条件概率知识点、例题、练习题

条件概率专题

一、知识点

① 只须将无条件概率P(B)替换为条件概率P(BA)，即可类比套用概率满足的三条公理及其它性质 ② 在古典概型中---

P(BA)?P(AB)?(AB)事件AB包括的基本事件（样本点）数 ??事件A包括的基本事件（样本点）数P(A)?(A)③ 在几何概型中---

P(BA)?P(AB)?(AB)区域AB的几何度量(长度,面积,体积等) ??区域A的几何度量(长度,面积,体积等)P(A)?(A)条件概率及全概率公式

3.1.对任意两个事件A、B, 是否恒有P(A)≥P(A|B).

答：不是. 有人以为附加了一个B已发生的条件, 就必然缩小了样本空间, 也就缩小了概率, 从而就一定有P(A)≥P(A|B), 这种猜测是错误的. 事实上,可能P(A)≥P(A|B), 也可能P(A)≤P(A|B), 下面举例说明. 在0,1,?,9这十个数字中, 任意抽取一个数字,令

A={抽到一数字是3的倍数}; B1={抽到一数字是偶数}; B2={抽到一数字大于8}, 那么

P(A)=3/10, P(A|B1)=1/5, P(A|B2)=1. 因此有 P(A)＞

P(A|B1), P(A)＜P(A|B2).

3.2.以下两个定义是否是等价的.

定义1. 若事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B), 则称A、B相互独立. 定义2. 若事件A、B满足P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B), 则称A、B相互独立.

答：不是的.因为条件概率的定义为

P(A|B)=P(AB)/P(B) 或 P(B|A)=P(AB)/P(A)

自然要求P(A)≠0, P(B)≠0, 而定义1不存在这个附加条件, 也就是说,P(AB)=P(A)P(B)对于P(A)=0或P(B)=0也是成立的. 事实上, 若P(A)=0由0≤P(AB)≤P(A)=0可知P(AB)=0故 P(AB)=P(A)P(B).

因此定义1与定义2不等价, 更确切地说由定义2可推出定义1, 但定义1不能推出定义2, 因此一般采用定义1更一般化.

3.3.对任意事件A、B, 是否都

有 P(AB)≤P(A)≤P(A+B)≤P(A)+P(B). 答：是的.由于 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) (*) 因为 P(AB)≥0, 故 P(A+B)≤P(A)+P(B). 由P(AB)=P(A)P(B|A), 因为0≤P(B|A)≤1,故 P(AB)≤P(A); 同理P(AB)≤P(B), 从而 P(B)-P(AB)≥0, 由(*)知 P(A+B)≥P(A). 原命题得证.

3.4.在引入条件概率的讨论中, 曾出现过三个概率: P(A|B), P(B|A), P(AB). 从事件的角度去考察, 在A、B相容的情况下, 它们都是下图中标有阴影的部分, 然而从概率计算的角度看, 它们却是不同的. 这究竟是为什么?

答：概率的不同主要在于计算时所取的样本空间的差别:

P(A|B)的计算基于附加样本空间ΩB; P(B|A)的计算基于附加样本空间ΩA; P(AB)的计算基于原有样本空间Ω. 3.5.在n个事件的乘法公式：

P(A1A2?An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)?P(An|A1A2?An-1)

中,涉及那么多条件概率, 为什么在给出上述乘法公式时只提及

P(A1A2?An-1)>0呢?

答)>0.

事实上, 由于A1A2A3?An-2

：

按

条

件

概

率

的

本

意

,

应

要

求

P(A1)>0, P(A1A2)>0, ?, P(A1A2?An-2)>0, P(A1A2?An-1

A1A2A3?An-2An-1, 从而便有P(A1A2?An-2)

≥P(A1A2?An-1)>0. 这样, 除P(A1A2?An-1)>0作为题设外, 其余条件概率所要求的正概率, 如P(A1A2?An-2) >0, ?, P(A1A2) >0, P(A1)>0便是题设条件P(A1A2?An-1)>0的自然结论了.

3.6.计算P(B)时, 如果事件B的表达式中有积又有和, 是否就必定要用全概率公式.

答：不是. 这是对全概率公式的形式主义的认识, 完全把它作为一个”公式”来理解是不对的. 其实, 我们没有必要去背这个公式, 应着眼于

A1,A2,?,An的结构. 事实上, 对于具体问题, 若能设出n个事件Ai, 使之满足

(*)

就可得

这样就便于应用概率的加法公式和乘法公式.

因此, 能否使用全概率公式, 关键在于(**)式, 而要有(**)式, 关键又在于适当地对Ω进行一个分割, 即有(*)式. 3.7.设P(A)≠0, P(B)≠0, 因为有 (1)若A、B互不相容, 则A、B一定不独立. (2)若A、B独立, 则A、B一定不互不相容.

故既不互不相容又不独立的事件是不存在的. 上述结论是否正确.

答：不正确. 原命题中的结论(1)(2)都是正确的. 但是由(1)(2)(它们互为逆否命题, 有其一就可以了)只能推出在P(A)≠0, P(B)≠0的前提下, 事件A、B既互不相容又独立是不存在的, 并不能推出“A、B既不独立又不互不相容是不存在的”. 事实上, 恰恰相反, 既不互不相容又不独立的事件组是存在的, 下面举一例.

5个乒乓球(4新1旧), 每次取一个, 无放回抽取三次, 记Ai={第i次取到新球}, i=1, 2, 3. 因为是无放回抽取, 故A1、A2、A3互相不独立, 又

. (**)

A1A2A3={三次都取到新球}, 显然是可能发生的, 即A1、A2、A3可能同时发生, 因此A1、A2、A3不互不相容.

3.8.事件A、B的“对立”与“互不相容”有什么区别和联系? 事件A、B “独立”与“互不相容”又有什么区别和联系?

答：“对立”与“互不相容”区别和联系, 从它们的定义看是十分清楚的, 大体上可由如下的命题概括: “对立” →“互不相容”, 反之未必成立. 至于“独立”与“互不相容”的区别和联系, 并非一目了然.

事件的互不相容性只考虑它们是否同时发生，是纯粹的事件的关系, 丝毫未涉及它们的概率, 其关系可借助图直观显示.

事件的独立性是由概率表述的, 即当存在概率关系P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)时, 称A、B是相互独立的.

它们的联系可由下述命题概括: 对于两个非不可能事件A、B, 则有“A、B互不相容” →“A、B不独立”. 其等价命题是: 在P(A)>0与P(B)>0下, 则

有“A、B独立” →“A、B不互不相容”(相容). 注意, 上述命题的逆命题不成立.

3.9.设A、B为两个事件,若

0

当A、B相互独立时, 有 P(AB)=P(A)P(B); 当A、B互不相容时, 有 P(AB)

时, 有 P(AB)>P(A)P(B).

, 这三种情形中的任何两种

在条件(*)下, 上述三式中的任何两个不能同时成立. 因此, A、B相互独立,A、B互不相容,

这三种情形中的任何两种不能同时成立.

此结论表明: 在条件(*)下,若两个事件相互独立时, 必不互不相容，也不一个包含另一个,而只能是相容了.

3.10.证明: 若P(A)=0或P(A)=1, 则A与任何事件B相互独立.

答：若P(A)=0, 又

, 故0≤P(AB)≤P(A)=0.

于是P(AB)=0=P(A)P(B),所以A与任何事件B相互独立. 若P(A)=1, 则

.由前面所证知,

与任何事件B相互独

立. 再由事件独立性的性质知, 种方法证明: 由P(A)=1知又

且

与B相互独立, 即A与B相互独立.另

.

互.

不

相

容

,

故

, 进而有

AB与

即A与B相互独立. 3.11.

设

A、B是两个基本事件, 且

00, [解1]由已知条件

, 问事件A与B是什么关系?

可得 .

由比例性质, 得

所以 P(AB)=P(A)P(B).因此事件A与B相互独立. [解2]由

.

因而 又

所以 P(B|A)=P(B). 因此事件A与B相互独立.

. ,

得

.

3.12.是不是无论什么情况, 小概率事件决不会成为必然事件.

答：不是的. 我们可以证明, 随机试验中, 若A为小概率事件, 不妨设

P(A)=ε(0＜ε＜1为不论多么小的实数 ), 只要不断地独立地重复做此试验, 则A迟早要发生的概率为1.

事实上, 设Ak={A在第k次试验中发生}, 则P(Ak)=ε,前n次试验中A都不发生的概率为:

.

于是在前n次试验中, A至少发生一次的概率为

.

, 在

如果把试验一次接一次地做下去, 即让n→∞, 由于0＜ε＜1, 则当

n→∞时, 有pn→1.

以上事实在生活中是常见的, 例如在森林中吸烟, 一次引起火灾的可能性是很小的, 但如果很多人这样做, 则迟早会引起火灾. 3.13.只要不是重复试验, 小概率事件就可以忽视.

答：不正确. 小概率事件可不可以忽视, 要由事件的性质来决定, 例如在森林中擦火柴有1%的可能性将导致火灾是不能忽视的, 但火柴有1%的可能性擦不燃是不必在意的.

3.14.重复试验一定是独立试验, 理由是: 既然是重复试验就是说每次试验

,,

,

,

.

(4)要求第二次取出红球,即求事件A2的概率. 由全概率公式 :

∴

=7/9×4/5+8/9×1/5=4/5.

8. 某射击小组共

设事件Bi表示“射手是第i级射手”.(i=1,2,3,4) 有20名射手,其

中一级射手4人,

显然,B1、B2、B3、B4构成一完备事件组,且

二级射手8人,

P(B1)=4/20, P(B2)=8/20, P(B3)=7/20, P(B4)=1/20; 三级射手7人,

四级射手1人.

P(A|B1)=0.9, P(A|B2)=0.7, P(A|B3)=0.5, P(A|B4)=0.2.

一、二、三、四

级射手能通过选由全概率公式得到 拔进入比赛的概

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)+P(A|B4

率分别是0.9、0.7、0.5、0.2 . 求)P(B4) 任选一名射手能=0.9×4/20+0.7×8/20+0.5×7/20+0.2×通过选拔进入比

1/20=0.645.

赛的概率.

9.轰炸机轰炸某目标,

解.设事件A1表示“飞机能飞到距目标400米处”,

它能飞到距目标400、200、100(米)的概率分设事件A2表示“飞机能飞到距目标200米处”, 别是0.5、0.3、0.2,又

设事件A3表示“飞机能飞到距目标100米处”,

设它在距目标400、200、100(米)时的命中用事件B表示“目标被击中”. 率分别是0.01、0.02、

由题意, P(A1)=0.5, P(A2)=0.3, P(A3)=0.2,

0.1 .求目标被命中的

解.设事件A表示“射手能通过选拔进入比赛”,

概率为多少?

且A1、A2、A3构成一完备事件组.

又已知P(B|A1)=0.01, P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.1. 由全概率公式得到 :

P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)

=0.01×0.5+0.02×0.3+0.1×0.2=0.031.

解.设事件Ai表示“第i道工序出次品”, i=1,2,3,4

因为各道工序的加工互不影响,因

此Ai是相互独立的事件.

P(A1)=0.02,

P(A2)=0.03,

P(A3)=0.05, P(A4)=0.03,

10. 加工某一零件共需

只要任一道工序出次品,则加工出

要4道工序,设第一﹑第

二﹑第三﹑第四道工序来的零件就是次品.所以要求的是的次品率分别为2?﹑(A1+A2+A3+A4)这个事件的概率. 3?﹑5?﹑3?, 假定各

为了运算简便,我们求其对立事件

道工序的加工互不影

响, 求加工出零件的次的概率 品率是多少?

=

(1-0.02)(1-0.03)(1-0.05)(1-0.03)=0.876.

∴P(A1+A2+A3+A4)=1-0.876=0.124.

11. 某人过去射击的成绩是每射5次总有4次命中目标, 根据这一成绩, 求

解.设事件Ai表示“第i次命中目标”, i=1,2,3

根据已知条件 P(Ai)=0.8,

,i=1,2,3

(1)射击三次皆中目某人每次射击是否命中目标是相互独立的,因此事件Ai是相互独

立的 . 标的概率;

(2)射击三次有且只

(1)射击三次皆中目标的概率即求P(A1A2A3).

有2次命中目标的概率; 由独立性:

(3)射击三次至少有 P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.83=0.512.

二次命中目标的概率.

示. 显然

又根据独立性得到:

,

(2)“射击三次有且只有2次命中目标”这个事件用B表

.

(3)“射击三次至少有2次命中目标”这个事件用C表示.

至少有2次命中目标包括2次和3次命中目标,所以C=B+A1A2A3

P(C)=P(B)+P(A1A2A3)=0.384+0.512=0.896.

解.设事件Ai表示“第i人能译出密码”, i=1,2,3.

由于每一人是否能译出密码是相互独立的,最后只要

三人中至少有一人能将密码译出,则密码被译出,因此所求的

概率为P(A1+A2+A3).

12. 三人独立译某一密码, 他们能译出的已知P(A1)=1/3,P(A2)=1/4,P(A3)=1/5, 概率分别为1/3, 1/4,

而

1/5, 求能将密码译出的概率.

=(1-1/3)(1-1/4)(1-1/5)=0.4.

∴P(A1+A2+A3)=1-0.4=0.6.

13. 用一门大炮对某

目标进行三次独立解.设事件Ai表示“第i次命中目标”, i=1,2,3. 射击, 第一、二、三设事件Bi表示“目标被命中i弹”, i=0,1,2,3. 次的命中率分别为

设事件C表示“目标被摧毁”. 0.4、0.5、0.7, 若命

中此目标一、二、三由已知P (A)=0.4,P(A)=0.5,P(A)=0.7; 123弹, 该目标被摧毁

P(C|B0)=0,P(C|B1)=0.2,P(C|B2)=0.6,P(C|B3)=0.8. 的概率分别为0.2、

0.6和0.8, 试求此又由于三次射击是相互独立的,所以 目标被摧毁的概率.

,

=0.6×0.5×0.7+0.6×0.5×0.3+0.4×0.5×0.3=0

.36,

=0.6×0.5×0.7+0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7

=0.41,

.

由全概率公式得到

P(C)=P(C|B0)P(B0)+P(C|B1)P(B1)+P(C|B2)P(B2)+P(C|B3)P(B3)

=0×0.09+0.2×0.36+0.6×0.41+0.8×0.14=0.43.

三、练习题

31,P(A)=,则P(AB)=( ) 1051323A． B. C． D.

223502．由“0”、“1” 组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)=（ ）

1111A. B. C. D. 2348423．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮三级以上风的概率为，

15151．已知P(B|A)=

既刮风又下雨的概率为A.

8 225

1，则在下雨天里，刮风的概率为（ ） 10331 B. C. D.

284

4．设某种动物有出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4.现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是.

５．一个口袋内装有2个白球，3个黑球，则

（1）先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率？ （2）先摸出1个白球后不放回，再摸出1个白球的概率？

13６．某种元件用满6000小时未坏的概率是，用满10000小时未坏的概率是，

42现有一个此种元件，已经用过6000小时未坏，求它能用到10000小时的概率

7．某个班级共有学生40人，其中有团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员4人。如果要在班内任选一人当学生代表

（1）求这个代表恰好在第一小组内的概率（2）求这个代表恰好是团员代表的概率

（3）求这个代表恰好是第一小组内团员的概率

（4）现在要在班内任选一个团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率

8．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70％，乙厂占30％，甲厂产品合格率是95％，乙厂合格率是80％，则(1)市场上灯泡的合格率是多少？ (2)市场上合格品中甲厂占百分之几？（保留两位有效数字）

9．一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩

的概率？（每个小孩是男孩和女孩的概率相等）

10．在一批电子元件中任取一件检查，是不合格品的概率为0.1，是废品的概率为0.01，已知取到了一件不合格品，它不是废品的概率是多少？

8．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70％，乙厂占30％，甲厂产品合格率是95％，乙厂合格率是80％，则(1)市场上灯泡的合格率是多少？ (2)市场上合格品中甲厂占百分之几？（保留两位有效数字）

9．一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩

的概率？（每个小孩是男孩和女孩的概率相等）

10．在一批电子元件中任取一件检查，是不合格品的概率为0.1，是废品的概率为0.01，已知取到了一件不合格品，它不是废品的概率是多少？

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