2018年高考数学二轮复习专题08平面向量教学案理 - 图文

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高考侧重考查正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，各种题型均有可能出现．

预测2018年高考仍将以正、余弦定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力．

1．向量的基本概念

(1)既有大小又有方向的量叫做向量． (2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0. (3)长度等于1的向量叫单位向量． (4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量．

(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行． 2．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 3．平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

4．两向量的夹角

→→

已知两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角．

5．向量的坐标表示及运算

(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)．

1

→

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)． 6．平面向量共线的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a与b共线． 7．平面向量的数量积 设θ为a与b的夹角． (1)定义：a·b＝|a||b|cosθ. (2)投影：

a·b＝|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影． |b|

8．数量积的性质 (1)a⊥b?a·b＝0；

(2)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|；特别地，

a·a＝|a|2；

(3)|a·b|≤|a|·|b|； (4)cosθ＝

a·b. |a|·|b|

9．数量积的坐标表示、模、夹角 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (1)a·b＝x1x2＋y1y2； (2)|a|＝x1＋y1； (3)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0； (4)cosθ＝

2

2

x1x2＋y1y2

. 22

x2x21＋y1·2＋y2

【误区警示】

1．两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价．

2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别． 3．a在b方向上的投影为a·ba·b，而不是. |b||a|

4．若a与b都是非零向量，则λa＋μb＝0?a与b共线，若a与b不共线，则λa＋μb＝0?λ＝μ＝0.

2

考点一 平面向量的概念及运算

例1． 【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .

【答案】23

所以|a?2b|?12?23.

【变式探究】(2016·高考全国甲卷)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.

解析：基本法：∵a∥b，∴a＝λb 即(m,4)＝λ(3，－2)＝(3λ，－2λ)

?m＝3λ，?∴???4＝－2λ，

故m＝－6.

速解法：根据向量平行的坐标运算求解： ∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b ∴m×(－2)－4×3＝0 ∴－2m－12＝0，∴m＝－6. 答案：－6

→→

【变式探究】(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝( ) A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4)

3

答案：A

【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解．

→→

(2)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝( ) 1→→

A.AD B.AD

21→→

C.BC D.BC

2

11→→→→→→?1?解析：基本法一：设AB＝a，AC＝b，则EB＝－b＋a，FC＝－a＋b，从而EB＋FC＝?－b＋a?22?2?→?1?1

＋?－a＋b?＝(a＋b)＝AD，故选A. ?2?2

→→→→→→→→1→→基本法二：如图，EB＋FC＝EC＋CB＋FB＋BC＝EC＋FB＝(AC＋AB)

21→→＝·2AD＝AD. 2答案：A

考点二 平面向量数量积的计算与应用

∠A?60?，AB?3，AC?2.若BD?2DC，例2．【2017天津，理13】在△ABC中，

AE??AC?AB(??R)，且AD?AE??4，则?的值为___________.

【答案】

3 11

4

3?→?31?→?1

【变式探究】(2016·高考全国丙卷)已知向量BA＝?，?，BC＝?，?，则∠ABC?22??22?＝( )

A．30° B．45° C．60° D．120°

解析：基本法：根据向量的夹角公式求解．

33133?→?31?→?1→→→→1

∵BA＝?，?，BC＝?，?，∴|BA|＝1，|BC|＝1，BA·BC＝×＋×＝，

22222?22??22?→→

BA·BC3→→

∴cos∠ABC＝cos〈BA，BC〉＝＝.

→→2|BA|·|BC|

→→→→

∵0°≤〈BA，BC〉≤180°，∴∠ABC＝〈BA，BC〉＝30°.

3??1

速解法：如图，B为原点，则A?，?

?22?∴∠ABx＝60°，C?答案：A

【变式探究】(1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．2

?31?

，?∠CBx＝30°，∴∠ABC＝30°. ?22?

答案：C

【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向量较简单．

→→

(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝________. →→→→

解析：基本法：以AB、AD为基底表示AE和BD后直接计算数量积．

5

→

AE＝AD＋AB，BD＝AD－AB，

→→?→1→?→→∴AE·BD＝?AD＋AB?·(AD－AB)

2??12→21→22

＝|AD|－|AB|＝2－×2＝2.

22

→1→2

→→→

速解法：(坐标法)先建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解． 如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，

→→

∴AE＝(1,2)，BD＝(－2,2)， →→

∴AE·BD＝1×(－2)＋2×2＝2. 答案：2

考点三 平面向量的综合应用

例3、【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=? AB+?AD，则?+?的最大值为

A．3

B．22

C．5

D．2

【答案】A

【解析】如图所示，建立平面直角坐标系

6

【举一反三】【2017江苏，16】 已知向量a?(cosx,sinx),b?(3,?3),x?[0,π]. （1）若a∥b,求x的值；

（2）记f(x)?a?b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 【答案】（1）x?5π5π（2）x?0时，f?x?取得最大值，为3； x?时，f?x?取66得最小值，为?23.

（2）f?x??a?b??cosx,sinx??3,?3?3cosx?3sinx?23cos?x?????π??. 6?因为x??0,π?，所以x?π?π7π???,?， 6?66? 7

从而?1?cos?x?于是，当x???π?3. ??6?2ππ?，即x?0时， f?x?取到最大值3； 66π5π当x???，即x?时， f?x?取到最小值?23.

66

1.【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=? AB+?AD，则?+?的最大值为

A．3

B．22

C．5

D．2

【答案】A

【解析】如图所示，建立平面直角坐标系

设

A?0,1?,B?0,0?,D?2,1?,P?x,y?

2422x?2?y???55 根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是AP??x,y?1?,AB??0,?1?,AD??2,0?，若满足AP??AB??AD

?x?2?xxx???,??1?y?????y?1z??y?1y?1??? ，222即? ，所以，设 ，即

x422?y?1?z?0x?2?y???P?x,y?25上，所以圆心到直线的距离d?r，即，点在圆

2?z1?14?25 ，解得1?z?3，所以z的最大值是3，即???的最大值是3，故选A。

2.【2017北京，理6】设m,n为非零向量，则“存在负数?，使得m??n”是

8

“m?n<0”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】A

3.【2017课标II，理12】已知?ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA?(PB?PC)的最小是（ ）

A.?2 B.?32 C. ?43 D.?1

【答案】B

【解析】如图，以BC为x轴， BC的垂直平分线DA为y轴， D为坐标原点建立平面直角坐标系，则A?0,3?， B??1,0?， C?1,0?，设P?x,y?，所以PA???x,3?y?，

PB???1?x,?y?， PC??1?x,?y?，所以PB?PC???2x,?2y?， PA??PB?PC??2x2?2y?3?y??2x2?2(y? 3233?3?2)?2??2，当P??0,时，?2???所求的最小值为?32，故选B．

4.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .

【答案】23 9

5.【2017天津，理13】在△ABC中，∠A?60?，AB?3，AC?2.若BD?2DC，

AE??AC?AB(??R)，且AD?AE??4，则?的值为___________.

【答案】

3 1112AB?AC ,则 33【解析】AB?AC?3?2?cos600?3,AD?2?2?123?1?AD?AE??AB?AC??AC?AB??3??4??9??3??4???3333311?3???.

6.【2017山东，理12】已知e1,e2是互相垂直的单位向量，若3e1?e2与e1??e2的夹角为60，则实数?的值是 .

【答案】3 3

7．【2017浙江，15】已知向量a，b满足a?1,b?2,则a?b?a?b的最小值是________，最大值是_______．

10

【答案】4，25 【解析】设向量a,b的夹角为

?，由余弦定理有：

a?b?12?22?2?1?2?cos??5?4cos?，

a?b?12?22?2?1?2?cos??????5?4cos?，则：

a?b?a?b?5?4cos??5?4cos?，

令y?5?4cos??5?4cos?，则y?10?225?16cos据此可得： a?b?a?b22???16,20?，

??max?20?25,a?b?a?b??min?16?4，

即a?b?a?b的最小值是4，最大值是25．

8.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，

AC与BD交于点O，记I1＝OAOB·，I2＝OB·OC，I3＝OC·OD，则

A．I1?I2?I3 B．I1?I3?I2 C．I3?I1?I2

【答案】C

D．I2?I1?I3

【解析】因为?AOB??COD?90， OA?OC， OB?OD，所以

OB?OC?0?OA?OB?OC?OD，故选C。

9.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为?,且tan?=7,OB与OC的夹角为45°.若OC?mOA?nOB(m,n?R), 则m?n? ▲ .

11

C B ? A O (第12题)

【答案】3

10.【2017江苏，16】 已知向量a?(cosx,sinx),b?(3,?3),x?[0,π]. （1）若a∥b,求x的值；

（2）记f(x)?a?b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 【答案】（1）x?5π5π（2）x?0时，f?x?取得最大值，为3； x?时，f?x?取66得最小值，为?23.

（2）f?x??a?b??cosx,sinx??3,?3?3cosx?3sinx?23cos?x?????π??. 6? 12

因为x??0,π?，所以x?π?π7π???,?， 6?66?从而?1?cos?x?于是，当x???π?3. ??6?2ππ?，即x?0时， f?x?取到最大值3； 66π5π当x???，即x?时， f?x?取到最小值?23.

661.【2016高考新课标2理数】已知向量a?(1,m)，a=(3,?2)，且(a+b)?b，则m?（ ）

（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8 【答案】D

【解析】向量a?b?(4,m?2)，由(a?b)?b得4?3?(m?2)?(?2)?0，解得

m?8，故选D.

2.【2016高考江苏卷】如图，在?ABC中，D是BC的中点，E,F是A,D上的两个三等分点，BC?CA?4，BF?CF??1 ，则BE?CE 的值是 ▲ .

7【答案】

8

3.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足DA

13

=DB=DC,DA?DB=DB?DC=DC?DA=-2，动点P，M满足AP =1，PM=MC，则BM的最大值是( )

2（A）

37?6337?2334349 （B） （C） （D）

4444【答案】B

【解析】甴已知易得?ADC??ADB??BDC?120?,DA?DB?DC?2.以D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则

2A?2,0?,B?1,?3,C?1,3.设P?x,y?,由已知AP?1，得?x?2??y2?1，

????又PM?MC,?M??x?1y?3??x?1y?33?,,?BM?,???,

2?2?2?2?2?BM?2?x+1??y?334??2，它表示圆?x?2?2?y2?1上的点?x，y?与点

?1?1,?33的距离的平方的，?BM4??2?max1???32?334???2?49，故选B. ?1??4?2

4.【2016高考江苏卷】如图，在?ABC中，D是BC的中点，E,F是A,D上的两个三等分点，BC?CA?4，BF?CF??1 ，则BE?CE 的值是 ▲ .

7【答案】

8

14

【2015高考福建，理9】已知AB?AC,AB?,AC?t ，若P 点是?ABC 所在平面内一点，且AP?1tABAB?4ACAC ，则PB?PC 的最大值等于（ ）

A．13 B． 15 C．19 D．21 【答案】A

【解析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则B(,0)，C(0,t)，

1t1AP?（1，0)+4(0,1)=(1,4)，即P（1，4)，所以PB=（?1，-4)，

tPC=（?1，t-4)，因此PB?PC

1111?1??4t?16?17?(?4t)，因为?4t?2?4t?4，所以PB?PC 的最大值

tttt等于13，当?4t，即t?1

t1时取等号． 2

【2015高考湖北，理11】已知向量OA?AB，|OA|?3，则OA?OB? . 【答案】9

15

【2015高考山东，理4】已知菱形ABCD的边长为a ，?ABC?60 ,则BD?CD?

（ ）

（A）?32333a （B）?a2 （C） a2 （D） a2 2442【答案】D 【解析】因为

BD?CD?BD?BA?BA?BC?BABA?BC?BA?a2?a2cos60?故选D.

????232a 2【2015高考陕西，理7】对任意向量a,b，下列关系式中不恒成立的是（ ） A．|a?b|?|a||b| B．|a?b|?||a|?|b|| C．(a?b)?|a?b| D．(a?b)(a?b)?a?b 【答案】B

【解析】因为a?b?abcosa,b?ab，所以选项A正确；当a与b方向相反时，

2222a?b?a?b不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C

正确；a?b???a?b??a2?b2，所以选项D正确．故选B．

【2015高考四川，理7】设四边形ABCD为平行四边形，AB?6，AD?4.若点M，N满足BM?3MC，DN?2NC，则AM?NM?（ ）

（A）20 （B）15 （C）9 （D）6 【答案】C

【2015高考安徽，理8】???C是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足

16

???2a，?C?2a?b，则下列结论正确的是（ ）

（A）b?1 （B）a?b （C）a?b?1 （D）4a?b??C 【答案】D 【解析】如图，

??

由题意，BC?AC?AB?(2a?b)?2a?b，则|b|?2，故A错误；|2a|?2|a|?2，所以|a|?1，又AB?AC?2a?(2a?b)?4|a|2?2ab?2?2cos60?2，所以a?b??1，故B,C错误；设B,C中点为D，则AB?AC?2AD，且AD?BC，而

2AD?2a?(2a?b)?4a?b，所以4a?b??C，故选D.

【2015高考福建，理9】已知AB?AC,AB?,AC?t ，若P 点是?ABC 所在平面内一点，且AP???1tABAB?4ACAC ，则PB?PC 的最大值等于（ ）

A．13 B． 15 C．19 D．21 【答案】A

17

【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知

AB//DC,AB?2,BC?1,?ABC?60 ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,

且,BE??BC,DF?【答案】

1DC, 则AE?AF的最小值为 . 9?29 18【解析】因为DF?11DC,DC?AB，9?211?9?1?9?CF?DF?DC?DC?DC?DC?AB，

9?9?18?AE?AB?BE?AB??BC，

AF?AB?BC?CF?AB?BC?1?9?1?9?AB?AB?BC， 18?18?221?9???1?9??1?9??AE?AF?AB??BC??AB?BC??AB??BC??1????AB?BC

18?18?18????????1?9?19?9??4????2?1?cos120?18?18?2117211729????2???? 9?2189?21818当且仅当

21229. ??即??时AE?AF的最小值为

9?2318DFCEAB

18

1. 【2014高考福建卷第8题】在下列向量组中，可以把向量a??3,2?表示出来的是（ ）

A.e1?(0,0),e2?(1,2) B .e1?(?1,2),e2?(5,?2) C.e1?(3,5),e2?(6,10) D.e1?(2,?3),e2?(?2,3) 【答案】B

【解析】由于平面向量的基本定理可得,不共线的向量都可与作为基底.只有

e1?(?1,2),e2?(5,?2)成立.故选B.

【考点定位】平面向量的基本定理.

2. 【2014高考广东卷理第5题】已知向量a??1,0,?1?，则下列向量中与a成60的是（ ）

A.??1,1,0? B.?1,?1,0? C.?0,?1,1? D.??1,0,1? 【答案】B

【考点定位】空间向量数量积与空间向量的坐标运算 3. 【2014高考湖南卷第16题】在平面直角坐标系中,O为原

点,A??1,0?,B(0,3),C(3,0),动点D满足CD=1，则OA?OB?OD的最大值是_________.

【答案】1?7

19

【考点定位】参数方程、三角函数

4. 【2014高考江苏卷第12题】如图在平行四边形ABCD中，已知AB?8,AD?5，

CP?3PD,AP?BP?2，则AB?AD的值是 .

D

P

C

A

B

【答案】22

【解析】由题意，AP?AD?DP?AD?1AB，433BP?BC?CP?BC?CD?AD?AB，

44所以AP?BP?(AD?221313AB)?(AD?AB)?AD?AD?AB?AB， 44216即2?25?13AD?AB??64，解得AD?AB?22． 216??，向量a??sin2?，cos??，b?cos?，1?，

【考点定位】向量的线性运算与数量积． 5. 【2014陕西高考理第13题】设0????2??若a//b，则tan??_______.

【答案】

1 220

【考点定位】共线定理；三角恒等变换.

6. 【2014高考安徽卷理第10题】在平面直角坐标系xOy中，已知向量

a,b,a?b?1,a?b?0,点Q满足OQ?2(a?b).曲线

C?{POP?acos??bsin?,0???2?}，区域??{P0?r?PQ?R,r?R}.若

C?为两段分离的曲线，则( )

A.1?r?R?3 B.1?r?3?R C.r?1?R?3 D.1?r?3?R 【答案】A 【解析】设a?(1,0),b?(0,1)，则OQ?(2,2)，OP?(cosx,sinx)，区域?2,2)的距离从r到R之间，如下图中的阴影部分圆环，要

表示的是平面上的点到点Q(使C?为两段分离的曲线，则1?r?R?3，故选A.

【考点定位】平面向量的应用、线性规划.

7. 【2014高考北京卷理第10题】已知向量a、b满足|a|?1，b?(2,1)，且?a?b?0（??R），则|?|? .

【答案】5

【解析】当?a?b?0，则b???a，于是|b|?|?|?|a|，因为b?(2,1)，所以|b|?5， 又因为|a|?1，所以|?|?5. 【考点定位】平面向量的模

21

8. 【2014高考湖北卷理第11题】设向量a?(3,3)，若a??b?a??b，b?(1,?1)，则实数?? .

【答案】?3 【解析】

因为a??b?(3??,3??)，a??b?(3??,3??)，

因为(a??b)?(a??b)，所以(3??)(3??)?(3??)(3??)?0，解得???3. 【考点定位】平面向量的坐标运算、数量积

10. 【2014江西高考理第15题】已知单位向量e1与e2的夹角为?，且cos??量a?3e1?2e2与b?3e1?e2的夹角为?，则cos?= . 【答案】22 3????1，向3

【考点定位】向量数量积及夹角

b?c?0，11. 【2014辽宁高考理第5题】设a,b,c是非零向量，已知命题P：若a?b?0，

则a?c?0；命题q：若a//b,b//c，则a//c，则下列命题中真命题是（ ）

A．p?q B．p?q C．(?p)?(?q) D．p?(?q)

【答案】A

【解析】由题意可知，命题P是假命题；命题q是真命题，故p?q为真命题. 【考点定位】命题的真假

12. 【2014全国1高考理第15题】已知A,B,C为圆O上的三点，若AO?则AB与AC的夹角为_______．

【答案】900．

1AB?AC，2?? 22

【解析】由AO?（AB+AC），故O,B,C三点共线，且O是线段BC中点，故BC是圆O的直径，从而?BAC?900，因此AB与AC的夹角为900

【考点定位】平面向量基本定理

13. 【2014全国2高考理第3题】设向量a,b满足|a+b|=10，|a-b|=6，则a?b = ( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A

12

【考点定位】本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量 14. 【2014高考安徽卷理第15题】已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量

x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成.记

Smin表示S所有可能取值中的最小值.则下列S?x1?y1?x2?y2?x3?y3?x4?y4?x5?y5，

命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.

①S有5个不同的值. ②若a?b,则Smin与a无关. ③若a∥b,则Smin与b无关. ④若b?4a，则Smin?0. ⑤若|b|?2|a|,S?2?8|a|，则与的夹角为 abmin4 23

Smin?S3?4a?b?(b)2?8|a|2cos??4|a|2?8|a|2，∴2cos??1，∴??故⑤错误.所以正确的编号为②④

【考点定位】平面向量的运算、平面向量的数量积.

?3，

15. 【2014四川高考理第7题】平面向量a?(1,2)，b?(4,2)，c?ma?b（m?R），且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m?（ ）

A．?2 B．?1 C．1 D．2 【答案】 D. 【解析】 由题意得：

c?ac?a?c?bc?b?c?aa?c?bb?5m?88m?20??m?2，525选D.

法二、由于OA，OB关于直线y?x对称，故点C必在直线y?x上，由此可得m?2 【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算. 16. 【2014浙江高考理第8题】记max{x,y}??设a,b为平面向量，则（ ）

A.min{|a?b|,|a?b|}?min{|a|,|b|} B.min{|a?b|,|a?b|}?min{|a|,|b|}

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?x,x?y?y,x?y，min{x,y}??，

?y,x?y?x,x?y C.min{|a?b| D.min{|a?b|【答案】Ｄ

2,|a?b|2}?|a|2?|b|2 ,|a?b|2}?|a|2?|b|2

2

【考点定位】向量运算的几何意义.

17. 【2014重庆高考理第4题】已知向量a?(k,3),b?(1,4),c?(2,1)，且

(2a?3b)?c，则实数k=（ ）

159A.? B.0 C.3 D.

22【答案】C

【解析】因为a??k,3?,b??1,4?,所以2a?3b??2k?3,?6?

又因为2a?3b?c，所以，2a?3b?c?0，所以，2?2k?3????6??0，解得：

????k?3

故选C.

【考点定位】平面向量的坐标运算、平面向量的数量积.

19. 【2014大纲高考理第4题】若向量a,b满足：a?1,a?b?a,2a?b?b,则

????b? （ ）

A．2 B．2 C．1 D．【答案】B．

2 2【解析】

?2?a?b?a?0,?a?b??a??1①,??a?b?a,2a?b?b,a?1,????22a?b?b?0,??2a?b?b?0②.?????????把①代入②得?2?b?0,?b?2,?b?

2222,故选B．

25

【考点定位】1.向量垂直的充要条件；2. 平面向量的数量积运算．

20. 【2014高考陕西第18题】在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2)，点P(x,y)在?ABC三边围成的

区域（含边界）上

（1）若PA?PB?PC?0，求OP；

（2）设OP?mAB?nAC(m,n?R)，用x,y表示m?n，并求m?n的最大值. 【答案】（1）22；（2）m?n?y?x，1.

y321–5–4–3–2–1ＢＣＡ12345xO–1–2–3

【考点定位】平面向量的线性运算、线性规划.

21.【2014高考上海理科第16题】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，

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AB是一条侧棱，Pi(i?1,2,...)是上底面上其余的八个点，则AB?APi(i?1,2...)的不同值的个数为（ ）

??

（A）1 (B)2 (C)4 (D)8 【答案】A

【解析】如图，AB与上底面垂直，因此AB?BPi(i?1,2,)，

AB?APi?ABAPicos?BAPi?AB?AB?1．

【考点定位】数量积的定义与几何意义．

22.【2014高考上海理科第14题】已知曲线C：x??4?y2，直线l：x=6.若对于点

A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得AP?AQ?0，则m的取值范围为 .

【答案】[2,3]

【考点定位】向量的坐标运算．

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