普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（陕西卷，含答案）3

2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)

文科数学

注意事项:

1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题. 2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.

3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(共50分)

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. 设全集为R, 函数f(x)?1?x的定义域为M，则CRM为 (A) (－∞,1) (B) (1, + ∞) (C) (??,1]

2. 已知向量a?(1,m),b?(m,2)，若a//b，则实数m等于 (A) ?2 (B) 2 (D) [1,??)

(C) ?2或2 (D) 0

3. 设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是

logcb?logca logaa?logab (A) logab· (B) logab· (C) loga(bc)?logablogac (D) loga(b?c)?logab?logac

4. 根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为

输入x (A) 25

If x≤50 Then (B) 30

y = 0.5 * x (C) 31 Else (D) 61 y = 25 + 0.6*(x-50) End If 输出y

4. 对一批产品的长度(单位: 毫米)进行抽样检测, 下图为检测

结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取1件, 则其为二等品的概率为

(A) 0.09 (B) 0.20 (C) 0.25 (D) 0.45 6. 设z是复数, 则下列命题中的假命题是 ． (A) 若z2?0, 则z是实数

(B) 若z2?0, 则z是虚数

(C) 若z是虚数, 则z2?0 (D) 若z是纯虚数, 则z2?0 7. 若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为 (A) －6 (B) －2 (C) 0 (D) 2 8. 已知点M(a,b)在圆O:x2?y2?1外, 则直线ax + by = 1与圆O的位置关系是 (A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定

9 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若bcosC?ccosB?asinA, 则△ABC的形状为 (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x,有

(A) [－x] =－[x] (C) [2x] = 2[x]

1] = [x] 21(D) [x]?[x?]?[2x]

2(B) [x +

二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

x2y211. 双曲线??1的离心率为 . 16912. 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 . ．13. 观察下列等式: (1?1)?2?1(2?1)(2?2)?22?1?33

(3?1)(3?2)(3?3)?2?1?3?5…

照此规律, 第n个等式可为 . 40m14. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为 (m).

15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题评分) A. (不等式选做题) 设a, b∈R, |a－b|>2, 则关于实数x的不等式|x?a|?|x?b|?2的解集是 .

x40m

B. (几何证明选做题) 如图, AB与CD相交于点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已

C知?A??C, PD = 2DA = 2, 则PE = .

BDA?x?t2C. (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线? (t为参数)的焦点坐标PEy?2t?是 .

三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. (本小题满分12分)

1b. 已知向量a?(cosx,?),b?(3sinx,cos2x),x?R, 设函数f(x)?a·2 (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.

??? (Ⅱ) 求f (x) 在?0,?上的最大值和最小值.

?2?

17. (本小题满分12分)

设Sn表示数列{an}的前n项和.

(Ⅰ) 若{an}为等差数列, 推导Sn的计算公式;

1?qn (Ⅱ) 若a1?1,q?0, 且对所有正整数n, 有Sn?. 判断{an}是否为等比数列.

1?q

18. (本小题满分12分)

如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, AB?AA1?2. D1A1B1C1DAOBC (Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.

19. (本小题满分12分)

有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下: 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 (Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 (Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.

20. (本小题满分13分)

已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍. (Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;

(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.

21. (本小题满分14分) 已知函数f(x)?ex,x?R.

(Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;

1 (Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线y?x2?x?1有唯一公共点.

2f(b)?f(a)?a?b? (Ⅲ) 设a

2b?a??

答案：

1.B 2. C 3. B 4. C 5. D 6. C 7. A 8. B 9. A 10. D

5 412.3?

11.

13. (n?1)(n?2)(n?3)14. 20

15. (－∞,﹢∞)

B 6. C (1, 0)

b=cosx?3sinx?16【解】f(x)?a·(n?n)?2n?1?3??(2n?1)

131?cos2x?sin2x?cos2x?sin(2x?)。 2226最小正周期T?2???。 2所以f(x)?sin(2x?(Ⅱ) 当x?[0,?6),最小正周期为?。

?2]时，(2x??6)?[-?5?6,6]，由标准函数y?sinx在[-?5?6,6]上的图像知，.

f(x)?sin(2x????1)?[f(-),f()]?[?,1]. 66221???所以，f (x) 在?0,?上的最大值和最小值分别为1,?.

?2?217【解】(Ⅰ) 设公差为d,则an?a1?(n?1)d

?Sn?a1?a2???an?1?an?2Sn?(a1?an)?(a2?an?1)???(an?1?a1)?(an?a1)??Sn?an?an?1???a2?a1n(a1?an)n?1?2Sn?n(a1?an)?Sn??n(a1?d).

22 (Ⅱ) a1?1，q?0,由题知q?1。 1?qn1?qn?11?qnqn?qn?1?n?N，Sn??an?1?Sn?1?Sn????qn

1?q1?q1?q1?qn?1?1an??n?1?an?qn?1，n?N*.

n?2?q所以,数列{an}是首项a1?1,公比q?1的等比数列。

*

O1. 18【解】 (Ⅰ) 设B1D1线段的中点为?BD和B1D1是ABCD?A1B1C1D1的对应棱?BD//B1D1.

同理，?AO和A1O1是棱柱ABCD?A1B1C1D1的对应线段

?AO//A1O1且AO//OC?A1O1//OC且A1O1?OC?四边形A1OCO1为平行四边形

?A1O//O1C.且A1O?BD?O,O1C?B1D1?O1?面A1BD//面CD1B1.(证毕) (Ⅱ) ?A1O?面ABCD?A1O是三棱柱A1B1D1?ABD的高. 在正方形AB CD中,AO = 1 . 在RT?A1OA中，A1O?1.

1三棱柱A1B1D1?ABD的体积VA1B1D1?ABD?S?ABD?A1O??(2)2?1?1.

2所以，三棱柱A1B1D1?ABD的体积VA1B1D1?ABD?1.

19【解】 (Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数。

从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从100人中抽取6人，从100人中抽取9人。 (Ⅱ) A组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为

2· 32· 6222现从抽样评委A组3人,B组6人中各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率P???.

3692所以，从A,B两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率为.

920.【解】 (Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍，则

x2y2|x?4|?2(x?1)?y???1.

43x2y2??1 所以，动点M的轨迹为 椭圆，方程为432x1?0?x2，2y1?3?y2 (Ⅱ) P(0, 3), 设A(x1,y1),B(x2,y2),由题知：22椭圆的上下顶点坐标分别是(0,3)和(0,-3),经检验直线m不经过这2点，即直线m斜率k存在。

设直线m方程为:y?kx?3.联立椭圆和直线方程，整理得：

?24k24（3?4k2)x2?24kx?24?0?x1?x2?,x?x? 12223?4k3?4k2x1x21(x1?x2)?2x1?x25(?24k)293 ???2?????k??2x2x12x1?x222(3?4k)?2423所以，直线m的斜率k??

221. 【答案】(Ⅰ) y = x+ 1.

e2e2e2（，??）当m ?(0,)时,有0个公共点；当m= ,有1个公共点；当m ?有2个公共点；

444f(b)?f(a)f(a)?f(b) >

b?a2(Ⅱ) (Ⅰ) f (x)的反函数g(x)?lnx,则y=g(x)过点（1,0）的切线斜率k=g'(1).

(Ⅲ)

1?k?g'(1)?1.过点（1,0）的切线方程为：y = x+ 1 x12(Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线y?x?x?1有唯一公共点，过程如下。

211令h(x)?f(x)?x2?x?1?ex?x2?x?1,x?R,则

22g'(x)?h'(x)?ex?x?1,h'(x)的导数h''(x)?ex?1,且h(0)?0，h'(0)?0，,h''(0)?0

因此，

当x?0时h''(x)?0?y?h'(x)单调递减;当x?0时h''(x)?0?y?h'(x)单调递增?y?h'(x)?h'(0)?0,所以y?h(x)在R上单调递增，最多有一个零点x?0

所以，曲线y=f(x)与曲线y?12x?x?1只有唯一公共点(0,1).(证毕） 2f(a)?f(b)f(b)?f(a)(b?a?2)?f(a)?(b?a?2)?f(b)??(Ⅲ) 设

2b?a2?(b?a)(b?a?2)?ea?(b?a?2)?eb(b?a?2)?(b?a?2)?eb?aa???e

2?(b?a)2?(b?a)xxx令g(x)?x?2?(x?2)?e,x?0,则g'(x)?1?(1?x?2)?e?1?(x?1)?e。 g'(x)的导函数g''(x)?(1?x?1)?ex?x?ex?0,所以g'(x)在（0，??）上单调递增，且g'(0)?0.因此g'(x)?0，g(x)在(0,??)上单调递增,而g(0)?0, 所以在(0,??)上g(x)?0。

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