大学物理作业及答案详解1-22

大连理工大学大学物理作业及答案详解

作业1 （静电场一）

1．关于电场强度定义式，下列说法中哪个是正确的？[ ] A．场强E的大小与试探电荷q0的大小成反比。

B．对场中某点，试探电荷受力F与q0的比值不因q0而变。 C．试探电荷受力F的方向就是场强E的方向。

D．若场中某点不放试探电荷q0，则F?0，从而E?0。

答案： 【B】

[解]定义。场强的大小只与产生电场的电荷以及场点有关，与试验电荷无关，A错；如果试验电荷是负电荷，则试验电荷受的库仑力的方向与电场强度方向相反，C错；电荷产生的电场强度是一种客观存在的物质，不因试验电荷的有无而改变，D错；试验电荷所受的库仑力与试验电荷的比值就是电场强度，与试验电荷无关，B正确。

2．一个质子，在电场力作用下从A点经C点运动到B点，其运动轨迹如图所示，已知质点运动的速率是递增的，下面关于C点场强方向的四个图示哪个正确？[ ]

??[解]qE?ma，质子带正电且沿曲线作加速运动，有向心加速度和切线加速度。

存在向心加速度，即有向心力，指向运动曲线弯屈的方向，因此质子受到的库仑力有指向曲线弯屈方向的分量，而库仑力与电场强度方向平行（相同或相反），因此A和B错；质子沿曲线ACB运动，而且是加速运动，所以质子受到的库仑力还有一个沿ACB方向的分量（在C点是沿右上方），而质子带正电荷，库仑力与电场强度方向相同，所以，C错，D正确。

3．带电量均为?q的两个点电荷分别位于X轴上的?a和?a位置，如图所示，则

答案： 【D】

Y轴上各点电场强度的表示式为E= ，场强最大值的位置在y? 。

qyj，y??a/2 答案：E?32??0(a2?y2)2q[解]E?E1?E2 E1?E2?

4??0(a2?y2)关于y轴对称：Ex?0,Ey?2E1cos?

?E?Eyj?qy322j

2??0(a2?y)dE?0 沿y轴正向的场强最大处dy? ? dE322222?(a?y)?y(a?y)2?2y y?a/2 y??a/2处电场最强。 dy24．如图所示，在一无限长的均匀带点细棒旁垂直放置一均匀带电的细棒MN。且二棒共面，若二棒的电荷线密度均为??，细棒MN长为l，且M端距长直细棒也为l，那么细棒MN35受到的电场力为 。

?2答案：ln2，方向沿MN

2??0[解] 坐标系建立如图：MN上长为dx的元电荷dq??dx受力dF?Edq。 无限长带电直线场强E?2l?， 方向：沿x轴正向。

2??0x?2?2?F??dF??dx?ln2；方向沿x轴正向。

l2??0x2??05．用不导电的细塑料棒弯成半径为R的圆弧，两端间空隙为l?l??R?，若正电荷Q均匀

分布在棒上，求圆心处场强的大小和方向。 解：设棒上电荷线密度为?，则：??根据叠加原理，圆心处场强可以看成是半径为R,电荷线密度为?的均匀带电园环（带电量为Q1?2?R?）在圆心处产生的场强E1与放在空隙处长为l，电荷线密度为??的均匀带电棒（可以看成是点电荷q???l）在圆心产生的场强E2的叠加。即：

Q,

2?R?lE0?E1?E2?E1?0,?E0?E2?q2;

4??0R???llQ?)?? E0?(?RR224??0R4??0R(2?R?l)?) (?R(方向从圆心指向空隙处)。

6．如图所示，将一绝缘细棒弯成半径为R的半圆形，其上半段均匀带有电荷Q，下半段均匀带有电量?Q，求半圆中心处的电场强度。

解：按题给坐标，设线密度为?，有：??Q/(dE?(?) 对称性：E0xR) 。上下段分割，任意dQ在圆心产生2?0,Eo?Eoy?2E?y(2E?y)，dE?y??dE?cos?

??

?E0?2??dE?cos???2?dQcos?Qcos???2?Rd???222?4??0R24??R??R0002 方向沿y轴负方向。

7．线电荷密度为?的“无限长”均匀带电细线，弯成图示形状，若圆弧半径为R，试求O点的场强。

答案：按题给坐标，O点的场强可以看作是两个半无限长直导线、半圆在O点产生场强的

????叠加。即：E0?E1?E2?E3

??由对称性，E1和E2在y方向的矢量和为零；在x方向矢量和是单根的2倍。 上半无限长导线取电荷元dq1??dx，它在O点的场强沿x方向的分量：

1qdxxdE1x??

4??0(R2?x2)R2?x2E1x??14??0??(R0?dx2xR2?x2?x2)??18??0??0?d(R2?x2)(R2?x2)1R2?x2

???4??0RE1x?E2x???????i ，E1?E2??2??0R2??0R?由对称性，E3在y方向的分量为零。

在圆弧上取电荷元dq3??Rd?，它在O点的场强的x方向分量，

dE3x?14??0?Rd?R2cos?

?2E3x????4??21?Rd?0R2cos??1?2??0R?，E3?1??2??0Ri

????E0?E1?E2?E3?0

8．一个金属球带上正电荷后，质量有所增大？减小？不变？

答案：理论上说金属带正电后因失去电子，质量有所减少，但测量很困难。 9．以点电荷为中心，半径为R的球面上，场强的大小一定处处相等吗？

答案：如果点电荷是静止孤立的且周围介质均匀分布，则半径为R的球面上，场强大小一定处处相等，在其它情形，不一定处处相等。比如，点电荷周围还有其它的带电体，则球面上的场强应是各场强的叠加，可能不处处相等。

作业2

1．如图所示，把点电荷?q从高斯面外P移到R处?OP?OR?，

O为S上一点，则[ ]

A.穿过S的电通量?e发生改变，O处E变

B.?e不变，E变。 C.?e变，E不变。D.?e不变，E不变。

答案：【B】

[解]闭合面外的电荷对穿过闭合面的电通量无贡献，或者说，

闭合面外的电荷产生的电场，穿过闭合面的电通量的代数和为零；移动点电荷，会使电荷重新分布，或者说改变电荷的分布，因此改变了O点的场强。

2．半径为R的均匀带电球面上，电荷面密度为?，在球面上取小面元?S，则?S上的电荷受到的电场力为[ ]。

?2?S?2?S?2?S C. D. A. 0 B. 22?0?04??0R答案：【B】

解：应用高斯定理和叠加原理求解。如图所示。

面元?S上的电荷受到的库仑力是其他电荷

?在面元?S处产生的总电场强度E1与面元?S上的电荷量?Q???S的乘积：

???F1??QE1???SE1。

??E面元?S处电场强度E是面元?S电荷在此产生的电场强度2与其他电荷在面元?S????处产生的总电场强度E1的矢量和，E?E1?E2。

首先，由高斯定理求得全部球面分布电荷在面元?S处产生的总电场强度 ??? E?R?0其次，面元?S上的电荷量?Q???S对于面元?S来说，相当于无限大带电平面，因此，面元?S上的电荷量?Q???S在面元?S处产生的电场强度为

???E2?R 2?0由叠加原理，其他电荷在面元?S处产生的总电场强度为

?????E1?E?E2?R

2?0面元?S上的电荷量?Q???S受到的库仑力为 ??????2?F1??QE1???SE1???SR??SR

2?02?0注：本题可以用叠加原理直接进行计算，太麻烦。

3．如图所示，一个带电量为q的点电荷位于立方体的A角上，则通过侧面abcd的电场强度通量等于[ ]。 A.

qq B. 6?012?0qq D. C.

24?048?0答案：【C】

[解] ：如果以A为中心，再补充上7个相同大小的立方体，则组成一个边长为小立方体边长2倍大立方体，点电荷q位于大立方体的中心。

由高斯定理，穿过大立方体表面的电通量为q/?0，大立方体的6个正方形表面相对于点电荷q是对称的，所以，穿过大立方体一个侧面的电通量是总电通量的1，即穿过大立

6方体一个侧面（可以考虑abcd所在的侧面）的电通量为

q6?0。

大立方体一个侧面，是由4个小立方体一个侧面组成的，而这4个小立方体侧面对于点电荷q也是对称的，所以，穿过小立方体一个侧面的电通量是穿过大立方体一个侧面的电通量的1，即穿过小立方体一个侧面的电通量为

4q24?0。

4．一半径为R长为L的均匀带电圆柱面，其单位长度带电量为?，在带电圆柱的中垂面上有一点P，它到轴线距离为r?r?R?，则P点的电场强度的大小= ，当r??L时，

E? ，当r??L时，E? 。

解：当r??L时，在柱体中垂面附近，带电柱体可以被看作无限长。以带电柱体的轴为对称轴，过P点作一个高为l（l??L）的柱面为高斯面，

如图所示。则由对称性，柱面高斯面的上下底面处电场强度处处与高斯面的法线垂直，电通量为零；柱面高斯面的侧面上，电场强度近似处处相等，并与高斯面的法线方向平行。则穿过高斯面的总电通量为

????????E?dS?E?dS?E?dS?E?????????dSSS1S2S3?????E?dS?2?rlES2

而高斯面包围的电荷量为

Q??l

由高斯定理，得到

2?rlE??l?0，E?? 2??0r如果r??L，则带电柱面体可以被看作点电荷，则

E??L

4??0r2

注：本题可以使用电场强度叠加原理求解。即将柱面电荷分布微分成线电荷分布。 5．半径为R的不均匀带电球体，电荷体密度分布为

??Ar，式中r为离球心的距离?r?R?，A为常数，则

球体上的总电量Q? 。

[解] 取半径为r、厚度为dr的球壳。认为球壳内电荷分布是均匀的

dQ?4?r2dr?(r)?4?Ar3dr

RQ??04?r2?(r)drR?? A?4rdr??RA034

?6?116．如图所示，一质量m?1.6?10kg的小球，带电量q?2?10?C，悬于一丝线下端，

丝线与一块很大的带电平面成30角。若带电平面上电荷分布均匀，q很小，不影响带电平面上的电荷分布，求带电平面上的电荷面密度。 解：方法一：

???受力分析：小球在重力G?mg（垂直方向），绳中张力T（与带电平面成30度角）及静电??f?qE（水平方向）的共同作用下而处于受力平衡状态。其中E为无限大均匀带电平面（电荷面密度为?）产生的均匀电场，E??/(2?0)，方向应水平向左

Tcos??mg?0 qE?Tsin??0

? ??2?0mgtg??q2?8.85?10?12?1.6?10?6?9.8?2?10?1133 ?8.0?10?6（c/m2）

方法二：利用高斯定理

选择一个柱面为高斯面，柱面的轴垂直于带电平面，柱面包括带电小球并穿过带点平面。由于小球的带电量相对平面的带电量很小则小球的电量q在高斯面中忽略不计。

7．大小两个同心球面，半径分别为R1,R2?R2?R1?，小球上带有电荷q?q?0?，大球上带有电荷Q?Q?0?。试分别求出r?R1,r?R2,R1?r?R2时，离球心O为r处的电场强度。

解：由于电荷、电场分布具有球对称性，可利用高斯定理求场强。 取高斯面S1,S2,S3如图所示。

?S12，E14?r?0 E1?dS?0 （r

?? E1?0 (r〈R1)

??E2?dS?S2??q?0q E24?r??2q?0

r (R2>r>R1) 24??0rrq?QE34?r2?

?0E2??E3??q?Qr (r>R3) 24??0rr?8．两个无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2 ?R2?R1?，带有等值异号电荷，每单位

长度的电量为?（即电荷线密度）。试分别求出r?R1,r?R2,R1?r?R2时，离轴线为r处的电荷密度。

解：由于电荷、电场分布具有轴对称性，可利用高斯定理求场强，取长为L的同轴柱面加上、下底面为高斯面。当高斯柱面的半径r满足： r

?S1E1?dS?0，

??E1?2?l?0 ，

E1?0

R2>r>R1时：

??S2E2?dS?????， ?0E2?2?rl???， ?0??r

2??0rr???????0，E3?0 r>R2时： ?E3?dS?S?09．半径为R、电荷体密度为?的均匀带电球体内部，/有一个不带电的球形空腔，空腔半径为R/，其中心O/到球心O的距离为a，如图所示，求OO的延长线上距球心O为r处的电场强度。 解：利用场强叠加原理，所求场强可看成半径R，电/荷密度?的均匀带电球体与半径R，电荷密度??的/均匀带电球体（球心位于O处）产生场强的叠加， E2??3EP?E?E。 这两球各自产生的场强具有球对称性，利用高斯定理，有 ???/43?R???Q??3? r?OP rr E?224??0r4??0r43?R?????/Q?/3??r?r?a r?O'P E??r'?r'224??0r?4??0r???r?/， rEP?E?E?????R?R??RR?r??r?r?[?] 3?0r2(r?a)2r3?0r23?0(r?a)23333?10．如果点电荷Q只受电场力作用而运动，其轨迹是否就是电场线？ 答案：不一定。 例如，在均匀电场中，如果正电荷以垂直于电场方向的初速度Q进入电场，带电粒子的运动轨迹是抛物线，与电场线不一致；当带电粒子初速度沿着电场强度的方向进入电场时，带电粒子的运动轨迹为直线，而且沿着电场强度方向，运动轨迹与电场线方向一致。 11．如果高斯面上E处处为零，能否肯定高斯面内一定没有净电荷？ 答案：能肯定。 ?E?dS?QS??内/?0，S面上E=0，给出电通量为0，因此Q内?0，即高斯面内的电荷代数和为零，也就是说，高斯面内正负电荷等量。 如果高斯面内的正负电荷分开，这也称为高斯面内存在净电荷，则由于正负电荷分布的不均匀性，必将导致高斯面上电场强度不为零。 12．如果高斯面内没有净电荷，能否断定高斯面上E一定处处为零？ 答案：不能断定。 例如，点电荷的电场处处非0，任取不包含点电荷的闭合曲面，则高斯面内没有净电荷，但高斯面上电场强度不能处处为零。 13．??SE?dS?1?0?Q表明静电场具有什么性质？ ii答案：静电场是有源场。电场线由正电荷出发，终止于负电荷。

作业3

1．电场中某区域内电场线如图所示，将一点电荷从M移到N点则必有[ ]。 A. 电场力的功AMN?0

B.电势能WM?WN

C. 电势UM?UN

D.电势UM?UN

答案：【C】

解：由于静电场的无旋性，电场强度的线积分与路径无关，由M点到N点的线积分（即M点与N点之间的电势差），可以取任意路径。

现取积分路径为：由M点到O点，处处与电场线（电场强度方向）垂直；由O点到N点，处处沿着电场线。则

??UM?UO??E?dl?0，

M?N?NUO?UN??E?dl??Edl?0

OOO因此，M点与N点的电势差为

UM?UN??NM????O?N?NE?dl?(UM?UO)?(UO?UN)??E?dl??E?dl??Edl?0

MOO所以，C正确，D错误。

由M点到O点，电场力所作的功为（设移动电荷量为q）

AMN?q(UM?UN)?q?NM??E?dl

尽管

?NM??E?dl?0，但不知q的正负，无法判断AMN的正负。当q?0，即移动正电荷时，

电场力作功为正，AMN?0；如果移动的是负电荷，电场力作功为负，AMN?0。

电势能是静电场中的带电粒子与电场共同拥有的能量。定义为，点电荷q在静电场中M点时，系统拥有的电势能为：从M点移动电荷q到电势零点的过程中，电场力所作的功，

WM?AM?0???q?E?dl?qUM，静电势能等于电荷量与电荷所在点电势的乘积。电场力

0M所作的功等于静电势能的减少，静电场中M点与N点系统的电势能之差，等于移动点电荷q由M点到N点的过程中电场力所作的功

WM?WN?AM?N???q?E?dl?q(UM?UN)

NM尽管UM?UN?0，但电势能之差还与电荷q有关，不能判断WM?WN的正负。 2．图中，A、B是真空中的两块相互平行的无限大均匀带电平面，电荷面密度分别为??和?2?，若将A板选作电势零点，则图中a点的电势是[ ]。

3?d??d B. 2?0?0?3?d3?d C. D.

2?0?0 A. 答案：【C】

d3?d解：板间电场为E????2??3?。Ua?UA??Edl??

02?02?02?02?0解：建立直角坐标系，如图。

无限大带电平板A、B在两板间的电场强度分别为 ??2???????，E?(?i)?i E1?i22?0?02?0?两板间电场强度为

???????3??E?E1?E2?i?i?i

2?0?02?0电场强度线积分的积分路径为：由板间中点a指向坐标原点

，则 O（板A）

UaO?Ua?UO??0Oa???O?E?dl??E?(?dxi)?a?03?3?d 3????i?(?dxi)???dx?d2?d2?2?000因为UO?0，所以

Ua?3?d 2?03．如图所示，两个同心球面。内球面半径为R1，均匀带电荷Q；外球面半径为R2，是一个非常薄的导体壳，原先不带电，但与地相连接。设地为电势零点，求在两球面之间、距离球心为r处的的P点的电场强度及电势。

??解：取过点P1、半径r1(R1?r1?R2)的同心球面为高斯面S，?E?dS?Q0/?0 ，得到

S?Q2?。 r4?r1E?Q/?0(R1?r1?R2)，电场强度为E?24??0r1电势

UP??R2r??R2E?dl??rQ4??0r12R2??r?dr1??r?????4．一偶极矩为p?ql的电偶极子放在场强为E的均匀外电场中，p与E的夹角为?。求

??0此电偶极子绕垂直于(p,E)平面的轴沿?增加的方向转过180的过程中，电场力做的功。 解：设偶极子正电荷初始位置为a，负电荷初始位置为b。转动后正电荷在b处，负电荷在a处。如图，所作的功相当于，把正电荷?q从a点移到b点电场力做功A(?)与把负电荷?q从b点移到a点电场力做功A(?)之和。

?b?A?A(?)?A(?)?q(Ua?Ub)?(?q)(Ub?Ua)?2q(Ua?Ub)?2q?E?dl

a?????bb?由于p?qba，2q?E?dl?2qE??dl?2qE?ab??2qEbacos???2pEcos?

aa?故有A?2qE?ab??2pEcos? 。（注意电偶极子的方向是由负电荷指向正电荷）

11dr1?(?) 24??0rR24??0r1QQ

5．均匀带电球面，半径为R，电荷面密度为?。试求离球心为r处一点P的电势。 设?1?P点在球内。?2?P点在球面上。（3）P点在球面外。 解：由于球对称性，由高斯定理求得场强分布 E内?0 (r

???4?R2?R2??? (r>R) E外?rr224??0r?0r?选取无限远处为电势零点，则

?U外??E外?dl??E外?dr?????rr???r2??Rdr??R2?R2??dr??r?r?0r2?0r?0r2

(r>R)

U球面??E外?dr?R????R ?0U内??E内?dr?U球面?U球面注意：零势面是无穷远。 r?R??6．电荷Q均匀分布在半径为R的球体内，试求离球心r处?r?R?的电势。 解：电荷体密度 ??Q43?R3 由于电场分布具有球对称性， 利用高斯定理可得 Q内Q r??? ? r?r?r4??0r24??0r24??0R3 (rR) E内????r343U内??E内?dl??E外?dl??rRR?????Rr??Q?Q r??r?dr?r?dr?R4??0r24??0R3 ?Q rQQ22dr?dr?[3R?r]3?r4??R3R4??r28??0R00?2?5?27．（不用看！）一圆盘，半径R?8.0?10m，均匀带电，面密度??2.0?10C?m

。 ?1?求轴线上任一点的电势（该点与盘心的距离为x）

??R?2?由场强与电势梯度的关系，求该点电场强度。

?3?计算x?6.0?10?2m的电势和场强。

解：（1）把圆盘无限分割成许多圆环，其中任一圆环半径为R，宽为dR，该圆环上的电荷量为

dq??dS???2?RdR

////此圆环可以被看作无限细带电圆环，在P点产生的电势为

2?dS??2?R/dR/ r?R/?x2 dU???4??0r4??0r4??0r

dq由电势叠加原理，有

UP??dU????R0?R/dR/??2?0r2?0?RR/dR/R/?x220??[R2?x2?x] 2?0（2）由对称性知，电场沿x方向，

?dU??xE?Exi??i?[1?]i

22dx2?0R?x??1.13?106V/m。x?6.0?10?2m，U?4.5?104V E?4.5?105(V/m) 2?08．半径为R的圆弧ab，所对圆心角?，如图所示，圆弧均匀带正电，电荷线密度为?。

（3）

试求圆弧中心处的电场强度和电势。

解：无限分割带电圆弧为许多电荷元，其中任一电荷元dq??dl??Rd?可看成点电荷，它在O点产生的场强为dE?dqdqdU?，电势为，

4??0R4??0R2//dq/以x轴为对称轴，选另一电荷元dq与dq对称，dq?dq，则有 dE?， 24??0R//由于对称性 dEy?dEy?0，dEx?dEx?2dEx??d?/(2??0R)

/O点总的场强和电势为所有点电荷在该点产生的场强和电势的叠加。

??d???EOx?2?dEx?2?dEcos???2cos??sin

02??R2??0R20??2?d???????? E?sini Uo?2?dU??02??04??02??0R2

??9．?E?dl?0表明静电场具有什么性质？

L答：静电场是无旋场。静电场中，任意两点之间电场强度的线积分与路径无关。静电场中，任意闭合回路电场强度的线积分为零。可以引入电势的概念。 10．电势为零的空间场强一定为零吗？

答：不一定。电势的零点是人为规定的，有意义的是电势差。电势差是电场强度的线积分，线积分为零，不等于电场强度为零。 反例：如果取无限远处电势为零，则两个等量异号电荷的中垂面上各点电势为0，电场不为0（除电荷连线中点）。

?再如，均匀电场E中，连线垂直于电场强度方向的两点a和b，电势差为零，但电

场强度不为零。

11．电场强度为零的空间电势一定为零吗？ 答：不一定。电势的零点是人为规定的。

如，均匀带电球面内部各点场强为0，电势不为0。

但是，电场强度为零，线积分一定为零，空间各点电势相等，电势差为零。例如，处于静电平衡的导体内，电场强度为零，导体是等势体。

作业4

1．如图所示，两个同心金属球壳，它们离地球很远，内球壳用细导线穿过外球壳上的绝缘小孔与地连接，外球壳上带有正电荷，则内球壳上[ ]。 A. 不带电荷

B.带正电 C.带负电荷

D.外表面带负电荷，内表面带等量正电荷

答案：【C】

解：如图，由高斯定理可知，内球壳内表面不带电。否则内球壳内的静电场不为零。

如果内球壳外表面不带电（已经知道内球壳内表面不带电），则两壳之间没有电场，外球壳内表面也不带电；由于外球壳带正电，外球壳外表面带正电；外球壳外存在静电场。电场

强度由内球壳向外的线积分到无限远，不会为零。即内球壳电势不为零。这与内球壳接地（电势为零）矛盾。因此，内球壳外表面一定带电。

设内球壳外表面带电量为q（这也就是内球壳带电量），外球壳带电为Q，则由高斯定理可知，外球壳内表面带电为?q，外球壳外表面带电为q?Q。这样，空间电场强度分布

?，r（两球壳之间：R2?r?R3）

4??0r2??q?Q?，E2(r)?r（外球壳外：R4?r） 24??0r其他区域（0?r?R2，R3?r?R4），电场强度为零。内球壳电势为

????R3???????R3q??q?Q??U??E?dl??E1(r)?dr??E2(r)?dr??r?dr?r?dr22?R2R2R4R24??0rR44??0r??E1(r)?q

?则

q4??0(111q?Q?)??0R2R34??0R4R4qqqQ????0，q??Q

111R2R3R4R4??R2R3R4由于R2?R3?R4，Q?0，所以

q?0

即内球壳外表面带负电，因此内球壳负电。

2．真空中有一组带电导体，其中某一导体表面某处电荷面密度为?，该处表面附近的场强大小为E，则E???0。那么，E是[ ]。

A. 该处无穷小面元上电荷产生的场 B.导体上全部电荷在该处产生的场 C.所有的导体表面的电荷在该处产生的场 D.以上说法都不对

答案：【C】

解：处于静电平衡的导体，导体表面附近的电场强度为E???0，指的是：空间全部电荷分布，在该处产生的电场，而且垂直于该处导体表面。

注意：由高斯定理可以算得，无穷小面元上电荷在表面附近产生的电场为?/2?0；无限大带电平面产生的电场强度也为?/2?0，但不是空间全部电荷分布在该处产生的电场。 3．一不带电的导体球壳半径为R，在球心处放一点电荷。测得球壳内外的电场。然后将此点电荷移至距球心R2处，重新测量电场。则电荷的移动对电场的影响为[ ]。

A. 对球壳内外电场无影响 B.球壳内电场改变，球壳外电场不变 C.球壳内电场不变，球壳外电场改变 D.球壳内外电场均改变

答案：【B】 解：球壳内的电场由球壳内的电荷分布及球壳内表面的总电量决定，球壳外的电场由球壳外

的电荷分布及球壳外表面的总电量决定。

由高斯定理可知，球壳内表面的电荷量与球壳内的电荷量等量异号。球壳内的电荷移动不会改变球壳内表面的电荷量。因此，球壳外表面的电荷量不会受到球壳内电荷移动的影响。由于

静电屏蔽，球壳外表面的电荷分布不受球壳内电荷移动的影响。因此，球壳外的电场强度不受球壳内电荷移动的影响。

球壳外表面的电荷在球壳内和球壳里产生的电场强度为零，不受球壳内电荷移动的影响。

球壳内电荷移动，为保证球壳里的电场强度为零，球壳内表面的电荷要重新分布（净电荷量不变），这将导致球壳内的电场强度改变（电场线变化）。 4．半径分别为R及r的两个球形导体?r?R?，用一根很长的细导线将它们连接起来（即两球相距很远），使两个导体带电，则两球表面电荷面密度的比值?大球?小球为[ ]。

22RrRr D. A. r B.R C.

r2R2答案：【B】

解：由于两球相距很远，近似分别看作孤立导体球。电荷分布相互不影响，都是均匀分布，独自产生电场，电场不叠加。或者说，在对方电场强度线积分的范围内，电场强度为零。这样可以近似分别求得各自的电势（以无限远处电势为零）

?r4?r2Ur?4??r0?R4?R2，UR?

4??0R由于，两个导体球用导线连接，又是一个导体，由静电平衡条件，导体为等势体：

0 5．一面积为S，间距为d的平行板电容器，若在其中平行插入厚度为d2的导体板，则电

?r4?r2?R4?R2?4??r4??0R?Rr? ?

?rR容为 。

?2S E1?E2?

?0d解1：设电荷面密度为?，则电场在两极板之间、导体外处处为?/?0。

答案：C??0两极板电势差为

U?E1a?E2(d/2?a)??d/2?0， 而Q??S?CU，则

2S C??0d解2：可以看作两个平行板电容器的串联。

SS，C2??0

d2?aad2?a111ad????? CC1C2?0S?0S2?0S2?SC?0

d6．两个同心导体球壳，内球壳带电Q，外球壳原不带电，则现外球壳内表面电量 ，外球壳外表面电量 ，外球壳外P点总场强 。

Q? r答案：Q内＝－Q,Q外＝Q, E?24??0rOP7．试计算两根带异号的平行导线单位长度的电容。假设导线的半径为a，相隔距离为d?d??a?，导线为无限长，电荷均匀分布。

解：由题意和场强叠加原理, 两导线间，距?导线为x点的场强为

C1??0

??? E?E1?E2

由高斯定理

??E?dS?Q/?0,

在两个导线之间（平面）的P点，有

?E1???????i，E2??i 2??0x2??0(d?x)点的电场强度为 P???E?E1?E2?????i?i 2??0x2??0(d?x)??d?i2??0x(d?x)两个导线之间的电势为

2?d?a??2???U??E?dl??E1?idx??E2?idx??2111ad?a???d?a dx??dx?ln2??0x2??0(d?x)??0aa故单位长度的电容为 C?dlna8在一大块金属导体中挖去一半径为R的球形空腔，球心处有一点电荷q。空腔内一点A到球心的距离为rA，腔外金属块内有 一点B，到球心的距离为rB，如图4-2所示。求A,B两点的电场强度。S

QL???LULU??0d?alna???0

解：由于电荷q放在球心处，球形空腔内的电场强度具有球对称性，由高斯定理得到A的电场强度

??E?dS?Q/?0,EA?rA 2rA4??0rAqB点在导体内，EB=0

9．有两个无限大平行面带电导体板，如图4-3所示。

证明：?1?相向的两面上，电荷面密度总是大小相等而符号相反；相背的两面上，电荷面密度总是大小相等而符号相同。

?面上的电荷面密度。E

?2?若左导体板带电3C?m?2，右导体板带电7C?m?2，求四个表

解：设4个面电荷分布为?1 、?2 、?3 、?4（暂设为正） (1)做出如图所示的柱形高斯面S1，由于导体内部场强为零，侧

面法线方向与场强方向垂直，故穿过高斯面S1的电通量为零，由高斯定理有，S1面内电荷数为零，即?2???3。

做出如图所示的对称的柱形高斯面S2，侧面法线方向与场强方向垂直；柱形两个底面上，电场强度大小相等，而且都与底面法线方向同向，由高斯定理有

E2?S??1??2??3??4???4???4?S?1?S，E?1?0?02?0

做出如图所示的对称的柱形高斯面S3，由高斯定理有

?1??S，E?1 ?0?0两式联立，即可得到?1??4。

E?S?(2)

??1??2?3?????7?????5C?m?2?3?144 ????2????4?1??2???3??2C?m???2???310．将一个中性的导体放在静电场中，导体上感应出来的正负电荷的电量是否一定相等，这时导体是否为等势体？若在电场中将此导体分为分别带正负电的两部分，两者的电势是否仍相等？

答：(1) 一定相等；是等势体. (2) 不一定. 解：（1）电荷守恒，中性导体感应出来的电荷的电量一定等值异号。只要导体达到静电平衡，导体一定是等势体。（2）分开后，变为两个导体，各自的电荷要重新分布，各自达到静电平衡，各自是等势体，但两个等势体的电势不一定相等。

11．孤立导体带电量Q，其表面附近的场强方向如何？当将另一带电体移近导体时，其表面附近的场强方向有什么变化？导体内部的场强有无变化？

答案：(1)方向为垂直导体面； (2)没有变化; (3)内部场强不变。 解：（1）静电平衡时，导体表面附近的电场强度与该处导体表面。在表面正电荷处，电场强度方向向外；在表面负电荷处，电场强度方向向里。（2）当将另一带电体移近导体时，电荷要重新分布，两个导体的电荷产生的电场叠加，保证导体表面附近的电场强度与该处导体表面。（3）静电平衡时，导体内部电场强度为零。 12．根据电容的定义C?Q，是否可以为系统不带电时电容为零？ U答案：不能这么认为。电容是系统的固有属性，不会因系统带电与否而改变。

作业5

1．一平行板电容器中充满相对介电常数为?r的各向同性均匀电介质。已知介质表面极化电荷面密度为???，则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为[ ]。

???????? C. D. A. B.?02?0?0?r?r答案：【A】

解：极化电荷也是一种电荷分布，除不能自由移动和依赖于外电场而存在外，与自由电荷没有区别。在产生静电场方面，它们的性质是一样的。在电容器中，正是极化电荷的存在，产生的静电场与自由电荷产生的静电场方向相反，使得电容器中总的电场强度减弱，提高了电容器储存自由电荷的能力，电容器的电容增大。或者说，储存等量的自由电荷，添加电介质后，电场强度减弱，电容器两极的电势差减小，电容器的电容增大。 正负极化电荷产生的电场强度的大小都是?电场的电场强度为?//2?0，方向相同，所以，极化电荷产生的

?0。

2．在一点电荷产生的静电场中，一块电介质如图5-1放置，以点电荷q所在处为球心作一球形闭合面，则对此球形闭合面[ ]。

A. 高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强 B. 高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强 C. 由于电介质不对称分布，高斯定理不成立 D. 即使电介质对称分布，高斯定理也不成立

答案：【B】

解：静电场的高斯定理，是静电场的基本规律。无论电场分布（电荷分布）如何，无论有无电介质，也无论电介质的分布如何，都成立。但是，只有在电场分布（电荷分布和电介质分布），在高斯面上（内）具有高度对称时，才能应用高斯定理计算高斯面上的电场强度。否则，只能计算出穿过高斯面的电通量。图示的高斯面上，电场强度分布不具有高度对称性，不能应用高斯定理计算高斯面上的电场强度。

3．半径为R1和R2的两个同轴金属圆筒，其间充满着相对介电常数为?r的均匀介质。设两圆筒上单位长度带电量分别为??和??，则介质中的电位移矢量的大小D? ，电场强度的大小E? 。 答案：D???, E?

2??0?rr2? r解：如图，取柱面高斯面。根据对称性，柱面（高

?斯面）的上下底上，电位移矢量D与高斯面法线

方向垂直；柱面（高斯面）的侧面上，电位移矢由高斯定理，得到

?量D处处大小相等，并与高斯面法线方向平行。

???2?rlD?l?，， D?D?dS?Q0??2? rS电场强度为

?

?0?r2??0?rr4．一带电量q、半径为R的金属球壳，壳内充满介电常数为?的各向同性均匀电介质，壳外是真空，则此球壳的电势U? 。

E?D?答案：

q4??0R

解：由高斯定理，可以求得球壳外电场强度

E?q4??0r?2

取无限远处电势为零，则

U??Ecos?ds?Rq4??0R

5．两个点电荷在真空中相距为r1时的相互作用力等于在某一“无限大”均匀电介质中相距

为r2时的相互作用力，则该电介质的相对介电常数?r? 。

r12答案：?r?2

r2解：在真空中，两个点电荷之间的作用力（库仑力）为F?Q1Q2 24??0r1?/Q1点电荷Q1在“无限大”电介质中产生的电场强度为E1? 24??0?rr点电荷Q2受到的库仑力为F/?Q2E1?依题F/?F

/Q1Q24??0?rr22

Q1Q2Q1Q2r12? ? ?r?2 224??0r14??0?rr2r26．有一同轴电缆，内、外导体用介电系数分别为?1和?2的两层电介质隔开。垂直于轴线的某一截面如图5-2所示。求电缆单位长度的电容。

解：取高斯面为柱面。柱面的半径为r、长度为l，对称轴为同轴电缆的对称轴，柱面在同轴电缆的两极之间。由对称性，高斯面上的上下底面电位移矢量与高斯面法线方向垂直；侧面上，电位移矢量处处大小相等，并且与高斯面平行。由高斯定理,有

?????，R1?r?R3 ， D?rD?dS?2?rlD?q??l0??2? rS则同轴电缆的两极之间的电场强度为

??DE1???1?2??1r??D? ，R1?r?R2；E2?r??2?? ，R2?r?R3 r2??2rR3同轴电缆的两极之间的电势差为

??R2??R3??R2U??E?dl??E1?dr??E1?dr??R2R1R1R2R1??????dr??r?dr2??1r2??2rR2??1R21R3(ln?ln)2??1R1?2R2q0???UU

单位长度的高斯面包围的自由电荷量为q0??

2??0?1?2 R3R2?2ln??1lnR1R27．在一平行板电容器的两极板上，带有等值异号电荷，两极间的距离为5.0mm，充以?r?3则单位长度的同轴电缆的电容为：C?的介质，介质中的电场强度为1.0?10V?m。

求：?1?介质中的电位移矢量；?2?平板上的自由电荷面密度；?3?介质中的极化强度；

6?1?4?介质面上的极化电荷面密度；?5?平板上自由电荷所产生的电场强度，介质面上极化电

荷所产生的电场强度。

?5?2解：(1) D??E??0?rE?2.655?10C?m ?5?2 (2) ?e0?D??0?rE?2.655?10C?m

?5?2 (3) P??e?0E?1.77?10C?m

(4) ?e?P?1.77?10?5C?m?2

6?1 (5) E0??e0/?0??rE?3.0?10V?m，

/E/?E0?E?(?r?1)E?2.0?106V?m?1

1.77?10?5C?m?26?1?2.0?10N?C 或E??e/?0? ?122?1?28.85?10C?N?m8． 一导体球，带电量q，半径为R，球外有两种均匀电介质。第一种介质介电常数为?r1、厚度为d，第二种介质为空气?r2?1充满其余整个空间。求球内、球外第一种介质中、第

//二种介质中的电场场强、电位移矢量和电势。 解：由高斯定理，得到电位移矢量的空间分布

D1?0，（r?R）；D2?D3?电场强度的空间分布：

q，（R?r）。 4?r2E3?，（R?r?R?d）；

?R?d???E3?dr??RE1?0，（r?R）；E2?球壳内电势：（r?R）

?q4??0?r1r2q4??0r2，（r?R?d）。

??R??R?d??U1??E?dl??E1?dr??E2?dr?rrRq4??0?r1r2?dr?R?dR?d?q4??0r2dr 11q?)?4??0?r1RR?d4??0(R?d)球外第一种介质中的电势：R?r?R?d ????R?d?R?d???U2??E?dl??E2?dr??E3?dr???(rrR?drqq4??0?r1r2?dr?2R?d4??0r?qdr 11q(?)?4??0?r1rR?d4??0(R?d)球外第二种介质中的电势：r?R?d ???????qq U1??E?dl??E3?dr??dr??24??0rrrr4??0r9．半径为R的均匀带电金属球壳里充满了均匀、各向同性的电介质，球外是真空，此球壳

Q的电势是否为？为什么？

4??R?Q?，球壳电势为 r答：球壳外电场分布E?24??0r?q???U??E?dl???RRQ4??0r2???dr??rR?Q4??0r2dr??Q4??0R

作业6

1．真空中有一均匀带电球体和一均匀带电球面，如果它们的半径和所带的电量都相等，则它们的静电能之间的关系是[ ]。 A. 球体的静电能等于球面的静电能 B. 球体的静电能大于球面的静电能 C. 球体的静电能小于面的静电能

D. 球体内的静电能大于球面内的静电能，球体外的静电能小于球面外的静电能 答案：【B】

解：设带电量为Q、半径为R，球体的电荷体密度为?。

由高斯定理，可以求得两种电荷分布的电场强度分布

??Q02，E?E?dS?2?rE???SQ02??0r2?0

对于球体电荷分布：

43?r?2r?QE1?3??0E?，（）；，（r?R）。 r?R22??0r22??0r23?0对于球壳电荷分布：

E1?0，（r?R）；E2?//Q2??0r2，（r?R）。

可见，球外：两种电荷分布下，电场强度相等；球内：球体电荷分布，有电场，球壳电荷分

布无电场。

静电场能量密度??1?0E2 2两球外面的场强相同，分布区域相同，故外面静电能相同；而球体(并不是导体)内部也有电荷分布，也是场分布，故也有静电能。所以球体电荷分布时，球内的静电场能量，大于球面电荷分布时，球内的静电场能量；球体电荷分布时，球外的静电场能量，等于球面电荷分布时，球外的静电场能量。

2．C1和C2两空气电容器串联起来接上电源充电，然后将电源断开，再把一电介质板插入C1中，如图6-1所示，则[ ]。

A. C1两端电势差减少，C2两端电势差增大

B.C1两端电势差减少，C2两端电势差不变 C.C1两端电势差增大，C2两端电势差减小 D. C1两端电势差增大，C2两端电势差不变

答案：【B】

解：电源接通时，给两个串联的电容器充电。充电量是相同的，是为Q。则两个电容器的电压分别为

QQ，U2? C1C2电源断开后，C1插入电介质，两个电容器的电量不变，仍然都是Q。但C1的电容增大，U1?因此C1两端的电压降低；而C2不变，因此，C2两端的电压不变。

3．一平行板电容器，板间相距d，两板间电势差为U，一个质量为m，电荷为?e的电子，

从负极板由静止开始向正极板运动，它所需的时间为[ ]。

md2md22md2md2 B. C. D. A.

eU2eUeUeU答案：【D】 解：两极间的电场E?UeUFeU ，电子受力F??eE?? ?a??ddm2d122md2由d?at?t?

2eU4．将半径为10cm的金属球接上电源充电到3000V，则电场能量W? 。

?5答案：5?10(J)

解：孤立导体球的电容为：C?4??0R，所以，充电到U?3000V时，

11W?CU2??4??0RU2?2?3.14?8.85?10?12?0.1?30002?5?10?5(J)

225．A、B为两个电容值都等于C的电容器，已知A带电量为Q，B带电量为2Q，现将A、B关联在一起后，则系统的能量变化?W? 。

Q2答案：?

4CQ2(2Q)25Q2??解：未并联前，两电容器储存的总能量为：W? 2C2C2C//当并联后，总电容为：C?C?C?2C，总电量不变：Q?Q?2Q?3Q，

Q/3Q则并联后，总电压为：U?/?

2CC1//213Q29Q2/)?并联后，储存的总能量为：W?CU??2C?(

222C4C9Q25Q2Q2/???系统的能量变化为：?W?W?W? 4C2C4C6．一平行板电容器电容为C0，将其两板与一电源两极相连，电源电动势为?，则每一极板

/上带电量为 。若在不切断电源的情况下将两极板距离拉至原来的两倍，则电容器内电场能量改变为 。 答案：C0?，?1C0?2 4解：（1）Q?C0U?C0? 。电容器储存的静电场能量为W?（2）当增大两极板的距离时，平行板电容器电容为C?/11C0U2?C0?2 22/1C0。因为电源未切断，故电容2两端电压U?U??不变，则电容器储存的静电场能量为

W/?1//21CU?C0?2 24/电容器储存的静电场能量的变化为：?W?W?W??1C0?2 47．两层相对介电常数分别为?r1和?r2的介质，充满圆柱形电容器之间，如图6-2示。内外圆筒（电容器的两极）单位长度带电量分别为?和??，求：?1?两层介质中的场强和电位

移矢量；?2?此电容器单位长度的电容。

答案：同作业5中第6题的计算。

8．充满均匀电介质的平行板电容器，充电到板间电压U?1000V时断开电源。若把电介质从两板间抽出，测得板间电压U0?3000V，求：?1?电介质的相对介电系数?r；?2?若有

?3介质时的电容C1?2.0?10?F，抽出介质后的电容C0为多少？?3?抽出电介质时外力所

做的功。

解：(1)有电介质和无电介质时，电容器的电容间的关系：C??rC0，切断电源，电容器带电量不变，?CU?C0U0 ，?rC0U?C0U0 ，??r?(2) C0?U0?3 UC?r1122-3-3(3) W?CU?1?10J,W0?C0U0?3?10J A外?W0-W?2?10-3J

229．有一导体球与一同心导体球壳组成的带电系统，球的半径R1?2.0cm，球壳的内、外半径分别为R2?4.0cm，R3?5.0cm，其间充以空气介质，内球带电量Q?3.0?10C时，求：?1?带电系统所存储的静电能；?2?用导线将球与球壳相连，系统的静电能为多少？ 解：(1)由导体的静电平衡条件和电荷守恒定律、高斯定理，可分析得：导体球上所带电量

在球面，电量为?Q；球壳内表面带电量为?Q，外表面带电量为?Q 。

由高斯定理可得各个区域的电场分布：

?8?6.7?10-4?F

E0?0(r?R1)，E1?Q4??0r2(R1?r?R2)，

2E2?0(R2?r?R3)，E3?带电系统所储存的能量为：

Q4??0r(r?R3)

1We??dWe???0E2dV23211112222???0E0dV???0E1dV???0E2dV???0E3dV22220R1R2R3R1RR?1122???0E1dV???0E3dV22R1R31Q1Q2???0()2?rdr??()22?rdr022?224??0r4??0rR1R3Q2111?(??)8??0R1R2R3R2?R2?

(2) 当内球与球壳连在一起时，由于球与球壳是等势体，在球与球壳之间没有电场，E1?0；在两面上的电量中和，只有球壳外表面带?Q电量，电场只分布在r?R3区域，可求得：

111QQ2222 We??dWe???0EdV???0E3dV???0( )2?rdr?22228??0R34??0rR3R3

??作业7

1.在一个长直圆柱形导体外面套一个与它共轴的导体长圆筒，两导体的电导率可以认为是无限大。在圆柱与圆筒之间充满电导率为?的均匀导电物质，当在圆柱与圆筒上加上一定电压时，在长为l的一段导体上总的径向电流为?,如图7-1所示，则在柱与筒之间与轴线的距离为r的点的电场强度为[ ]。

2?r?? B. 2l?2?rl??l??C. D.

2?r2?2?rlA.

答案：【B】

解：如图，通过半径为r、高为l的圆柱侧面的总电流为I，则该处的电流密度为

J?I2?rl

由电流密度与电场强度的关系

，得到 J??E（?为电导率）

E?JI?2?rl???2.一电子以匀速率v作圆周运动，圆轨道半径为R,它相当于一个

圆电流，如图7-2所示，其电流强度是[ ]。 A.

?I

2?rl?e?e? B. 22?R?RC. e? D. e

答案：【A】

解：在电子运动轨道上固定一个横截线，电子一个周期通过一次该横截线，即在一个运动周期T时间内，通过横截线的电量为e，因此，电流为

I?ee?T2???e?ev ?2?2?R3.单位正电荷从电源的负极通过电源内部移到正极时非静电力所作的功定义为该电源的电动势，其数学表达式为 。

??答案：???Ek?dr

??4.有一根电阻率为?、截面直径为d、长度为L的导线。若将电压U加在该导线的两端，则单位时间内流过导线横截面的自由电子数为 ；若导线中自由电子数密度为n，则电子平均飘移速率为 。

?d2?UU答案：， vd?

4?Len?Le解：（1）设单位时间内流过导线横截面的自由电子数为N，则单位时间内流过导线横截面

的电量为eN，这就是电流，I?eN。按电流与电压的关系

U?IR?I?L SSU则 N??e?L?()2Ud2e?L?d2U ?4e?LL，即在?t内，电子全部通过以L为高、以S为底vd的柱形底面，即在?t内柱形内的电子全部通过底面，其他电子都没有通过。因此，在?t内

（2）电子漂移距离L所用时间?t?通过底面的电量为

?q?enLS 因此，电流为

I? 即得到

?qenLS??enSvd ?t?t?qSUU?enSvd?vd?，? ?t?Len?L5.如图7-3所示的导体中，均匀地流着10A的

22电流，已知横截面a?1cm，b?0.5cm，c

0的法线与轴线夹角为60，试求：（1）三个面

I?与轴线交点处的电流密度。（2）三个面上单位面积上的电流密度通量dI。 解： (1)

Ja?(2)

I?105A2mS1Jb?I?2?105A2mS2Jc?Jb?2?105Am2

dI1?Ja?105Am2dI2?Jb?2?105Am2dI3?Jccos60??Jc?105A2m26.圆柱形电容器，长为l，内、外两极板的半径为rA，rB，在两极板间充满非理想电介质，其电阻率为?，设在两极间加电压VAB。求：（1）介质的漏电阻R；（2）漏电总电流I；（3）漏电流密度j；（4）介质内各点的场强。

dr??S 这里r?r?dr的球壳层的横截面可认为相同，

rdrdrdr?球壳层的漏电阻：dR????(rA?r?rB)?R??????nB

S2?rl2?rl2?lrA解：(1) R?dR??VABVAB?2?l ?rR???nBrAVABI(3)j? ?r2?rlr???nBrAVABj(4)E??

rlr????nBrA(2) I?

作业8

1.如图8-1所示，载流的圆形线圈（半径a1）与正方形线圈（边长a2）通有相同电流，若两个线圈中心O1，O2 处的磁感应强度大小相同，则半径a1与边长a2之比为[ ]。 A. 2?:4 B. 2?:8

C. 1:1 D. 2?:1 答案：【B】

解： 圆电流I在其轴线上产生的磁场的磁感应强度为 B1??0a12I2(a1?x)2232，方向沿着轴线

在圆心处（x?0），B1??0I2a1。

通电正方形线圈，可以看成4段载流直导线，由毕萨定律知道，每段载流直导线在正方形中心产生的磁场的磁感应强度大小相等，方向相同，由叠加原理B2?4B2。

/B2?/?0I?I?0I(cos?1?cos?2)?0(cos450?cos1350)?

a24?a2?a24?2

B1??0I2a1?B2?4B2?4/?0I2?a2

a18? a22?2. .如图8-2所示,四条平行的无限长直导线，垂直通过边长为

每条导线中的电流都是I?20A，这四条导a?20cm正方形顶点，

线在正方形中心O点产生的磁感应强度为[ ]。

A. B?0.8?10T B. B?1.6?10T C. B?0 D. B?0.4?10T 答案：【A】 解：建立直角坐标系，则4根无限长载流直导线在正方形中心产生的磁感应强度为

?4?4?42?acos45?2?acos45??????0I?0Ii，B4?j B3?2?acos45?2?acos45??B1??0I??i，B2??0I?j

?????B?B1?B2?B3?B4???2?0I(i?j) ?2?acos45B?8?10?5T

3.一根无限长直导线abcde弯成图8-3所示的形

0状，中部bcd是半径为R、对圆心O张角为120的圆弧，当通以电流I时，O处磁感应强度的大小B? ，方向为 。a

?I?I答案：B?0＋0(2?3)，

6R2?R方向垂直纸面向里

解：将整个载流导线分为三段：直线ab 、圆弧bcd、直线de。

由毕萨定律可以判断出，三段载流导线在圆心处产生的电磁感应强度方向均沿着垂直纸面向里，因此，总的电磁感应强度方向沿着垂直纸面向里。

两段载流直线在圆心处产生的电磁感应强度

Ba?b?Bd?e?0I(2?3) 4?R4?Rcos60??0I?0I???(cos120?cos180)?(2?3)

4?R4?Rcos60?(cos0??cos30?)??0I三分之一圆弧在圆心处产生的电磁感应强度

Bbcd??0I2R?1?0I? 36R在圆心处产生的总电磁感应强度

B?Ba?b?Bbcd?Bd?e??0I6R＋?0I(2?3) 2?R方向垂直纸面向里。

4. 如图8-4所示,两个同心半圆弧组成一闭合线圈，通有电流I，设线圈平面法向n垂直纸面向里。则圆心O点的磁感应强度B? ， 线圈的磁矩

?

?

?m? 。R1

??I11???I2??)n, m?(R2答案：B?0(?R12)n

4R2R12解：由毕萨定律可知，两个半圆连线上的电流圆心O处产生的电磁感应强度为零在半径为R1?的半圆弧在圆心O处产生的电磁感应强度垂直于纸面向外（与n反向）

?1?0I??I?B1＝(?n)??0n

22R14R1?半径为R2的半圆弧在圆心O处产生的电磁感应强度垂直于纸面向里（与n同向）

?1?0I??0I?B2＝n?n

22R24R2再由毕萨定律可知，两个半圆连线上的电流圆心O处产生的电磁感应强度为零

??B3?B4?0

圆心O处总的电磁感应强度

??????I11?B?B1?B2?B3?B4?0(?)n

4R2R1线圈的磁矩

???11122?22?m?IS?ISn?I(?R2??R1)n??I(R2?R1)n

2225．在坐标原点有一电流元Idl?3?10???3?A?m。试求该电流元在下列各点处产生的磁感

?应强度dB？

（1）(2,0,0)；（2）(0,4,0)；（3）(0,0,5)；（4）(3,0,4)；（5）(3,4,0) 解：该电流元产生的电磁感应强度表示为

??????0Idlrr?3?3?10?10k?3 dB?4?rr??2i?????10?0.75?10?10j(T) ①r?2i，dB?3?10k?8??????4j?10?11②r?4j，dB?3?10k?3??1.875?10i(T)

4???③r?5k，dB?0

???????3i?10?12r?3i＋4kr?5?7.2?10j(T) ④，dB?3?10k?125?????????(3i?4j)?10?12⑤r?3i＋4j,r?5，dB?3?10k??2.4?10(3j?4i)(T)

1256.从经典观点来看，氢原子可看作是一个电子绕核高速旋转的体系，已知电子以速度

2.2?106m?s?1在半径r?0.53?10?10m的圆轨道上运动，求：电子在轨道中心产生的磁感

应强度和电子的磁矩大小。 解： 角速度??v/r?2?/T，I?eev??1.057?10?3A T2?r2r7.在一半径R?1.0cm的无限长半圆柱形金属薄片中，自上而下地有电流I?3.0A通过，试求：圆柱轴线上任一点的磁感应强度。 解：如图，取过场点O的横截面为xy平面，横截面与金属薄片的交集为一个半圆弧。可以将电流I分成无限多小的无限长电流dI，圆心角为? -??d? 的电流强度为

B??0I?12.53(T)m?I?r2?9.3?10?24(A?m2)

dI?IIRd??d? ?R?它对场点的磁场贡献为

???0(I/?)d??dB?(?sin? i?cos? j)

2?R对? 从0到? 积分，可得

????I?0I?B?02(?2 i)??2 i??3.82?10?5i(T)2?R?R

8.在电子仪器中，为了减小与电源相连的两条导线的磁场，通常总是把他们扭在一起，为什

么？

答：与电源相连的两根导线的电流方向相反，扭在一起可以使磁场尽可能相互抵消，以免产生磁干扰。

作业9

1. .如图9-1所示,在无限长载流导线附近作一球形闭合曲面S当面S向长直导线靠近的过程中，穿过面S的磁通量?及面上任一点P的磁感应强度B大小的变化为[ ]。 A. ?增大，B不变

B. ?不变, B增大

C. ?增大，B增大 D. ?不变, B不变 答案：【B】

S??解：由磁场的高斯定理??B?dS?0，即穿过闭合曲面的磁通量为零，或者说，磁感应线为

闭合曲线，所以?不变；由于长直载流导线的磁场B???0I2?a，与距离成反比，所以，

当闭合曲面靠近载流直导线时，闭合曲面上各点的磁感应强度增大。

2.一电子以速度?垂直地进入磁感应强度为B的均匀磁场中，此电子在磁场中运动的轨迹所围的面积内的磁通量将是[ ]。

A.反比于B，正比于? B. 反比于B,正比于?

C. 正比于B，反比于? D. 正比于B，反比于? 答案：【A】 解：电子垂直于磁场进入磁场，将在洛伦兹力的作用下，在垂直于磁场的平面内作圆周运动。

电子在磁场中运动的轨迹半径

22?R?mv qB由于磁场与面积S垂直， 所围的面积内的磁通量

???m2v22 ??B?S??RB?2qB3. 如图9-2所示,一无限长密绕真实螺线管，通电流强度为I。对套在螺线管轴线外的环路L（螺线管穿过环路）

???答案：?B?dl??I

L0作积分B?dl? 。

??解： ①根据安培环路定理；②真实螺线管。

4.两平行长直导线相距0.4m，每条导线载有电流10A (如图9-3所示),则通过图中矩形面积abcd的磁通量?m? 。

答案：1.1?10 Wb

解：电流I1和I2大小相等，方向相反，由毕萨定律可以判知，它们在矩形面积内产生的电磁感应强度方向均垂直于纸面向外。由对称性可知，电流I1和I2产生的电磁感应强度穿过矩形面积的磁通量大小相等，因

?6此只须计算一个电流产生磁场的磁通量。

B1??0I1 2?xd??0.3ab?0I?1??B1?dS?ab?B1dx?ln3

a0.12?ab?0Iln3?10?10?7ln3?1.1?10?6(Wb) ??2?1??5.有一很长的载流导体直圆管，内

半径为a，外半径为b，电流强度为I，电流沿轴线方向流动，并且均匀地分布在管壁的横截面上，如图9-4所示。求空间各点的磁感应强度，并画出B?r曲线（r为场点到轴线的垂直距离）。

解：以轴线为中心的同心圆各点场感应强度大小相等，方向沿圆周切线。取此同心圆为环路，由对称性可知，在积分环路上，感应强度大小相等，方向均沿着环路。应用安培环路定理，

???B?dl??Bdl?2?rB??0?I0

LL电流密度为j?I，则

?(b2?a2)r2?a2?I0?0,(r?a)；?I0?Ib2?a2,(a?r?b)；?I0?I,(r?b)。

磁感应强度分布为

?0I(r2?a2)B?0(r?a)；B?(a?r?b)；

2?r(b2?a2)?IB?0(r?b)

2?r6.矩阵截面的螺线环，尺寸见图9-5。（1）求环内磁感应强度的分布；（2）证明通过螺线环截面（图中阴影区）的磁通量为

???0NIhD1ln，其中N为螺线环线圈总匝数，I为其中2?D2电流强度。

解：（1）在与螺线环同心的圆周上各处磁场大小相同，方向沿圆周切线。取此圆周为环路，应用安培环路定理，

???0NIB?， ； B?dl?Bdl?2?rB??NI0??2?rLL（2）d??Bhdr

???d??N0D1/2?D1/2D2/2?Bhdr

??0NI?0NIhD1hdr?ln?2?r2?D2D/227.在无电流的空间区域，如果磁感应线是平行直线，则磁场一定是均匀的，为什么？

?/?/证明： 用高斯定理，可以证明图中B1?B2；

??用安培环路定理，可以证明图中B1?B2

命题得证

作业10

1.如图10-1所示, 半导体薄片为N型，则a、b两点的电势差Uab [ ]。

A.小于零

B.等于零 C.大于零 答案：【A】

解：N型半导体是电子导电，电子在外电压的作用下，沿电流相反方向漂移。这一定向运动，在外磁

???场的作用下，电子受到洛伦兹力，F??ev?B，方向由b指向a，即电子还要向a端漂移。这样，在a端积聚负电荷，在b端积聚正电荷，形成一个由b指向a的横向电场，这一横向电场阻止电子向a端积聚。随着电子的积聚，横向电场越来越大，当电子受到的横向电场的

库仑力与电子受到的洛伦兹力达到平衡时，电子不再宏观的横向漂移，形成稳定的横向霍尔电场，在a、b两端形成稳定的霍尔电压。

由于b端是正电荷、a端是负电荷，所以，b端电势高、a端电势低。

2.如图10-2所示,半圆形线圈半径为R，通有电流I，在磁场B的作用下从图示位置转过

300时，它所受磁力距的大小和方向分别为[ ]。

?R2IBA. ,沿图面竖直向下

4?R2IBB. ,沿图面竖直向上

43?R2IBC. , 沿图面竖直向下

43?R2IBD. , 沿图面竖直向上

4答案：【D】

解：载流线圈的磁矩为

???1?m?IS?ISn??IR2n

2载流线圈在磁场中受到的磁力矩为

???1?2?M?m?B??IRn?B

2?如图，在没有转动前，n垂直于纸面向外，与磁场垂直，载流线圈受到的磁力矩最大

1M??IR2B

2方向为竖直向上，在这一磁力矩的作用下，线圈将转动。从上俯视，线圈逆时针转动。

当线圈转过30时，n与磁场成60角，则此时线圈受到的磁力矩为

0?0132M?mBsin60???R2IBsin60???RIB

24方向为：竖直向上。 如图，俯视图。

3.在一无限长刚性载流直导线产生的磁场中，把同样的载流导线分别从a处移到c处、从b处移到c处（a、b、c位置如图10-3所示）。在移动过程中导线之间保持平行，若两次移动磁力做的功分别记为Aac和Abc，则[ ]。 A. Aac?Abc?0 B. Aac?Abc?0 C. Aac?Abc D. Aac?Abc

??答案：【B】 Fdr

???解：由毕萨定律和安培力dF?Idl?B，可以判断出，

载流直导线受到的安培力指向圆心。因此，无论载流直导线从a移动c，还是从b移动c，安培力都作正功，不为零。

如图，从a移动c，安培力作功

????dAac?F?dS?F?dr?Fdr； 从b移动c，安培力作功

??dAbc?F?dS?FdScos??Fdr。

而从a移动c和从b移动c，矢径r的变化是一样

的，因此，两种情况，安培力作功相同。 4. 一长直导线载有10A的电流，在距它为a?2cm处有一电子由于运动受洛仑兹力f的方向如图10-4所示，且f?1.6?10???16N。

设电子在它与GE组成的平面内运动，则电子的速率

?? ，在图中画出?的方向。

7答案：v?10m/s

解：电子在GE平面内运动，即速度与洛伦兹力在同一平面内。而G点的磁场方向垂直纸面（GE平面）向里，所以电子运动速

度与磁场垂直。

???f?qv?B，f?qvB

而G点的电磁感应强度为

?0I4??10?7?10 B???10?4(T)

2?a2??0.02所以，电子的运动速率为

f1.6?10?167v???10m/s ?19?4qB1.6?10?10由洛伦兹力公式，可以找出电子（带负电荷）在G点的速度方向，如图。可见，电子将逆时针旋转。

5.在空间有同样的三根直导线，相互间的距离相等，各通以同强度同方向的电流，设除了磁相互作用外，其他影响可忽略，则三条导线将 运动。 答案：向三角形中心运动。

解：如图，因为同向电流导线相吸引。所以，三条载流导线向三角形中心O运动。 6.厚度2cm的金属片，载有20A电流，处于磁感应强度为2.0T的均匀磁场中，（如图10-5所示），测得霍尔电势差为4.27?V。 （1）计算片中电子的漂移速度。 （2）求带电电子的浓度。 （3）a和b哪点电势较高？

（4）如果用P型半导体代替该金属片，a和b哪点电势高？

解：(1) 当稳定时，金属中自由电子所受磁场的洛仑兹力与霍尔电场库仑力平衡

VH lVH4.27?10?6vd??Bl2.0?2?10?2 ?1.07?10?4(m/s)(2)ab两端的霍尔电势差为

1IB VH?neh evdB?eEH?e得电子浓度为

n?IB?2.93?1028(1/m3)

eVHh(3) 如图，在金属中，在外电场的作用下，自由电子的运动方向与电流的方向相反。由洛伦

?????兹力F?qv?B??ev?B

可知，电子受到的洛伦兹力方向是由a指向b，电子向b端偏转。b端积聚负电荷，a端积聚正电荷。所以a点电势高，b点电势低。

(4)P型半导体是空穴导电，即正电荷导电，如图。正电荷空穴的运动方向与电流方向相同。洛伦兹力

???F?qv?B，仍然是由a指向b，但此时是正电荷空穴向b端偏转，b端积聚正电荷，a端积聚负电荷。所以b点电势高，a点电势低。

7.一矩形线圈，边长为8cm和10cm，其中通10A电流，放在B?0.5T的均匀磁场中，线圈平面与磁场方

向平行（10-6所示）。 求：（1）线圈所受力矩的大小和方向；

（2）若此线圈受力矩作用转到线圈平面与磁场垂直的位置，力矩做功多少？

解：(1) 载流线圈在磁场中所受的磁力矩为

?????M?m?B?ISn?B

当载流线圈平面与磁场平行时，载流线圈平面的法线

?方向n与磁场垂直，磁力矩最大

M?mB?Il1l2B?0.04(N?m)

方向：载流线圈平面的法线方向n垂直纸面向外，所以，磁力矩方向竖直向上。 (2) 在载流线圈转动过程中，磁力矩做的功等于：

A?I(?2??1)

?这里：?1?0；?2?BS?Bl1l2 所以：A?IBS?0.04J

作业11

1.载流长直螺线管内充满相对磁导率为?r的均匀抗磁质，则螺线管内中部的磁感应强度B和磁场强度H的关系是[ ]。

A. B??0H B. B??rH C. B??0H D. B??0H 答案：【D】

解：对于非铁磁质，电磁感应强度与磁场强度成正比关系

B??0?rH 抗磁质：?r?1，所以，B??0H

2.在稳恒磁场中，关于磁场强度H的下列几种说法中正确的是[ ]。 A. H仅与传导电流有关。

B.若闭合曲线内没有包围传导电流，则曲线上各点的H必为零。 C.若闭合曲线上各点H均为零，则该曲线所包围传导电流的代数和为零。 D.以闭合曲线L为边界的任意曲面的H通量相等。 答案：【C】

L????????解：安培环路定理?H?dl??I0，是说：磁场强度H的闭合回路的线积分只与传导电流

?有关，并不是说：磁场强度H本身只与传导电流有关。A错。

?闭合曲线内没有包围传导电流，只能得到：磁场强度H的闭合回路的线积分为零。并

?不能说：磁场强度H本身在曲线上各点必为零。B错。

???高斯定理??B?dS?0，是说：穿过闭合曲面，场感应强度B的通量为零，或者说，.??以闭合曲线L为边界的任意曲面的B通量相等。对于磁场强度H，没有这样的高斯定理。

?不能说，穿过闭合曲面，场感应强度H的通量为零。D错。

???安培环路定理?H?dl??I0，是说：磁场强度H的闭合回路的线积分等于闭合回路

LS包围的电流的代数和。C正确。

3.图11-1种三条曲线分别为顺磁质、抗磁质和铁磁质的B?H曲线，则Oa表示 ；Ob表示 ；Oc表示 。 答案：铁磁质；顺磁质； 抗磁质。

4.某铁磁质的磁滞回线如图11-2 所示，则图中Ob（或Ob）表示 ；Oc（或Oc）表示 。 答案：剩磁；矫顽力。

5.螺线环中心周长l?10cm，环上线圈匝数N?300，线圈中通有电流I?100mA。（1） 求管内的磁场强度H和磁感应强度B；（2）若管内充满相对磁导率?r?4000的磁介质，则管内的H和B是多少？（3）磁介质内由导线中电流产生的B0和磁化电流产生的B'各是多少？

''?解：(1) 做一圆形的环路，由H 的安培环路定理：

???H?dl?? I

H?2?r?NI ，

H?NINI??nI?300 (A/m) 2?rl 对管内，此时无磁介质，则：

?r?1 ?B0??0H?3.77?10-4T

(2) 管内充满磁介质时，?r?4200 ?B??0?rH?1.58T

-4(3) 磁介质内由导线中电流产生的磁场B0??0H?3.77?10T

由磁化电流产生的磁场B??B?B0?1.58T 6.一无限长圆柱形直导线，外包一层相对磁导率为?r的圆筒形磁介质，导线半径为R1，磁介质外半径为R2，导线内有电流I通过（见

图11-3）。求：（1）介质内、外的磁感应强度的分布，画出B?r图线；（2）介质内、外的磁场强度的分布，画出H?r曲线。

解：在以圆柱轴线为对称轴的圆周上，各处磁场强度大小相等且沿圆周切线方向。应用H的安培环路定理，

???H?dl?2?rH??I0

L? r2 r2r2在导体内，r?R1：?I0?I?I2，2? rH?I2 (r?R1), 2?R1R1R1在导体外，r?R1：?I0?I，2? rH?I (r?R1), 2?rH?I (r?R1),

因此

(r?R1)?I/ (2? r) H?? 2Ir/(2?R) (r?R)11???0Ir/(2?R12) (r?R1)?B???0?rI/ (2? r) (R1?r?R2)

??I/ (2? r) (r?R)02?

??7.介质中安培环路定理为?H?dl??Ii，?Ii为正向穿过闭合回路L的传导电流的代数

L和，这是否可以说：H只与传导电流有关，与分子电流无关？ 答案：不能。

??解：介质中的安培环路定理说明定理的左端，即H的环流只也传导电流有关，与分子电流

???无关；并不可以说H只与传导电流有关，与分子电流无关。这里H的环流和H是两个不同

的概念。

r

R1

作业 12

1.在如图12-1所示的装置中，当不太长的条形磁铁在闭合导线圈内作振动时（忽略空气阻力），则[ ]。 A.振幅不变

B.振幅先减小后增大 C.振幅会逐渐加大 D.振幅会逐渐减小 答案：【D】 解：楞次定律。

当磁铁在闭合导线圈内作振动时，穿过线圈的磁场变化，在线圈中产生感生电动势，在闭合线圈中有感生电流。这一电流又产生磁场，但总是阻碍由于磁铁的振动而引起的穿过线圈的磁场的变化。弹簧与磁铁组成的振子的振动能量会逐渐减小，因此，振幅会逐渐减小。

振子会损失能量，损失的能量，通过线圈中的感生电流转化为焦耳热。? 2.如图12-2所示，在均匀磁场B中，有一半径为R的导体圆盘，盘面与磁场方向垂直，当圆盘以匀角速度?绕过盘心的与B平行的轴转动时，盘心O与边缘上的A点间，其电势差VO?VA等于[ ]。

??1122221122C. ?RB D. ??RB

44A. ?RB B. ??RB

答案：B】

解：由于导体圆盘，相当于有无数多由盘心到盘边的直导线绕盘心O转动，切割磁场线，生的动生电动势为

??因此，会在盘心O与盘边产生动生电动势。在OA上，距盘心r处取线元dl?dr，它所产

??????d?OA?(v?B)?dl?(v?B)?dr

?????(v由图可见，v与B垂直、?B)与dr方向相同，所以

???d?OA?(v?B)?dr?vBdr??rBdr

?OA??d?OAOA????OA??B?dr?????OA?Brdr??R0

12?Brdr??BR2电动势的方向为低电势指向高电势，即

?OA?UA?UO??BR2，UO?UA???BR2

3.如图12-3所示，一长度为l的直导线ab在均匀磁场B中以恒定速度?移动，直导线ab中的动生电动势为 。 答案：0

?1212??解：取取线元dl，则

???d?ab?(v?B)?dl

????由于v与B共面（平行于纸面），则(v?B)垂直于纸面，?而dl也平行于纸面，所以

d?ab?0，?ab??d?ab??d?ab?0

abab4.长直导线通有电流I?5A，在其附近有一导线棒ab，I?20cm，离长直导线距离d?12cm（如图12-4所示）当它沿平行于直导线的方向以速度??10m?s平移时，导线棒中的感应电动势多大？哪端的电势高？（导线棒与长直导线共面且垂直）

?1??解：如图，建立直角坐标系，取线元dl?dxi，则

??v?vj

无限长载流直导线，产生的磁场为（在棒ab处）

??0I??0I?B?(?k)??k

?x2?x??则线元dl?dxi的动生电动势为

???d?ab?(v?B)?dl??0I???(?vj?k)?dxi2?x? ?0I??(?vi)?dxi2?x??v?0Idx2?xd?l整个金属棒中感应电动势为

?ab??d?ab?ab?d?v?0I?I??l?d?dx??0ln??0.98?10?5V 2?x2?d由于?ab?Ub?Ua?0，所以，a端电势高。

5.如图12-5所示，长直导线中通有电流I?6A，另一矩形线圈与长直导线共面共10匝，宽a?10cm，长L?20cm，以??2m?s的速度向右

?1?运动，求：d?10cm时线圈中的感应电动势。dl1?

解1：动生电动势。将矩形导体框看成4段导体棒，则每个棒都在无限长载流直导线产生的磁场中运动，都有可能

有动生电动势，总的电动势是每段动生电动势的代数和。

如图，建立直角坐标系，则

??v?vi

无限长载流直导线，产生的磁场为（在棒bcef处）

??0I??0I?B?(?k)??k

?x2?x??线元dl1?dyj的动生电动势为

???0I????I??I??d?bc?(v?B)?dl1?(?vi?k)?dyj?(v0j)?dyj?v0dy

2?d2?d2?dL?bc??d?bc??vbc0??dl?dxi线元2的动生电动势为

???0I????0I???d?ce?(v?B)?dl2?(?vi?k)?dxi?(vj)?dxi?0，?ce?0

2?x2?x??线元dl3?dyj的动生电动势为

?????0I??d?fe?(v?B)?dl3?(?vi?k)?dyj2?(d?a)

???0I?0I?(vj)?dyj?vdy2?(d?a)2?(d?a)L?0I?I?dx?0L 2?d2?d?fe??d?fe??vfe0?0I2?(d?a)dx???线元dl4?dxi的动生电动势为

???0I????I???d?bf?(v?B)?dl4?(?vi?k)?dxi?(v0j)?dxi?0

2?x2?x?0I??0I?L L,?ef???fe??2?(d?a)2?(d?a)?bf?0,?fb???bf?0

以顺时针方向为线框中电动势的正方向，则

???bc??be??ef??fb??0I??0I??I?11L?0?L?0?0L(?) 2?d2?(d?a)2?dd?a线圈共有N匝，所以，电动势为

E?N??N?0I?11L(?)?2.4?10?5(V) 2?dd?a解2：感生电动势。由于无限长载流导线产生的磁场与场

点到导线的距离成反比，线圈在移动的过程中，穿过线圈平面的磁通量发生变化，因此在线圈中产生感生电动势。

如图，建立直角坐标系。设t时刻bc边距离载流直导线l(t)，感生电动势的正方向为顺时针方向，即取磁通量的正方向垂直纸面向里。则速度

v?dl(t) dt无限长载流直导线，产生的磁场为（在棒bcef处）

???取t时刻x?x?dx的面积元dS?Ldx(?k)，则穿过单匝线圈中dS的磁通量为

????0I??LId??B?dS??k?Ldx(?k)?0dx

2?x2?x穿过单匝线圈的磁通量为

??0I??0I?B?(?k)??k

?x2?x??l(t)?a?0LI?LIl(t)?a ???d???B?dS??dx?0ln2?x2?l(t)l(t)由法拉第电磁感应定律，得到单匝线圈产生的电动势为

?LIdd?l(t)?a??0[ln]dt2?dtl(t)

?0LI?LI11dl(t)11??[?]?0[?]v2?l(t)?al(t)dt2?l(t)l(t)?a当l(t)?d时，总电动势为

?LI11E?N??N0[?]v?2.4?10?5(V)

2?dd?a???解3：线框的上下两条边不切割磁力线，所以不产生感应电动势，只有左右两条边切割磁力线产生感应电动势，在d?10cm时，设左边处的磁感应强度为B1，右边处为B2，则此时线框中的磁感应电动势为：

??N?B1Lv?B2Lv??N??0I?ILv?1??0I?1??5Lv?Lv??N0????2.4?10V2??d?a??2??dd?a??2?d06.如图12-6所示，一长方形平面金属线框至于均匀磁场中，磁场方向与线框平面法线的夹角为??30，磁感应

强度B?0.5T，可滑动部分cd的长度为L?0.2m，以

??1m?s?1的速度向右运动，求线框中的感应电动势。 解1：动生电动势。cd段导体棒在匀强磁场中运动，产生动生电动势。cd段导体棒上的动生电动势等于线圈中的

电动势。

?线元dlcd的动生电动势为

????d?cd?(v?B)?dlcd?[vBsin(???)]cd?dlcd?vBcos?dlcd

L???cd???cd??vBcos?dlcd?vBLcos??0.0866(V)

cd0

解2：感生电动势。cd段导体棒运动，矩形导体线圈的面积变化，穿过线圈的磁通量变化，在线圈中产生感生电动势。

如图，建立直角坐标系。设t时刻cd边距离载流直导线l(t)，感生电动势的正方向为顺时针方向，即取磁通量的正方向垂直纸面向里。

??

取t时刻x?x?dx的面积元dS，则穿过线圈中dS的磁通量为

??d??B?dS?BdScos(???)??BLcos?dx

l(t)穿过线圈的磁通量为

???d????BLcos?dx??BLl(t)cos?

0由法拉第电磁感应定律，得到单匝线圈产生的电动势为

d?ddl(t)??[?BLl(t)cos?]?BLcos??BLvcos??0.0866(V) dtdtdt解3：对产生电动势起作用的是垂直于速度的磁场分量?

?i?B?LV?BLVcos??0.0866 V

???7.将尺寸完全相同的铜环和木环适当放置，使通过两环中的磁通量的变化率相等。问：在两环中是否产生相同的感应电场和感应电流？ 答：会产生相同的感应电场，但在铜环中会有感应电流产生，而在木环中没有感应电流产生。因为铜是导体，而木头不是。

作业13

1.用导线围成的回路（两个以O点为圆心，半径不同的同心圆，在一处用导线沿半径方向相连），放在轴线通过O点的圆柱形均匀磁场中，回路平面垂直于柱轴，如图13-1所示。如磁场方向垂直图面向里，其大小随时间减小，则（A）,(B) ,(C) ,(D) ,中正确表示涡旋电电场方向及感应电流的流向的是[ ]。

答：D

解：由楞次定律判断感应电流的方向。由于磁场垂直于纸面向里，并且减小，所以，感生电流产生的磁场垂直于纸面向里，由此可以判断出：回路中感生电流的方向是顺时针的。

注意：由于两环之间的导线上没有电动势，所以不同环之间没有电流。 2.均匀磁场限制在圆柱形空间（如图13-2）

dB?0。磁场中dtA,B两点用直导线AB连接，或用弧导线AB连接，则[ ]。 A.直导线中电动势较大 B.只有直导线中有电动势 C.两导线中的电动势相等 D.弧导线中电动势较大

答：A 解：连接OA和OB，则由于感生电场是同心圆。在OA上，

??线元dlOA与感生的涡旋电场EiOA垂直；在OB上，线元

??dlOB与感生的涡旋电场EiOB垂直。因此，OA和OB上的电动势为零

???OA??d?OA??EiOA?dlOA?0

???OB??d?OB??EiOB?dlOB?0

由法拉第电磁感应定律，回路OACBO上的感应电动势为

?OACBO??OA??ACB??BO??OA??ACB??OB??ACB??d?OACBOdB??SOACBOdtdt

则弧线ACB上的电动势为

?ACB??dBdBSOACBO，?ACB?SOACBO dtdt弧线AB上的电动势为

dB|SABO2 dt回路OADBO上的感应电动势为

?OADBO??OA??ADB??BO??OA??ADB??OB??ADB?AB2?|??d?OADBOdB??SOADBOdtdt

则直线ADB上的电动势为

?ADB??dBdBSOADBO，?ADB?SOADBO dtdt由于SOACBO?SOADBO，所以?ADB??ACB

3.如图13-3所示,闭合线圈共50匝,半径r=4cm,线圈法线正向与磁感应强度之间的夹角

??600,磁感应强度B?(2t2?8t?5)?10?2T。求：t?3s时感应电动势的大小和方向。

解：穿过一个线圈的磁通量为：

????B?S?BScos?

感应电动势为：（取俯视时，逆时针方向为感生电动势的正方向）

?i??Nd?dB??NScos?dtdtd??N??r2??2t2?8t?5??10?2cos?

dt??N??r2??4t?8??10?2cos????it?3s??2.51?10?2V

dB?50T.S?1的均匀速率增加,已知dt４.如图１３－４所示，一均匀磁场被限制在R?1的圆柱形空间内,磁场以

???3,oa?ob?0.4m,求:等腰梯形导线框中的感应

电动势,并指出其方向。

解：线框abcda所围面积中只有abefa一部分有磁通量,此面积

S/?1212R??oasin??0.454m2, 回路abcda方向与磁场方向一致 22感应电动势?i??t10d?dB??S'??22.7V,负号表示其方向由d到c。 dtdt5.如图13-5所示，随时间变化的均匀磁场,磁感应强度B?1.5eT，在其中放一固定的U形导轨,导轨

上有一长为L?10cm的导体杆可无摩擦滑动，设t?0时可滑动杆cd与ab重合，并开始以

?v?100cm.s?1的速度匀速向右运动，求任一瞬时导体

杆中的电动势。

解：穿过导体杆L与导轨形成的线圈的磁通量：

t??????(t)?B(t)?S(t)?B(t)??Lvt??B(t)Lvt?1.5e10Lvt

导体杆中的电动势为：

ttt????d?dd?tt????101010?i?????BLvt???Lv?1.5et???1.5Lv?1??e??0.15?1??e ??dtdtdt??10??10??6.一块金属在均匀磁场中平移或旋转，金属中会产生涡流吗?

[答] 不会产生涡电流。因为涡旋电动势是由磁场随时间变化产生。 7.变压器的铁芯总是做成片状的,而且涂上绝缘漆互相隔开，为什么? [答] 减少涡旋电流

5如图13-5所示，随时间变化的均匀磁场,磁感应强度B?1.5eT，在其中放一固定的U形导轨,导轨上有一长为L?10cm的导体杆可无摩擦滑动，设t?0时可滑动杆cd与ab重合，并开始以v?100cm.s的速度匀速向右运动，求任一瞬时导体杆中的电动势。

解：穿过导体杆L与导轨形成的线圈的磁通量：

t??????(t)?B(t)?S(t)?B(t)??Lvt??B(t)Lvt?1.5e10Lvt

?t10?1回路中的感生电动势为：

ttt????d?dd?tt?????i?????BLvt???Lv?1.5e10t???1.5Lv?1??e10??0.15?1??e10 ??dtdtdt??10??10??这是整个回路的感生电动势。 在t时刻，回路的长度为 l?2L?2vt

则在t时刻，导体棒cd上的感生电动势为

?icdLLLt??10???i??i??0.15?1??e

l2L?2vt2L?2vt?10?t在t时刻，导体棒cd上的动生电动势为

?cd??vBL

在t时刻，导体棒cd上的动应电动势为

???icd??cdLt????vBL?0.15?1??e2L?2vt?10?t?10

作业14

1关于长直螺线管的自感系数L的值，下列说法中错误的是[ ]。

A.螺线管的半径越大，L越大 B.充有铁磁质的L比真空的L大 C.通以的电流I的值越大，L越大 D.单位长度的匝数越多，L越大． 答：【C】

解：长直螺线管的自感系数 L??n2V，与螺线管是否通电流无关。 2.对于单匝线圈取自感系数的定义为L??。当线圈的几何形状，大小及周围磁介质分布I不变，且无铁磁性物质时，若线圈中的电流强度变小，则线圈的自感系数L［ ］

A.变大，但与电流不成反比关系 B.不变 C.变大，与电流成反比关系 D.变小 答：【B】

解：自感系数只与线圈的几何形状，大小及周围磁介质分布有关，与是否通有电流无关。 ３.中子星表面的磁场估计为10T，则该处的磁能密度为 。

?3kg?m按质能关系，质量密度为 。 1B2 解： 磁场能量密度为w?2?08取中子星表面附近体积V，体积V内具有的磁场能量为Wm?wV，质量为m??V。 按爱因斯坦质能关系E?mc，则

2Wm?wV?12?0B2V?E?mc2??Vc2， ??12?0c2B2，其中c为真空光速。

４.半径为2.0cm的螺线管，长30.0m，上面均匀密绕1200匝线圈，线圈内为空气。 求：（1）求此螺线管的自感系数。 （2）当螺线管中电流以3.0?10A?s的速率变化时，在线圈中产生的自感电动势多大？

[解]（1）L??nV??n ?7.58?10?5222?1?R2L?4??10?7?(1200/30.0)2???0.022?30.0

亨利

dI?2.27?10?2V dt5.如图14-1，面积为S1总匝数N1的线圈，套在面积为S2长为l总匝数为N2的螺线管2上 ，螺线管中通有电流I2，

（2）?L?L求：（1）线圈1中的磁通量； （2） 线圈与螺线管的互感。

解：螺线管2产生的磁场（认为在线圈2内部，外部为零）

B2??0n2I2 ?21，其中 n2?N2 l

（1）螺线管2产生的磁场，穿过线圈1的磁通量（磁链）

?N1B2S2?N1?0n2I2S2，其中 n2?N2l（2）螺线管与线圈之间的互感系数

?21M??N1?0n2S2

I26.一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成，两者半径分别为R1和R2，筒和圆柱之间充以电介质，电介质和金属的?r均可作取1。

求： 此电缆通过电流I（由中心圆柱流出，由圆筒流回）时，单位长度内存储的磁能，并通过和自感磁能的公式比较求出单位长度电缆的自感系数。 解： 磁场被限制在同轴电缆内，由安培环路定理可得

?Ir?2?R21??IH???2?r0???(0?r?R1)(R1?r?R2) (r?R2)磁场能量也只储存在电缆内，在（0?r?R1）范围内，取长度为

l的一段柱壳

dV?2?rldr （0?r?R1），其中储存的磁能为

Wm1??wdV??VR10?0I2l3?0I2lR3?0I2l rdr?rdr?44?016?4?R14?R11同样在（R1?r?R2）范围内，取长度为l的一段柱壳

，其中储存的磁能为 dV?2?rldr（R1?r?R2）

R2VR1 Wm2?wdV????0I2?0I2lR2

2?rldr?ln4?R18?2r2因此，长度为的一段电缆中储存的总磁能为

?0I2lRWm?Wm1?Wm2?(1?4ln2) 16?R1单位长度内储存的磁能为

Wm?0I2Rwm??(1?4ln2)

l16?R1l由自感磁能与自感系数的关系 Wm?1LI2，得

2L??0R(1?4ln2) 8?R17.如果电路中通有强电流，当突然打开电闸断电时，就有一大火花跳过电闸，为什么？

[解] 断电时电流变化剧烈，由于自感，在电闸的两极积聚大量的正负电荷，形成很强的电场，击穿空气。

8.两个相距不太远的线圈，如何放置可使其互感最大？如何放置可使其互感为零？ 解：平行放置互感最大，垂直放置互感为0

作业15

1.下述说法中正确的是[ ]

A.位移电流的热效应服从焦耳——楞次定律。 B.位移电流由变化的磁场产生的

C.位移电流的磁效应不服从安培环路定理 D.位移电流是由变化的电场产生的 答：［D］

解：变化的电场产生位移电流（或者说，变化的电场产生磁场）。在产生磁场方面，位移电流与传导电流是一样的，位移电流的磁效应服从安培环路定理。但位移电流不是电子的定向移动，因此，位移电流不产生焦耳热效应。

麦克斯韦的“位移电流”假说，与他的“涡旋电场”假说不同，在涡旋电场的作用下，电子是会作定向移动的。

2.下列说法中正确的是[ ]

A.变化的电场所产生的磁场，一定随时间变化 B.变化的磁场所产生的电场，一定随时间变化 C.有电流就有磁场，没有电流就一定没有磁场 D.变化着的电场所产生的磁场，不一定随时间变化 答：［D］

解：变化的电场所产生的磁场，与电场随时间的变化率成正比B?dEdE ，而 可以dtdt是常数，即电场随时间的变化率固定时，变化的电场所产生的磁场也是不随时间变化的，dBdBA错。变化的磁场所产生的电场，与磁场随时间的变化率成正比E? ，而 可以

dtdt是常数，即磁场随时间的变化率固定时，变化的磁场所产生的电场也是不随时间变化的，

B错。在电流的周围存在磁场，即有电流就有磁场；变化的电场也可以产生磁场，C错。

3.真空中一平面电磁波表达式为Ey?Ez?0，Ex?E0cos??t???y??，在t?t0时刻，c?y?y0 处的电场强度指向x轴负向，则该时刻处的磁场强度方向应该是[ B ]

A. X轴负向 B.Z轴负向 C.X轴正向 D. Z轴正向 答［B］

解：电磁波的表达式得知，电磁波的传播方向沿y轴负方向。对于平面波，波的传播方向就是能流方向，即坡印亭矢量方向。由坡印亭矢量，得到电场、磁场方向满足如下关系

???S?E?H 如图，可见，在t?t0时刻，y?y0 处，磁场强度方向必定沿着z轴负方向。

4.对于平面电磁波，E和H的相位 ，在空间任一点E和H的量值关系为 ，

??????E和H的偏振方向彼此 ，且均与波的传播方向 ，从而可知电磁波是 。

答：相同；

?E??H；垂直；垂直；横波。

５.由两块圆形导体板组成的平板电容器，圆板半径为1cm，中间为空气。当以5A的电流

dE；（２）极板间的位移电流密度Jd；dt（3）极板间的位移电流Id；（４）在圆板边缘处的磁感应强度B。

充电时，求：（１）电容器内部的电场强度变化率

解：平板电容器以恒定电流充电，板上的电荷量随时间正比增加；板上的电荷要在电容器内产生电场，电场强度随电荷量的增加，正比增强；电容器内变化的电场，产生位移电流；位移电流在电容器内产生磁场。

（1）极板上电量随时间的变化：Q?It ,

电荷面密度随时间的变化：??QIt? ， SS 极板间电场强度随时间的变化： E?则电场随时间的变化率：

?It??0?0S ，

dEI??1.8?1015V/m?S dt?0S（2） 极板间的电位移随时间的变化：D 位移电流密度：Jd?（3）极板间的位移电流：Id???It ， SdDI??1.6?104A/m2 dtS?JdS?I?5A ，

（4）极板内，只有位移电流。由于极板是圆形板，具有轴对称性，因此，位移电流在板内产生的磁场也具有轴对称性。由安培环路定理

??22dD2I2?RB??I???RJ???R???R??0I ?B?dl??0Id ，0d0d00CdtS?IB?0?1.0?10?4T

2?R６.如图１５－１所示，平板电容器之间加交变电场

E?720sin(105?t)V?m?1 。

求距电容器中心连线r?0.01m处的P点，经过2?10s， 位移电流产生的磁场强度的大小。 解：极板间的位移电流密度

?5dDdEJd???0?720?105??0cos(105?t)

dtdt以r为半径绕极板中心作圆形安培环路，由安培环路定理： 2?rH??rJd ，解出

2H?rJd?3.6?105??0cos(105?t)?10?5A/m 2??z???SI?，求电场强度的波的表达式。 c?７.真空中沿z轴负向传播的平面电磁波，其磁场强度的表达式为 H?iH0cos?t? 解：

??????u??uk?E?H, H?Hi

[SI] ???0??0zE?jH?jH0cos?(t?)?0?0C

作业16

1.在地面参考系测得一星球离地球5光年，宇航员欲将此距离缩为3光年，他乘的飞船相对

地球的速度应是[ ]

A. 1c B. 3c C. 4c D. 9c

25510答：［C］

解：这里，要求宇航员的钟走3光年，是原时：?t?3；地面上的时钟测量，宇航员走5

/光年，是测时：?t?5。因此由?t?/?t1?uc22，得到

5?31?u2c2，u?4c。 5注意：地面上仍然认为宇航员走了5光年。

2.火箭的固有长度为L，其相对地面以?1作匀速直线运动。若火箭上尾部一射击口向火箭首部靶子以?2速度发射一子弹，则在火箭上测得子弹从出射到击中靶的时间间隔为[ ]。

LLLL??????1??1? D. 1??1? A. B. C. ?2?1??2?1??2?2?c??c?答：［B］

解：事件发生在火箭上，与地面无关。当然，地面上测量这一时间间隔是不同的。

3.在K惯性系中x轴上相距?x处有两只同步钟A和B，在相对K系沿x轴以u速运动的惯性系K中也有一只同样的钟A。若xx轴平行，当AA相遇时，恰好两钟读数都为零， 则当A与B相遇时K系中B钟的读数为 ，K系中A钟的读数为 。

/

//

//

/22/?x?xu2答：，1?2

uuc解：如图，在K系测量，A和B的距离为?x，钟A/正在以速度u从A向B运动，钟A/从A到达B所用的时间为

?x u这也就是B钟的读数。

?t??K/看来，A和B以速度?u运动，A和B的距离?x/是测量长度，因此

/由于A和B在K系中是静止的，所以，K系中测量，A和B的距离?x是原长；在系

(?u)2u2?x??x1?2??x1?2

cc?///由于在系K看来，B以速度?u运动，B运动距离??x所用时间?t为 ??x/?xu2?t??1?2

?uuc这就是A/钟的读数。

/

可见，A钟与B钟相遇时，确实是：A钟读数小、B钟读数大，即似乎确实能分辨出来“A钟慢、B钟快”。

/

//

A/钟相对于K系运动，A/钟确实应该慢；而在K系看来，B钟也是运动的，也经该

慢。这似乎出现了矛盾。

如图，K认为：钟A与钟A相遇时，钟A与钟B根本没有校准，钟B的指针比钟A提前。（或者，从经典物理大致考虑：信号的传播是需要时间的，钟B指针指向“0”这一信号传到A时，将钟A调到“0”，此时，钟B已经过“0”了，即钟B比钟A提前了）。

如图，K认为：在对“AA相遇到A钟与B钟相遇所用时间的测量”中，A和B钟的测量结果是一样的，都比A钟测量的结果短，即A和B钟都慢；只不过是在AA相遇时，

/

//////

B钟的指针“提前”了，从而在A/钟与B钟相遇时，B钟的“读数”比A/钟的“读数”

大。可见，上面的结果，并不违反相对论，反而正是相对论的必然结果。 4.根据狭义相对论的原理，时间和空间的测量值都是 ，它们与观测者的 密切相关。

答：相对的，相对运动状态。

5. K、K/系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K/系相对与K沿x轴正方向匀速运动。一刚性尺静止于K系中，且与x轴成30角，而在K/系中测得该尺与x 轴成45角，试

0/0求：K、K/系的相对运动速度。 解：如图，在K系中测量，??30，所以 ?y??xtan???xtan30 在K/系中测量，??45，所以 ?y??xtan???xtan45

由洛伦兹变换，得到

////000/0u2?y??y，?x??x1?2

c2u?c

3//6.一匀质矩形薄板，静止时边长分别为a和b，质量m0，试计算在相对薄板沿一边长以v速运动的惯性系中测得板的面密度。

解：在相对于板运动的参照系中，长度收缩，同时质量增大。

质量为：m?质量密度为

m01?v2c2；长度为：a/?a1?v2c2，b?b

/m0m0?0m1 ???//22222222abab(1?vc)1?vc1?vcab1?vc7.列车和隧道静止时长度相等，当列车以u的高速通过隧道时，分别在地面和列车上测量，

/列车长度L与隧道长度L的关系如何？若地面观测者发现当列车完全进入隧道时，隧道是

??的进、出口处同时发生了雷击，未击中列车，按相对论的理论，列车上的旅客会测得列车遭雷击了吗？为什么？ 解：（1）由于隧道相对于地面是静止的，而列车是运动的，所以，地面测量隧道的长度是原长，地面测量列车的长度是测长，即地面测量：

/隧道长L1?l0，列车长L1?l01?u2c2

/地面测量隧道长L1与列车长L1的关系为：L1?L11?u2c2

由于列车相对于列车是静止的，而隧道是运动的，所以，列车测量列车的长度是原长，列车测量隧道的长度是测长，即列车测量：

/列车长L/2?l0，隧道长L2?l01?u/2c2

地面测量隧道长L2与列车长L2的关系为：L2?L/21?u2c2

（2）地面测得雷击时刻火车完全位于隧道内，没有遭雷击。列车上的测量同样得出列车没有遭雷击。

设列车头到达隧道出口为事件A1，闪电到达隧道出口为事件A2；列车尾到达隧道进口为事件B1，闪电到达隧道进口为事件B2。在地面上测量，事件A1与事件A2是同时同地发生的两个事件，在任何惯性系中测量都是同时发生的，因此在列车上测量，事件A1与事件A2是同时同地发生的两个事件，即在列车上测量，列车头与闪电同时到达隧道出口，闪电没有

击中列车头；在地面上测量，事件B1与事件B2是同时同地发生的两个事件，在任何惯性系中测量都是同时发生的，因此在列车上测量，事件B1与事件B2是同时同地发生的两个事件，即在列车上测量，列车尾与闪电同时到达隧道进口，闪电没有击中列车尾。

事实上，“列车头到达隧道出口的事件A1”与“列车尾到达隧道进口的事件B1”，是在地面这一惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在列车这一惯性系中测量就不可能是同时的；“闪电到达隧道出口的事件A2”与“闪电到达隧道进口的事件B2”，是在地面这一惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在列车这一惯性系中测量就不可能是同时的。

设“闪电到达隧道出口的事件A2”在地面测量A2(x1,t1)，在列车上测量A2(x1,t1)；“闪电到达隧道进口的事件B2” 在地面测量B2(x2,t2)，在列车上测量B2(x2,t2)。由于t1?t2,x2?x1?l0，则

/t1/?t2??(t1?////ux1ux2uu)??(t?)??(x?x)??l0?0 221c2c2c2c2可见，出口处雷击先发生，此时列车头部未出隧道；入口处雷击后发生，此时列车尾部进入

隧道。

8.伽利略相对原理与狭义相对论的相对性原理有何相同之处？有何不同之处？ [答] 相同：力学规律对一切惯性系成立；

不同：狭义相对论的相对性原理要求所有物理规律对一切惯性系成立。 9.“同时性”的相对性是针对任意两个事件而言的吗？ [答] 不是，要求两个事件发生在不同地点。

同时同地发生的两个事件，在任何惯性系中测量都是同时发生的。

作业17

1.实验室测得粒子的总能量是其静止能量的K倍，则其相对实验室的运动速度为[ ]

A.

ccc B. 1?K2 C. K?1KKm01??22K2?1 D.

cKK?1 cK2?1 K答：［C］

22解：mc?Km0c，m?，

m01??22?Km0， ?v?2.把一静止质量为m0的粒子，由静止加速到??0.6c，所需作的功为[ ]

A. 0.18m0c B.0.36m0c C.1.25m0c D.0.25m0c 答：［D］

解：Ek?mc?m0c?m0c(2222211??2?1)?0.25m0c2

3.观测者乙以c的速率相对观测者甲运动，若甲携带质量为1kg的物体，则 (1) 乙测得物体的质量为： ； （2）甲测得物体的总能量为： ； (3) 乙测得物体的总能量为： 。 答：1.25kg；9?10J；1.125?10J。 解：v?1617353c，m0?1kg 5

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