2008年四川初中数学联赛（初二组）决赛试题 参考解答及评分细则

2008年四川初中数学联赛（初二组）决赛试题

参考解答

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1、若a,b为实数，且满足(a?1)2?b?2?0， 则

1111等于（ D ）． ?????ab(a?1)(b?1)(a?2)(b?2)(a?2008)(b?2008)2006200720082009 B. C. D. 2007200820092010 A.

解：因为(a?1)2?0，b?2?0，由(a?1)2?b?2?0知a?1,b?2． 于是

1111????? ab(a?1)(b?1)(a?2)(b?2)(a?2008)(b?2008)1111????? 1?22?33?42009?20101111111?) ?(1?)?(?)?(?)???(223342009201012009? ?1?．故答案选Ｄ． 20102010 2、在锐角?ABC中，三个内角的度数都是质数，且最短边的长为1．则满足这样条件的

?互不全等的三角形个数为（ A ）．

A． 1个 B. 2个 C. 3个 D.多于3个

解：设三个内角的度数分别为x,y,z，则x,y,z为质数，且x?y?z?180 于是，x,y,z中至少有一个为偶质数，不妨设x为偶质数，则x?2． 从而y?z?178，不妨设y?z，则z?89．

因为?ABC为锐角三角形，故z?90．所以z?89，y?89．

经检验，x?2,y?89,z?89符合条件．又因为最短边的长为１，故符合条件的三角形仅有１个．

故答案选Ａ．

3、已知点A(a,2)是两函数y?kx?2与y?(2?1)x图象的交点， 则实数k等于（ Ｄ ）． A．?2 B．1?2 C．2?1 D．1

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解：由条件知2?(2?1)a，则a?22?1?2?2．

又2?ka?2，即2?k(2?2)?2 ，则k?1．故答案选Ｄ．

?4、在菱形ABCD中，?ABC?60，AB?1，E为BC边的中点，则对角线BD上

的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（ C ）． A．

333 B． C． D．3 432E1P1BEAPD解：如右图，作E关于BD的对称点E1，由于BD是菱形ABCD的对称轴，则E1为AB的中点，连CE1交BD于P1．

因为PE?PC?PE1?PC?CE1，等号在P与P 1重合时成立．又因为?ABC?60，于是?ABC为正三角形． 所以，CE1?1?()?2?C 1223．故答案选 Ｃ． 2 5、以关于x,y的方程组??3mx?2y?3的解为坐标的点(x,y)在第二象限，则符合条件

?x?3my?9的实数m的范围为（ Ｂ ）． A．m?111 B．m??2 C． ?2?m? D． ??m?9 992解：将x?9?3my代入3mx?2y?3中，有3m(9?3my)?2y?3．

2即(9m?2)y?3?27m，于是y?3?27m3?27my?．将代入x?9?3my中，得229m?29m?2?18?9m?9m2?2?03m(3?27m)18?9mx?9??．由条件知?，解得m??2．故答案选Ｂ． 223?27m9m?29m?2?2?0?9m?2

6、如图，在凸四边形ABCD中，E、F分别为 AB、CD的中点，AF、DE相交于点G，BF、CE

AEGDFBHC相交于H，四边形EGFH的面积为10，则?ADG与 ?BCH这两个三角形的面积和为（ B ）．

20 A． B. 10 C.15 D. 20

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解法１：（特殊化）AB∥DC，则S?ADG?S?EGF，S?BHC?S?EHF． 于是S?ADG?S?BHC?S?EGF?S?EHF?SEGFH?10．故答案选Ｂ．

解法２：如右图，分别过A,E,B作DC边的 高AI,RJ,BK，连AC,BD． 因为E为AB的中点，则EJ?于是，S?EDC所以，S?EDCAGEHKCB1(AI?BK)． DIFJ211?(SADC?S?BDC)．同理，S?FAB?(S?DAB?S?CAB)． 2211?S?FAB?(SADC?S?BDC)?(S?DAB?S?CAB)?SABCD．

22 由图知，S?ADG?S?BHC?SEGFH?10．故答案选Ｂ．

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1、已知实数a,b,c满足(a?b)(b?c)(c?a)?0且abc?0，则代数式的值是 .

解：由(a?b)(b?c)(c?a)?0知a,b,c中至少有两个互为相反数，又abc?0．从而

abc??|a||b||c|a,b,c中必为两正一负．于是

abc??的值为１．故答案填１． |a||b||c| 2、在?ABC中，AB?5、AC?12、CB?13，D、E为BC边上的点，满足BD?1、

CE?8，则?DAE的度数为 . 解：如图，记?ADC??，?AEB??． 由于AB?AC?5?12?13?CB．

?所以?BAC?90．由条件知BA?BE，CA?CD．

222222A??BDEC ??所以?BAE??，?DAC??．由?BAC?90知?????DAE?90，

???又?????DAE?180．所以2?DAE?90，即?DAE?45．故答案填45．

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?

3、在Rt?ABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在CA、CB上，满足

?DFE?90?.若AD?3，BE?4，则线段DE的长度为 . 解：如图，延长DF至G，使得DF?FG，连结GB，GE．∵AF?FB，∴?ADF≌?BGF． ∴BG?AD?3，?ADF??BGF． ∴AD∥GB．∴?GBE??ACB?180． ∴?GBE?90．∴GE?GB?EB?5

??ADFGCEB22 ∵DF?FG,EF?DG．∴?EFD≌?EFG．∴DE?GE?5．故答案填5．

4、将正整数1,2,3,?,10，分成A、B两组，其中A组：a1,?,am；B组：b1,?,bn.从A、B组中各取出一个数，把取出的两个数相乘，则所有不同的两个数乘积的和的最大值为 .

解:由条件知所有不同的两个数乘积的和S?(a1???am)(b1???bn)． 记x?a1???am，y?b1???bn，则x?y?1?2???10?55．

11S?xy?[(x?y)2?(x?y)2]?(552?12)?756．等号仅在|x?y|?1时成立．

44又令ai?i(i?1,2,?,7)，b1?8,b2?9,b3?10，则x?28,y?27．故等号能取到． 所以，所有不同的两个数乘积的和的最大值756．故答案填756．

三、（本大题20分）

已知a,b,c为实数.证明： (a?b?c)，(a?b?c)，(b?c?a)，(c?a?b)这四个代数式的值中至少有一个不小于a?b?c的值，也至少有一个不大于a?b?c的值.

证明：记A?(a?b?c)，B?(a?b?c)，C?(b?c?a)，D?(c?a?b)．

则A?a?b?c?2ab?2bc?2ca ①

22222222222222222B?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca ② C?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca ③

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D?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca ④

上面４式两边相加，得A?B?C?D?4(a2?b2?c2) ⑤

如果A,B,C,D这四个代数式的值中均小于a?b?c，

则A?B?C?D?4(a2?b2?c2)，这与⑤矛盾．所以，A,B,C,D这四个代数式的值中至少有一个不小于a?b?c．

如果A,B,C,D这四个代数式的值中均大于a?b?c，

则A?B?C?D?4(a2?b2?c2)，这与⑤矛盾．所以，A,B,C,D这四个代数式的值中至少有一个不大于a?b?c．

所以，结论成立．

四、(本大题25分)

? 如图，在直角梯形ABCD中，?ABC??BAD?90，AB?16.对角线AC与BD222222222222相交于点E，过E作EF?AB于F，点O为AB的中点，且FE?EO?8.求AD?BC的值．

D解：设OF?x，则FB?8?x，FA?8?x．

由条件知DA∥EF∥CB，所以即AD?FEFB?， ADABOFECB16A?EF； 8?x16?EF． 同理BC?8?x161616?16?)?EF?2?EF． ① 所以AD?BC?(28?x8?x8?x222又在Rt?EFO中EF?OF?OE，即EF?x?(8?EF)，

222 82?x2故EF?． ②

16

由①、②得AD?BC?16． 五、（本大题25分）

在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“＋”、“—”，如果可以使其代数和为n，就称数n是“可被表出的数”，否则就称数n是“不可被表出的数”.

比如， 1是“可被表出的数”，这是因为“＋1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9”是1的一

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种“可被表出的”的方法.

（1）求证: 7是“可被表出的数”，而８是“不可被表出的数”； （2）求25 “可被表出的”不同方法种数.

（１）证明：因为＋1－2－3＋4＋5－6＋7－8＋9＝７，

所以7是“可被表出的数”.

又因为＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45是奇数，而对于任意两个整数a,b有a?b与

a?b具有相同的奇偶性，因此，无论怎样填“＋”、“－”，所得代数和一定是奇数，不可

能为８．所以，８是“不可被表出的数”． （２）设填＂＋＂的数字和为x，填＂－＂的数字和为y．则x?y?25． 又x?y?1?2???9?45．所以x?35，y?10．

因为9?10，1?2?3?4?10．所以填“－”的哪些数字至少有2个，至多有4个．

由此可知，填“—”的数之和为10．我们只要在和为10的那些数前面填“—”号，其余的数前面填“+”号，就得到25的一种表示方法。所以，我们只要计算出从1到9中选出若干个其和为10数字的不同方法，就得到25“可表示的”不同方法种数．

① 10等于二数之和：10=1+9=2+8=3+7=4+6，共有４种方法；

② 10等于三数之和：10=1+2+7=1+3+6=1+4+5=2+3+5，共有４种方法； ③ 10等于四数之和：10=1+2+3+4，共有1种方法； 综上所述，25是“可被表出的”不同方法种数共有4＋4＋1＝9种．

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种“可被表出的”的方法.

（1）求证: 7是“可被表出的数”，而８是“不可被表出的数”； （2）求25 “可被表出的”不同方法种数.

（１）证明：因为＋1－2－3＋4＋5－6＋7－8＋9＝７，

所以7是“可被表出的数”.

又因为＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45是奇数，而对于任意两个整数a,b有a?b与

a?b具有相同的奇偶性，因此，无论怎样填“＋”、“－”，所得代数和一定是奇数，不可

能为８．所以，８是“不可被表出的数”． （２）设填＂＋＂的数字和为x，填＂－＂的数字和为y．则x?y?25． 又x?y?1?2???9?45．所以x?35，y?10．

因为9?10，1?2?3?4?10．所以填“－”的哪些数字至少有2个，至多有4个．

由此可知，填“—”的数之和为10．我们只要在和为10的那些数前面填“—”号，其余的数前面填“+”号，就得到25的一种表示方法。所以，我们只要计算出从1到9中选出若干个其和为10数字的不同方法，就得到25“可表示的”不同方法种数．

① 10等于二数之和：10=1+9=2+8=3+7=4+6，共有４种方法；

② 10等于三数之和：10=1+2+7=1+3+6=1+4+5=2+3+5，共有４种方法； ③ 10等于四数之和：10=1+2+3+4，共有1种方法； 综上所述，25是“可被表出的”不同方法种数共有4＋4＋1＝9种．

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