浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题

浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题

知识框图 三 角 形 的 初 步 知 识 锐角三角形 三角形的分类 按角分类 直角三角形 钝角三角形 边的关系 性质 角的关系 任意两边之和 第三边；任意两边之差 第三边 三角形的内角和等于 ；三角形的一个外角 和它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角 和它不相邻的任意一个内角 朱国林 角平分线 重要线段 中线 高线 将一个三角形分成面积相等的两部分 三角形高线的位置 交点的位置 定义 命题 相关概念 基本事实 定理 推论 一般型证明 证明 文字型证明的步骤 真命题 假命题 判断命题是假命题，只需要举一个 三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和就是由三角形的内角和定理推出来的 只需要在“证明：”中写出推理过程 （1）按题意画出图形 （2）结合图形，写出已知和求证 （3）在“证明：”中写出推理过程 全等三角形 尺规作图 相关知识 性质 判定 基本作图 SSS SAS ASA AAS 用来求线段、角度 要特别注意：是否有公共角及公共边 作一条线段等于已知线段 作一个角等于已知角 作角的平分线 作线段的垂直平分线 理论依据：SSS定理 作三角形 根据SSS、SAS、ASA作三角形 线段垂直平分线的性质 角平分线的性质 理论依据：SAS定理 理论依据：AAS定理

考点一、判断三条线段能否组成三角形

考点二、求三角形的某一边长或周长的取值范围

考点三、判断一句话是否为命题，以及改成“如果……那么……”的形式 考点四、利用角平分线、垂线（90°角）、三角形的外角、内角和、全等三角形来计算角度 考点五、利用垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形来计算线段长度

考点六、证明三角形全等，以及在三角形全等的基础之上进一步证明线段、角度之间的数量关系 考点七、画三角形的高线、中线、角平分线，以及基本图形的尺规作图法 考点八、方案设计题，求河宽等问题

例1、已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多少厘米？

1、某一三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长的取值范围为（ ） A、10≤a＜16 B、10＜a≤16 C、10＜a＜16 D、2＜a＜8 2、能把一个三角形分成面积相等的两部分是三角形的（ ）

A、中线 B、高线 C、角平分线 D、过一边的中点且和这条边垂直的直线 3、已知一个三角形的三条高的交点不在这个三角形的内部，则这个三角形（ ）

A. 必定是钝角三角形 B. 必定是直角三角形 C. 必定是锐角三角形 D. 不可能是锐角三角

4、△ABC的三个不相邻外角的比为2：3：4，则△ABC的三个内角的度数分别为 。 例2、如图，已知△ABC中，BE和CD分别为∠ABC和∠ACB的平分线，且BD=CE，∠1=∠2。说明BE=CD的理由。

A D 1 B 2 E C 【设计意图】本例主要考察了角平分线和三角形全等的条件和性质，要说明两条线段相等的方法可以通过说明三角形全等来解决。

例3、已知AE，AD分别为△ABC中BC边上的中线和高线，且AB=7cm，AC=5cm，则△ACE和△ABE的周长之差为多少厘米？△ACE和△ABE的面积之比为多少？ A

【设计意图】本例主要考察了三角形中线、高线的性质，重在格式的书写上。

BEDC

例3. 如图，在某市效的空旷平地上有一个较大的土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，请你应用所学的知识设计一种方案，能用尺量出不能达到的A、B两点的距离。（只要求说明设计方案和这种方案设计的根据，并画出草图，不要求数据计算） 【解析】：在地面上找一个能同时看到A、B两点的点O，分别在AO、BO的延长线上取点C、D使CO=AO，DO=BO，只需量出CD的长度即为A、B两点的距离．

理由：△AOB与△COD中， CO=AO，DO=BO， 又∠AOB=∠COD， ∴△AOB≌△COD， ∴AB=CD，

量出CD的长度即为A、B两点的距离．

练习

一、选择题

1、下列各图中，正确画出AC边上的高的是( )

B B B B E

C C E C E A E A A A A、 B、 C、 D、

C

2、如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是( )

A F D A、两点之间的线段最短；B、三角形具有稳定性；

C、长方形是轴对称图形；D、长方形的四个角都是直角。 E 3、下列各条件中，不能唯一作出直角三角形的是（ ）

A．已知两条直角边 B．已知两个锐角

B C C．已知一锐角及其邻边 D．已知一锐角及其对边

4、如图，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，相交于点O，S△BDO面积=1，则S△ABC=（ ） A.1 B.3 C. 6 D. 无法计算

F E

C B D

5、如图,AC与BD相交于点O,已知AB=CD,AD=BC,则图中全等三角形的对数有( )

A

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

6、如图, ΔABC的两条中线相交于点F,若ΔABC的面积是45cm,则四边形DCEF的面积是( )

(A) 30cm (B) 15 cm (C)20 cm (D)不能确定

7、ΔABC中的两条角平分线BD,CE相交于点P,若∠A=α ,则∠BPC的度数是( ) (A)2∠α (B)900??22

2

2

2

(C)900??2 (C)1800?2?

8、如图,在ΔABC中,BC边上的垂直平分线交AC于点D, 已知AB=3,AC=7,BC=8,则ΔABD的周长为( )

(A)10 (B)11 (C)15 (D)12

9、小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图3所示的四块(图中所标1、2、3、4)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带( )去 A、第1块； B、第2块；

2 3 C、第3块； D、第4块；

4 1

10、在△ABC中，∠A=50°，那么以点B、C为顶点的外角的平分线的夹角为（ ） A、65°或115° B、65° C、75° D、75°或115° 11、下列语句不是命题的是（ ）

22

A．两直线平行，同位角相等 B．作直线AB垂直于直线CD C．若|a|=|b|，则a=bD．同角的补角相等 二、填空题

A1、把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ADE= 度． D2、已知三角形三条边的长度为3，x，9，化简：3?31x?x?3= . 42EBC3、如图在△ABC中，AB=AC=10，AB的垂直平分线交AC于G，BC=7，则△GBC的周长是_________.

A

G B C 第5题 O

4、如图,在ΔABC中, ∠C=90,BD平分∠ABC,交AC于D, 若AB=5,CD=2,则ΔABD的面积是 .

5、如图, ΔABC中,DE⊥BC于E,AF⊥BC于F.已知ΔBCD与ΔABC的面积之比为1:3,DE=3cm,则AF= .

6、如图，能用AAS来判断△ACD≌△ABE需要添加的条件可以是

D B

A

E

C

7、如图，已知∠ABC=∠DCB，现要说明△ABC≌△DCB，则还要补加一个条件是_____________或________________或_______________；

A D C

B

8、如图，△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BD、CE交于点O，且AD=AE，连结AO，

A 则图中共有_________对全等三角形

E O B D C

9、已知AD是△ABC中BC边上的高线，∠BAD=70°，∠CAD=20°，那么∠BAC=_______________

10、把“同角的补角相等”写成“如果……那么……的形式： 11、把“等角的补角相等”写成“如果……那么……的形式：

12、把“对顶角相等”写成“如果……那么……的形式： 三、计算与证明题

1、如图：已知△ABC中，AD⊥BC于D，AE为∠A的平分线，且∠B=35°，∠C=65°求∠DAE的度数。

0

ABEDC2、如图,已知ΔABE与ΔCDA中, ∠C=∠CAE=90,AB=CD,AE=AC,问这两个直角三角形的斜边AD与EB之间有何关系?说明理由(几何图形的线段关系包括大小关系与位置关系).

3、请你找一个长方形的纸片，按以下步骤进行动手操作：

步骤一：在CD上取一点P，将角D和角C向上翻折，这样将形成折痕PM和PN，如图20所示；

步骤二：翻折后，使点D、C落在原长方形所在的平面内，即点D′和C′，细心调整折痕PN、PM的位置使PD′，PC′重合如图21，设折角∠MPD′=α，∠NPC′=β (1)猜想∠MPN的度数；

(2)若重复上面的操作过程，并改变α的大小，猜想：随着α的大小变化，∠MPN的度数怎样变化？并说明你猜想的正确性。

A

B N

M D A P M D

α P D′ β C′ B N

C C

4、某产品的商标如图15所示，O是线段AC、DB的交点，且AC=BD，AB=DC，小华认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是：

∵AC=DB，∠AOB=∠DOC，AB=AC， ∴△ABO≌△DCO

你认为小华的思考过程对吗？如果正确，指出他用的是判别三角形全等的哪个条件， 如果不正确，请你更换一个条件，并写出你的思考过程。

A O B C D 5、如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠B=∠1，ED=EB，求证：AB=AC+CD

AE1CDB

6、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E。 （1）当直线MN绕点C旋转到图①的的位置时，求证：△ADC≌△CEB，DE=AD+BE；

（2）当MN绕点C旋转到图2的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想，并加以证明； （3）当MN绕点C旋转到图3的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想，并加以证明．

四、作图题

1、我们已经学过用量角器或圆规与直尺画一个已知角的平分线,小红同学只利用三角板也能画出一个角的平分线,她是这样画的:(如图1) ①、利用三角板在∠AOB的两边上分别量取OD=OC; ②、连结CD,利用三角板画出CD的中点E; ③、画射线OE.

④、则射线OE就是∠AOB的角平分线.

(一)你认为她的画法正确吗?若正确,请说明理由;

(二)请你也设计一种只用三角板画已知∠AOB的角平分线的画法,并写出画法.

2、如图△ABC，请用不同的分法将△ABC的面积4等分，请你给出不同的方案？

[来源:Zxxk.Com]A A A B C A B

A C B C

B

C B C

A 3、如图，用直尺和圆规按下列要求作图： (1)作出△ABC的角平分线CD； (2)作出△ABC的中线BE； (3)作出△ABC的高AF和BG

(要求有明显的作图痕迹，不写作法)

B C 4、如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处

l2

l3

l1

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