大学物理第二章 习题解答

习题二答案

2.1 质量为16kg的质点在XOY平面内运动，受一恒力作用，力的分量为fx?6N,

fy??7N ，当t?0时，x?y?0，vx?2m?s?1，vy?0。求当t?2s时质点的位矢和

速度。

f63?解：ax?x?m1682m?s?2 ay?fym??716m?s?2

35vx?vx0??axdt??2??2??m?s?1084(1)

2?77vy?vy0??aydt??2??m?s?10168于是质点在2s时的速度

57v??i?j48(2)

m?s?1

r?(v0t?

11131?7137axt2)i?ayt2j?(?2?2???4)i?()?4j??i?j222821648m

2.2 质量为0.25kg的质点受力F?ti(N)的作用，t?0时该质点以v?2j(ms)的速度通过坐标原点，则该质点任意时刻的位置矢量是

????????2（A）2ti?2j(m)（B）(2ti3)?2tj(m)

2??3（C）3ti4?2tj3(m)（D）条件不足不能确定

4答案：B

2.3 用一种钳子夹住一块质量M=50kg的混凝土砌块起吊（如图示）。已知钳子与砌块接触处的最大静摩擦系数??0.4。如果

（1）钳子匀速上升，

（2）钳子以0.2m/s2的加速度上升，

（3）钳子在沿水平方向以4m/s的速度行驶时，上端悬挂点突然停止运动（设悬挂点到砌块重心之间的距离l?4m），为使砌块不从钳子口滑出，至少必须对砌块施加多大正压力？ 解：（1）水平方向N1?N2，竖直方向f1?f2?Mg，又f1??N1,f2??N2,

?N1?N2?Mg50?9.8??612.5N 2?2?0.4（2）水平方向N1?N2，竖直方向f1?f2?Mg?Ma，

?N1?N2?M(g?a)50?(9.8?0.2)??625N

2?2?0.4（3）物体以v?4m/s的速率，在半径为l的圆周上运动，水

v2平方向N1?N2，竖直方向f1?f2?Mg?M，

lv242M(g?)50?(9.8?)l?4?862.5N ?N1?N2?2?2?0.4

2.4 一滑轮两边分别挂着A和B两物体，它们的质量分别为

?mA=20kg,mB=10kg，今用力F将滑轮提起（如图示），当F分别等

于（1）98N，（2）196N，（3）392N，（4）784N时，求物体A和B的加速度以及两边绳中的张力（滑轮的质量与摩擦不计）。 解：F?2T?0,T?mAg?mAaA,T?mBg?mBaB,

?aA?FF?g,aB??g, 2mA2mB9898?9.8??7.35m/s2,aB??9.8??4.9m/s2, 2?202?10FaA?0,aB?0不合理，说明提不起。T??49N.T?mAg,T?mBg.aA?aB?0

2196196?9.8??4.9m/s2,aB??9.8?0, （2）F?196N,aA?2?202?10196?98N.T?mAg,T?mBg.aA?aB?0 表示仍提不起。T?2392392?9.8?0,aB??9.8?9.8m/s2，表示（3）aA?2?202?10（1）F?98N,aA?A

不动，B

以9.8m/s2的加速度上升，

T?392?196N.T?mAg,T?mBg. 2（4）

784784?9.8?9.8m/s2,aB??9.8?29.4m/s2， 2?202?10784T??392N.T?mAg,T?mBg.

2aA?（取竖直向上为正方向）

2.5质量为m质点在流体中作直线运动，，受与速度成正比的阻力F??kv（k为常数）作用，t?0时质点的速度为v0，证明： （1）t时刻的速度为v?v0e?ktm；

（2）由0到t的时间内经过的距离为x?(mv0k)?[1?e?ktm]； （3）停止运动前经过的距离为mv0k； （4）证明当t?mk时速度减至v0的1e。 证明：(1)∵a?即

?kvdvdv?kdt??分离变量，得 mdtvm?vv0t?kdtdvv?kt?? ln?lnem 0vmv0k?mt∴ v?v0e(2)x?vdt?

k?mtkmv0mv0?mtdt?(1?e) 或令t→∞,x?

kk??ve00t(3)质点停止运动时速度为零，即t→∞，故有x????0v0ek?mtdt?mv0 kkmvm1?m??1 (4)当t=时，其速度为v?v0ek?v0e?0，即速度减至v0的.

kee

2.6 质量为m的物体沿斜面向下滑动。当斜面的倾角为?时,物体正好匀速下滑。问：当斜面的倾角增大到?时，物体从高为h处由静止滑到底部需要多少时间？ 解：当斜面倾角为α时，物体正好匀速下滑， x方向：mgsin??f1?0 y方向：N1?mgcos??0 又f1??N1

由以上几式，解得??tg? 当斜面倾角增大至β时， x方向：mgsin??f2?ma

y方向：N2?mgcos??0 又f2??N2

???gcos??gsin??gt?gcos? 由以上几式，解得 a?gsin斜面长L?h12h2h1?at2 ?t??? sin?2sin?asin?g(si?n?tg?cos?)?

2hcos??gsin?(sin?cos??cos?sin?)2hcos?

gsin?sin(???)2.7 把一段单位长度质量为?的绳子AB放在平放着的光滑圆

木上，A端固定在圆木的最高点，绳子等于该圆木的14周长，如图所示，圆木的半径为R （1）画出?与????之间这一小段绳子的受力图，求出绳中张力T的表达式。并证明上端的张力TA??Rg；

（2）写出圆木作用在?与????之间小段绳子上的法向力N的表达式。对这个水平分量求积分（对整段绳子），其结果等于TA，试说明这个结果的物理意义。 答案：（略）

2.8 一根绳子，一端被水平的拉着，另一端绕水平棒一周后竖直的吊着质量为m的物体，

设绳子的质量可略去不计，绳子和棒之间的摩擦系数??14，如图所示，问当物体处于静止状态时，拉绳子的水平力F是多少？

答案：0.14mg?F?7.12mg

2.9 一根长为L、质量均匀的软绳，挂在一半径很小的光滑木钉上，如图示。开始时BC?b。试证当BC=2L/3时，绳的加速度为a=g/3，速度为v?2g(?b2?bL?2L29)L。

证明：设软绳的线密度为λ，

T??(L?y)g??(L?y)a

?yg?T??ya?a??g?2g2Lgy，当y?时，a? L33a?2gy?Lgdvdy2gy?Lgdv2gy?Lgdy ? vdv?LdydtLdtL2L3?vdv??0vb2gy?Lg1dy v2L2v20gy2?Lgy2L3?b

L22g(L)2?LgL2g422212gb2?Lgb233(L?L?b2?Lb) v?v??L932LL?v?2g22(? L?bL?b2) L9（也可以求解二阶常系数非其次微分方程来证明，或利用机械能守恒来证明）

2.10 一根绳子跨过一定滑轮，一端 拴在爬绳人的身上，另一端握在爬绳人的手中，人以自身体重的23的力往下拉绳。略去滑轮和绳子的质量以及它们之间的摩擦，绳子的长度不变，求人的加速度和绳中的张力。 解： 人拉绳的力和绳拉人的力是一对作用力和反作用力，∴绳中的张力

T?2mg 34gmg?mg?ma，?a? 33如图，对人做受力分析，F?ma，

2.11 如图，一条长为L的柔软链条，开始时静止地放在一光滑表面AB上，其一端D至B的距离为L-a。试证当D端滑到B点时，链条的速度为v?g2(L?a2)sin?。 L

证明：设链条线密度为λ ?xgsin???La a?gdvgsin?x ?sin?x LdtLvLgdvdxgg?sin?x vdv?sin?xdx ?vdv??sin?xdx

0aLdxdtLLv2012v2gx2?sin?L2La

?v?g2(L?a2)sin?。 L[也可利用机械能守恒来证明。]

2.12 如图示，用刚性细杆连结两个小球置于一光滑的半球面形碗内当系统平衡时，细杆将 （A）被压缩；（B）被拉伸；（C）既不被压缩也不被拉伸；（D）要视两球质量决定。 答案：A

2.13一圆台可绕其轴在水平面内转动，圆台半径为R，甲、乙两物体质量分别为m1与

m2(m1?m2)，它们与台面的静摩擦系数都是?，现用一根长度l?R的绳子将它们连接：

（1）将甲放在圆心，乙放在距圆心为l处，要使物体与圆台不发生相对滑动，圆台旋转的最大角速度是多少？ （2）如将甲与乙互换位置，（1）的结果又将如何？

（3）如果两物体均不放在圆心但连线经过转轴时，又将如何？

解：如图所示

（1）对于m1，T1?f1?0，对于m2，T2?f2?m2?2l， 又T1?T2,f1??N1??m1g,f2??N2??m2g

????(m1?m2)gm2l

（2）T2?f2?0， T1?f1?m1?'2l，

T1?T2,f1??N1??m1g,f2??N2??m2g

????(m1?m2)gm1l ?m1?m2,????'

（3）若系统有向m2一边运动的趋势时，

T1?f1?T1??m1g?m1?2x,T2?f2?T2??m2g?m2?2(l?x)

????(m1?m2)gm2l?(m1?m2)x [m2l?(m1?m2)x]

若系统有向m1一边运动的趋势时，

T1?f1?T1??m1g?m1?2x,T2?f2?T2??m2g?m2?2(l?x)

????(m1?m2)g(m1?m2)x?m2l [(m1?m2)x?m2l]

????(m1?m2)gm2l?(m1?m2)x

2.14 质量m为的小球沿半球形碗的光滑的内面，正以角速度?在一水平面内作匀速圆周运动，碗的半径为R，求该小球作匀速圆周运动的水平面离碗底的高度。 解：在竖直方向：mg?Ncos? ?cos??2mg N2在水平方向：Nsin??m?Rsin? ?N?m?R

mgg? 22m?R?gg则h?R?Rcos??R?2?R(1?2)

??R??R ?Rcos

2.15 一顶角为2?的空心光滑圆锥，底面向上倒置着，轴与地面垂直。证明：在此圆锥内表

面上绕圆锥轴作圆周运动的质点与轴的距离为r?其中n是质点每秒钟绕轴旋转的圈数。

证明：在y方向：

gctg?。

4?2n2mg?Nsin? （1）

在x方向：

Ncos??m?2r （2）

??2?n （3）

gct?g由（1）、（2）、（3）得 r? 224?n

2.16 一辆汽车驰入曲率半径为R的弯道，弯道倾斜一角度?，轮胎和路面之间的摩擦系数为?，求汽车不做倾向滑动时的最大和最小速率。 解：（1）受力分析如图，此时有最小速度

v2Nsin???Ncos??m x方向：

Ry方向：Ncos???Nsin??mg

vmin?sin???cos?Rg

cos???sin?(2) 受力分析如图，此时有最大速度

v2x方向：Nsin???Ncos??m

Ry方向：Ncos???Nsin??mg

vmax?sin???cos?Rg

cos???sin?

2.17 某物体上有一变力F作用，它随时间变化的关系如下：在0.1s内，F均匀地由0增加到20N；又在以后0.2s内，F保持不变；再经0.1s，F又从20N均匀地减少到0。 （1）画出F-t图；

（2）求这段时间内力的冲量及力的平均值；

（3）如果物体的质量为3kg，开始速度为1m/s，与力的方向一致，问在力刚变为0时，物体速度为多大？ 解：（1）如图所示

（2）I??t0Fdt?1(0.2?0.4)?20?6N?s 2（根据定积分的定义，用计算面积的方法）

F?I6??15N ?t0.4（3）I?mv'?mv0 ?v'?I?mv06?3?1??3m/s m3

2.18 一颗子弹由枪口射出时速率为v0 m s-1，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为F=(a-bt)N（a,b为常数），其中t以秒为单位：

（1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间； （2）求子弹所受的冲量。 （3）求子弹的质量。

解：(1)由题意，子弹到枪口时，有F=(a-bt)=0,得t=

ta b12aa2(2)子弹所受的冲量I??(a?bt)dt?at?bt，将t=代入，得I?

02b2bIa2(3)由动量定理可求得子弹的质量 m? ?v02bv0

???2.19 一质量为的质点在xoy平面上运动，其位置矢量为r?acos?ti?bsin?tj求质点的动

量及t=0到t?2??时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量。

解：质点的动量为

p=mv=mω(-asinωti+bcosωtj) 将t=0和t=

?分别代入上式，得 2?p1=mωbj,p2=-mωai,

则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为 I=Δp=p2-p1=-mω(ai+bj)

2.20 作用在质量为10kg的物体上的力为F?(10?2t)iN，式中t的单位是s。

（1）求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量。

（2）为了使这力的冲量为200Ns，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和

????1一个具有初速度?6jm?s的物体，回答这两个问题。

解：(1)若物体原来静止，则

Δp1=

?Fdt??(10?2t)idt?56 i kg·m·s

00t4-1

,沿x轴正向，

?p1?5.6im?s?1 mI1??p1?56ikg?m?s?1?v1?若物体原来具有-6 m·s初速，则

tFp0??mv0,p?m(?v0??dt)??mv0??Fdt于是

0m0t-1

?p2?p?p0??Fdt??p1,

0t同理，Δv2=Δv1,I2=I1

这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即

I??(10?2t)dt?10t?t2

0t亦即t+10t-200=0

解得t=10 s，(t′=-20 s舍去)

2.21 水力采煤，是用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层，如图所示。设水柱直径D=30mm，水速v=56m/s，水柱垂直射在煤层表面上，冲击煤层后的速度为零，求水柱对煤的平均冲力。

2

解：本题注意作用力与反作用力，以水柱为研究对象，I?p2?p1

????F?dt?mv0t2?mv1 F?t??mv1

11m??V????D2?v2??103??3.14?(30?10?3)2?562??2.22?103N

44所以水柱对煤的平均冲力为2.22?10N。

2.22 一辆装煤车以的速率从煤斗下面通过，煤粉通过煤斗以每秒的速率竖直注入车厢。如果车厢的速率保持不变，车厢与钢轨间摩擦忽略不计，求牵引力的大小。 解：f?0时，F?

3d(mv)dm?v?5?103?3?1.5?104N dtdt

2.23 一小船质量为100kg，船头到船尾共长3.6m。现有一质量为50kg的人从船尾走到船头时，船头将移动多少距离？假定水的阻力不计。

解：由动量守恒M船V船?m人v人?0 又

tS船??V船dt0t，

s人??v人dt??0tM船m人0V船dt?M船m人S船

如图，船的长度

L?S船?s人

3.6?1.2m 1001?50?S船?1?L?M船m人即船头相对岸边移动S船?1.2m

2.24 质量为20g的子弹以500ms的速度击入一木块后随木块一起以50ms的速度前进，（以子弹的速度方向为x轴的正方向）在此过程中木块所受的冲量为 （A）?9N?s；（B）9N?s；（C）10N?s；（D）?10N?s。 答案：A

2.25 三艘质量相等的小船鱼贯而行，速度均等于v。如果从中间船上同时以速度u把两个质量均为m的物体分别抛到前后两船上，速度u的方向和v在同一直线上。问抛掷物体后，这三艘船的速度如何变化？

解：设船质量均为M，抛掷物体后，三船的速度为v1,v2,v3.设船在水上的阻力为零，故

在水平方向上动量守恒。当u?v时，从中间船向前可抛出物体m， 由Mv?mu?(M?m)v1 ?v1?Mv?mu?v

M?mMv?mu?mu?Mv2 ?v2?v

Mv?mu?(M?m)v3 ?v3?Mv?mu?v

M?m

? 2.26 一炮弹质量为m，以速度v飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为EK，且一块的质量为另一块质量的倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为v?2kEKm ，v?2kEKm。

证明：设一块为m1，则另一块为m2， m2=km1及m1+m2=m 于是得 m2?kmm,m1? ① k?1k?1又设m1的速度为v1,m2的速度为v2，则有

T?联立①、③解得

1112m1v12?m2v2?mv2 ② 222mv=m1v1+m2v2 ③ v1=(k+1)v-kv2 ④

将④代入②，并整理得

2T?(v2?v)2 km于是有v2?v?2T km将其代入④式，有

v1?v?2kT m又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取

v1?v?证毕．

2kT2T ,v2?v?mkm2.27一个速率为v0质量m为的粒子与一质量为km的静止靶粒子作对心弹性碰撞。要使靶粒子获得的动能最大，k值应为

（A）越大越好；（B）越小越好；（C）等于1；（D）条件不足不能确定。 答案：C

2.28 一炮弹由于特殊原因在弹道的最高点处炸裂成两块，其中一块竖直上抛后落地，则另一块着地点

（A）比原来更远；（B）比原来更近；（C）仍和原来一样；（D）条件不足不能确定。 答案：D

-237

2.29 质量为7.2×10kg，速度为6.0×10m/s的粒子A，与另一个质量为其一半而静止的粒

7

子B相碰，假定这碰撞是弹性碰撞，碰撞后粒子A的速率为5×10m/s，求：

⑴粒子B的速率及偏转角； ⑵粒子A的偏转角。

解：两粒子的碰撞满足动量守恒

???mAvA?mAv'A?mBv'B

写成分量式：

mAvA?mAv'Acos??mBv'Bcos? mAv'Asin??mBv'Bsin?

碰撞是弹性碰撞，满足动能守恒：

1112mAvA?mAv'2?mBv'2AB 代入： 222mA?7.2?10?23kg， mB?mA?3.6?10?23kg， 2vA?6.0?107m/s，v'A?5.0?107m/s

解得：（1）??54?4'，v'B?4.69?107m/s；（2）??2220'

?

2.30 一质量为M的中子与一质量为M的原子核作弹性碰撞，如中子的初始动能为E0，试证明在碰撞过程中中子动能损失的最大值为4mME0(M?m)2。 证明：由完全弹性碰撞的公式v1?(m?M)v10?2Mv20

m?M1212mv10?mv1取最大值。 2212121m?M12m?M2m?M2v10)2?mv10()?E0() 由E0?mv10,E1?mv1?m(222m?M2m?Mm?M当v20?0时，v1取最小值，则?EK?∴中子动能损失的最大值?EKmax?E0?E0(4mME0m?M2 )?2m?M(M?m)

2.31 地面上竖直安放着一个劲度系数为k的弹簧，其顶端连接一静止的质量M。有个质量为m的物体，从距离顶端为h处自由落下，与M作完全非弹性碰撞。求证弹簧对地面的最大压力fmax?(M?m)g?mg1?2kh(M?m)g。 证明：

12mv?mgh,v?2gh，m与2mv。当M

m?MM作完全非弹性碰撞，

mv?(m?M)V,V?静止时，Mg?kx；当碰撞后，M与m速度减为零时，弹簧再压缩x'，则

fmax?k(x0?x')，∴弹簧对地面的压

力Nmax?fmax?k(x0?x')， 由机械能守恒，

1121(m?M)V2?(m?M)gx'?kx0?k(x0?x')2 22212m2gh'??0 化简得 kx'?mgx2m?M1m2gh1m2gh2222?x'?(mg?mg?2k)?(mg?mg?2k)

km?Mkm?M（因x'?0，舍去负号）

?fmax?kx0?kx'?Mg?mg?mg1?

2kh

(m?M)g???2.32 设合力为F?7i?6jN。

（1）当一质点从原点运动到时r?3i?4j?16k，求F所作的功。 （2）如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率。 （3）如果质点的质量为1kg，试求动能的变化。 解：(1)由题知，F合为恒力，

∴ A合=F·r=(7i-6j)·(-3i+4j+16k)

=-21-24=-45 J (2)P???????A45??75?t0.6W

(3)由动能定理，ΔEk=A=-45 J

2.33若用一大小不变的力将该物体从静止加速提高到同一高度，使物体最后获得的速度为5.0m/s，问提升力作功多少？平均功率为多少？又开始时和结束时的瞬时功率各为多少？ 答案：5025J；251.3W；0；502.5W；（条件不明！似乎同题解：F?mg?ma，v?at

2.34）

1W?Fs?m(g?a)?at2?2625J

2WP??262.5W

t开始时刻v?0，?P?Fv?0；结束时，v?5.0m/s，?P?Fv?525W

2.34（1）以5m/s的速度匀速提升一质量为10kg的物体，问在10s内提升力作功若干？ （2）又若以比前快1倍的速度把该物体匀速提高同样的高度，试问所作的功是否比前一种情况大？为什么？ （3）在（1）、（2）两种情况下，它们的功率是否一样？

解：（1）W?Fs?mgvt?10?9.8?5?10?4.9?103J （2）W'?W?Fs?mgvt?10?9.8?5?10?4.9?103J （3）t'?sst,t?，v'?2v，?t'?， v'v2WW'P?,P'?，P'?2P。

tt'

2.35 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1cm，问击第二次时能击入多深。假定铁锤二次打击铁钉时的速度相同。

解：以木板上界面为坐标原点，向内为y坐标正向，如题2-13图，则铁钉所受阻力为

题2.35图

f=-ky

第一锤外力的功为A1

A1??f?dy???fdy??kydy?ss01k ① 2式中f′是铁锤作用于钉上的力，f是木板作用于钉上的力，(忽略木板与钉之间的摩擦力)在dt→0时，f′=-f．

设第二锤外力的功为A2，则同理，有

A2??kydy?1y212kky2? ② 22由题意，有

1kA2?A1??(mv2)? ③

22即

12kkky2?? 222所以，y2?2

于是钉子第二次能进入的深度为 Δy=y2-y1=2-1=0.414 cm

2.36 已知一质点（质量为m）在其保守力场中位矢r位点的势能为Ep(r)?kr，试求质点所受保守力的大小和方向。 解： F(r)?ndE(r)nk??n?1 drr

方向与位矢r的方向相反，即指向力心．

2.37 （1）试计算月球和地球对物体的引力相抵消的一点，距月球表面的距离是多少？地球质量5.98?1024kg，地球中心到月球中心的距离3.84?10m，月球质量7.35?1022kg，月球半径1.74?10m。

（2）如果一个1kg的物体在距月球和地球均无限远处的势能为零，那么它在P点的势能为86多少？

解：(1)设在距月球中心为r处F月引=F地引，由万有引力定律，有 G

mM月mM地r2=G

?R?r?2

经整理，得 r=

M月M地?MR

月 =

7.35?10225.98?1024?7.35?1022?3.48?108

=38.32?106 m

则p点处至月球表面的距离为

h=r-r×106＝3.66×107

月 =(38.32-1.74) m (2)质量为1 kg的物体在p点的引力势能为 m=1Kg

EP??GM月mr?GM月?地mR?r

月?117.35?10225.98?1024 =?6.67?10?3.83?107?6.67?10?11??38.4?3.83??107 =-1.28?106J

2.38 一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为k2的轻弹簧B，B的下端又挂一重物C，C的质量为M，，如图所示。求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比。

解：弹簧A、B及重物C受力如题2-15图所示平衡时，有 FA=FB=Mg 又 FA=k1Δx1 FB=k2Δx2

所以静止时两弹簧伸长量之比为

?x1k2 ??x2k1弹性势能之比为

Ep1Ep21k1?x12k?2?2 1k12k2?x22

2.39 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸缩的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为m1和m2的滑块组成如题图所示装置，弹簧的劲度系数为k，自然长度等于水平距离BC，m2与桌面间的摩擦系数为?，最初m1静止在A点，AB=BC= h，绳已拉直，现令m1滑块落下，求它下落到B处时的速率。

解：取B点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有 -μm2gh=

1122

(m1+m2)v-［m1gh+k(Δl)］ 22式中Δl为弹簧在A点时比原长的伸长量，则 Δl=AC-BC=(2-1)h

2?m1?m2?gh?kh2联立上述两式，得 v=

m1?m2?2?1?2

2.40 一质量为m的质点位于(x1,y1)处，速度为v=vxi+vyj，质点受到一个沿x负方向的力f的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩。 解： 由题知，质点的位矢为

r=x1i+y1j

作用在质点上的力为

f=-fi

所以，质点对原点的角动量为 L0=r×mv

=(x1i+y1j)×m(vxi+vyj) =(x1mvy-y1mvx)k

作用在质点上的力的力矩为 M0=r×f=(x1i+y1j)×(-fi)=y1fk

2.41 物体质量为3kg，t=0时位于r=4im，v=i+6j m s-1，如一恒力f=5jN作用在物体上，求3秒后，（1）物体动量的变化；（2）相对z轴角动量的变化。 解：(1) ?p?fdt???305jdt?15jkg?m?s?1

(2)解(一) x=x0+v0xt=4+3=7

y?v0yt?1215at?6?3???32?25.5 223即r1=4i,r2=7i+25.5j vx=v0x=1

5vy?v0y?at?6??3?11

3即v1=i+6j,v2=i+11j

∴ L1=r1×mv1=4i×3(i+6j)=72k

L2=r2×mv2=(7i+25.5j)×3(i+11j)=154.5k

2-1

∴ΔL=L2-L1=82.5k kg·m·s 解(二) ∵M?∴ ?L?dz dtt0?t0M?dt??(r?F)dt

3?15????(4?t)i?(6t?)?t2)j??5jdt023??

??5(4?t)kdt?82.5k03kg?m2?s?1

2.42 平板中央开一小孔，质量为m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为M1的重物。小球作匀速圆周运动，当半径为r0时重物达到平衡。今在M1的下方再挂一质量M2为的物体，如题2-24图。试问这时小球作匀速圆周运动的角速度??和半径r?为多少？

解：在只挂重物M1时，小球作圆周运动的向心力为M1g，即

2

M1g=mr0ω0 ①

挂上M2后，则有

2

(M1+M2)g=mr′ω′②

重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒． 即 r0mv0=r′mv′

?r02?0?r?2??2 ③

联立①、②、③得

?0????3M1gmr0M1gM1?M23() mr0M1M1?r0M1?M22r??

2.43 质量20g为的子弹以400m?s的速率沿如图所示的方向击入一原来静止的质量为980g的摆球中。摆线长为1米，不可伸缩，质量不计。子弹击入后摆球速度为

（A）4ms；（B）8m?s；（C）2m?s；（D）8?rad?s。 答案：A

2.44 哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近距离为r1?8.75?1010m时的速率是v1?5.46?104ms?1，它离太阳最远时的速率是v2?9.08?102ms?1，这时它离太阳的距离r2是多少？（太阳位于椭圆的一个焦点。）

解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有 r1mv1=r2mv2

?1?1?1?1?1r1v18.75?1010?5.46?104∴r2???5.26?10122v29.08?10m

-31

2.45 电子质量为9×10kg，在半径为5.3×10-11m的圆周上绕氢核作匀速运动，已知电子的角动量为

h，求它的角速度。 2??2解：电子角动量L?rmvsin??rm?rsin90?rm? 对基态电子rm??2h，得电子角速度 2?h6.63?10?3416????4.18?10rad/s 2?31?1122?mr2?3.14?9?10?(5.3?10)

2.46 升降机内有两物体，质量分别为m1，m2，且m1=2m2。用细绳连接，跨过滑轮，绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速a=g/2上升时，求：（1）m1和m2相对升降机的加速度；（2）在地面上观察m1，m2的加速度各为多少？ 解：分别以m1,m2为研究对象，其受力图如图(b)所示．

(1)设m2相对滑轮(即升降机)的加速度为a′，则m2对地加速度a2=a′-a；因绳不可伸长，故m1对滑轮的加速度亦为a′，又m1在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以m1在水平方向对地加速度亦为a′，由牛顿定律，有

m2g-T=m2(a′-a)

T=m1a′

题2.46图

联立，解得a′=g方向向下 (2) m2对地加速度为 a2=a′-a=

g 方向向上 2m1在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即a绝=a相′+a牵

g25∴a1?a??a?g??g

42222θ=arctan

a1=arctan=26.6°，左偏上． a?2

2.47 火箭起飞时，从尾部喷出的气体的速度为3000m/s，每秒喷出的气体质量为600kg。若火箭的质量为50t，求火箭得到的加速度。

解：火箭的运动是变质量系统的反冲运动。当喷出dm气体，其速度增加dv

mv?(m?dm)(v?dv)?(?dm)(v?u)∴dv??u则a?

dm， mdv1dm1??u??3000?(?600)??36m/s2 3dtmdt50?102.48 一质量为m的宇宙飞船绕行星作圆周运动，圆的半径为R0，速率为v0。因火箭爆发，给飞船增加了向外的速度分量vx?v0。于是它的轨迹成为椭圆。

⑴试证引力可写成

2mv0R0F? 2r⑵试用R0、v0以及vx写出椭圆方程，并利用相应的计算机语言编程作图。

2v0Mm2（1）证明：m作圆周运动时，G02?m， ?G0M?R0v0 （1）

R0R02R0Mmmv0M作椭圆运动时，F?G02?

rr2

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