分块矩阵的初等变换及其应用--毕业论文

LUOYANG NORMAL UNIVERSITY

2015届 本科毕业论文

分块矩阵的初等变换及其应用

专 业 名 称 学 生 姓 名 学 号 指 导 教 师 完 成 时 间 院 （系） 名 称

数学与应用数学 韩佳桐 110414148 夏兴无 副教授 2015.5 数学科学学院

洛阳师范学院本科毕业论文

分块矩阵的初等变换及其应用

韩佳桐

数学科学学院 数学与应用数学专业 学号:110414148

指导教师:夏兴无

摘要：初等变换是处理矩阵的重要方法,而分块矩阵又是解决矩阵问题的有力工具,初等变换应用在分块矩阵上,可以有效地简化矩阵的运算.本文主要总结了分块矩阵在求解行列式、证明矩阵的行列式等式、矩阵的秩的等式(以及不等式)、求解矩阵的逆等方面的应用,并通过具体的例子说明了分块矩阵的重要性.

关键词：初等变换;分块矩阵;行列式;矩阵的秩;矩阵的逆

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1分块矩阵的产生与意义

分块矩阵的初等变换是线性代数中重要且基本的运算,在运算中巧妙地将高阶矩阵转化为低阶矩阵,常常能够使我们迅速地接近问题的本质,化繁为简,从而达到解决问题的目的. 1.1分块矩阵思想的产生

矩阵作为数学工具之一有着极其重要的使用价值,也常见于很多学科中,如：线性规划、统计分析等,在实际生活中,很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述和运算,矩阵的概念和性质相对于矩阵的运算较容易理解和掌握,而对于矩阵的运算和应用,则有很多的问题值得我们去研究.其中,当矩阵的行数和列数都相当大时,矩阵的计算和证明会是很繁琐的过程,因此,我们需要有一个新的矩阵处理工具来使这些问题得到更好的解释,矩阵分块的思想便由此产生. 1.2分块矩阵的意义

矩阵分块,就是将一个行列数较多的大型矩阵,分别按照横竖分割成一些小的子矩阵,然后将每一个小矩阵看作一个元素,特别是在运算中,将这些小矩阵当作数一样来处理.将矩阵分块进行运算有许多方便之处,因为在分块之后,矩阵间的相互关系可以看得更清楚,不仅非常简洁,而且方法也很统一,具有较大的优越性,是处理级数较高的矩阵时的常用方法,也是处理矩阵问题的重要技巧.分块矩阵思想来源于对矩阵运算复杂度及存储空间的考虑.特别当矩阵太大不适合存储在计算机内存中的时候,通过将矩阵分块,允许计算机每次只处理存储在内存中几个子矩阵,支持向量结构的向量计算机能够更加高效地运行支持分块矩阵的矩阵算法.[1]

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2分块矩阵的初等变换

2.1分块矩阵常见的三种基本变换 矩阵A??aij?mn常可用两种形式来表示

?a11a12?aa22 A??21?????am1am2?A11?A A??21????As1?a1n??a2n?? ; (1) ?????amn?A12?A1l?A22?A2l??, (2) ?????As2?Asl? aij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)是A的元素,形式(2)是A的一种分块.和一般的初等变换一样,我们可以对分块矩阵A(即形式(2)的矩阵)进行以下变换: 1?交换A的第i行和第j行; 2?用可逆矩阵k乘A的第i行;

3?A的第j行乘矩阵k后加到第i行上(这时,要求mi?mj).

为了使这些分块矩阵的行变换具有一般矩阵的行初等变换的性质,我们先说明它们都可由矩阵的一般行初等变换来实现.下面,不妨设i?j,

1?当(2)的第i行和第j行所含(1)的元素的行数mi?mj时,可把(1)的第

m1?m2? ??mi?1?q行与第m1???mi???mj?1?q行分别交换(q?1,2,?,mi),

就可实现矩阵(2)的第1?种行变换.

当mi?mj时,先把(2)的第i行中所含(1)的各行分别与(2)的第j行中所含(1)的前面mi行交换,然后再将(2)的第j行中所含(1)的其余mi?mj个行逐次与位于(2)的第i行下面而位于它们上面的个mj?mi行交换,便可完成(2)的第1?种行变换.

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而对于mi?mj的情形,可用上面类似的方法处理.

2?用可逆矩阵k乘(2)的第i行.

3?矩阵(2)的第j行乘矩阵k后加到(2)的第i行上,这里(mi?mj)可由(1)的第m1???mi???mj?1?q行(q?1,2,?,mi)乘矩阵k后加到(1)的第m1???Mi?1

[2]

?q行上来完成.

综上所述,分块矩阵的这三种行变换1?、2?、3?都可由有限次一般矩阵的同类型的行初等变换来实现,它们保持矩阵行初等变换所具有的性质.我们把这三种行变换称为分块矩阵的行初等变换.类似的,分块矩阵也有三种列的初等变换保持一般矩阵列初等变换所具有的性质.

3分块矩阵初等变换的应用

利用分块矩阵的初等变换,不仅能使矩阵的一些证明和计算变得非常简洁和快捷,易于我们理解和掌握,而且能开拓思维,提高我们灵活应用知识解决问题的能力,同时,矩阵分块的思想明显简化了矩阵的乘积运算,将一些具体的证明变得生动有趣,展现了数学独特的魅力.下面,就以2?2分块矩阵为例说明分块矩阵的初等变换在求解行列式、证明矩阵的行列式等式、矩阵的秩的等式(以及不等式)、求解矩阵的逆等方面的一些应用. 3.1分块矩阵在行列式中的应用

分块矩阵是线性代数中的一个基本工具,可以借助分块矩阵的初等变换讨论其在求解行列式,以及证明行列式等式中的应用. 3.1.1分块矩阵的初等变换在求解行列式中的应用

?AB? 定理1 设M??是一个四分块m?n阶矩阵,其中A、D分别是m、n??CD?

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?1?AD?CAB,当A可逆时;?阶方阵,则M?? ?1??DA?BDC,当D可逆时.?AB?例1 设分块矩阵M???CD??,B与C分别为m?m,n?n可逆矩阵,若C可

??逆,求M.[3] 解 因为

?AB?r1?AC?1r2?0M??????CD??????C???所以

??r2B?AC?1D?r1??C????????0?D????, ?1?B?ACD?DC0即

D?(?1)mnM, ?1B?ACDM?(?1)mnCB?AC?1D.

定理1虽给出了一种求行列式的方法,但其中涉及求逆及多次矩阵相乘,计算相当繁琐,也不容易记忆.在实际应用中,我们常用的是以下推论:

?AB?推论1 设M???是一个四分块2n阶矩阵,其中A、B、C、D均是n阶CD??方阵,则

当A可逆且AC?CA时,M?AD?CB; 当A可逆且AB?BA时,M?DA?CB; 当D可逆且DC?CD时,M?AD?BC; 当D可逆且DB?BD时,M?DA?BC.

证明 仅证以上四个结论可由类似方法得到.因为A可逆,所以A?1存在,注意到

AC?CA,

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由

E?CA?1得

0ABAB ?ECD0D?CA?1BABr2?CA?1r1AB?1??????AD?CAB ?1CD0D?CAB ?AD?ACA?1B?AD?CAA?1B

?AD?CB, 即

M?AD?CB.

21?11. ?13?例2 计算行列式Q????11?n?1解 对原行列式先进行加边,然后将加边后的行列式的第一行乘?1倍加到其余各行,得

10Q?0121113???11110102???11?11??100,

??????100?n?????011?n?1 令

??1??10?0??????102?0????A??1?,B??1,1,?,1?,C???,D??, ????????????1??00?n?????由于

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D?n!?0,D可逆,

从而由推论1可得

nAB1???1Q??DA?BDC?n!?1???.

CD?i?1i?定理 2 设A、C是两个n阶方阵,则

AC?A?CA?C. CA 证明 根据行列式的性质,对其进行第三种初等变换,由于矩阵的第三种初等变换不改变其行列式的值,有

ACA?CCr2?r1A?C?c???????1?c2CAC?AA00x0zyyz0xzy[4]

. x0xyzC?A?CA?C. A?C例3 计算行列式D?解 设

?0x?A???x0??;

???yC???z?z??. y??由定理2知

D?AC?A?CA?C CAx?z???y???y???x?z2?y ???x?z?x?z?? ??y?2?y2??x?z?y2??x?z?

??x?y?z???x?y?z??x?y?z???x?y?z?.

3.1.2分块矩阵的初等变换在证明行列式等式中的应用

????

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利用行列式计算的性质,可以推导得出分块矩阵A经过三种初等变换后,与所得分块矩阵A1、A2、A3的行列式之间满足下列关系:

?A当mn为偶数时, 4?A1?(?1)mnA?? 其中m,n为变换的两行(列)中所含

?A当mn为奇数时.?子块的行(列)数.

5A2?PA,其中矩阵P为左(右)乘某一行(列)的可逆方阵. 6A3?A,即第三种变换不改变分块矩阵的行列式.

利用这些结果,再加上拉普拉斯定理得出的一个结论行列式的证明变得非常容易.

例4 已知A、B均为n阶方阵,求证证明 因为

A0?AB,会使许多CB??AB?A?BA?B. BAABr1?r2A?BB?AA?B?????c???2?c1BABAB所以

0, A?BABA?B?BAB0?A?BA?B. A?B 例5 设A、B都是n阶矩阵,证明:AB?AB.[5]

证明 因为

?A???I?0?r1?A?r2?0?????????IB??AB??, ?B? 把分块矩阵的一个块行的左P倍加到另一个块行上,所得矩阵的行列式与原来矩阵的行列式值相等.[6] 所以

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A0AB?IB?0?IB,

左边?AB,

右边?AB?(?1)1???n?(n?1)???2n?I

?AB(?1)n?2n2(?1)n?AB(?1)2n(n?1)?AB,

故

AB?AB.

例6 设A、B分别是s?n、n?s矩阵,证明:Is?AB?In?BA. 证明 计算下列分块矩阵的行列式

??InB???AI?, s??一方面,有

??InB?B??I???r?2?(??A?)?r1???I?n?A0IAB?s??s??, ?于是有

??IB?B??n0??In??AI?s?????AI?????I?ns??0IAB??,

s??两边取行列式,得

IInBnIsAI?InIs?AB,

s从而

InBAI?Is?AB, (3) s另一方面,又有

??InB???AI?r1?(?B)?r2?In?BA0??s??????????AIs?, ?

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于是有

??I?B?B??n???InI??0???In?BA0?Is????As????AI?s?, ?两边取行列式,得

IInBnIsAI?In?BAIs,

s从而

InBAI?Is?BA, (4) s由(3)、(4)式得

Is?AB?In?BA.

例7 设A?Am?n,B?Bm?n,m?n.证明：?Im?nm?AB???In?AB.[7]证明 构造

???ImA???BI??, n?对其进行如下初等变换

???IA??mr1???Im?AB0?BI???（??A）??r2????, n????BIn??即

??I?A?A???I?n????Im?0In???m?BI????AB0?n?????BIn?, ?或

???ImA?A??r2?(???BI?????1?)?r1????Imn????0I?1?n??BA?, ???I0???IA???IA??n?m????1BIn?????BI???n???m?0I?1BA??,

n???

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因而

?ImB故

AIn??Im?AB??mIn???1BA,

?Im?AB??m?n?In?BA.

注：此题也可转化为证明矩阵的秩的问题r(?Im?AB)?m?n?r(Im?BA). 3.2分块矩阵在证明矩阵的秩的方面的应用

定理3 设A为m?n矩阵,B为n?l矩阵,若AB?0,则r(A)?r(B)?n.

证明 由于

?A0??Ar(A)?r(B)?r??0B???r??????In?0?r???I?m故

0??0??r??B????In0???n ?0?AB??B??

0??0??r??B????Imr(A)?r(B)?n.

例8 A、B都是n阶方阵,证明:r?AB?A?B??r?A??r?B?. 证明 取分块矩阵

?A0???0B??, ??进行初等变换

?A0?c1?c2?A0?r1?A?r2?A?ABAB?r1?r2?AB?A?B???????????0B?????BB????????B??B?B??????由于分块矩阵不改变它的秩,因此有

AB?B??, ?B??A0??AB?A?Br?A??r?B??r??0B???r??B???AB?B???r?AB?A?B?. B??

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例9 A、B、C是三个矩阵,证明r?ABC??r?AB??r?BC??r?B?. 证明 取分块矩阵

?0??B?ABC??, 0??对其进行初等变换

?0??B?ABC?0??ABABC??AB??????????B???B?BC??, 0?0?????0??ABr?ABC??r?B??r??B?BC???r?AB??r??BC??r?AB??r?BC?,

??故

r?ABC??r?AB??r?BC??r?B?.

例10 设A、B分别是s?n、n?m矩阵,证明:r(AB)?r(A)?r(B)?n.[8]

证明 只要证

n?r(AB)?r(A)?r(B),

根据

?A0?r??0B???r(A)?r(B), ??有

?Inn?r(AB)?r??0?0??. ?AB?作分块矩阵的初等列变换

?In??0?0?r2?A?r1?In???????AAB???0??In?B???c??????A0?? 2?c1?(?B)AB?????In? ?c?????A2?(?Im)?因此

B??BIn???????c1?c2?0A??, 0????

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?Inr??0?故

0??BIn????r??r(B)?r(A), ???AB??0A?r(AB)?r(A)?r(B)?n.

定理4 设A为n阶方阵,则A3k?A2k当且仅当r(A2k)?r(Ak?I)?n,

k?1,2,?,n.

证明 令f(?)??2k,g(?)??k?1,则f(?)?(?k?1)?g(?)?1,f(A)?

g(A)?A3k?A2k?0当且仅当r(A2k)?r(Ak?I)?n,即A3k?A2k当且仅当r（A2k）?r(Ak ?E)?n,k?1,2,?,n.

例11 设A为n阶方阵,证明:A2?In?r(I?A)?r(I?A)?n. 证明 构造

0??I?A??, ?0?I?A??对其进行如下初等变换

?I?A??0?0?r2?I?r1?I?A????????I?AI?A??0??I?A??????c2?I?c1??I?AI?A??I?A?? 2I???1??1?（I?A2）0?(I?A2)0?, ?????????2???????21???C1?????(I?A)?2??C2I?A2I02I???????1?r1???(I?A)??r22??因此

1?20???I?A(I?A)0??, ?r??r2?0??I?A???02I??即

r(I?A)?r(I?A)?r(I?A2)?r(I)?r(I?A2)?n,

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故

r(I?A)?r(I?A)?n?A2?In.

3.3分块矩阵在求解矩阵的逆的方面的应用

????I?A?1. 求一个方阵的逆矩阵可用矩阵的初等变换,即A?I?初等行变换因此.对于分块矩阵求逆.也可以采用分块矩阵的初等变换求解.

?AB?例12 设分块矩阵M???CD??.其中A、B、C、D分别为m?m、m?n、

??[9]

n?m、 n?n矩阵.若A与D?CA?1B都可逆.求M?1.

解 由于

B?AB?r2?CA?1r1?A?(D?CA?1B)?1r2?? M????????? ?CD??0D?CA?1B??????????I0?AB?r1?Br2 ??? ?0I?(D?CA?1B)?1CA?1(D?CA?1B)?1???????A0I?B(D?CA?1B)?1CA?1?B(D?CA?1B)?1?A?1r1??? ??? ?1?1?1?1?1??0I?(D?CAB)CA(D?CAB)???I0A?1?A?1B(D?CA?1B)?1CA?1?A?1B(D?CA?1B)?1??. ??1?1?1?1?1?0I??(D?CAB)CA(D?CAB)??所以 M?1A?1?A?1B(D?CA?1B)?1CA?1?A?1B(D?CA?1B)?1. ??1?1?1?1?1?(D?CAB)CA(D?CAB)特别地.当B?0、C?0时.则

M当B?0、C?0时.则

?1?A?100D?1;

M?1?A?1?A?1BD?10D?1;

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当B?0、C?0时.则

M?1?A?1?D?1CA?10D?1.

这与先设出分块矩阵的逆矩阵,再由相乘结果列出矩阵方程,再求解矩阵方程的方法相比较,该方法直接,不易出错,而且便于检查.特别是当矩阵中含有大量元素时,这种方法的优越性就更加明显.

例13 求下式的逆矩阵

?1111????1?11?1?. A???11?1?1???1?1?11???解 设

?11?B???1?1??,

??则

?BB?A???B?B??,

??易求得

?1??1B??21???2因此

1??2??1B. 12???2?I?BBI0?r2?r1?BB?????B?B0I?????02B?I???1?r20?r1?1B0I?2?????2?I???02B?I1?I? 2?I?

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1?11?1??BB??I022?, ????????11?1?1?B?B??0I?22??1r1?B;r2?(?)B?12?1故

1B?1B?1 A?2B?1?B?1?111111BB111?11?1. ??A?B?B11?1?14441?1?11 结束语

通过以上实例我们可以看出,分块矩阵的初等变换方法在解决矩阵的一些问题时具有简洁.快速、易于操作等特点,对比常用的构造分块初等矩阵和已有分块矩阵相乘的方法,更容易理解和掌握,从而使大量的《高等代数》习题变得容易,所以说分块矩阵的初等变换是解决高阶矩阵问题的一种有效且重要的方法.

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致谢

本次毕业论文是在导师夏兴无老师的悉心指导下完成的.在整理论文期间,夏老师给予我许多指导与帮助,在此特别向夏老师致以最真挚的谢意.此外,还要感谢帮助过我的老师和同学们,感谢大家在此过程中给予我的许多帮助.

通过四年的本科学习,我在洛阳师范学院收获了许多,这四年是一个不断丰富自我,提高自我,完善自我的循序渐进的学习过程,对于我能顺利地完成学业,在这里我要由衷地感谢我的所有任课老师,以及在各方面不断给予我帮助的同学们.

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参考文献

[1]王超亚.分块矩阵的若干初等运算及应用[J].教育科研,2013.7. [2]扬子胥.高等代数[M].山东教育出版社,2001.

[3]李晓红等.分块矩阵的初等变换及其应用[J].高等函授学报,2007,6. [4]王莲花等.分块矩阵在行列式计算中的应用[J].河南教育学院学报,2005,3. [5]陈志杰.高等代数与解析几何(上册)[M].高等教育出版社,2004:276. [6]陈文华.计算行列式的几种特殊方法[J].保山师专学报,2009(2):18-19. [7]赵中华.分块矩阵在矩阵证明题中的应用[J].中国教育技术,2010,3. [8]丘维声.高等代数学习指导书[M].清华大学出版社,2005:312.

[9]高百俊.分块矩阵的初等变换及其应用[J].伊犁师范学院学报,2007,12.

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Elementary Transformation of Block Matrix and its

Application

HAN Jia-tong

College of Mathematics Science No:110414148

Tutor:XIA Xing-wu

Abstract:Elementary transformation is an important method to deal with matrix.And block matrix is an important tool for matrix.By applying the elementary transformation of block matrix,it will be effectively to simplify the operation of matrix .This paper mainly summarizes the applications of the determinant of matrix equation and the rank of matrix equation(and inequality) in block matrix. By some concrete examples, we can illustrate the importance of block matrix.

Key words:Elementary transformation; block matrix; determinant equation; matrix rank

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pyi3.html