2007届东莞市高三理科数学五月高考模拟题

2007届东莞市高三理科数学五月高考模拟题

考生注意：满分150分，时间120分钟.不准使用计算器.

一、选择题（每小题5分，共40分. 每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请把正确选择支号填在答题表内.） 1．满足条件{1,2} M= 1,2,3

的所有集合M的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4 2．复数

5

的共轭复数是 1 2i

C.1 2i D.1 2i

510510

i A. i B. 3333

3. 若条件p:x 4，条件q:x2 5x 6，则 p是 q的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4. 工人制造零件的尺寸在正常情况下服从正态分布N

, ，在一次正常的试验

2

中，取1000个零件，不属于 3 , 3 这个尺寸范围的零件个数可能为 A． 7个 B． 10个 C． 3个 D．6个

5. 阅读右图所示的流程图，输出的结果为 A．24 B．12 C．6 D．4 6. 已知直线m,n，平面 , ，给出下列命题： ①若m ,m ,则 ； ②若m// ,m// ,则 // ；

③若m ,m// ,则 ；

④若异面直线m,n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直．

其中正确的命题是 A．②③ B．①③ C．②④ D．③④

x2y2x2y2

7. 设椭圆2 2 1，双曲线2 2 1，抛物线y2 2(m n)x(其中m n 0)的离心率分别为e1，e2，e3，则

mnmn

A．e1e2 e3 B．e1e2 e3 C．e1e2 e3 D．e1e2与e3的大小关系不能确定

二、填空题（请按要求答题，每小题5分，共２０分.请把答案填在题中的横线上.） 9．

(x x 1) a0 a1x a2x a10x

2

5

2

10

，则x的系数a2的值为

2

___________．

10．表示右图中阴影部分的二元一次不等式组为______________． 11．曲线y=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的

面积为

1

，则6

12．当a0,a1,a2成等差数列时，有a0 2a1 a2 0,当a0,a1,a2,a3成等差

数列时，有a0 3a1 3a2 a3 0,当a0,a1,a2,a3,a4成等差数列时，有a0 4a1 6a2 4a3 a4 0，由此归纳：当

02n

a0,a1,a2 an成等差数列时有cna0 c1)ncnan=0．如果a0,a1,a2, ,an成等比数列，类比上述na1 cna2 ( 1

方法归纳出的等式为

考生可从下面第14、15两道题中任选一道做答，若两道题全做答，则只按前一题计算得分．

13． 从不在圆上的一点A做直线交⊙O于B、C两点，且AB·AC=60，OA=8，则⊙O的半径等于

x t14．点P（3，0）到直线 （其中参数t是任意实数）上的点的距离的最小值是 ．

y 2t 1

15．已知2x y 3z 6,则：x y z的最小值是． 三、解答题（共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. （本小题满分12分）

已知a (

2

2

2

3

, ),且sin . 25

（I）求cos( （II）求sin

2

4

)的值；

2

tan(

4

)的值.

17. （本小题满分13分）

如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，侧面PAD垂直底面ABCD，且ΔPAD为正三角形，E为侧棱PD的中点． （I）求证：AE⊥平面PCD；

（II）求平面PAB与平面PDC所成二面角的大小； （III）求直线PB与平面PDC所成角的正弦值．

18.

（本小题满分13分）

袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取出4个球：

（I）求取出的红球数 的概率分布列和数学期望；

（II）若取出一个红球得2分，取出一个黑球得1分，求总得分不超过5分的概率．

19. （本小题满分14分）

设正项等比数列{an}的首项a1=（I）求{an}的通项公式；

（II）求数列{nSn}的前n项和Tn． 20．（本小题满分14分）

1

，前n项和为Sn，且210S30 (210 1)S20 S10 0． 2

x2y2

过椭圆2 2 1

ab

(a b 0)的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若x轴

上的定点M，总能使得MF为 AMB的一条内角平分线，则称点M

x2

y2 1的“左特征点”M的坐标； ①求椭圆5x2y2

②试根据①中的结论猜测：椭圆2 2 1

ab

21．（本小题满分14分）

已知函数f(x) ln

(a b 0)的“左特征点”M

x 2x

. x 44

（I）求f(x)的极值；

（II）求证f(x)的图象是中心对称图形；

（III）设f(x)的定义域为D,是否存在 a,b D.当x a,b 时，f(x)的取值范围是 , ？若存在,求实数a、b的值；

44

若不存在，说明理由．

ab

参考答案

一、选择题：DDBC CDBD

二、填空题：

x 0

02n Cn c1Cm( 1)nCnn

19． 5 10． y 1 11． 12． a0 a1 a2 an 1.

2x y 2 0

13． 2或231 14． 15． 三、解答题： 16、（1）

18

7

732

（2）

7010

17. 证明：（I）在正 PAD中，E是PD的中点，所以AE PD．

又面PAD 面ABCD，面PAD 面ABCD AD，CD AD，所以CD 面PAD． 而AE 面PAD，所以CD AE．

所以由PD CD D，有AE 面PDC． （II）取正 PAD的底边AD的中点O，连接PO，则PO AD．

又面PAD 面ABCD， 所以PO 面ABCD． 如图，以点O为坐标原点， DA为x轴，OP为z轴， 建立空间直角坐标系．

0，0)， 设AD 2a，则有A(a，x

aa

B(a，2a，0)，D(

a,0,0)，再设n (x,y,z)E( ,0,)，P(0，0a)， ( a,0,3a)， (0,2a,0)．

22

是面PAB的法向量，则有

ax az 0 0

，即，可设 (3,0,1)．

2ay 0 0

又 (

3a,0,a)是面PDC的法向量，因此 22

1

，

2

cos AE,n

所以 , 120 ，即平面PAB与平面PDC所成二面角为60．

（Ⅲ）由（II）知PB (a,2a, 3a)，设PB与面PDC所成角为 ，则

sin

6

4

所以与面PDC所成角的正弦值为

． 4

314

C4C312C41

18．解：（I） P( 0) 4 ，P( 1) ， 4

3535C7C7

2213

C4C318C4C34

，， P( 2) P( 3) 443535C7C7

∴ 的分布列为：

1 2 3 ． ∴E 0 353535357

（II）当且仅当取出4个黑球，或3个黑球、1个红球时总得分不超过5分．

314

C4C313C4

∴P 4 ． 4

35C7C7

19．解：（Ⅰ）由 210S30 (210 1)S20 S10 0 得 210(S30 S20) S20 S10,

即210(a21 a22 a30) a11 a12 a20, 可得210 q10(a11 a12 a20) a11 a12 a20. 因为an 0，所以 210q10 1, 解得q

n 1

因而 an a1q

1

， 2

1

,n 1,2, . 2n

11

、公比q 的等比数列，故 22

（Ⅱ）因为{an}是首项a1

11

(1 n)

1 1,nS n n. Sn n12n2n1 2

则数列{nSn}的前n项和 Tn (1 2 n) (

12n

),

2222n

Tn112n 1n (1 2 n) (2 3 n n 1). 222222

前两式相减，得

Tn1111n (1 2 n) ( 2 n) n 1 222222

11(1 n)

n(n 1) n，

142n 11 2

n(n 1)1n

n 1 n 2. 即 Tn

222

x2

y2 1的左特征点， 20．解：（1）设M m,0 为椭圆5

由椭圆的左焦点为F 2,0 ，可设直线AB的方程为x ky 2 k 0 ，

x22

y2 1得 ky 2 5y2 5即k2 5y2 4ky 1 0 代入5

设A x1,y1 ,B x2,y2 ， 则y y2

4k

,2

k 5

y1y2

1

k2 5

AMB被x轴平分 kAM kBM 0 y1 x2 m y2 x1 m 0

y1y2

0

x1 mx2 m

即 y1 ky2 2 y2 ky1 2 y1 y2 m 0 2ky1y2 y1 y2 m 2 0 于是 2k

1 4k

m 2 0 22

k 5k 5

5 5

M ,0 2 2

k 0, 1 2 m 2 0，即m

x25a22

y 1,a 5,b 1,c 2 （2）对于椭圆 52c

x2y2

于是猜想：椭圆2 2 1的“左特征点”是椭圆的左准线与x轴的交点

ab

证明：设椭圆的左准线l与x轴相交于M点，过A、B分别作l的垂线，垂足分别为C、D，据椭圆的第二定义：

|AF||BF|

|AC||BD|

即

|AF||AC||AF||CM|

AC//FM//BD, |BF||BD||BF||DM|

|AC||CM||AC||BD|

AMC BMD AMF BMF ，即

|BD||DM||CM||DM|

于是

MF为 AMB的平分线，故M 21．解：(I) f(x)

/

x 2x(x 6)

0，即x ( ,2) (4, )， .注意到

x 44(x 2)(x 4)

解

x(x 6)

0得x 6或x 0．所以当x变化时，f/(x),f(x)的变化情况如下表：

4(x 2)(x 4)

13

是f(x)的一个极大值,f(6) ln2 是f(x)的一个极大值.. 22

33

(II) 点 0,f(0) ,(6,f(6))的中点是(3,),所以f(x)的图象的对称中心只可能是(3,).

44

所以f(0) ln设

P(x,f(x))

为

f(x)

的图象上一点,

P

关于

(

3

4

,的)对

称点是

34 x6 x3

Q(6 x, f(x)). f(6 x) ln f(x). Q也在f(x)的图象上, 因而f(x)的图象是中心对称

22 x42

图形.

(III) 假设存在实数a、b. a,b D, b 2或a 4.

若0 b 2, 当x a,b 时, f(x) f(0) ln

1bb

0,而 0 f(x) .故此时f(x)的取值范围是不可能是244

ab

, . 44

若4 a 6,当x a,b 时, f(x) f(6) ln2

33a3a

,而 f(x) .故此时f(x)的取值范围是不可能是22442

ab

, . 4 4

若a b 0或6 a b,由g(x)的单调递增区间是 ,0 , 6, ,知a,b是f(x)

x

的两个解.而4

f(x)

xx 2 ab ln 0无解. 故此时f(x)的取值范围是不可能是 , . 4x 4 44

综上所述,假设错误,满足条件的实数a、b不存在.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pz21.html