2019-2020年高三12月月考数学试题（文理合卷）

深圳市观澜中学高三数学12月月考试题

班级：_______________姓名：_______________学号：_______________座位号 命题 周玉琪 审稿 薛秀君 2011-12-1

A．3个 B．5个 C．7个 D．8个

（ ）

2．已知lg(x?2y)?1(lgx?lgy)，则x的值为

2y A．1

B．4

C．1或4 D．

1或4 43．已知三条不重合的直线m,n,l，两个不重合的平面?,?，有下列命题

①m//n，n???m//?； ②l??，m??，l//m??//?；

??//?；④???，?2019-2020年高三12月月考数学试题（文理合卷） ③m??,n??,m//?,n//????m，n??，

n?m?n??.其中正确的命题个数是 （ A.1 B.2 C.3

）

D.4

（ ）

4．若曲线y?x4的一条切线l的斜率为4，则切线l的方程是

C.4x?y?3?0 D.x?4y?3?0 A.4x?y?3?0 B.x?4y?5?05．下列函数中，图象的一部分如下图所示的是（ ） A．y = sin (x??6) B．y = sin (2x??6)

C．y = cos(4x??) D．y = cos(2x?)

36?6． 下列命题中，真命题是（ ） A．?x?(3,??),x2?2x?1 C．?x?[0, B．?x?R,x?1?x

2?]，sinx + cosx≥2 D．?x?(,?),tanx?sinx22

?7、已知函数f?x??3sinx,g?x??cos???x?，直线x?a与f?x?,g?x?的图像分别交于

的最大值为（ ）

M,N两点，则MN （A）1 （B）2 （C）3 （D）1?3 8、已知A(?3,0),B(0,3),O为坐标原点，点C在AB上，且?AOC?600，则|OC|等于（ ）

A. 1/3 B. 1/2 C.3/2 D.3

9．在R上定义运算?:x?y?x?1?y?，若不等式?x?a???x?a??1对任意实数x都成立，则

C、??1,3?

???22?D、??3,1?

???22?实数a的取值范围是 （ ） A、

??1,1?

B、

?0,2?

10．函数y?f(x)与函数y?g(x)有相同的定义域，且都不是常函数，对定义域内的任何x，有

f(x)?f(?x)?0,g(x)g(?x)?1，且g(x)?1，则F(x)?2f(x)?f(x)是（ ）

g(x)?1A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 二﹑填空题（每小题5分，共20分）

11. 方程2x?x2?2的正根个数为_______个. x题号12．(理科生)求由两条曲线

y?x?2x,y?2x所围图形的面积 （文科生做）边长为2的 正方形的中心为O,则在正方形内到点O的距离小于1的概率是 。

2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 13．等差数列{an}中，a1 + a2 + a3 = –24，a18 + a19 + a20 = 78，则此数列前20项的和等于 ． 14、已知函数f (x) = 2sinx·cos|x| (x∈R)，则下列叙述不正确的为 ． ．．．

①f (x)的最大值为1 ②f (x)为奇函数 ③f (x)在[0，1]上是增函数 ④f (x)是以?为最小正周期的函数 三、解答题（共80分）

15．（本小题12分）已知f (x) = sinx + sin(?1?x)． （1）若??[0,?]，且sin2??,求(f?)的值；23（2）若x?[0,?]，求f (x)的单调递增区间．

16．（本小题12分）（理科生做）在锐角△ABC中，已知5AC?BC?4AC?BC，设

m?(sinA,sinB),n?(cosB,?cosA)且m?n?1，求（Ⅰ）sin?A?B?（Ⅱ）tanA的值 52

2

2

（文科生做）：在ΔABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，已知b+c-a=bc,（1）求角A的值 （2）若a=

3, cosC?33,求c的长。

17、（本小题14分）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为

y．

（1）求事件“x?y?3”的概率； （2）求事件“x?y?2”的概率．

18、（本小题14分）如图,在长方体ABCD─A1B1C1D1中,E、P分别是BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、CD1

的中点,AD=AA1=a,AB=2a.

（1）求证:MN∥面ADD1A1; （2）求三棱锥A─PED体积 的大小;

19、（本题14分）已知数列{an}满足：a1=1,a2=3, an+2 =3an+1 - 2an (n∈N﹢),（1）证明{an+1 - an }是公比为2的等比数列；（2）求数列{an}的通项公式.

20、（理科做）(14分)设函数

f?x???1?x??2ln?1?x?. (1)求f?x?的单调区间;

2(2)若当

?1?x???1,e?1?时,(其中e?2.718?)不等式f?x??m恒成立,求实数m的取值范围; (3)试讨

?e?论关于x的方程:

f?x??x2?x?a在区间?0,2?上的根的个数.

（文科生做）（14分）定义在R上函数f (x)对任意实数x、y∈R都有f (x+y)=f (x)?f (y)，且当x<0时，f (x)>1． (1) 证明当x>0时，0

2

2

高三数学12月月考试题参考答案

8 C 9 C 10 B 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B B A C A B

二 填空题 （30分）

11．0 12。（理科）

32? 文科 13、180 14.③ 34三、解答题 （80分）

15. 【解析】（1）∵??[0,?] ∴sin?＞0，∴f (?) = sin?+ cos?……………………1分

又sin2?=

?1= 2sin?·cos?＞0 ∴??(0,)，sin?+ cos?＞0．………………3分

234 由(sin?+ cos?)2 = 1 + 2sin?·cos?=……………………………………5分

3∴sin?+ cos?=223 ∴f (?) =3……………………………………7分 334242????（2）由（1）知f (x) =2sin(x?)，当2k??≤x??2k??时，f (x)是单调递增

的……………………………………………………………9分 ∴2k??3???x?2k??，又0≤x≤?．………………11分 44∴f (x)的单调递增区间为[0，

?]．…………………………12分 416. 解：设?x,y?表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：?1,1?，?1,2?，?1,3?，?1,4?，

?1,5?，?1,6?，?2,1?，?2,2?，……，?6,5?，?6,6?，共36个基本事件．

（1）用A表示事件“x?y?3”，

则A的结果有?1,1?，?1,2?，?2,1?，共3个基本事件． ∴P?A??31?． 3612答：事件“x?y?3”的概率为（2）用B表示事件“x?y?2”，

1． 12则B的结果有?1,3?，?2,4?，?3,5?，?4,6?，?6,4?，?5,3?，?4,2?，?3,1?，共8个基本事件． ∴P?B??82?． 3692． 9答：事件“x?y?2”的概率为

17、理科做：由5AC?BC?4AC?BC知，CosC=-4/5，则SinC=3/5，(1)sin (A+B)=sinC=3/5

(2) 由m?n?1,有sinAcosB-sinBcosA=1/5,且由（1）知，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=3/5,联5立有sinAcosB=2/5,

cosAsinB=1/5,两式相除，有tanA=2tanB,但是tanC=sinC/cosC=-3/4,知tan(A+B)=3/4,联立知tanA=

6?2

文科做：（1）由余弦定理，A=

26? （2）由正弦定理：c=

3318、(１)证明:取CD的中点K,连结MK,NK

∵M,N,K分别为AK,CD1,CD的中点 ∵MK//AD,NK//DD1 ∴MK//面ADD1A1,NK//面ADD1A1 ∴面MNK//面ADD1A1

∴MN//面ADD1A1 (2)VA-PED=V E-PAD=CD?S?PAD?1313a 319\\(1)an+2-an+1=2（an+1-an）知{an+1-an}是公比为2的等比数列；

n-1 n

（2）an+1-an=(a2-a1)2= 2 ,故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+……+(a2-a1)+a1

n-1n-210n

=2+2+……2+2=2-1

1?2x?x?2???20. 理科生做：（1）函数的定义域为??1,???,f??x??2??x?1??. ?x?1?x?1?1分

由f??x??0得x?0; 2分

由f??x??0得?1?x?0, 3分

则增区间为?0,???,减区间为??1,0?. 4分 (2)令f??x??6分 由f?2x?x?2??1??0,得x?0,由(1)知f?x?在??1,0?上递减,在?0,e?1?上递增,

x?1?e?1?1?1?1??2?2,f?e?1??e2?2,且e2?2?2?2, 8分

e?e?e?1??x???1,e?1?时,f?x? 的最大值为e2?2,故m?e2?2时,不等式f?x??m恒成立.

?e?9分

(3)方程f?x??x?x?a,即x?1?2ln?1?x??a.记g?x??x?1?2ln?1?x?,则

2g??x??1?2x?1.由g??x??0得x?1;由g??x??0得?1?x?1. ?1?xx?1所以g?x?在?0,1?上递减;在?1,2?上递增.

而g?0??1,g?1??2?2ln2,g?2??3?2ln3,?g?0??g?2??g?1? 10分 所以,当a?1时,方程无解;

当3?2ln3?a?1时，方程有一个解;

当2?2ln2?a?3?2ln3时,方程有两个解; 当a?2?2ln2时,方程有一个解;

当a?2?2ln2时,方程无解. 13分 综上所述,a??1,???????,2?2ln2?时,方程无解;

a??3?2ln3,1?或a?2?2ln2时,方程有唯一解;

a?(2?ln2,3?2ln3]时,方程有两个不等的解. 14分

文科生做：证明 (1)令x=0 , y= ?1则f (0?1)=f (0)?f (?1) (∵f (?1)≠0) ? f (0)=1 ……2分

当 x<0时, f (x) > 1 >0 ,

当 x>0时, ?x < 0 ∴ f (?x) > 1 >0 由f (0)= f (?x)?f (x) , 0

1<1 f(?x) 故对任意x>0，恒有0

= f (x2?x1)?f (x1) ?f (x1)= [f (x2?x1) ?1] f (x1) <0

∵x2?x1>0 , ∴f (x2?x1) <1 , ∴f (x2) – f (x1)<0

故，f (x)在(–∞，+∞)上是减函数 ……10分 (3) f (x2)?f (y2)= f (x2+y2)≤f (axy)，∴转化为 x2+y2≥axy 对任意实数x、y恒成立， 即x2+y2≥ | axy |= | a| |x| |y| 对任意实数x、y恒成立，

y ∴| a |≤|x| + ||对任意实数x、y恒成立，∴| a |≤2，即?2≤a≤2为所求．

yx ……14分

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