07-11年广东高考文科数学试题 - 图文

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2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(文科)

一、选择题:本大题共l0小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M={x|1?x?0},N={x|

1?0},则M∩N= 1?x A.{x|-1≤x<0} B.{x |x>1} C.{x|-1<x<0} D.{x |x≥-1}

2.若复数(1?bi)(2?i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数),则b? A.-2 B.?1 C. D.2 233.若函数f(x)?x(x?R),则函数y?f(?x)在其定义域上是 A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C.单凋递增的偶函数 D.单涮递增的奇函数

4.若向量a、b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60?,则a?b? a+a?A.

313 B. C. 1? D.2

2225.客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以

80km/h的速度匀速行驶l小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到达 丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中,正确的是

6.若l、m、n是互不相同的空间直线,n、口是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是 A.若?//?,l??,n??,则l//n B.若???,l??,则l?? C. 若l?n,m?n,则l//m D.若l??,l//?,则?//?

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7.图l是某县参加2007年高考的 学生身高条形统计图,从左到右 的各条形表示的学生人数依次记 为A1、A2、?、Am(如A2

表示身高(单位:cm)在[150, 155)内的学生人数).图2是统计 图l中身高在一定范围内学生人 数的一个算法流程图.现要统计 身高在160~180cm(含

160cm,不含180cm)的学生人

数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是

A.i?9 B.i?8 C.i?7 D.i?6

8.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 A.

1311 B. C. D.

51010129.已知简谐运动f(x)?2sin(小正周期T和初相?分别为 A.T?6,???3x??)(???2)的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最

?6 B.T?6,???3 C.T?6?,???6 D.T?6?,???3

10.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A、 B、C、D四个维修点某种配件各50件.在使用前发现需将A、B、C、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,但调整只能在 相邻维修点之间进行.那么要完成上述调整,最少的调动件次(n件 配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为 A.18 B.17 C.16 D.15

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.

11.在平面直角坐标系xoy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O,且过点P(2,4),则该抛物线的方程是 .

12.函数f(x)?xlnx(x?0)的单调递增区间是 .

13.已知数列{an}的前n项和Sn?n?9n,则其通项an? ;若它的第k项满足

25?ak?8,则k? .

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14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线l的方程为?sin??3,则点(2,?6)到

直线l的距离为 .

15.(几何证明选讲选做题)如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC?3过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D, 则∠DAC= .

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分14分)

已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0). (1)若AB?AC?0,求c的值; (2)若c?5,求sin∠A的值.

17.(本小题满分12分)

已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该几何体的体积V; (2)求该几何体的侧面积S

18.(本小题满分12分)

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据

x

3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图;

(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y?bx?a; (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性同归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3?2.5?4?3?5?4?6?4.5?66.5)

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19.(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xoy中,已知圆心在第二象限、半径为2/2的圆C与直线y?x相切

x2y2于坐标原点O.椭圆2??1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.

a9 (1)求圆C的方程;

(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分14分)

2已知函数f(x)?x?x?1,?、?是方程f(x)?0的两个根(???),f?(x)是的

导数,设a1?1,an?1?an?(1)求?、?的值;

f(an),(n?1,2,?). ?f(an)(2)已知对任意的正整数n有an??,记bn?ln前n项和Sn.

21.(本小题满分l4分)

an??,(n?1,2,?).求数列{bn}的

an?? 已知a是实数,函数f(x)?2ax?2x?3?a.如果函数y?f(x)在区间[?1,1]上有 零点,求a的取值范围.

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2007年普通高考广东(文科数学)试卷(A卷)参考答案

一选择题: 1-10 CDBBC DBAAC

二填空题: 11. y?8x 12. ?,??? 13. 2n-10 ; 8 14. 2 15. 30

?e?三解答题:

2?1??????????16.解: (1) AB?(?3,?4) AC?(c?3,?4 )????????25?AC??3(c?3)?16?25?c3? 由 AB 得 c?

3???????? (2) AB?(?3,?4) AC?(2,?4)

????????AB?AC?6?161 cos?A???? ???????5205AB?ACsin?A?1?cos2?A?25 517解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的

四棱锥V-ABCD ;

(1) V?1??8?6??4?64 32(2) 该四棱锥有两个侧面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为

?8? h1?42????42, 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,

2???6?AB边上的高为 h2?4????5

?2?22因此 S?2(?6?42?18解: (1) 散点图略 (2)

121?8?5)?40?242 2?XY?66.5 ?Xiii?1i?1442i?32?42?52?62?8 6 X?4.5 Y?3.5

??3.5?0.7?4.5?0.35 ??66.5?4?4.5?3.5?66.5?63?0.7 ; a??Y?bXb286?4?4.586?81x?0.3 所求的回归方程为 y?0.7 5 (3) x?100, y?100?0.35

预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低90?70.35?19.65(吨)

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19解:(1) 设圆C 的圆心为 (m, n) 则 ???m??n??n?2?22 解得?2?m??2

?n?22 所求的圆的方程为 (x?2)?(y?2)?8

(2) 由已知可得 2a?10 a?5

x2y2 椭圆的方程为 ??1 , 右焦点为 F( 4, 0) ;

259 假设存在Q点?2?22cos?,2?22sin?使QF?OF,

???2?2?22cos??4?2?22sin???2?2?4

22 整理得 sin??3cos??22 代入 sin??cos??1 得: 10cos??122cos??7?0 , cos?? 因此不存在符合题意的Q点. 20解:(1) 由 x?x?1?0 得x?2?122?8?122?22???1

1010?1?5?1?5?1?5 ??? ?? 22222an?an?1an?1? (2) f??x??2x?1 an?1?an?

2an?12an?1

an2?11?53?5?an2?1?5an?an?1??2an?122?2?an?1??an?11?53?5?an2?1?5an?2an?122?????1?5??an???a???22??n????1?5??an?????an???2? ? bn?1?2bn 又 b1?ln2

a1??3?5?ln?a1??3?51?4ln25

?数列?bn?是一个首项为 4ln1?5,公比为2的等比数列; 2 第6页,共32页

4ln? Sn?1?51?2n??1?52 ?4?2n?1?ln1?2221解: 若a?0 , f(x)?2x?3 ,显然在上没有零点, 所以 a?0 令 ??4?8a?3?a??8a?24a?4?0 得 a?2?3?7 2 当 a??3?7时, y?f?x?恰有一个零点在??1,1?上; 2 当 f??1??f?1???a?1??a?5??0 即 1?a?5 时, y?f?x?也恰有一

个零点在??1,1?上;

当 y?f?x?在??1,1?上有两个零点时, 则

a?0a?0?????8a2?24???8a2?24a?4?0a?4?0????11 ? 或? ?1???1?1???12a2a??f?1??0f?1??0????f?1?0f??1??0????解得a?5或a??3?5 2?3?5 ; 2因此a的取值范围是 a?1 或 a?

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2008年普通高等学校统一考试(广东卷)

数学(文科)

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分。在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的。 1、第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行,若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员},集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员},集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员},则下列关系正确的是( ) A. A?B B. B?C C. B∪C = A D. A∩B = C 2、已知0

A. (1,5)

B. (1,3)

C. (1,5)

D. (1,3)

??????3、已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a + 3b =( )

A. (-5,-10) B. (-4,-8) C. (-3,-6) D. (-2,-4) 4、记等差数列{an}的前n项和为Sn。若S2=4,S4=20,则该数列的公差d =( )

A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 5、已知函数f(x)?(1?cos2x)sinx,x?R,则f(x)是( )

A. 最小正周期为π的奇函数

C. 最小正周期为π的偶函数

222

B. 最小正周期为π/2的奇函数 D. 最小正周期为π/2的偶函数

6、经过圆x?2x?y?0的圆心C,且与直线

x?y?0垂直的直线方程是( )

A. x + y + 1 = 0 B. x + y - 1 = 0 C. x - y + 1 = 0 D. x - y - 1 = 0 7、将正三棱柱截去三个角(如图1所示A、B、 C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如 图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图 (或称左视图)为( )

8、命题“若函数f(x)?logax(a?0,a?1)在其定义域内是减函数,则loga2?0”的逆否命题是( )

A. 若loga2?0,则函数f(x)?logax(a?0,a?1)在其定义域内不是减函数

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B. 若loga2?0,则函数f(x)?logax(a?0,a?1)在其定义域内不是减函数

C. 若loga2?0,则函数f(x)?logax(a?0,a?1)在其定义域内是减函数

D. 若loga2?0,则函数f(x)?logax(a?0,a?1)在其定义域内是减函数

9、设a∈R,若函数y?e?ax,x∈R有大于零的极值点,则( )

A. a < -1 B. a > -1 C. a < -1/e D. a > -1/e 10、设a、b∈R,若a - |b| > 0,则下列不等式中正确的是( )

A. b - a > 0 B. a3 + b3 < 0 C. a2 - b2 < 0 D. b + a > 0 二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分。 (一)必做题(11~13题) 11、为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量。

产品数量的分组区间为[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95),由此得到频率分布直方图如图3,则这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是_______

x?2x?y?40?x?2y?50?12、若变量x、y满足?,则z?3x?2y

x?0???y?0的最大值是_______

13、阅读右上的程序框图。若输入m = 4,n = 3,则输出a = ____,i =_____ 。(注:框图中的赋值符号“=”

也可以写成“←”或“:=”)

(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)

14、(坐标系与参数方程)已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为?cos??3,??4cos?(??0,0????2),则曲线C1与C2交点的极坐标为________

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15、(几何证明选讲)已知PA是圆O的切线,切点为A,PA=2。AC是圆O的直径,PC与

圆O交于点B,PB=1,则圆O的半径R = ________

三、解答题:本大题共6小题,满分80分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。 16、(本小题满分13分)已知函数f(x)?Asin(x??)(A?0,0????),x?R的最大值

是1,其图像经过点M(π/3,1/2)。(1)求f(x)的解析式;(2)已知?、??(0,?/2),且f(?)?3/5,f(?)?12/13,求f(???)的值。

17、(本小题满分12分)某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560 + 48x(单位:元)。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用,平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积)。 18、(本小题满分14分)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四

边形,其中BD是圆的直径,∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP∽△BAD。 (1)求线段PD的长;(2)若PC =

19、(本小题满分13分)某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表: 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初

一年级 二年级 三年级 二年级女生的概率是0.19。(1)求x的值;

373 x y 女生 (2)现用分层抽样的方法在全校抽取48

377 370 z 男生 名学生,问应在初三年级抽取多少名?(3)

已知y≥245,z≥245,求初三年级中女生比男生多的概率。

11R,求三棱锥P-ABC的体积。

x2y220、(本小题满分14分)设b>0,椭圆方程为2?2?1,

2bb抛物线方程为x?8(y?b)。如图所示,过点F(0,b + 2) 作x轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G。已知抛 物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1。

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2

(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;

(2)设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物 线上是否存在点P,使得△ABP为直角三角形?若存在,请 指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点 的坐标)。

a2?2,21、(本小题满分14分)设数列{an}满足a1?1,an?1(n = 3,4,?)。(an?1?2an?2)3数列{bn}满足b1?1, bn(n = 2,3,?)是非零整数,且对任意的正整数m和自然数k,都有-1≤bm?bm?1??

?bm?k≤1。

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

(2)记cn?nanbn(n = 1,2,?),求数列{cn}的前n项和Sn。

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2008年普通高考广东卷数学(文科)(B卷)参考答案

一选择题:CCBBD CAAAD

???二填空题:11. 13 12. 70 13. 12 3 14. ?23,? ,

6?????23,??? 15.

6??三解答题:

16解:(1)依题意知 A=1 f?3 ;

??4???????1, 又 ; ?sin??????????332333?????3??? ?

?5? 即 ??

26?? 因此 f?x??sin?x? (2)? f????cos?? 且 ?,???0,????cosx ;

2?312 ,f????cos?? 513????2???? ? sin45 ,sin?? 513 f??????cos??????cos?cos??sin?sin??17解:设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元,则 f?x???560?4x8?? f??x??48?3124556???? ; 51351365216?01000010800? ?x?10,x?Z? ?5?60x?482000xx10800 2x 令 f??x??0 得 x?15

当 x?15 时,f??x??0 ;当 0?x?15时,f??x??0

因此 当x?15时,f(x)取最小值f?15??2000;

答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层。 18解:(1)? BD是圆的直径 ? ?BAD?90 又 ?ADP~?BA, D? 第12页,共32页

ADDPAD2?BDsin60? , DP????

BAADBA?BDsin30?? (2 ) 在Rt?BCD中,CD?BDcos45? ? PD?CD?922??234?3R ; ?12R?24R2?2R

2222 CR?2R?11R?P ? PD?CD 又 ?PDA?90 ? PD?底面ABCD S?ABC??3212?113?12???AB?BCsin?60?45??R?2R???R ??2222?224??三棱锥P?ABC的体积为 VP?ABC??S?ABC?PD??19解:(1)?

13133?123?13R?3R?R . 44x?0.1 9 ? x?380 2000 (2)初三年级人数为y+z=2000-(373+377+380+370)=500,

现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,应在初三年级抽取的人数为:

48?500?12 名 2000 (3)设初三年级女生比男生多的事件为A ,初三年级女生男生数记为(y,z); 由(2)知 y?z?500 ,且 y,z?N,

基本事件空间包含的基本事件有:

(245,255)、(246,254)、(247,253)、??(255,245)共11个 事件A包含的基本事件有:(251,249)、(252,248)、(253,247)、(254,246)、(255,245) 共5个 ? P(A)?25 ; 1112 x?b8 20解:(1)由x?8?y?b?得 y? 当y?b?2时,x??4,?G点的坐标为(4,b+2) y??1x , y?4x?4?1

过点G的切线方程为y?(b?2)?x?4,即y?x?b?2, 令y=0得 x?2?b ,?F1点的坐标为 (2-b,0); 由椭圆方程得F1点的坐标为(b,0),

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? 2?b?b 即 b=1,

x2 因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为?y2?1和x2?8(y?1)。

2 (2)?过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P, ?以?PAB为直角的Rt?ABP只有一个; 同理以?PBA为直角的Rt?ABP只有一个; 若以?APB为直角, 设P点的坐标为(x,为(?2,0)、(2,0)

12x?1),则A、B坐标分别 8????????11452 由AB?AB?x2?2?(x2?1)2?0得x?x?1?0,

6448 关于x的一元二次方程有一解,?x有二解,即以?APB为直角的Rt?ABP有二个; 因此抛物线上共存在4个点使?ABP为直角三角形。 21解:(1)由an?212 (an?1?an?2)得 an?an?1??(an?1?an?)2 (n?3)33 又 a2?a1?1?0,

?数列?an?1?an?是首项为1公比为?2的等比数列, 3?2? an?1?an?????3?n?1

an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)???(an?an?1)

?2?1?2n?2???222???????3? ?1?1???????????????1?2?3??3??3?1?3n?183?2??????55?3?n?1,

??1?b1?b2?1??1?b2?b3?1?? 由??1?b2?1 得 b2??1 ,由??1?b3?1 得 b3?1 ,?

?b?Z,b?0?b?Z,b?023?2?3 同理可得当n为偶数时,bn??1;当n为奇数时,bn?1;

?1 因此bn???-1

当n为奇数时 当n为偶数时 第14页,共32页

n?1?83?2??n?n??5?3? (2)c?nab??5

?nnnn?13?2??8?n?n???55?3??当n为奇数时 当n为偶数时 Sn?c1?c2?c3?c4???cn 当n为奇数时,

88888Sn?(?2??3??4????n)?55555

0123n?13??2??2??2??2??2??1??2??3??4????n????????????5?3333?????????3???? ?4?n?1?53??2??2??2??2??2???1????2????3????4??????n??5??3??3??3??3???3?0123n?1?? ?? 当n为偶数时,

88888Sn?(?2??3??4????n)?55555

0123n?13??2??2??2??2??2??1??2??3??4????n????????????5?3333?????????3????0123n?14n3??2??2??2??2??2?? ????1????2????3????4??????n???55??3??3??3??3????3???2??2??2??2??2?令Tn?1????2????3????4??????n???3??3??3??3??3?0123n?1 ??①

1234n222?2?2?2?2??????①×得: Tn?1????2????3????4??????n?? ??② 33?3??3??3??3??3?12??2??2??2??2?①-②得: Tn?1??????????????????3?3??3??3??3??3?n1234n?1?2??n?? ?3?n?2?n1???nn2??n??? ??3??n?2??3??3?n??2? ? Tn?9??9?3????2?3??3??3?1?3?4n?239?n?3??2?n????55??3?因此Sn??

n?4n?279?n?3??2?????5?5?3??当n为奇数时 当n为偶数时

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2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东A卷)

数学(文科)

本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。 参考公式: 锥体的体积公式V=

1Sh,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高。 3一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U=R,则正确表示集合M={—1,0,1}和N={xx?1?0}关系的韦恩(Venn)图是

2

2.下列n的取值中,使in =1(i是虚数单位)的是

A.n=2 B.n=3 C.n=4 D.n=5 3.已知平面向量a =(x,1),b =(—x,x2 ),则向量a+b

A.平行于x轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 4.若函数y=f(x)是函数y=a A.log2x B.

x?a>0,且a?1?的反函数,且f(2)=1,则f(x)=

1x?2 C. log1x D.2 x2225.已知等比数列?an?的公比为正数,且a3?a9?2a5,a2=1,则a1=

A.

21 B. C.

222 D.2

6.给定下列四个命题:

①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;

第16页,共32页

④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。 其中,为真命题的是

A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④

7.已知?ABC中,?A,?B,?C的对边分别为a,b,c。若a=c=6+2,且

?A=75?,则b=

A.2 B.4+23 C. 4-23 D.6-2 8.函数f(x)?(x?3)e的单调递增区间是

A.???,2? B.(0,3) C.(1,4) D.?2,??? 9.函数y?2cos?x?2x??????1是 4? A.最小正周期为?的奇函数 B.最小正周期为?的偶函数 C.最小正周期为

??的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 2210.广州2010年亚运会火炬传递在A,B,C,D,E五个城市之间进行,各城市之间的路线距离(单位:百公里)见右表。若以A为起点,E为终点,每个城市经过且只经过一次,那么火炬传递的最短路线距离是

A.20.6 B.21 C.22 D.23

二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分。 (一)必做题(11~13题)

11.某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示:

第17页,共32页

图1是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图,则图中判断框应填 ,输出的s= 。

(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“?”或“:=”)

12.某单位200名职工的年龄分布情况如图2,现要从中抽取40名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随机按1~200编号,并按编号顺序平均分为40组(1~5号,6~10号,?,196~200号)。若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是 。若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取 人。

13.以点(2,-1)为圆心且与直线x?y?6相切的圆的方程是_______________________。 (二)选做题(14、15题,考生只能从中选作一题)

x?1?2t,14.(坐标系与参数方程选做题)若直线y?2?3t.(t为参数)与直线4x?ky?1垂直,

{则常数k=________。

w.w.w.s.5.u.c.o.m

o15.(几何证明选讲选做题)如图3,点A,B,C是圆O上的点,且AB?4,?ACB?30,则圆O的面积等于__________________。

第18页,共32页

三、解答题:本大题共6小题,满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.(本小题满分12分)

,cos??互相垂直,其中?=?0,?. 已知向量a=?sin?,-2?与b=?1????2?(1) 求sin?和cos?的值;

(2) 若5cos??-??=35cos?,0<?<

17.(本小题满分13分)

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥

?2,求cos?的值。

P?EFGH,下半部分是长方体ABCD?EFGH。图5、图6分别是该标识墩的正(主)

视图和俯视图。

(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图;(2)求该安全标识墩的体积; (3)证明:直线BD?平面PEG.

w.w.w..s.5.u.c.o.m

18.(本小题满分13分)

随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7。

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;(2)计算甲班的样本方差;

(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率。

第19页,共32页

w.w.w.ks.5.u.c.o.m w.w.w.ks.5.u.c.o.m

19.(本小题满分14分)

已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为

3,两个焦点分别为F1和222F2,椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12。圆Ck:x?y?2ky?4y?21?0(k?R)的圆心为点Ak。

(1)求椭圆G的方程; (2)求?AkF1F2面积;

(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由。

20.(本小题满分14分)

已知点(1,)是函数f(x)?a(a?0,且a?1)的图像上一点。等比数列?an?的前n项

xw.w.w..s.5.u.c.o.m

13和为f(n)?c。数列

?bn?(bn?0)的首项为c,且前n项和sn满足

sn?sn?1?sn?sn?1(n≥2)

(1)求数列?an?和?bn?的通项公式; (2)若数列?

第20页,共32页

w.w.w.s.5.u.c.o.m

?1?1000TT的前项和为,问满足>的最小正整数n是多少? n?nnbb2009?nn?1?

21.(本小题满分14分)

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

已知二次函数y?g(x)的

处取得极小值m?1(m?0)。设函数f(x)?y?2x平行,且y?g(x)在x??1g(x)。xw.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(1)若曲线y?f(x)上的点p到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m的值; (2)k(k?R)如何取值时,函数y?f(x)?kx存在零点,并求出零点。 第21页,共32页

2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(文科) 参考答案

一、选择题

1-10

BCCAB DADAB

21、【解析】由N= { x |x+x=0}{?1,0}得N?M,选B. 2、【解析】因为i?1,故选C.

3、【解析】a?b?(0,1?x),由1?x?0及向量的性质可知,C正确.

242(a>0,且a?1)4、【解析】函数y?a的反函数是f(x)?logax,又f(2)?1,即loga2?1,

所以,a?2,故f(x)?log2x,选A.

2845、【解析】设公比为q,由已知得a1q?a1q?2a1qx??,即q22?2,因为等比数列{an}的公比

为正数,所以q?2,故a1?a212??,选B q226、【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选D

7、【解析】sinA?sin75?sin(30?45)?sin30cos45?sin45cos30?由a=c=6?00000002?6 42可知,?C?750,所以?B?300,sinB?1 2由正弦定理得b?a?sinB?sinA2?61??2,故选A

2?624?8、【解析】f?(x)?(x?3)?ex?(x?3)ex?(x?2)ex,令f?(x)?0,解得x?2,故选D

??9、【解析】因为y?2cos(x?选A.

2???2??)?1?cos?2x???sin2x为奇函数,T???,所以42?2?10、【解析】由题意知,所有可能路线有6种:

①A?B?C?D?E,②A?B?D?C?E,③A?C?B?D?E,④

A?C?D?B?E,⑤A?D?B?C?E,⑥A?D?C?B?E,

其中, 路线③A?C?B?D?E的距离最短, 最短路线距离等于4?9?6?2?21,

第22页,共32页

故选B. 二、填空题

11、【答案】i?6,a1?a2???a6

【解析】顺为是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图,所图中判断框应填i?6,输出的s=a1?a2???a6. 12、【答案】37, 20

【解析】由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22,所以第6组抽出的号码为27,第7组抽出的号码为32,第8组抽出的号码为37. 40岁以下年龄段的职工数为200?0.5?100,则应抽取的人数为13、【解析】将直线x?y?6化为x?y?6?0,圆的半径r?2240?100?20人. 200|2?1?6|5,所以圆的方?1?12程为(x?2)?(y?1)?14、【答案】?6 【解析】将?252w.w.w..s.5.u.c.o.m

?x?1?2t373化为普通方程为y??x?,斜率k1??,

222?y?2?3t当k?0时,直线4x?ky?1的斜率k2??当k?0时,直线y??综上可知,k??6. 15、【答案】16?

4?3??4?,由k1k2??????????1得k??6; k?2??k?37x?与直线4x?1不垂直. 22【解析】连结AO,OB,因为 ?ACB?30,所以?AOB?60,?AOB为等边三角形,故圆O的半径r?OA?AB?4,圆O的面积S??r?16?. 三、解答题

2oovvvvb?sin??2cos??0,即sin??2cos? 16、【解析】(1)Qa?b,?ag又∵sin??cos??1, ∴4cos??cos??1,即cos?2222142,∴sin?? 55又 ??(0,

?2)?sin??525,cos?? 55第23页,共32页

(2) ∵5cos(???)?5(cos?cos??sin?sin?)?5cos??25sin??35cos?

2 ?cos??sin? ,?cos??sin??1?cos? ,即cos??2221 2 又 0???2? , ∴cos??22w.w.w..s.5.u.c.o.m

17、【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

(2)该安全标识墩的体积为:V?VP?EFGH?VABCD?EFGH ?1?402?60?402?20?32000?32000?64000 ?cm2? 3 (3)如图,连结EG,HF及 BD,EG与HF相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,PO?平面EFGH , ?PO?HF 又EG?HF ?HF?平面PEG 又BDPHF ?BD?平面PEG;

w.w.w..s.5.u.c.o.m

18、【解析】(1)由茎叶图可知:甲班身高集中于160:179之间,而乙班身高集中于170:180 之间。因此乙班平均身高高于甲班;

158?162?163?168?168?170?171?179?179?182?170

1012222 甲班的样本方差为[(158?170)2??162?170???163?170???168?170???168?170?

10 (2) x? ??170?17?0??217?1?17??021?7?9270?1???179157 82??170??=

22170] (3)设身高为176cm的同学被抽中的事件为A;

从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有:(181,173) (181,176) (181,178) (181,179) (179,173) (179,176) (179,178) (178,173) (178, 176) (176,173)共10个基本事件,而事件A含有4个基本事件;

第24页,共32页

?P?A??42? ; 105x2y219、【解析】(1)设椭圆G的方程为:2?2?1 (a?b?0)半焦距为c;

ab?2a?12???a?6222 则?c , ?b?a?c?36?27?9 3 , 解得?????c?332?ax2y2 所求椭圆G的方程为:??1.

369(2 )点AK的坐标为??K,2? SVAKF1F2? w.w.w..s.5.u.c.o.m

11?F1F2?2??63?2?63 2222(3)若k?0,由6?0?12k?0?21?5?12kf0可知点(6,0)在圆Ck外, 若k?0,由(?6)?0?12k?0?21?5?12kf0可知点(-6,0)在圆Ck外; ?不论K为何值圆Ck都不能包围椭圆G.

221?1?20、【解析】(1)Qf?1??a?,?f?x????3?3? a1?f?1??c?xw.w.w.s.5.u.c.o.m

21f2?c?f1?c???, ???c ,a2??????????932 a3?? . f3?c?f2?c?????????????2742a21又数列?an?成等比数列,a1?2?81????c ,所以 c?1;

a3?23327a2?1?1又公比q?2?,所以an????3?3?a13QSn?Sn?1?n?1?1???2?? n?N* ;

?3?n?Sn?Sn?1??Sn?Sn?1?Sn?Sn?1 ?n?2?

?又bn?0,Sn?0, ?Sn?Sn?1?1; 数列

?S?构成一个首相为1公差为1的等差数列,n22Sn?1??n?1??1?n , Sn?n2

当n?2, bn?Sn?Sn?1?n??n?1??2n?1 ;

第25页,共32页

17.(本小题满分12分)

某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如下表所示: 20至40岁 大于40岁 总计 文艺节目 40 15 55 新闻节目 18 27 45 总计 58 42 100

18.(本小题满分14分)

如图4,弧AEC是半径为a的半圆,AC为直径,点E为弧AC的中点,点B和点C为线段AD的三等分点,平面AEC外一点F满足FC?平面BED,FB=5a

(1)证明:EB?FD

(2)求点B到平面FED的距离.

(1)证明:?点E为弧AC的中点

19.(本题满分12分)

某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

第31页,共32页

20.(本小题满分14分)

已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)?kf(x?2),其中常数k为负数,且f(x)在区间

?0,2?上有表达式f(x)?x(x?2).

(1)求f(?1),f(2.5)的值;

w_w w. #s5_u.c o*m

(2)写出f(x)在??3,3?上的表达式,并讨论函数f(x)在??3,3?上的单调性; (3)求出f(x)在??3,3?上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值.

w_w*w._s_5 u.c*o*m

21.(本小题满分14分)

w_w w. k#s5_u.c o*m已知曲线Cn:y?nx,点Pn(xn,yn)(xn?0,yn?0)是曲线Cn上的点(n=1,2,?). (1)试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程,并求出ln与y轴的交点Qn的坐标; (2)若原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值,试求试点Pn的坐标

2(xn,yn);

w_w*w._s_5 u.c*o*m(3)设m与k为两个给定的不同的正整数,xn与yn是满足(2)中条件的点Pn的坐标, 证明:

?n?1s(m?1)xn?(k?1)yn?2ms?ks(s?1,2,…)w

第32页,共32页

2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(文科)答案详解

本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。

1Sh,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高. 3一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个参考公式:锥体的体积公式V?选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 解:并集,选A.

2 解:x?1?0,得x?1,选B. 3.解:由于f(?x)?3?x?3?(?x)?f(x),故f(x)是偶函数,排除B、C

4.

5

6. 【解析】由题意知,圆心在y轴左侧,排除A、C 在Rt?0AO,OA10A0A?k?2,故

0O?50O?15?0O?5,选D. 7

第33页,共32页

8.

9.

10.

解:由上表可知:(a○+c)?c,故d○*(a○+c)?d○*c?a,选A。 二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分。 (一)必做题(11~13题) 11 解析:

第一(i?1)步:s1?s1?xi?0?1?1 第二(i?2)步:s1?s1?xi?1?1.5?2.5 第三(i?3)步:s1?s1?xi?2.5?1.5?4 第四(i?4)步:s1?s1?xi?4?2?6,s?第五(i?5)步:i?5?4,输出s?

2

12.根据统计资料,居民家庭年平均收入的中位数是 13 ,家庭年平均收入与年平均支出有

Y=x-3 线性相关关系.

13.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=3,A+C=2B,则sinA= .

w_w w. k#s5_u.c o*m313?6? 42 第34页,共32页

(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题)

解:连结DE,可知?AED为直角三角形。则EF是Rt?DEA斜边上的中线,等于斜边的一半,为

15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(?,?)(0???2?)中,曲线

a. 2?(co?s?sin?)?1与?(cos??sin?)?1的交点的极坐标为 .

16.

u.c*o*m

第35页,共32页

17.

18.(本小题满分14分)

第36页,共32页

19.(本题满分12分)

解:设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐,设费用为F,则F?2.5x?4y,由题意知:

12x?8y?64 6x?6y?42 6x?10y?54 x?0,y?0

画出可行域:

变换目标函数:y??

5Fx? 84

第37页,共32页

20.

(2)当2?x?3时,0?x?2?1

f(x?2)(x?2)(x?4)?(2?x?3) kk当?2?x?0时,0?x?2?2 f(x)?f(x)?kf(x?2)?kx(x?2)(?2?x?0)

当?3?x??2时,?1?x?2?0

f(x)?kf(x?2)?k?k(x?2)(x?4)?k2(x?2)(x?4)(?3?x??2)

k2(x?2)(x?4),(?3?x??2)

kx(x?2)(?2?x?0) f(x)= x(x?2)(0?x?2)

(x?2)(x?4)(2?x?3)

k 第38页,共32页

c. 当k??1时?k??1,?k??21 k2此时:f(x)max?f(?1)??k,f(x)min?f(?3)??k 21.(本小题满分14分)

w_w w. k#s5_u.c o*m

第39页,共32页

第40页,共32页

21.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy,直线l:x??2交x轴于点A,设P是l上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足?MPO??AOP。 (1)当点P在l上运动时,求点M的轨迹E的方程;

(2)已知T(1,?1),设H是E上动点,求HO?HT的最小值,并给出此时点H的坐标; (3)过点T(1,?1)且不平行于y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点,求直线l1的斜率k的取值范围。

第46页,共32页

第47页,共32页

2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)

参考答案

一、选择题:1.A;2.C;3.B;4.C;5.D;6.B;7.D; 8.A;9.C;10.B; 二、填空题:11.2;12.?9;13.0.5,0.53;14.?1,三、解答题:

16.解:(1)f?0??2sin???25?;15.7:5 ???5??????1??2???????1。 6???2?(2)f?3?????????105?,∴, ?2sin????2sin??sin?????2?66?1313??????63??f?3???=2sin?????=2sin??,sin??,

2?66?55??12?5????2∵?,???0,?,∴cos??1?sin??1????,

13?13??2?4?3?cos??1?sin2??1????,

5?5?∴sin?????=sin?cos??cos?sin??17.解:(1)由∴

225412356。 ????1351356570?76?72?70?72?x6?75,得x6?90,

6s?。

1?22222270?75???76?75???72?75???70?75???72?75???90?75???7??6?(2)从前5位同学中,随机地选2位同学的所有结果有:(70,76),(70,72),(70,70),

(70,72),(76,72),(76,70),(76,72),(72,70),(72,72),(70,72)共10种,其中恰

有1位同学成绩在区间(68,75)中的有:(70,76),(76,72),(76,70),(76,72)共4种,故所求的概率为

42?。 105?的18.(1)证明:如下图,连结O2B,∵O2是DE中点,∴O2是圆O2的圆心,∵B是DE

第48页,共32页

中点,∴O2B?CE,

∵平面CEE?C??底面DBE,平面CEE?C??底面DBE?CE,∴O2B?平面CEE?C?,

?A??平面CEE?C?,∴O2B//O1?A?,∴O1?,A?,O2,B四点共面。 同理O1

??E?的中点,∴(2)如上图,∵O2?是D?E?中点,∴O2?是圆O2?的圆心,∵B?是DO2?B??C?E?,

?C??平面D?B?E??C?E?∵平面CEE?C??平面D?B?E?,平面CEE,∴O2?B??平面

?,由(1)知 CEE?C?A?,O2?B??O1?A?,O1?A??平面CEE?C?,∴O2?B?//O1∴O'1H?//O2?B?,O'1H??O2?B?,

∴O1?H?B?O2?是矩形,∴H?B??O2?B?,∵H?B??B?B,O2?B?、B?B?平面O2?B?B,

O2?B??B?B?B?,∴H?B??平面O2?B?B,

????∵BO2??平面O2?B?B,∴H?B??BO2。连结O1A,O1A,O1A与HG交于E,在??????Rt?A?AO1与Rt?HAG中,A?A=A?H?=2,AO1=AG=1,∴Rt?AAO1?Rt?HAG,

∴?AA?O1??A?H?G,?A?O1A??H?GA?,

?A?+??AAO∵?H?GA?+?A?H?G=90?,∴?HG连结A?O2?,AO2,

1=90??1?HG?。?G=90?,∴AO,∴?AEO1B,O2O2?,∵A?A//O2?O2,A?A=O2?O2,∴A?AO2O2?是平行四边形,同理AO1BO2是

平行四边形,

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∴A?O2?//AO2//O1B,A?O2?=AO2=O1B,∴A?O1BO2?是平行四边形,∴BO2?//A?O1,∴BO2??H?G,

∵H?G、H?B??平面H?B?G,H?G?H?B??H?,∴BO2??平面H?B?G。 19.解:函数f(x)的定义域为xx?0,

??12a(1?a)x2?2(1?a)x?1, f?(x)??2a(1?a)x?2(1?a)?xx设g(x)?2a(1?a)x?2(1?a)x?1(x?0),

当a?1时,g(x)?1?0,则f?(x)?0,∴f(x)在区间(0,??)上是单调递增的;

2a(1?a)?4(3a?1)(a?1)当a?1且a?0时,??4(1?a)?8,函数g(x)的对称轴为1?0 2a1(1)当?a?1时,??0,∵2a(1?a)?0,∴g(x)?0,则f?(x)?0,∴f(x)在区间

3x?(0,??)上是单调递增的;

(2)当0?a?21或a?1时,??0,由g(x)?0,得 3x1?1?a?(3a?1)(a?1)1?a?(3a?1)(a?1),x2?

2a(1?a)2a(1?a)①当0?a?1时,2a(1?a)?0,函数g(x)的图象为下图1,由图象可得: 3当0?x?x1或x?x2时,g(x)?0,则f?(x)?0;当x1?x?x2时,g(x)?0,则

f?(x)?0。

∴f(x)在区间?0,的,

?1?a?(3a?1)(a?1)??1?a?(3a?1)(a?1)?,??和上是单调递增?????2a(1?a)2a(1?a)???????1?a?(3a?1)(a?1)1?a?(3a?1)(a?1)?,在区间?上是单调递减的。 ???2a(1?a)2a(1?a)??②当a?1时,2a(1?a)?0,函数g(x)的图象为下图2,由图象可得:

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