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第1章物理学导论

本章要点：

1、物理学的形成与发展；

2、物理学的特点；

3、物理学的方法及思想。

中国自古就有一个美丽的传说——嫦娥奔月，多少年来，多少代中国人孜孜不倦地探求，终于神话变成了现实。2003年10月，由宇航员杨利伟（1965- ）驾驶神州5号飞船，环绕地球14圈，圆了中国人的千年飞天梦。从意大利航海家哥伦布（c.colombo,1446-1506）的帆船航海，到美国莱特兄弟的飞机上天，直至今天的宇宙飞船漫游天际，人类就象插上了翅膀，在浩瀚的宇宙间翱翔。回首过去，我们不禁感叹，世界变化得多么快！我们不禁要问，谁使我们这个世界变化得这么快？这就是现代科学技术，是现代科学的基础——物理学！

1.1 物理学的形成与发展

本节我们将沿着物理学发展的历程，介绍经典物理学的建立过程，以及20世纪物理学的革命，使大家对物理学的理论体系、研究方法及其作用有一个初步的了解。

1.1.1 从自然哲学到物理学

物理学的前身称为自然哲学。早期的物理学含义非常广泛，它在直觉经验基础上探寻一切自然现象的哲理。中国作为发明指南针、火药、造纸和印刷术的文明古国，在哲学思考上很有特色。我国春秋战国时代的《墨经》是一本最古老的科学书籍，里面记载了许多关于自然科学问题的研究。其中有一句话：“力，刑之所以奋也。”“刑”即“形”，可解释为“物体”，“奋”可解释为“运动的加速”，这与牛顿第二定律（F=m a）有一定的联系。书中并载有万物都是由“不可斫”的“端”即“点”所构成。（斫，zhuo,用刀斧砍的意思。）与差不多同时的希腊“原子”说，是世界上关于物质组成问题的最早文字记载。但是这些观察和分析，仅仅是定性的，没有系统化、定量化。

公元前7―前6世纪，古希腊文化进入一个繁荣时期，人才辈出。其杰出的代表——亚里士多德（Aristoteles，公元前384―前322），这位百科全书式的学者，系统研究了运动、空间和时间等物理及相邻自然科学方面的问题，著有《物理学》、《力学问题》、《论天》及14本巨著《玄学》等书籍。他的著作处于古希腊及整个中世纪自然哲学的皇冠地位，其中《物理学》一书，是physics一词最早的起源（虽然今天含义已不同了）。他提出了许多概念，但有一些观念是错误的。如“在地球上重物比轻物落得快”的观念，直到伽利略(Galileo Galilei,1564-1642)在1590年登上比萨(pisa)一座八层楼高的斜塔（建于1174年），用实验证明了一个100磅重和一个半磅重的两个球体几乎同时落地，才纠正过来。又如他的“地心说”，认为地球位于整个宇宙的中心，整个宇宙由环绕地球的七个同心球壳所组成，月亮、太阳、星星在其上做完美的圆运动。当然，用今天的知识我们很容易指出其错误，但昨天

终归不是今天。在两千年前，亚里士多德敢于主张“地球是球形”，较之远古人的“大地是平坦的”，客观地说，那是人类认识上的一大飞跃。但后来被神学所利用，在封建和教会的统治下，欧州中世纪的科学发展十分缓慢。直到15世纪后，工业革命使得科学技术获得了快速的进步，为科学实验开展提供了前所未有的条件，带动了科学理论的飞速发展。

1.1.2 经典物理学的建立

波兰天文学家哥白尼(N.Copernicus,1473-1543),在他的不朽著作《天体运行论》中，提出“太阳是宇宙的中心，地球是围绕太阳旋转的一颗行星”的日心说，引起了宇宙观的大革命。日心说使教会感到恐慌，因为若地球是诸行星之一，那么圣经上所说的那些大事件就完全不能够在地面上出现了。“日心说”被称为“邪说”，《天体运行论》被列为禁书。为捍卫真理，当时的科学家进行了不屈不挠、可歌可泣的斗争。意大利天文学家布鲁诺（G.Bruno,1548-1600）为此付出了生命。这种科学的精神和崇高的胸怀永远让人崇敬,值得我们永远学习。

在十五世纪以后，科学空前发展，逐步建立了比较完整的系统理论。物理学先驱伽利略研究了落体和斜面运动，做了著名的比萨斜塔实验，发展了科学实验方法，并提出了物质惯性等重要概念。到十七世纪，杰出的英国物理学家牛顿（I.Newton,1642-1727)在前人工作的基础上，于1678年发表了他的名著《自然哲学的数学原理》，提出牛顿三大定律，这成为经典力学的理论基石。后来，他在开普勒(J.Keppler,1571-1630)提出的行星运动三定律的基础上，提出了万有引力定律，这是牛顿对物理学的两大杰出的贡献。牛顿还是位数学家，他和莱布尼兹同时创立了微积分，并应用于力学，使力学与数学不断结合。后来，欧勒等人进一步使力学沿分析方向发展，建立了分析力学。至此，在常速情况下宏观物体的机械运动所遵循的规律——经典力学已建立起来了。我们常把经典力学称为牛顿力学，它的建立被认为是第一次科学革命。牛顿也被誉为科学史上的一位巨人，因为他代表了整整一个时代。

1850年左右，在大量实验的基础上，确立了能量转化和守恒定律，其另一种表达形式是热力学第一定律，这是和进化论以及细胞学说并列为当时的三大自然发现。能量的转化和守恒是一回事，但能量的可利用性是另一回事，这种研究导致了1851年热力学第二定律的建立。另外，对于低温的研究，于1848年了解到“绝对零度”即-273 0C是不可能达到的，这就是热力学第三定律。同时，物理学家意识到热现象的基本规律是热现象的基础，是一切热现象的出发点，应列入热力学定律。因为这时热力学第一、二定律都已有了明确的内容和含义，有人提出这应该是第零定律。于是，热力学形成了一个以四个定律为基础的系统完整的体系。

热学和热力学的微观理论是建筑在分子——原子理论上的。19世纪末叶，从分子运动论逐渐发展到统计物理学，建立了统计物理学。

从美国的富兰克林(B.Franklin,1706-1790)首次用风筝把“天电”引入实验室，英国的卡文迪许（H.Cavendish,1731-1810）精密地用实验证明了静电力与距离的平方成反比，再经过法国人库仑(C.A.Coulomb,1736-1806 )的研究，最后确立了静电学的基础——库仑定律。

电荷的流动显现为电流，电流会对周围产生磁的效应。电能生磁，那磁能否生电呢？英国物理学家法拉弟（M.Faraday,1791-1867）于1831年发现并确立了电磁感应定律，这一划时代的伟大发现是今天广泛应用电力的开端，完整地总结电和磁的联系的工作是由麦克斯韦(J.C.Maxwell,1831-1879)完成的，它建立了微分形式的“麦克斯韦方程组”，该方程组的形式极为对称和优美，被誉为物理学“最美的一首诗”，是19世纪物理学最辉煌的成就。至此，经典电磁学建立起来了。

光的现象是一类重要的物理现象，光的本质是什么？一直是物理学要回答的问题。

17世纪，人们对光的本质提出了两种假说：一是牛顿的微粒说，认为光是发光物体射出的大量的微粒；另一是荷兰科学家惠更斯（Christian Huygens,1629-1695）的波动说，认为光是发光物体发出的波动。两种学说展开了旷日持久的论战。开始由于牛顿在科学界的威望，以及光在均匀介质中的直线传播、折射与反射现象等实验的支持，微粒说占居有利地位。后来，随着光的干涉、衍射现象的发现，给波动说强有力的支持。最后，由麦克斯韦确认了光实际上是一种电磁波，波动光学由此建立。

到19世纪末和20世纪初，经典物理学理论已经系统、完整地建立，它包括经典力学、热力学、统计物理学、电磁学、光学。至此，经典物理学辉煌的科学大厦建立起来了。

1.1.3 20世纪初物理学的革命

经过力学、热力学与统计物理学、电磁学和光学各分支学科的迅猛发展，到19世纪末，经典物理学看来似乎已经很完善了。英国物理学家开尔文（W.Thomson,1824-1907）在著名的题为《遮盖在热和光的动力理论上的19世纪乌云》的演说中说：“在已经基本建成的科学大厦中，后辈物理学家似乎只要做一些零碎的修补工作就行了；但是，在物理学晴朗天空的远处，还有两朵令人不安的乌云。”开尔文所说的一朵乌云指的是热辐射的“紫外灾难”，它冲击了电磁理论和统计物理；另一朵乌云指的是迈克尔逊——莫雷实验的“零结果”，它否定了以太的存在。开尔文没料到，正是这两朵小小的乌云，引发了物理学史上一场伟大的革命。

1905年，著名物理学家爱因斯坦(A.Einstein,1879-1955)对高速物体运动进行研究，创立了狭义相对论。爱因斯坦以其独特的思维方式，发动了一场关于时空观的革命。从低速到高速，从小宇宙到大宇宙，爱因斯坦于1915年建立了广义相对论，使人们视野扩展到广阔无垠的宇宙空间。爱因斯坦因他的相对论，作出了划时代的贡献。

在研究微观世界时，经典理论暴露其局限性，从而把物理学的伟大革命推向一个高潮。在研究黑体辐射时，普朗克(M.Planck,1858-1947)发现：若假设光子能量是量子化的，则理论与实验结果相符。但普朗克摆脱不了经典概念的束缚，竟不敢加以承认。又是爱因斯坦，这位杰出的理论物理学家，第一个勇于承认。尔后,玻尔(N.Bohr,1885-1962)、薛定谔(E.Schrodinger,1887-1961)、海森伯(W.K.Heisenberg,1901-1976)等物理学家建立了量子力学。

20世纪初的30年，相对论和量子论的建立完成了近代物理学的一场深远的革命，从而把物理学的伟大革命推向了一个高潮，把人类认识世界的能力提升到了前所未有的高度，为实践应用开辟了广阔的道路，为20世纪层出不穷、不断涌现的高科技、新学科、新技术的发展准备了基础。19世纪两朵令人不安的乌云转化为近代物理学诞生的彩霞。物理学不仅仍然是自然科学基础研究中最重要的前沿学科之一，而且已发展成为一门应用性极强、渗透性极强的学科。今天的物理学决不仅是少数物理学家关起门来埋头研究的专门学问，而是生气勃勃地向一切科学技术，甚至经济管理部门渗透的一种力量，它已经、而且正在继续改变我们这个世界！

1.2 物质的层次

物理学是研究物质结构和运动基本规律的学科，或者说物理学是关于自然界最基础形态的学科，它研究宇宙间物质存在的各种基本形式、它们的内部结构、相互作用及运动基本规律。物理学研究范围也和它本身的发展一样，经历着历史的变化。物理学对客观世界的

描述，已由可与人体大小相比的范围（称为宏观世界）向两个方向发展：一是向小的方面——原子内部（称为微观世界）；另一是向大的方面——天体、宇宙（称为宇观世界）。近年来随着高科技发展，要求器件微型化、超微型化，出现了呈现微观特性的准宏观世界，称为介观世界。

宇宙世界的尺度大于107米，按物体线度从大到小排列有：总星系、星系团、银河系、太阳系、地球、月球等。宏观世界的尺度为103米~106米，人们对它的研究比较透彻，其运动服从经典物理规律。微观世界尺度小于10-8米，它是构成宏观物质的基本单元，从外向内有：分子、原子、原子核、强子、夸克或轻子。介观世界的尺度为10-8米~10-6米，在这个介于宏观和微观的世界里，一方面它表现出微观世界中的量子力学特性；另一方面，就尺度而言，它几乎又是宏观的。就物质结构的尺度来划分，物质的层次如表1-1所示。

表1-1

实体尺度相关的专门科学分支

物质的层次以其尺度计从10-15米到1026米，大小相差1041倍，却几乎都与物理学密切相关。可见，物理学在自然科学中占有特殊的地位。

1.3 物理学的特点

1.3.1 物理学是“普遍”的、“基本”的

我们知道：物理学几乎和宇宙中各种尺度的物质都有关系，它的研究范围非常宽广，所以物理学是普遍的。

物理学是一切自然科学中最基本的，它的重要性在于物理学努力去澄清“更基础”、“更基本”的含义，在于它对最基础、最基本内容的理性追求和它对内容作精巧、成熟性的提炼，从而提供了基本性、理论性的框架，以及几乎为所有领域可用的理论、实验手段和研究方法。

物理学由于它的普遍性、基本性，使它在自然科学中占有独特的地位，渗透性极强，与许多学科关系密切。在19世纪，力学、热学、电磁学从少得惊人的几条基本原理出发，引出了众多意义深远的推论，加强了物理学同数学、天文学、化学和哲学的密切联系。近代科学的发展，使物理学进一步与其它学科融合。如量子力学是物理化学和结构化学的理论基础，同时又产生了许多交叉学科，象生物物理学、量子生物学和生物磁学等。现代计量学多采用物理现象来定义它的基本单位（如时间、长度等），甚至连考古学、艺术等学科，也采用了现代物理学的成就和方法。可见，物理学不仅促进了对自然界的探索，同时对人

基本粒子 原子核 原子 分子 巨型分子 固体 液体 气体

植物与动物 地球 恒星 星系 银河星团 宇宙已知部分

10-15m 以下 10-14m 10-10m 10-9m 10-7m

10-7m-102m 107m

107m-1012m 1020m 1023m 1026m

粒子物理学 核物理学 原子物理学 化学 生物化学 固体物理学 液体动力学 气体动力学 生物学

地质学，地球物理学 天体物理学 天文学

宇宙学

类的社会进步作出了较大的贡献。

1.3.2 物理学是“求真”的

物理学研究“物”之“理”，从哲学的思辨时期开始就具有彻底的唯物主义精神。物理学中的实验方法充分体现了“实践是检验真理的唯一标准”的哲学原则，物理学发展出一套成功的探求规律的研究方法，是由相对真理不断逼近绝对真理的充分展示；物理学家不畏权势、不盲目迷信、勇于牺牲的科学精神，达到了“求真”的最高境界。

1.3.3 物理学是“至善”的

物理学致力于把人从自然界中解放出来，导向自由，帮助人认识自己，使理论趋于完善，使人类生活趋于高尚。从根本上说，它是“至善”的。

人类知识的发展从来是从肯定——否定——否定之否定，是一种螺旋式上升。这是一种长期而曲折的过程，这个过程永远不会终结，使认识不断逼近真理。物理学的发展亦如此。从历史上看，物理学已经历了几次革命：力学率先发展完成了物理学的第一次大综合，这是第一次革命；第二次是能量转化与守恒定律的建立，完成了力学和热学的综合；第三次是把光、电、磁三者统一起来的麦克斯韦电磁理论的建立；第四次则是由相对论和量子力学带动起来的。每一次革命都产生了观念上深刻的变革，每一个新理论都是对旧理论批判的继承和发展，并把旧理论中经过实践检验为正确的那一部分很自然地包容其中，从而使理论趋于完善。

1.3.4 物理学是“美”的

几百年来，人们对物理学中的“简单、和谐、统一”，赏心悦目，赞叹不已。首先，物理规律在各自适用的范围内有其普遍的适用性、统一性和简单性，这本身就是一种深刻的美。表达物理规律的语言是数学，而且往往是非常简单的数学表达式，这又是一种微妙的美。如爱因斯坦的“质能关系式”，E=mc2，形式极为简单，却揭示了一种巨大的能量——原子核能可从核内释放出来的深刻理论，导致了原子能的利用，因而质能关系式后被称为“改变世界的方程”。其次，说到“和谐”，人们曾经认为，只有将相同的东西放在一起才是和谐的，而物理学特别是量子力学的发展揭示的真理，证明了古希腊哲学家赫拉克利特（Heracleitus,公元前540-前480）的话：“自然……是从对立的东西产生和谐，而不是从相同的东西产生和谐。”爱因斯坦曾说：“从那些看来与直接可见的真理十分不同的各种复杂现象中认识到它们的统一性，那是一种壮丽的感觉。”科学的统一性本身就显示出一种崇高的美。

1.4 物理学的方法及思想

回顾物理学的发展，我们感到，当今物理学成果实在是太丰富了！一系列重大的突破性成果的取得，充分体现了物理学家勇于探索、不畏艰难的精神，更得益于物理学家的创造性思维及正确科学方法的运用。我们学习物理学，不只是掌握其知识内容，更重要的是掌握其物理思想和物理方法，这才是物理学的精华之所在。对那些杰出的物理学家的丰富

的物理思想、绝妙的物理方法，我们不应只是赞叹不止，更重要的是好好领悟，并力求很好掌握。下面仅就重要的物理思想及方法作一简介。

1.4.1 模型方法

物理学研究中发展出一种十分成功的研究方法,叫做“模型方法”。它是一种抓住主要矛盾，暂时除去次要矛盾，从而使问题简化的方法。因它突出本质，亦更深刻、更正确、更完全地反映着自然，这也是物理学建立模型的目的之所在。实际上，全部物理学的原理、定律都是对于一定的模型行为的刻画。如力学中的质点、刚体、弹性体等模型；原子结构中的葡萄干面包模型、行星原子模型、原子核的液滴模型等，都是物理模型。

模型方法具有三大特点：一是简单性。物理现象常常是很复杂的，包含的因素很多，要想对某个物理现象直接建立起一套完整的理论进行阐明往往是很困难的。物理学家常用分析的方法把物理对象分解为许多较简单的部分，对这些简单的部分建立模型，再通过对模型的研究建立起基本规律，最后利用综合的方法把各个较简单的部分复合起来，得到总的结果。二是形象性。随着人们的认识深入到微观领域之后，为了更好地说明微观现象，物理学家通过模型把微观的东西宏观化，把抽象的东西形象化，从而使人们得到一个比较直观的认识。如汤姆逊的葡萄干面包模型，把原子中的正电荷比作面包，把电子比作嵌在面包中的葡萄干。卢瑟福却提出了大家熟知的行星原子模型，这两种模型都是非常生动和直观的。随着物理学的发展，人们的认识愈深入，表现形式也愈抽象，模型理论的形象性的意义也就愈大。三是近似性。模型只突出了物理对象的主要因素，常常忽略其次要因素，因而利用模型所得到的结论一般是近似的，只有通过一级级作近似，才可能逼近真实。另外，模型常常是一种假说，因而模型的正确性是不确定的，象葡萄干面包模型就是错误的。这就需要不断改进模型，使其逐步向真实逼近。

1.4.2 类比方法

类比方法是物理学研究中常用的一种逻辑推理方法，是根据两个或两类对象之间某些方面的相似性，从而推出它们在其他方面也可能相似的推理方法。

例如，电磁学中电与磁的相似性不仅反映了自然界的对称美，而且也说明电与磁之间有一种内在联系。法拉弟正是从电与磁的对称性出发，由电能生磁大胆猜想磁能生电，发现了电磁感应现象。

类比方法是逻辑推理方法中最富有创造性的一种方法。它是从特殊事物推论另外的特殊事物，这种推论不受已有的知识的限制，也不受特殊事物的数量限制，凭的是预感和猜测，因而最富有创造性，在物理学中得到了广泛的应用。

1.4.3 “实验——理论——实验”方法

物理学的一个重要研究方法,也是自然科学所公认的科学工作方法,可概括为“实验——理论——实验”。意即：深入观察自然现象，从复杂因素中选择典型的单个因素进行实验——对观察和实验所得的结果进行分析综合，作出必要的假设，建立恰当的模型，再利用数学工具得出规律，从而形成一套理论——理论结果又回到实践中，得到检验和校正。这个

“实验——理论——实验”的研究方法，贯穿于物理学始终，望大家多加体会。

1.4.4 辩证唯物主义思想

物理学中包含了丰富的哲学思想。从上面提到的“实验——理论——实验”研究方法中，我们自然联想到哲学的认识发展规律：“实践——认识——实践，如此循环往复，以至无穷”。物理学对自然的认识遵循同样的规律。其实，早期的物理学是从“哲学的思辩”开始的，它在直觉经验基础上探寻一切自然现象的哲理，所以物理学的前身称为“自然哲学”。因而，学习物理时，应以辩证唯物主义为指导，辩证地、科学地研究问题。

*1.5 几何学与物理学

物理学是定量的科学，所以在物理学中广泛地使用数学，可以说，数学是物理学的语言，它为物理学提供了定量表示和预言能力。

*1.5.1 欧几里德几何空间

我们研究物体的运动，均是在考虑它随着时间的流逝在空间的变化情况，离不开“空间”概念。对于空间，我们是熟悉的。我们生活的空间是包含在上下、前后、左右之中的。如果需要描述我们所处的空间中的某一位置，就需要用三个方向来表示。

古希腊数学家欧几里德（公元前330-前275）将公元前7世纪以来希腊积累起来的既丰富又纷纭庞杂的结果整理在一个严密统一的体系中，从最原始的定义开始，引出五条公理和五条公设为基础，通过逻辑推理，演绎出一系列定理和推论，编写出《几何原本》，从而建立了欧几里德几何的第一个公理化的数学体系。

在欧几里德几何中，空间是平直的，它用长、宽、高三个维度来表示立体空间即我们常说的三维空间。另外，欧几里德几何空间还是均匀的和各向同性的，因而具有平移不变性和转动不变性。平移不变性是指空间是均匀的，即从一点到另一点没有什么区别。如果

把物体无旋转地从一个位置移到另一位置，它的大小和几何性质都不变，物理性质亦不变。转动不变性是指空间是各向同性的，所有的方向都是等价的。一个物体在空间内改变取向时，它的几何性质与物理性质均不变。平移不变性导致动量守恒，转动不变性导致角动量守恒，这将在第四章中讨论。

*1.5.2 时空观

时间和空间是物质运动的两种基本形式，时间是物质运动的顺序性和持续性，而空间则是物质运动的广延性或延展性。一切运动着的物质都有其时间和空间的存在形式，也只有在一定的时空中才能存在、运动和发展。

在牛顿的经典物理学中，釆用欧几里德几何空间，它是平直的、均匀的、各向同性的。假如我们在欧氏几何小尺度范围看，地球上的大地是平直的，因而牛顿的时空观是“绝对的”、“不变的”，物体在“绝对时间”、“绝对空间”中进行“绝对运动”。但爱因斯坦推翻了牛顿的绝对时空观，指出时空是客观存在的，但又是相对的，不是绝对的。在黎曼空间中，地球上的地面实际上并不平直，而是一个弯曲的球面。爱因斯坦相对论把时间、空间和物质运动联系起来、统一起来，把物质运动置于四维时空中。

第2章质点运动学

本章要点：

1．质点运动状态的描述，掌握基本概念如质点、位置矢量、速度、加速度；

2．质点运动的矢量性与瞬时性、相对性；

3．三种常用坐标下各运动学量的表达式；

4．解决运动学基本问题的方法；

5．相对运动及伽利略变换。

物理学是研究物质最普遍、最基本的运动形式的基本规律的一门学科,这些运动形式包括机械运动、分子热运动、电磁运动、原子和原子核运动以及其它微观粒子运动等。机械运动是这些运动中最简单、最常见的运动形式 ,其基本形式有平动和转动。在平动过程中,若物体内各点的位置没有相对变化,那么各点所移动的路径完全相同,可用物体上任一点的运动来代表整个物体的运动,从而可研究物体的位置随时间而改变的情况。在力学中,这部分内容称为质点运动学。

2.1 质点运动的描述

2.1.1 参考系质点

1．参考系

在自然界中所有的物体都在不停地运动,绝对静止不动的物体是没有的。在观察一个物体的位置及位置的变化时,总要选取其他物体作为标准,选取的标准物不同,对物体运动情况的描述也就不同，这就是运动描述的相对性。

为描述物体的运动而选的标准物叫做参考系。不同的参考系对同一物体运动情况的描述

是不同的。因此,在讲述物体的运动情况时,必须指明是对什么参考系而言的。参考系的选择是任意的。在讨论地面上物体的运动时,通常选地球作为参考系 。

２．质点

物体都有大小和形状,运动方式又都各不相同。例如,太阳系中,行星除绕自身的轴线自转外, 还绕太阳公转；从枪口射出的子弹,它在空中向前飞行的同时,还绕自身的轴转动；有些双原子分子,除了分子的平动、转动外,分子内各个原子还在振动。这些事实都说明,物体的运动情况是十分复杂的。物体的大小、形状、质量也都是千差万别的。

如果我们研究某一物体的运动,可以忽略其大小和形状,或者可以只考虑其平动,那么, 我们就可把物体当作是一个有一定质量的点,这样的点通常叫做质点。

质点是经过科学抽象而形成的物理模型。把物体当作质点是有条件的、相对的,而不是无条件的、绝对的,因而对具体情况要作具体分析。例如研究地球绕太阳公转时，由于地球

至太阳的平均距离约为地球半径的 104 倍, 故地球上各点相对于太阳的运动可以看作是相

同的,所以在研究地球公转时可以把地球当作质点。但是,在研究地球上物体的运动情况时,就不能再把地球当作质点处理了。

应当指出, 把物体视为质点这种抽象的研究方法,在实践上和理论上都有重要意义的。当我们所研究的运动物体不能视为质点时,可把整个物体看成是由许多质点组成的,弄清这些质点的运动,可以弄清楚整个物体的运动。所以,研究质点的运动是研究物体运动的基础。

2.1.2 质点运动的矢量描述

１．位置矢量 运动方程 位移

（１）．位置矢量r

在参考系选定以后，为定量地描述质点的位置和位置随时间的变化，须在参考系上选择一个坐标系。

在如图２-１所示的直角坐标系中，在时间t ，质点P 在坐标系里的位置可用位置矢量)(t r 来表示。位置矢量简称位矢，它是一个有向线段，其始端位于坐标系的原点O ，末端则与质点

P 在时刻t 的位置重合。从图中可以看出，位矢r 在ox

轴、oy 轴和oz 轴上的投影(即质点的坐标)分别为x 、y

和z 。所以，质点P 在直角坐标系中的位置，既可以用

位矢r 来表示，也可以用坐标x 、y 和z 来表示。那么位

矢r 亦可写成

k j i r z y x ++= （2-1）

其值为 2

22 z y x ++=r

位矢r 的方向余弦由下式确定

cos cos cos r r r z r y x ===βα

图2-1

(2)． 运动方程

当质点运动时，它相对坐标原点O 的位矢r 是随时间而变化的。因此，r 是时间的函数，

即 k j i r r )()()()(t z t y t x t ++== （2-2）

式(2-2)叫做质点的运动方程；而)(t x 、)(t y 和)(t z 则是运动方程的分量式，从中消去参数t 便得到了质点运动的轨迹方程, 所以它们也是轨迹的参数方程。

应当指出, 运动学的重要任务之一就是找出各种具体运动所遵循的运动方程。

（3）．位移

在如图2-2 y -O x 平面直角坐标系中，有一质点沿

曲线从时刻1t 的点A 运动到时刻2t 的点B ，质点相对原点

O 的位矢由A r 变化到B r 。显然，在时间间隔12t t t -=?内，

位矢的长度和方向都发生了变化。我们将由起始点A 指向

终点B 的有向线段AB 称为点A 到点B 的位移矢量，简称

位移。位移AB 反映了质点位矢的变化。如把AB 写作r ?，

则质点从A 点到点B 的位移为

A B r r r -=? （2-3a ） 图2-2

亦可写成 j i r r r )()(A B A B A B y y x x -+-=-=? 上式表明，当质点在平面上运动时，它的位移等于在x 轴和y 轴上的位移矢量和。 若质点在三维空间运动，则在直角坐标系Oxyz 中其位移为

k j i r r r )z -(z y y x x A B A B A B A B +-+-=-=?)()( （2-3b ）

应当注意,位移是描述质点位置变化的物理量, 它只表示位置变化的实际效果,并非质点所经历的路程。如在图 2-2 中,曲线所示的路径是质点实际运动的轨迹,轨迹的长度为质点所经历的路程, 而位移则是r ?。当质点经一闭合路径回到原来的起始位置时,其位移为零,而路程则不为零。所以,质点的位移和路程是两个完全不同的概念。只有在△t 取得很小的极限情况下,位移的大小|r ?|才可视为与路程 AB 没有区别。

２．速度

在力学中,若仅知道质点在某时刻的位矢,而不能同时知道该质点是静还是动,是动又动到什么程度,就不能确定质点的运动状态。所以，还应引入一物理量来描述位置矢量随时间的变化程度，这就是速度。

（1）．平均速度

如图２-３所示，一个质点在平面上沿轨迹CABD

曲线运动。在时刻t ，它处于点A ，其位矢为)(1t r 。

在时刻t t ?+，它处于点B ，其位矢为)(2t t ?+r 。在t

?时间内，质点的位移为12r r r -=?。在时间间隔t ?内的平均速度v 为

t t ??=?-=r r r v 12

平均速度可写成

j i j i r v y x v v t y t x t +=??+??=??=

图2-3 其中y x v v 和是平均速度v 在Ox 轴和Oy 轴上的分量。

（2 ）． 瞬时速度

当0→?t 时，平均速度v 的极限值叫做瞬时速度(简称速度)，用v 表示，有

t t d d lim 0r t r v =??=→? （2-4a ）

或

j i j i t v y x t t v v t y x +=??+??=→→?0Δ0lim lim （2-4b ）

其中 t y v t x v y x d d ,d d ==

y x v v 和是速度v 在Ox 轴和Oy 轴上的分量，又称为速度分量。 显然，如以

y x v v 和分别表示速度v 在Ox 轴和

Oy 上的分速度(注意:它们是分矢量!)，那

么有 j i v y x v v += 上式亦可以写成

y x v v v += (2-4c)

速度v 的方向与0→??t 在r 时的极限方向一致。当0→?t 时，r ?趋于和轨道相切，即

与点A 的切线重合。所以当质点作曲线运动时，质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的

切线方向。如图２-４所示。

图2-4

只有当质点的位矢和速度同时被确定时，其运动状态才被确知。所以位矢r 和速度v 是

描述质点运动状态的两个物理量。这两个物理量可以从运动方程求出，所以知道了运动方程

可以确定质点在任意时刻的运动状态。因此，概括说来，运动学问题有两类:一是由已知运

动方程求解运动状态；另一是由已知运动状态求解运动方程。

例 设质点的运动方程为

j

i r )()()(t y t x t += 其中 m 2)s m 1()(1+?=-t t x ，

m 2)s m 41()(22+?=-t t y 求s 3=t 时的速度。 (2)作出质点的运动轨迹图。

解 这是已知运动方程求运动状态的一类运动学问题，可以通过求导数的方法求出。

(1)由题意可得速度分量分别为

t t y v t x v y x )s m 21(d d , s m 1d d 21--?==?==

故s 3=t 时的速度分量为

1

1s m 5.1s m 1--?=?=y x v v 和

于是s 3=t 时，质点的速度为

j

i v )s m 5.1()s m 1(11--?+?= 速度的值为1s m 8.1-?=v ，速度v 与x 之间的夹角

为

o 3.5615.1arctg

==θ

(2)由已知运动方程 2m )s m 41()( ,m 2)s m 1()(22-1+?=+?=-t t y t t x

消去t 可得轨迹方程

图2-5

m 3)m 41( 21-+-=x x y

并可作如图２-５所示的质点运动轨迹图。

３．加速度

上面已经指出，作为描述质点状态的一个物理量，

速度是一个矢量，所以，无论是速度的数值发生改变，

还是其方向发生改变，都表示速度发生了变化。为衡量

速度的变化，我们将从曲线运动出发引出加速度的概念。

（1）．平均加速度

如图２-６所示，设在时刻t ，质点位于点A ，其速度为1v ，

在时刻t t ?+，质点位于点B ，其速度为2v ，则在时间

间隔t ?内，质点的速度增量为12v v v -=?，它在单位时间

内的速度增量即平均加速度为 图2-6

t ??=v a

（２）．瞬时加速度

当0→?t 时，平均加速度的极限值叫做瞬时加速度，用a 表示，有

t t t d d lim 0v v a =??=→? （2-5）

a 的方向是0→?t 时v ?的极限方向，而a 的数值是 / t ??v 的极限值。 应当注意，加速度a 既反映了速度方向的变化，也反映了速度数值的变化。所以质点

作曲线运动时，任一时刻质点的加速度方向并不与速度方向相同，即加速度方向不沿着曲线的切线方向。在曲线运动中，加速度的方向指向曲线的凹侧。

式(２-5)可以写成

)(d d j v i v a y x t +=

即 y

x y x a a a a j i a +=+= （2-6） 其中 t v a t v a y y x x d d ,d d ==

例 有一个球体在某液体中垂直下落，球体的初速度为j v )s m 10(10-?=，它在液体中的

加速度为j a v )s 0.1(1--=。问:(1)任一时刻t 的球体的速度。(2)时刻t 球体经历的路程有多长？ 解：由题意知，球体作变速直线运动，加速度a 的方向与球体的速度v 的方向相反，由加速度的定义，有

v t v a )s 0.1(d d 1--==

得

??--=v v t t v v 0 10d )s 0.1(d

有

t

e v v )s 0.1(01--=

上式表明，球体的速率v 随时间t 的增长而减小。

又由速度的定义，有 t

e v t y v )s 0.1(01d d --==

得 ?

?--=y t t t e v y 0 0 )s 0.1(0d d 1

m ]1[10m )]1(0.11[10)s 0.1()s 0.1(11t t e e y -----=--=

2.1.3 几种常用的坐标

１．直角坐标

二维直角坐标的正交归一基矢是 (i,j ),(i,j ) 分别是沿直角坐标轴x 、y 方向的单位矢量 。在直角坐标下 ,

j y x i +=r

j t t d d d d y i x y x +=+=ννν

j 2

2

22t t d d d d y i a a a x y x +=+= 例 一质点具有恒定加速度j i a )s m 4()s m 6(22--?+?=，在0=t 时，其速度为零，位置

矢量i r )m 10(0=。求：（1）在任意时刻的速度和位置

矢量；（2）质点在Oxy 平面上的轨迹方程，并画出轨

迹的示意图。

解：由加速度定义式，根据初始条件t 0 = 0时v 0 = 0，积

分可得

t t t

t v

d ])s m 4(s m 6[(d d 02200???--?+?==j i )a v j i v t t )s m 4()s m 6(22--?+?=

图2-7 又由

t d d r v =及初始条件t = 0时，r 0 = (10 m)i ， 积分可得 t t t t t t r

d ])s m 4()s m 6[(d d 02200???--?+?==j i v r

j i r ])s m 2[(])s m 3(m 10[2222t t --?+?+=

由上述结果可得质点运动方程的分量式，即

()22s m 3m 10t x -?+=

()22s m 2t y -?=

消去参数t ，可得运动的轨迹方程

m 2023-=x y

这是一个直线方程，直线斜率

32an t d d ===αx y k 。

图2-8

2．平面极坐标

设有一质点在如图2-8所示Oxy 平面内运动，某时刻它位于点A 。由坐标原点O 到点A

的有向线段r 称为径矢，r 与Ox 轴之间的夹角为θ。于是，质点在点A 的位置可由(θ,r )来

确定。这种以(θ,r )为坐标的参考系称为平面极坐标系。而在平面直角坐标系内，点A 的坐标则为(y x ,)。这两个坐标系的坐标之间的变换关系为: sin cos θθr y r x ==和 θ称为角坐标，它是时间 t 的函数，即θ＝θ（t ）, dt

d ωθ=为角速度，在圆周运动下, r ων=。

3．自然坐标

（１）．自然坐标

一般来说，质点平面运动需用两个独立的变量

（是标量）描述，如在平面直角坐标系中就是用x 、y

来描述，但质点又有其运动轨迹y =y (x )，则x 、y 间只

有一个是独立的。这就是说，在已知质点轨迹的前提

下，质点的平面运动仅需一个标量函数就能确切描述

质点的运动状况。这里，我们既不选择x ,也不选择y

充当这一描述运动的标量函数，而是选用另一种所谓

“自然坐标”。

在已知运动轨迹上任选一点0为原点，沿质点的

轨迹为“坐标轴”（当然是弯曲的），原点至质点位置的弧 图2-9

长 s 作为质点的位置坐标，弧长 s 称为平面自然坐标，它确定质点的位置，并在质点所在处Ａ取一单位矢量沿曲线切线且指向自然坐标增加方向的矢量t e ，称为切向单位矢量，另取一单位矢量，沿曲线的法向且指向曲线的凹侧的矢量n e ，称为法向单位矢量。下面以圆周运动为例。

（2）．切向速度

如图2-9所示，质点在圆周上点A 的速度为v ，于是点A 的速度v 可以写成

t e v v = （2-7） 式中v 为速度v 的值，t e 则代表速度v 的方向。

（3）．切向加速度和法向加速度

在圆周上任意点的加速度为

t d v t v t d d d d d t

t e e v a +== （2-8）

式(2-8)中第一项t d d e t v ，是由于速度大小的变化而引起的，其方向为t e 的方向，即与速度v 的方向相同。因此，此项加速度分矢量称为切向加速度，用t a 表示，

另外，可得 t ωr t v d d d d =

式中t d /d ω为角速度随时间的变化率，叫做角加速度，用符号α表示，有

22d d d ωd t t θα== （2-9）

角加速度α的单位为2s rad -?，

则切向加速度

t t e a αr = （2-10）

图2-10

式(2-8)中的第二项t d /d t e ，则表示切向单位矢量随时间的变化。这一点从图2-10(a)中可以看出。设在时刻t ，质点位于圆周上点A ，其速度为1v ，切向单位矢量为t1e ；在时刻t t ?+，质点位于点B ，速度为2v ，切向单位矢量为t2e 。在时间间隔t ?内，径矢r 转过的角度为θ?，速度增量为v ?，切向单位矢量的增量则为1t t2t e e e -=?。由于切向单位矢量的值为1，即1 t2t1==e e ，因而，从图(b)可以知道θθ?=??=?1 t e 。当0→?t 时，θ?亦趋于零，这时t e ?的方向趋于与t1e 垂直，即趋于与1v 垂直，并且趋于指向圆心。如果，我们在沿径矢而指向圆心的法线方向上取单位矢量即法向单位矢量n e (如上图)，那么，在0→?t 时，t ??/t e 的极限值为

n t t 0d d d d lim

e e e t t t t θ==??→? 这样，式(2-8)中第二项可以写成 n t d d d d e e t v t v θ=

由于这个加速度的方向是垂直于切向的，故叫做法向加速度，用n a 表示，有 n n d d e a t v θ= （2-11a ）

考虑到ωθωr v t == ,d /d 故上式为

r v r v r 2n n 2n 2n ,===a e e a ω （2-11b ） 由式(2-10)和式(2-11b)，可将质点作变速圆周运动时的加速度的表达式(2-8)写成

n 2

t n t d d e e a a a r v t v +=+= （2-12a ）

或

n 2t e e a ωαr r += (2-12b)

其中切向加速度t a 是由于速度数值的变化而引

起的，法向加速度n a 则是由于速度方向的变化而引

起。

在变速圆周运动中，由于速度的方向和大小都在变化，所以加速度a 的方向不再指向圆心(图2-11)，其值和方向为

t n

212n 2t tg ,)(a a a a a =+=?

图2-11

上述结果虽然是从变速圆周运动中得出的，但对于一般的曲线运动，式(2-10)、(2-11)仍然适用。此时可以把一段足够小的曲线看成是一段圆弧。这样包含这段圆弧的圆周就被称为曲线在给定点的曲率圆，从而可用曲率半径ρ来替代圆的半径r 。

例 如图２-１２所示，飞机在高空点A 时的水平速率为1A h km 1940-?=v ，沿近似于圆

弧的曲线俯冲到点B ，其速率为1B h km 2192-?=v ，所经历的时间为s 3=?t 。设圆弧AB 的半

径约为km 5.3，且飞机从A 到B 的俯冲过程可视为匀变速率圆周运动。若不计重力加速度的影响，求：(1)飞机在点B 的加速度； (2)飞机由点A 到达点B 所经历的路程。

解： (1)由于飞机在AB 之间作匀变速率圆周运动，所以t v d /d 和角加速度α均为常量。切向加速度t a 的值为

t v a d d t =

有 ???==t t

v v t a t a v B A 0 0 t t d d d

得点B 的切向加速度为

2

t s m 3.23-?=?-=t v v a A B

而在点B 的法向加速度为

2

2B n s m 106-?==r v a

故飞机在点B 时的加速度的值为

22/12n 2t s m 109)(-?=+=a a a 图2-12

a 与n a 之间夹角β为

o

n t 4.12arctg ==a a β

(2)在时间t 内，径矢r 转过的角度为

2A 21

t t αωθ+=

其中A ω是飞机在点A 的角速度。故在此时间内，飞机经过的路程为

m 172221 212t A 2A =+=+==t t v t r t r r S ααωθ

2.1.4 运动学的基本问题

运动学的问题一般分为两大类 :

第一类问题是已知质点的位置矢量 r =r (t),而求质点的速度和加速度,这类问题可以通过矢径对时间的逐级微商得到。

例 如图2-13,长为l 的细棒,在竖直平面内沿墙角下滑,上端A 下滑速度为匀速v 。当下端B 离墙角距离为x (x

速度多大?

解：建立如图所示的坐标系

设A 端离地高度为y 222l y x =+∴

方程两边对t 求导 022=+dt dy y dt dx x dt dy x y dt dx -=∴v x y = 图2-13 v x x l 2

2-=

加速度: 222x xdy/dt-yd /dt d x

dt x =v 232v x l -=

例 质点作半径为R 的圆周运动，其速率 t 2=ν ,

求：质点任意时刻的加速度a ？

解： 22

4n v t R R

a == 2dv dt a τ== 2

4t =+2R n t a e e

第二类问题是已知质点的加速度或速度,而反过来求质点的速度、位置及运动方程。第二类问题则是通过对加速度或速度积分而得到结果, 积分常数要由问题给定的初始条件,如初始位置和初始速度来决定。

例 一质点沿圆周运动, 其切向加速度与法向加速度的大小恒保持相等。设 为质点在圆周上任意两点速度1ν与2ν之间的夹角。试证: θννe 12=。 l

x y x y O A B

证： R v a n 2= dt dv a t =

dt dv R v =∴2ds dv v = 即 v

dv R ds = v dv R ds

s ??=210νν 积分得

12

l n v v R s = 12ln v v R s ==θ

θννe 12=。

2.1.5 运动的叠加

１．运动叠加原理

在日常生活和生产实践中，常可看到一个物体同时参与两个或几个不同方向上运动的情形，大量实验事实表明，宏观物体任何一个方向的运动，都不因为其他方向的运动而受到影响，即各种方向的运动都具有独立性，这称为运动独立性原理。

２．实例： 以抛体运动为例。

抛体运动是平面曲线运动，物体在空中任意时刻速度分量为

θc o s 0v v x = gt v v y -=θsin 0 积分可得 t v x ?=θcos 0

20gt 2

1t sin v y -?θ= 图2-14 消去 t 得轨迹方程 2220cos 2tg x v g x y θ

θ-= 由y = 0得 射程 g v x m θ2sin 2

0= 0x

y

v θx v 0 y

v 0 v g 0

v t g v

由y v =0 有g v t θsin 0=

射高 g

v y m 2sin 220θ= 矢量形式为

v v =+-00(cos θ)(sin θgt)v i j 图2-15 即

v v =+-00(cos θ)(sin θgt)v i j t =+0v g t 0t t t ==+?21d 20r v v g

可见抛体运动可归结为初速度方向的匀速直线运动

和竖直方向的自由落体运动的叠加。

例 证明在猎人和猴子的演示中，不论子弹的

初速度如何总能击中猴子(不计空气阻力)。

解：

00 v g g v v v v v v =-+=-=+=t t 猴地

弹地地猴弹地弹猴 图2-16

即子弹相对于猴子的速度为子弹的初速度，只要一开始瞄准猴子总能击中。

2.2 相对运动

质点的运动轨迹依赖于观察者( 即参考系 )的例子是很多的。例如一个人站在作匀速直线运动的车上,竖直向上抛出一块石子,车上的观察者看到石子竖直上升并竖直下落。但是,站在地面上的另一人却看到石子的运动轨迹为一抛物线。从这个例子可以看出,石子的运动情况依赖于参考系。在描述物体的运动时，总是相对选定的参考系而言的。通常，我们选地面（或相对于地面静止的物体作为参考系,但是有时为了方便起见，往往也改选相对于地面运动的物体作为参考系。由于参考系的变换，就要考虑物体相对于不同参考系的运动及其相互关系，这就是相对运动问题。

2.2.1 相对位移

如图2-17 所示，先选定一个基本参考系K （地面 ），如果另一个参考系（车）相对于基本参考系K 在运动，则称为运动参考系K'。设一运动物体（球）P 在某一时刻相对于参考系K 和K' 的位置，可分别用位矢和

表示；而运动参考系K'上的原点O'在基本参考系K 中的位矢为，它们之间有如下的关系，即 （2-13） 221gt

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