的取值范围； 8

→→22

(2)设斜率为1的直线l交C1于P，Q两点，若l与圆x＋y＝1相切且OP⊥OQ，求双曲线的方程．

[解析] (1)双曲线的渐近线方程为y＝±ax

过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线是y＝ax＋1，设两直线的交点为A.

由?

?y＝ax＋a，?y＝－ax，

a?x＝－，?2解得?

ay＝，??2

∴A?－

aa?

，?， 2?

1aaa2

∴围成的三角形的面积S＝2a2＝≤，

2248

解得a≤

. 2

(2)设直线l：y＝x＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

??y＝x＋m，?2

??ax－y＝1，

?(a－1)x－2mx－m－1＝0(a≠1)，

2mm＋1∴x1＋x2＝，x1x2＝－，

a－1a－1

l与圆相切∴|m|2

＝1?m＝2.(1) 2

∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0?x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝0

m2＋12m22

2x1x2＋m(x1＋x2)＋m＝0?－22＋＋m＝0(2)

a－1a－1

解(1)(2)得：a＝2 当a＝1时，不满足题意．

∴所求的双曲线方程为：2x－y＝1.

x22

19．(文)(20152河南八市质量监测)已知椭圆C：2＋y＝1(a>1)的上顶点为A，右焦点

a为F，直线AF与圆M：(x－3)＋(y－1)＝3相切．

(1)求椭圆C的方程；

→→

(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P、Q两点，且AP2AQ＝0.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

[解析] (1)A(0,1)，F(a－1，0)，直线AF：

x＋y＝1， a2－1

即x＋ya－1－a－1＝0，

∵AF与⊙M相切，圆心M(3,1)，半径r＝3， ∴

＝3，∵a>1，，∴a＝3，

∴椭圆的方程为＋y＝1.

→→

(2)由AP2AQ＝0知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为y1

＝kx＋1，直线AQ的方程为y＝－x＋1，

k将y＝kx＋1代入椭圆C的方程，整理得(1＋3k)x＋6kx＝0，－6k解得x＝0或x＝2，

1＋3k2

－6k1－3k故点P的坐标为(2，2)．

1＋3k1＋3k6kk－3

同理，点Q的坐标为(2，2)．

k＋3k＋3

k2－31－3k2

－k2＋31＋3k2k2－1

所以直线l的斜率为＝.

6k－6k4k－k2＋31＋3k2k2－16kk2－3

则直线l的方程为y＝(x－2)＋2，

4kk＋3k＋3k2－11

即y＝x－.

4k2

所以直线l过定点(0，－)．

x2y2

(理)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，左右端点分别为A1，A2，抛

ab52

物线y＝4x与椭圆相交于A，B两点且其焦点与F2重合，AF2＝. 3

(1)求椭圆的方程；

?2?(2)过点?，0?作直线l与椭圆相交于P，Q两点(不与A1，A2重合)，求证：直线A2P与?7?

A2Q垂直．

[解析] (1)如图所示：不妨设A(x0，y0)，(x0>0，y0>0)，

p52

由题知AF2＝x0＋＝x0＋1＝，所以x0＝，

233

28262

所以y0＝43＝?y0＝，

333

x2y2424002＝1，2＋＝1，解得a＝4， 2＋22

aa－19a9?a－1?

所以c＝1，a＝2.

所以b＝a－1＝3，所以椭圆的方程为＋＝1.

x2y2

＋＝1432

(2)①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝，由于

x＝748， 49

?????

x2y2

?＝1－＝349

120－

7212??212?12?，，－所以y＝±，所以P?，因为A2(2,0)，所以kA2P＝＝－1， ?，Q?7?72?77??7?

2－7120＋

kA2Q＝＝1，所以kA2P3kA2Q＝－1，所以A2P⊥A2Q.

22－7

?2?②当直线l的斜率存在且不为0时，设为k，则直线的方程为y＝k?x－?， ?7?

3x＋4y＝12????x－2?y＝k?7?????

?49(3＋4k)x－112kx＋16k－12349＝0，

16k16k－12349设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A2(2,0)，则x1＋x2＝，x1x2＝， 22

7?3＋4k?49?3＋4k?所以kA2P3kA2Q＝

?x1－2??x2－2?24??k2?x1x2－?x1＋x2?＋?＝

y1y2

749?

x1x2－2?x1＋x2?＋4

＝

216k4?3＋4k???16k－12349－3＋k3?222??49?3＋4k?773?3＋4k?49?3＋4k??

16k－1234916k－23＋422

49?3＋4k?7?3＋4k?

k23?16k2－12349－32k2＋12＋16k2?

＝ 222

16k－12349－143163k＋4349?3＋4k?

－12348k－576k＝2＝2＝－1， ?16－16314＋49316?k576k所以A2P和A2Q垂直．

20.在平面直角坐标系xOy中，过定点C(2,0)作直线与抛物线y＝4x相交于A、B两点，如图，设动点A(x1，y1)、B(x2，y2)．

(1)求证：y1y2为定值；

(2)若点D是点C关于坐标原点O的对称点，求△ADB面积的最小值．

(3)求证：直线l：x＝1被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值．

[解析] (1)当直线AB垂直于x轴时，y1＝22，y2＝－22，因此y1y2＝－8. 当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y＝k(x－2)，

??y＝k?x－2?由?2

??y＝4x

，得ky－4y－8k＝0，∴y1y2＝－8.

因此有y1y2＝－8为定值．

(2)∵C(2,0)，∴C点关于原点的对称点D(－2,0)， 1

∴DC＝4，S△ADB＝DC2|y1－y2|.

当直线AB垂直于x轴时，S△ADB＝34342＝82；

2当直线AB不垂直于x轴时， 4

由(1)知y1＋y2＝，因此

k|y1－y2|＝?y1＋y2?－4y1y2＝1

∴S△ADB＝343|y1－y2|>82.

＋32>42，

综上，△ADB面积的最小值为82. (3)AC中点E(

x1＋2y1

，)，AC＝?x1－2?＋y1， 22

因此以AC为直径的圆的半径

r＝AC＝

211222

?x1－2?＋y1＝x1＋4， 22

x1＋2|x1|

AC中点E到直线x＝1的距离d＝|－1|＝，

∴所截弦长为2r－d＝2＝2(定值)．

21．(文)(20142福建文，21)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2.

(1)求曲线Γ的方程；

(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A.直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M、

x21＋4

|x1|2

－?? 42

N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B．试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．

[解析] (1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，

依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x＝4y.

(2)当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变，证明如下： 12

由(1)知抛物线Γ的方程为y＝x，

412

设P(x0，y0)，(x0≠0)，则y0＝x0，

由y′＝x，得切线l的斜率k＝y′|x＝x0＝x0，

221

所以切线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，

2112

即y＝x0x－x0.

2411??y＝x0x－x20

4由?2

??y＝011??y＝x0x－x20

4由?2

??y＝3

，得A(x0,0)．

，得M(x0＋，3)，

2x0

又N(0,3)，所以圆心C(x0＋，3)，

4x0113

半径r＝|MN|＝|x0＋|，

24x0|AB|＝|AC|－r ＝

11313222

[x0－?x0＋?]＋3－?x0＋? 24x04x0

＝6.

所以点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．

[点评] 本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、化归与转化思想．本题第(1)问也可用直接法求解．

(理)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍． (1)求动点M的轨迹C的方程；

(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A、B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率．

[解析] (1)设M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|，由此得|4－x|＝2?x－1?＋y，

化简得＋＝1，

所以，动点M的轨迹方程为＋＝1.

(2)由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝kx＋3代入＋

22x2y2

x2y2

＝1中，有(3＋4k)x＋24kx＋24＝0，

其中，△＝(24k)－4324(3＋4k)＝96(2k－3)>0， 24k由根与系数的关系得，x1＋x2＝－2，①

3＋4k2

x1x2＝

2.② 3＋4k又因为A是PB的中点，故x2＝2x1，③ 将③代入①，②，得

x1＝－

8k12－8k212223

2，x1＝2，可得(2)＝2，且k>， 3＋4k3＋4k3＋4k3＋4k2

3333解得k＝－或k＝，所以，直线m的斜率为－或.

2222

x2y2

22．(文)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为3，

ab直线y＝2与C的两个交点间的距离为6

(1)求a、b；

(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．

ca2＋b222[解析] (1)由题设知＝3，即2＝9，故b＝8a.

aa所以C的方程为8x－y＝8a. 将y＝2代入上式，求得x＝±由题设知，212

a2＋.

a2＋＝6，解得a2＝1.

所以a＝1，b＝22.

(2)由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为 8x－y＝8 ①

由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|<22，代入①并化简得， (k－8)x－6kx＋9k＋8＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

6k9k＋8

x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝2，x12x2＝2.

k－8k－8

于是|AF1|＝?x1＋3?＋y1＝?x1＋3?＋8x1－8＝－(3x1＋1)， |BF1|＝?x2＋3?＋y2＝?x2＋3?＋8x2－8＝3x2＋1. 由|AF1|＝|BF1|得，－(3x1＋1)＝3x2＋1， 26k2

即x1＋x2＝－，故2＝－，

3k－834192

解得k＝，从而x12x2＝－.

由于|AF2|＝?x1－3?＋y1＝?x1－3?＋8x1－8＝1－3x1， |BF2|＝?x2－3?＋y2＝?x2－3?＋8x2－8＝3x2－1. 故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4， |AF2|2|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.

因而|AF2|2|BF2|＝|AB|，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．

x2y2

(理)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)经过点(1，e)，

ab其中e为椭圆的离心率．F1、F2是椭圆的两焦点，M为椭圆短轴端点且△MF1F2为等腰直角三角形．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设不经过原点的直线l与椭圆C相交于A、B两点，第一象限内的点P(1，m)在椭圆上，直线OP平分线段AB，求：当△PAB的面积取得最大值时直线l的方程．

x2y2

[解析] (1)∵椭圆2＋2＝1经过(1，e)，

∴2＋2＝1，

ab2

c1c2

又e＝，∴2＋22＝1，解之得b＝1，

aaabx22

∴椭圆方程为2＋y＝1.

a又△MF1F2为等腰直角三角形，∴b＝c＝1，a＝2，故椭圆方程为＋y＝1.

(2)由(1)可知椭圆的方程为＋y＝1，

2故P(1，

)， 2

由题意，当直线l垂直于x轴时显然不合题意．

设不经过原点的直线l的方程y＝kx＋t(t≠0)交椭圆C于A(x1，y1)，B(x2，y2)，

x??＋y2＝1，由?2??y＝kx＋t.

消去y得(1＋2k)x＋4ktx＋2t－2＝0，

222

Δ＝(4kt)－4(1＋2k)2(2t－2)＝16k－8t＋8>0， 4kt2t∴x1＋x2＝－2，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝2，

1＋2k1＋2k2t－2

x1x2＝2，

1＋2k直线OP方程为y＝∴

x且OP平分线段AB， 2

2222

2t2－4kt2

3. 2＝2，解得k＝－1＋2k21＋2k2

∴|AB|＝1＋k2?x1＋x2?－4x1x2 ＝?1＋k??4－2t?，

|2－t|又∵点P到直线l的距离d＝＝h， 21＋k1122

∴S△PAB＝|AB|h＝?2－t??4－2t?.

22设f(t)＝(2－t)(4－2t) ＝－2t＋42t－82t＋8，

由直线l与椭圆C相交于A、B两点可得－2

求导可得t＝－

227

时f(t)在(－2，2)上有最大值，此时S△PAB取得最大值， 22

x－. 22

此时直线l的方程y＝－

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