电动力学_郭芳侠_电磁波的传播 (1)

第四章 电磁波的传播

1. 真空中的波动方程，均匀介质中的定态波动方程和亥姆霍兹方程所描述的物

理过程是什么？从形式到内容上试述它们之间的区别和联系。 解：真空中的波动方程：?2E??1?E1?B2?0?B??0。 ，c2?t2c2?t2??表明：①在??0，J?0的自由空间，电场与磁场相互激发形成电磁波, 电磁波可以脱离场源而存在。

②真空中一切电磁波都以光速c传播。 ③适用于任何频率的电磁波,无色散.

1?2E?E?2?2?01v?t均匀介质中定态波动方程：，其中。 v????21?B??????????2B?2?2?0v?t2当电磁场在介质内传播时，其?与μ一般随ω变化，存在色散,在单色波情况下才有此波动方程。

?22??E?kE?0,k???????E?0亥姆霍兹方程：?

?i?B????E????表示以一定频率按正弦规律变化的单色电磁波的基本方程，其每个解都代表一种可能存在的波模。

2. 什么是定态电磁波、平面电磁波、平面单色波？分别写出它们的电场表示式。从形式到内容上试述它们之间的区别和联系。

解：（1）定态电磁波：以一定频率作正弦振荡的波称为定态电磁波，即单色简谐

波。E(x,t)?E(x)e?i?t

（2）平面电磁波：等相位面与波传播方向垂直且沿波矢量K传播的电磁波。

?E(x)?E0eik?r

1

（3）平面单色波：以一定频率作正弦振荡的平面波称为平面单色波。

E(x,t)?E0ei(k?r??t)

3. 在??0的定态电磁波情形麦氏方程组的形式如何？为什么说它不是独立的，怎样证明？不是独立的，是否等于说有的方程是多余的呢？试解释之。 解：定态电磁波情形麦氏方程组的形式为：

???E?i?B……（1）????B??i???E……（2） 对（1）和（2）取散度可得（3）(4)两式，所以????E?0……（3）???B?0……（4）?它不独立。不独立不表示方程多余，定态电磁波只是一种特殊情形,在更普遍的情况下，麦氏方程组四个方程分别描述了场的不同方面。

??4. 设有一电磁波其电场强度可以表示为 E?E0?x,t?exp??i?0t?。试问它是否是平面时谐波（平面单色波）？为什么？

?E答;不是。因为做傅立叶展开后，可以看成是无数个平面单色波的叠加。如令

??ik0xE1E0(x,t)?E0ecos(2?0t)?0ei(k0x?2?0t)?ei(k0x?2?0t)则

22???E0i(k0x?3?0t)E0i(k0x??0t)E?e?e是两个单色波的叠加。

225．试述平面单色波在均匀介质中具有哪些传播特性？并且一一加以证明。 解：特性：

①是横波，且E，B，k有右手螺旋关系 证：E(x,t)?E0ei(k?r??t)

??E?ik?E?0即k?E即电波为横波B??i???B?k,B?E,E?k，得证。 ????E??i?ik?E?1?k?E②E与B同相位，振幅比为vp?真空中为c?

E?x,t??Eoe1ik?x??t??1i?k?x??t?

B?k?E?n?Eoe?Vp

2

kk其中：?n???n

??此式证明：E，B相位均为k?x-?t,且振幅比为 E1??vp B??6. 在自由空间中，E(z,t)?ey103sin(9??108t?kz)V/m 求：(1)波数以及波的传播方向,(2)H(z,t) 解: 已知电场E(z,t)?ey103sin(9??108t?kz)V/m

9??108?3?(rad/m).电磁波沿z方向传播 (1)由电场表示式知:k??c3?108??(2)自由空间中,??0,J?0

??E???B,ik?E?i??0H ?tH?1c?01c?0ez?E

H?ez?ey103sin(9??108t?kz) =?2.65sin(9??108t?3?z)ex

7. 研究反射、折射问题的基础是电磁场在两个不同介质分界面上的边值关系，但为什么只需用两式，可否用另两式呢？

????n?(E2?E1)?0?????n?(H?H)????在绝缘介质界面上??0，??0 解：边值关系：???2?12?D1)???n?(D?????n?(B2?B1)?0对时谐电磁波，麦氏方程组不独立，由前两式可得后两式，相应的边值关系也不????n?(E?E)?0独立，当???2?1成立时，法向分量的边界条件自然满足。

?n(H2?H1)?08. 试述入射波、反射波、折射波的频率、相位、传播方向和振幅各有些什么关系？

3

解：频率关系：?＝?'??\，

?1cos???cos???E?sin(?????)?振幅与相位关系：E?入射面:?? ??Esin(???)?1cos???2cos???2?1cos?E??2cos?sin??? Esin????``??1cos???2cos???E//入射面时:E?tg(?????)?，

??Etg(???)E??2cos?sin??? ?Esin(?????)cos(?????)传播方向：反射波矢和折射波矢和入射波矢在同一平面上，

k?k???v1,k????v2,???',sin??sin?\?2?2 ?1?19. 全反射时有什么特点？若要使线偏振的入射波通过全反射波反射成为圆偏振波，则对介质有什么要求？

解：①特点：a.发生全反射时，sin??n21折射波的波矢量垂直于界面的分量

???iksin2??n212变为复数,折射波随进入深度所得增加而迅速衰减.b. 折射kz波的平均能流只有平行于界面的分量,能量主要集中在交界面附近厚度为k?1的薄层内，反射波的平均能流密度等于入射波的平均能流密度，即对平均时间来说，入射波的能量全部被反射。

②要使线偏振的入射波通过全反射波反射成为圆偏振波，则全反射波的两个分量

E?,E振幅必须相等，相差等于(2m?1)反射波的菲涅尔公式：

?2,m?0,1,2,3

?E?sin(?????)sin?cos????cos?sin??? （1） ??????????E?sin(???)sin?cos??cos?sin?E?tg(?????)sin?cos??sin???cos????= （2） Etg(?????)sin?cos??sin???cos???由折射定律

sin??sin?\?2?2?n21，全反射发生时，sin??n21 ?1?1 4

sin????1112 sin?，cos????1?sin2????1?2sin2??isin??1 （3）2n21n21n21 将三式代入（1），（2）式，得：

?cos??isin2??n212E? （4） ?E?cos??isin2??n212E?E?n212cos??isin2??n212n221cos??isin??n2221 (5)

可以看出,

E?E?1.

i???E?ei??,E??Ee,由（4）,(5)式得: 设E???2cos?sin2??n212?arctgsin2??n212?cos2?2ncos?sin??nsin??n212?n4cos?221222212 (6)

??arctg当入射波的线偏振时, E?,E相位相同.经反射后E??,E?相位不相同,

当

E??1时,且E??与E?相差 E?????(2m?1)12?2,m?0,1,2,3时, (7)

反射成为圆偏振波.于是由(6),(7)得:

sin??n212?1?n214?6n212?1 (8)

结论: 当线偏振的入射波电矢量的两个分量E?,E的振幅相等,并且入射角θ和相对折射率n21满足(8)式时,反射波便成为圆偏振波.

10. 当光以布儒斯特角入射时，反射光变为垂直于入射面的完全偏振光。但人们要想得到完全偏振光,不直接采用反射的完全偏振光，往往通过一组平行玻璃板把垂直于入射面的偏振光滤掉，得到平行于入射面的完全偏振光，为什么？已知玻璃的布儒斯特角为56。。

答:反射光虽然是完全偏振光，但它的强度太小

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E?sin(?????)sin(56??34?)???????sin22??0.37 ?E?sin(?????)sin90而按题中的做法，可得折射光（平行于入射面的完全偏振光） 11.有哪些理由足以说明光波是频率在一定范围内的电磁波？

解：真空中电磁波的传播速度和光波在真空中的传播速度都是c,且不需要任何介质。光波的反射、折射、干涉、衍射规律与电磁波遵循相同的规律。 12. 试推出导体中定态电磁波波动方程的两种不同形式以及亥姆霍兹方程，并与介质中的相应方程进行比较，阐明它们之间有何异同之处？ 解：良导体中：??0,J??E，，代入麦氏方程组得：

?B?t?E??B??????E，对前两式取旋度得波动方程：

?t??E?0??E????B?0?2E?E?E???2????0?t?t与介质中的方程相比多了与时间的一次导数项，表2?B?B?2B???2????0?t?t2明传导电流使电磁波传播不断损耗为一个不可逆过程。 定态电磁波：E?E(x)e?i?t,B?B(x)e?i?t，代入麦氏方程组得：

???E?i?B?????B??i???E???E??i???'E?'???i其中：，由第一式解出B代入第二?????E?0???B?0?式可得：?2E?k'2E?0k'???'?，即亥姆霍兹方程。与介质中的最大区别在于k'???'?复数,如果是绝缘介质, ??0,????,k'????都是实数,上述亥姆霍兹方程便过渡为绝缘介质中定态电磁波的方程.

13. 波矢量k的物理意义是什么？如何理解导体中的波矢量？衰减常量?的方向如何确定，相位常量?的方向又如何？

?? 6

??2?解：波矢量k是描述电磁波传播方向的一个矢量，其量值k?????称为

?波数，导体中波矢量为一复矢量。k'???i?

?? 波矢量k的实部?描述波的传播的相位关系，虚部?描述波幅的衰减。

将?'???i?，k'???i?代入k'???'?比较实部和虚部得： ??2??2??2?? 1???????2??由边界条件可确定?，?的方向。再代入上式确定?，?的大小.在良导体内，

??垂直于表面，?也很接近法线方向。

14. 电磁波在导体中和在介质中传播时存在哪些差别？

答：①导体与绝缘介质本质差异在于导体有自由电子，电磁波进入导体后必将引起传导电流，电场对传导电流做功使得电磁波能量转化为焦耳热，故在导体中传播电磁波是一个衰减波。绝缘介质中传播电磁波振幅不衰减②绝缘介质平面电磁波电场与磁场相位相同, 导体平面电磁波电场与磁场相位不相同③绝缘介质平面电磁波电场与磁场能量相等, 导体中磁场能量远大于电场能量.

15. 设电子浓度为ne，电量为e，质量为m，在空气中电子在电磁波的作用下以速度v运动，设电磁波的角频率为?，电子的运动方程近似地为：

eE?mdv?m?v dt式中?为电子与气体分子碰撞频率，且设v为常数。已知：

E?E0e?i?t，v?v0e?i?t

试讨论电子对空气的?0和?0的影响如何。

解：将E?E0e?i?t,v?v0e?i?t代入电子的运动方程:eE?meE?(m??i?)v,空气中的电流密度

dv?m?v,得: dtnee2E,于J??(?)E(?)比较 ,空气电导率 J??neev??(m??i?) 7

nee2nee2(m??i?) ?(?)????(m??i?)m2?2??2nee2(im???)nee2nee2m??(?)????0?i??0??[?0?22]?i2222??(m???)m????(m2?2??2)???ineem??(m2?2??2)2

nee2其中实部???0?22 2m???可见, 空气中电子的存在使得空气变成导体,电导率出现虚部,说明有欧姆能量损

nee2耗,另外空气的电容率由?0变为???0?22m???2,当电子浓度为

ne?0,???0,?(?)?0,当对空气的磁导率没有影响.

16. 将一般的边值关系用到波导内表面处，因设波导为理想导体，n为由理想导体指向管内的法向单位矢量，故除nE=0外，还有哪几个关系式，它们的作用如何？对于亥姆霍兹方程的解必加的条件??E?0可如何应用？

n?E?0n?H??n?D??n?B?0解：在导体表面有边界条件： 当前面两式满足时，后面两式自然满

足。n?H??，说明H方向平行于表面

n?E?0，说明E只有n方向分量， 考虑??E?0，即得：

?En?0 ?n17. 何谓TM波、TE波和TEM波？比较一下TEM波与平面单色波之间的关系如何？

答：在波导内传播的波，电场E和电磁场H不能同时为横波，设波沿Z方向传播，波模Ez?0的波称为横电（TE）波，波模Hz?0的波称为横磁（TM）波；TEM波则为Hz?0,Ez?0的横波，平面单色波需满足Hz?Ez?0，E,B同相且

??相互垂直，E?B沿波矢方向，故平面单色波是TEM波，而TEM波未必是平面

单色波。

18. 我们要用波导内的电场，沿z方向加速一个带电粒子，应在波导中建立什么

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波型电磁场？

解：应建立TM波，从而在z方向上有电场可以加速电子。

19. 有相距为L的两无穷大理想导体板，设x轴垂直板面，在导体板间传播的波场与y无关。问在何种条件下，能得到TE型、TM型、TEM型波？写出其表示式。

解：导体板间的电磁波满足亥姆霍兹方程，设电场的通解为：

E(x,y,z)?(C1sinkxx?D1coskxx)eikzz，由边界条件n?E?0和?En?n?0得：

n?x)ei(kzz??t)L?2n?2n?i(kzz??t)22，其中kx?k?kz??()，又由：??E?0 Ey?A2sin(x)e2LcLn?Ez?A3sin(x)ei(kzz??t)LEx?A1cos(n?iA1?ikzA3,A2独立。再由H????E，可得Hx,Hy,Hz，分析知当A1＝0L??n?x)ei(kzz??t)L时得到TEM波：

kzkzA2n?H?Hx??Ey??sin(x)ei(kzz??t)????LE?Ey?A2sin(20. 为什么谐振腔最低频率是f110?12???1??1???????L1??L2?22，而不是

f100?12???1???? ?L1?1?m??n??p?????????中的m,n,p最多只能有两个为零，如果?L1??L2??L3?2222答: fmnp?2??有2个或都为零，则由

Ex?A1coskxxsinkyysinkzz,Ey?A2sinkyycoskyysinkzzEz?A3sinkxxsinkyycoskzz

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kx?m?n?p? ,ky?,kz?L1L2L3知谐振腔内场强E?0.B?0。 ??21.矩形波导中的电场强度E和磁感应强度B沿传播方向的分量不同时为零，这一结论似乎违背了电磁波是横波的论断，请解释这一现象。

答：实际上波导管的轴线方向并不是波的真正传播方向。在波导管中的电磁波是在被管壁多次反射曲折前进的。由于多次反射波叠加，在垂直于波导轴线方向成为驻波，而使合成波沿轴线方向前进。

22.低频电磁波用双线传输，较高频用同轴线，更高频时用波导传输。试问高频电磁波用双线传输或低频电磁波用波导传输，可以吗？为什么？

都不可以。高频电磁波用双线传输有向外辐射损耗和热损耗。而低频电磁波在波导中则不再沿波导传播，而是沿z轴方向振幅不断衰减的电磁振荡。

23.大气中的电离层能够反射广播频段的电磁波，不能反射电视频段的电磁波，这是为什么？

答：因为大气中的电离层是等离子体，广播频段???p，不能在等离子体中传

播，因而被反射回来，而电视频段???p，可以在电离层中传播。

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