【名师一号】2014-2015学年北师大版高中数学必修5双基限时练15]

【名师一号】2014-2015学年北师大版高中数学必修5双基限时练15]

双基限时练(十五)

一、选择题

1．在△ABC中，sin2A·sin2B＝1，则△ABC是( ) A．等腰三角形 C．等边三角形

B．等腰直角三角形 D．直角三角形

sin2A＝1，解析 在△ABC中，由sin2A·sin2B＝1，知

sin2B＝1.

又A、B为△ABC的内角，∴A＝B＝45°. ∴△ABC为等腰直角三角形，故选B. 答案 B

2．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sinBsinC＋sin2C，则A等于( ) A．30° C．120°

B．60° D．150°

解析 由正弦定理，可知a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理，可知A＝120°.

答案 C

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径是( )

A．3 C．2

B．5 D．62

1

解析 ∵S△ABC＝2sinB＝2，∴c＝2. 又b2＝a2＋c2－2ac·cosB

2

＝1＋32－2×1×42×2＝25， b

∴b＝5，又2R＝sinB2.

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4．在△ABC中，AB＝3，BC＝13，AC＝4，则AC边上的高为( ) 3

A.22 3C.2

3B.3 D．33

1

解析 由余弦定理可知13＝9＋16－2×3×4×cosA，得cosA＝2，又A为三角形的内角，

π33∴A＝3，∴h＝AB·sinA＝2答案 B

5．在△ABC中，A＝60°，且最大边的长和最小边的长是方程x2

－7x＋11＝0的两根，则第三边的长为( )

A．2 C．4

B．3 D．5

解析 设最大的边长为x，最小的边长为y.

x＋y＝7由韦达定理 ，A＝60°，

xy＝11

∴y≤a≤x，由余弦定理，得

a2＝x2＋y2－2xycos60°＝(x＋y)2－3xy＝49－33＝16，故a＝4. 答案 C

6．在钝角△ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是( ) A．1<c<3 C.5<c<3

B．2<c<3 D．22<c<3

a2＋b2－c2

解析 由cosC＝2ab<0得c2>a2＋b2＝5.∴c>5.又c<a＋b，∴5<c<3.

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二、填空题

7．在△ABC中，sinA＝2cosBsinC，则三角形为____________． 解析 由已知得sinBcosC＋cosBsinC＝2cosBsinC， ∴sin(B－C)＝0，∴B＝C. 答案 等腰三角形

8．在△ABC中，若m＝(sinA，cosA)，n＝(cosB，sinB)，m·n＝sin2C，则角C＝________.

1解析 ∵m·n＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin2C，得cosC＝2C为π△ABC的内角，∴C＝3.

π答案 3

9．在△ABC中，AB＝分成

，∠ACB的平分线CD把三角形面积

两部分，则cosA＝________.

解析 ∵CD是∠ACB的平分线， ∠ACB1

AC·CD·2

S△ACD2∴ S△BCD1∠ACB

CD·sin22·ACsinB3

＝BC＝sinA2.

2sinAcosA33

又B＝2A，∴sinA2，∴cosA4. 3答案 4 三、解答题

2

10．在△ABC中，sinA＋cosA2，AC＝2，AB＝3，求tanA的

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值和△ABC的面积．

2

解 ∵sinA＋cosA2cos(A－45°)＝2， 1∴cos(A－45°)＝2.又0°<A<180°， ∴A－45°＝60°，∴A＝105°，

13tanA＝tan(45°＋60°)＝＝－2－3，

13sinA＝sin105°＝sin(45°＋60°)

2＋＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝4 1

S△ABC2·AB·sinA

2＋631

＝2×2×3×4＝426)．

5

11．△ABC中，D为BC上的一点，BD＝33，sinB＝13，cos∠ADC3

＝5，求AD.

3π

解 由cos∠ADC＝5>0，知B<2. 124

由已知得cosB＝13sin∠ADC＝5， 从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B) ＝sin∠ADC·cosB－cos∠ADCsinB 4123533＝51351365ADBD

由正弦定理，得sinB.

sin∠BAD

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533×13

BD·sinB

∴AD＝＝33＝25.

sin∠BAD

65

12．已知锐角△ABC中，bsinB－asinA＝(b－c)sinC，其中a、b、c分别为内角A、B、C的对边．

(1)求角A的大小；

(2)3cosC－sinB的取值范围． 解 (1)由正弦定理得b2－a2＝(b－c)·c. 即b2＋c2－a2＝bc.

b2＋c2－a2bc1∴cosA＝2bc2bc＝2π

又∵A为三角形内角，∴A＝3. 22

(2)∵B＋C3π，∴C＝3－B. ∵△ABC为锐角三角形， π 0<B2，

∴ 2π 0<－B< 32ππ∴6<B<2.

2

又∵3cosC－sinB3cos 3－B －sinB

π 31

＝－2B＋2sinB＝sinB－3 ， πππππ

∵6<B<2，∴－6<B－3<61π1∴－2B－32.

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11

即3cosC－sinB的取值范围为 －2，2.

思 维 探 究

3

13．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB＝5→·→＝－21. 且ABBC

(1)求△ABC的面积； (2)若a＝7，求角C.

→·→＝－21，∴BA→·→＝21. 解 (1)∵ABBCBC

→·→＝|BA→|·→|·∴BABC|BCcosB＝accosB＝21.∴ac＝35， 34∵cosB＝5sinB＝5114

∴S△ABC＝2sinB＝2×35×514. (2)∵ac＝35，a＝7，∴c＝5.

由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝32， cb

∴b＝42.由正弦定理sinCsinB. c542

∴sinC＝bB×52.

4∵c<b且B为锐角，∴C一定是锐角．∴C＝45°.

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