课题注重解题反思,开发解题智慧结题报告

“注重解题反思，开发解题智慧”的实践研究

-----结题报告

【摘要】许多数学家、数学教育家都对数学解题过程做过深入探讨，他们不约而同地把“评价与反思”作为解题过程的第四个阶段。对于学生而言，在解题中出现的诸多问题或错误，往往并非缺少必要的知识，而是缺少必要的习惯和技能，而反思就能很好的解决这个难题。本课题以学生在解决数学问题时自我反思现状的调查为依据，以乔治·波利亚的 “怎样解题表”为依托，对数学解题反思内容和学生解题过程中反思意识培养的策略进行研究，以两个班的学生为实践研究对象，通过各项数据对比得出研究结论：通过反思意识的培养，能明显改善学生的数学学习兴趣，有效解决学生知识点易混淆的通病，更快速有效的找准解题突破口，使用高效策略,放弃低效策略,促进知识的同化和迁移，开发解题智慧，提高思维能力，提升学生的应试能力；长期坚持下去，不仅能进一步培养学生的乐观、勤奋、勇敢、镇定等优秀思维品质，同时可使学生思维的深刻性、批判性、广阔性，灵活性和创新性得以锻炼和提高，达到减负增效的目的。

【关键词】反思 规律 策略 自我提问单 习惯 学习成绩 学习兴趣

一、问题的提出

在《不等式》这一章中，由于恒成立问题处于比较重要的地位，我们设计了这样两个题：

1①已知x2?ax?1?0对x?(0,]恒成立，求实数a的范围。 2②已知x2?ax?5?2a?0对x?(?2,2)恒成立，求实数a的范围。 一个作为例题，一个作为课后训练测试题。这两题事实上是同一类型的问题，但训练的结果却让人吃惊，有一半以上的同学不会求解。对于这两个几乎是一模一样的题，为什么会产生这种结果呢？

调查表明，在中学阶段，明确表示对数学感兴趣，喜欢数学，并想以数学研究作为未来从事的职业的学生几乎没有。

在教学过程中我碰到许多学生因急功近利，只顾埋头完成作业或进行大量解题训练，普遍缺少一个重要的环节--解题反思。而解题反思是提高解题能力的一个重要的环节，引导学生解题后反思，能促进学生的理解上升到一个更高的层次,促使他们从不同的角度，不同的层次，多方面地对问题进行反思,从而深化对问题的理解,揭示问题的本质,探索出问题的一般规律,得以优化学生的思维品质,才能高质量的完成教学任务，学生也就能真正的摆脱题海。

因此如何培养学生的解题反思意识，教会他们如何反思与总结，待以探索与研究。

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二、课题研究的理论视角 1．国外：

乔治·波利亚十分重视解题在数学学习中的作用，绘制出举世闻名的“怎样解题表”,被各国数学界奉为解题宝典。波利亚在《怎样解题》表中给出解题过程的四个步骤：弄清过程——拟定计划——实施计划——回顾。其中回顾就是指解题的反思。所谓反思，就是从一个新的角度，多层次，多角度地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析和思考，从而深化对问题的理解，优化思维过程，揭示问题的本质，探索一般规律，沟通知识间的相互联系，促进知识的同化和迁移，并进而产生新的发现。

一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法：没有任何问题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨与钻研，我们能够改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。

2．国内：

时红军、严晓凤著《运用波利亚“怎样解题表”有效实施数学解题教学》（原载《中国数学教育》［高中版］2008年第11期）指出：所谓解题后的反思是指在解决了数学问题后，通过对审题过程、解题思路、解题途径、题目结论的反思来进一步暴露数学解题的思维过程，从而开发学习者的解题智慧，以达到事半功倍，提高中学生数学学科自我监控能力的目的。教师可以在课堂小结，单元复习时，适时地对某种数学思想方法的关键点或要素进行概括、强化和揭示，对它的内容、规律、运用等有意识地适度点拨。

三、研究目标与内容

(1)通过对解题反思的研究，使教师与学生达成共识：对解题的真正学习是“解题反思”。解题的目的是为了积累解题经验，形成有效的解题策略与方法，从而在遇到新问题时，能准确找到解题突破口，快速、准确、清晰的形成解题思路，开发解题智慧，培养优秀数学思维品质，提高分析解决问题的能力。

(2) 通过对解题反思的研究，更新数学解题传统观念，把握数学解题规律，提高数学教学质量，从而提高学生学习成绩，减轻各方面对教学的压力。

(3)通过本课题的研究与实践，使学生的个性与智慧得到充分地释放。 四、研究的方法与步骤： （一）研究方法：

(1)个案研究法；(2)行动研究法；(3)调查法；(4)文献研究法。 （二）研究步骤

①、申报阶段（2010年4月——2010年5月）：完成课题研究方案制定、申报工作，进

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行理论资料的准备、调查分析，收集整理资料，确定研究方法，制订课题实施构思研究框架、执行计划，对方案进行论证。

②、研究阶段（2010年6月——2011年4月）实施课题计划，课题开展研讨活动，收集第一手资料，进行资料研究，数据处理、补充调查，专家咨询，

③、总结阶段（2011年4月——2010年6月）系统分析课题研究有关资料，形成课题总结报告，为推广工作和开展进一步研究奠定基础。

五、研究的过程与策略

(一)解决数学问题后自我反思现状调查分析

通过调查，发现大部分学生在解决问题后都不善于反思，其表现为：

1．许多学生因急功近利，只是把解决问题当作一种任务，只求快速完成做了许多题，但是过一段时间，前面做过的题目全忘了，做了很多无用功。

2．对做过讲评过的题印象很浅，许多思考多次的问题仍处于迷茫状态，基础知识、基本技能总感觉把握不住，夯不实，知识连贯不起来，学习了后面忘了前面，

3．他们普遍关注的是问题解决了没有，而很少有人去关注解决问题的策略。

4．解决问题后，学生自觉检查意识差。学生做作业老师批改天经地义，至于检查作业对错那是老师的事情，似乎和他们没有关系。

5．学生分析错误原因意识较差。教师讲评或对过答案后，他们知道题目做错时，并不思考错在什么地方，为什么错，而是把正确的解答照抄一遍。

(二) 数学解题反思内容的研究-----“解题反思”思什么 1．反思过程，查缺补漏，追求完美，确保解题的合理性和正确性

解数学题时，常由于审题不慎、概念不清、忽视隐含条件、套用相近知识、考虑不周或计算出错，难免产生这样或那样的错误，因此数学解题，并不能保证一次性准确和完善。

学生解题错误类型，多不胜举，有些明显可见，有些较为隐蔽，可惜的是不少同学只满足于完成任务，解完了事，不加以思考回顾，任其漏洞百出，由此产生大量学生自以为由粗心、不仔细造成的谬误。如果学生有解题后反思的习惯，是不难发现并及时予以纠正的。因此要在平时多注意培养学生的错误警戒意识。提醒学生在解题之后，要对自已的解题过程进行有效的反思，确保解题的合理性和正确性。

解题结束时，对解题的过程进行反思回顾，目的是审视自己在读题、推理、运算等方面是否存在明显失误，通过即时的纠正使解题过程尽善尽美。这是反思的初级阶段。

2．反思方法、探究规律，使重要题型、方法的解题规律条理化，在解题中应用自如，减少解题思考时间

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对于容易题，大部分同学能很快抓住问题的本质，找到解题的思路和方法，但拿到一个较复杂的题目，思路会多次受阻，在寻找解题的思路和方法上花大量的时间，在考试时就表现为时间不足，仓促应对，造成成绩不稳定或下滑。

事实上数学题型虽然千变万化，但万变不离其宗，大部分类型的题目有其固定的解题模式与思路，若在解题后能善于总结各类题型的基本解题思路，并应用于相近的题型中，能使解题少走弯路，大幅减少解题前的思考时间，提高解题的速度与正确率。

解题结束后，如果能及时反思，复现一下整个解题思维过程，重新认知已知条件，形成通用解题模型，优化整合思维过程与方法，促进学生知识的正向迁移，势必能提高学生的分析、综合能力。这是反思的较高境界。

3．反思题型、探求题目的引申推广，由点到面、触类旁通、走向创新

在解题之后，如果解完题就此罢手，不进行反思回顾，那么解答这个题目也就失去了它的意义，因为在平时考试与高考中，出现一模一样的题是小概率事件，基本不会发生。这也是平时训练时做过多遍的题型仍不能解决的原因。

解题的最重要目的是一种经验获得的过程，为以后的解题提供可参照的思路与方法，从而提高综合解题能力，培养学生数学思维的广阔性和创造性。

例如排列组合问题虽题目繁多，但从一类排队问题就可引申出几乎所有的解排列组合问题的策略，如特殊元素和特殊位置优先策略、多排问题直排策略、定序问题倍缩空位插入策略、不相邻问题插空策略、相邻元素捆绑策略、正难则反总体淘汰策略等等。许多的排列组合问题都可归纳为这样的排队问题，构造占位插空模型。只要善于总结与观察，虽解题技巧方法繁多，解题思路灵活多变，但最终却能殊途同归。

现有高中数学共要考查二十一个章节或板块，知识体系庞大，纵横交错，但又存在有机联系，因而让学生通过反思回顾，自主、自觉的对题型归类、探究，养成自主思考解题方法、解题技巧、解题规律的良好习惯就显得尤为重要。

一般说来，习题做完之后，要反思这样几个方面： 1、怎样做出来的？想自己解题采用的方法； 2、为什么要这样做？想解题依据的原理； 3、为什么想到这种方法？想解题的思路；

4、有无其它方法，哪种方法更好？想多种途径，培养求异思维；

5、能否将条件、结论或图形变化一下而成一新题？想一题多变，培养发散思维。 通过这样的反思，自主回忆与该题同类或相近的习题，并进行认真对比分析，找到解决这类题目的技巧和方法，并能进行适当的拓展和必要的延伸，达到举一反三、由点到面、触

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类旁通、由一题到一类题的目的，达到解一题破百题的学习效果，这也表明反思已进入更高境界。

(三) 学生解题过程中反思意识培养的策略研究

策略一、开展反思性教学，有意外显解题反思的过程与方法，加强反思方法的指导，确保学生感知反思

在平时的解题教学或作业讲评过程中，都“有意无意\地外显反思的过程与方法，让听者能清楚地知道教师在解完一题后是如何总结反思的。在教学过程中,教师要将引导学生对解题思路及策略的形成过程的反思以及与相关知识的类比联想作为教学的必要环节。

在学生解题后，设计一系列体现各种解题策略基本思想的提示或问题，用来启发学生思考，指出思考的方向与方法，使学生在提示的指引下或对问题的思考过程中，不知不觉地学会探索解题途径的方法，写出完整的解题过程，由此反思与总结的习惯将逐步养成。

在一题讲评后，抓住契机引导学生对解题方法进行反思。我们可设计一些问题进行引导，比如：在解题教学中，可以从以下几个方面引导学生进行解题后的反思：

(1)所研究问题和以前的哪些问题是相类似的？这些题的本质特征是什么？ 你能找到解这类题的通法吗？

(2)解题思路中关键的是哪几步？ 自己在探索思路的形成过程中有哪些成功与失败的地方？

(3)哪一种方法最基本、最典型？ 哪一种最简便？ 哪一种更巧妙？ (4)解题过程是否正确、圆满？ 有无增、漏、错、等情况？ (5)若解答正确，能否总结你的解题思路、解题策略、解题方法？ (6)命题是否能进行变式，结论能否引申和推广？ (7)解题中运用了哪些数学思想方法？

(8)通过做这道题，你的收获是什么？ 你注意到哪些问题？

上述反思是紧紧扣住解题目标层层深入的， 解题方法与技巧只是实现解题目标的手段而不是解题目的，通过反思让学生明确数学思想方法在解题中的作用，培养其思维的深刻性。

教学中，在适时的对反思的方法进行总结提炼的同时，对解题的方法进行横向的迁移，给出可用相似解法解出的不同题或不能用相同解法解出的相似题，进行比较分析，让学生在对比分析中，明确该类方法的适用范围及注意事项，引导学生进行恰当的反思。

策略二、建立自我提问单，进行自我观察、自我评价和自我控制，完善知识体系。 在我教学过程中，特别是习题教学的过程中，提示学生解题结束时，可以按照如下步骤进行自我发问和提示，一步步回顾反思。

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第一步：回顾“理解题意时期”的自我提问：本题的已知条件是什么？已知条件足够吗?还是有多余条件或不足条件？已知与未知之间是否存在着一定的关系？在此类问题审题时要注意哪几个关键词？

第二步：回顾“解题拟定计划，探索思路时期”的自我提问：在这一阶段可以问自已“过去见过这个题目或类似的题目吗？如果没见过，这样陈述的条件你见过吗？结论见过吗？见过的话，原来的题目是怎样求解的？没见过的话，能想象出一个更加容易解决的相关问题吗?使用了所有的条件了吗？你能够考虑到能用于确定未知条件的其它数据吗？”

第三步：回顾“执行计划时期”的自我提问：能清楚地确定这一步是对的吗？能检验自己的推理过程吗？能证明它是对的吗？书写的格式是否规范，有无漏掉某些细节(如单位)，最后的答案合理或符合实际吗?

第四步：“全局回顾反思时期”的自我提问：从这一题中获得哪些解题体验？解题思路中关键的是哪几步？能用一句话概括本题的解决思路吗？有没有其它方法可以解决？命题是否可进行变式、引申和推广？ 命题的逆命题是否成立？解题中运用了哪些数学思想方法？你能将这一方法或结果用于其它问题吗？

以上的四个反思步骤，其实就是学生思考和反思的过程，可以使学生解题时有解题监控，这其实就是元认知里的元认知监控，解题体验其实就是元认知中的元认知体验，这些元认知体验和监控进一步丰富了学生的元认知知识。所以在具体的解题时我就指导学生参照这些步骤进行思考和回顾，让学生根据这四个步骤，设计出学生自己解题后的自我提问单。

学生在进行知识建构时，自我提问单可以提供帮助，让他们检查自己的理解。在学生学习过程中，自我观察、自我评价和自我控制的问题清单都可以由自我提问单制成和提供。学生利用自我提问单的过程就是一个认知、体验、和监控的过程。自我提问单对学生有如下的帮助：①明白反思的过程与步骤；②让自己的思考过程充分暴露；③挖掘隐含条件，理清区别联系，克服思维定势，形成解题套路；④促使自己从不同的角度，不同的层次，多方面地对问题进行反思，从而深化对问题的理解，⑤揭示问题的本质，探索出问题的一般规律，得以优化学生的思维品质。

训练研究表明，学生在运用这种自我提问单进行大量训练后，可以逐步引导和监控思考过程，从而能特别有效地解决复杂问题。因为自我提问单使学生更加意识到解决问题时自己的认知加工策略，能更有意识地调节自己的认知加工过程，更自觉地使用所学到的有效知识工具和策略方法。

策略三、明确要求，让反思形成习惯

反思固然有效，但让学生养成反思的习惯并非易事，因此，需要加强对学生解题后反思

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的督促，逐步将反思作为对学生的日常要求。

我采取的方法是：

①每天选择一个题，建立并上交“自我提问单”；

②采取每周一次学生自我批改或者同学间互批的批改方式，批改后在错题边上写出做错的原因，做对的题边上用一句话概括解题思路；

③创设交流机会，让学生在交流中进行反思。

指定专题，每月集中一次，为学生创设交流的机会。让学生在与伙伴的交流中分析题意，说出自己的解题思路。可交流不同的解题方法进行算法优化，也可说说自己做错的原因，提醒其他伙伴不要犯同样的错误。

实际上，学生形成反思的习惯之时，也是学生跳出题海、自主学习之时。通过对适量典型题目的训练，而让学生逐步学会反思，概括总结一类问题的解决策略，这样的劳动才是高效的，这样的学习才是自主的，学生获得的才可能不仅仅是数学学习成绩的提升，还有学习能力的提升。

当然，让学生习惯于反思，并非一日之功，需要循序渐进、小步慢走；而且要给学生一个宽松的氛围，在过重学业负担下，学生更多的是完成任务，不可能实现真正意义上的反思。

六、研究的成效分析

(一)能显著提高学生数学学习成绩

研究对象是普通高中的高二学生，有两个班级的111个学生参与本研究，年龄分布为17-18岁。实验班55人，控制班56人。

本研究在实验实施前，每个班根据高一时的两次期末考试成绩的平均分及原来数学老师的评定，选出优秀生和学困生（主要区分标准：高于年级平均分的为优秀生，反之为学困生）。教学内容以高二第一个学期的教学内容为测试内容。

从学生的高一期末数学考试成绩看，实验班与控制班中的优秀生及学困生的检测成绩无明显差异（见表1），高二上学期期末考试实验班与控制班成绩检测有明显差异（见表2）。

表1 实验班和控制班高一期末成绩结果统计（前测）

类型 优秀生 班级 实验班 控制班 实验班 控制班 样本 27 29 28 27 平均分 111.2 110.8 87.5 87.2

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标准差 14.91 15.18 17.21 16.89 Z值 0.346 显著性水平 P>0.05 无显著差异 P>0.05 无显著差异 学困生 0.259

表2 实验班和控制班高二第一学期期末成绩结果统计（后测）

类型 优秀生 班级 实验班 控制班 学困生 实验班 控制班 样本 34 30 21 26 平均分 118.3 115.1 91.5 89.4 标准差 18.96 16.89 16.12 15.98 1.771 Z值 2.619 显著性水平 P<0.05 显著差异 P<0.05 显著差异 从统计结果可以看出，经过一个学期的反思意识培养，实验班与控制班之间的优秀生与学困生成绩差异明显，解题反思对高效策略获得的促进作用体现在后续解题中,并且反思对优生的促进作用比对差生的促进作用明显。

(二)能明显改善学生的数学学习兴趣，提升学生的学习动力

兴趣水平量表的使用：该量表包括15个陈述句，每个句子描述一种学生对数学感兴趣的行为和特征，要求被试如实做出回答，答题为是非题（见附录）。每题一分，总分15分，第3,6,9,10,12题是答“否”得一分，其余试题答“是”得一分。此表就整个班的得分，不再区分优秀生与学困生。

表3 实验班与控制班兴趣测验结果统计（前测）

班级 实验班 控制班 显著性水平 有效试卷 55 56 兴趣平均分 10.98 10.83 Z=0.288 p>0.05 标准差 6.78 6.24 从上表可以看出，两个班对学习数学的兴趣无明显差异，兴趣平均分还可以。经过半年后，重新对两个班进行数学兴趣水平调查，发放试卷111份，回收111份，回收率100%。统计结果见表4。

表4 实验班与控制班兴趣测验结果统计（后测）

班级 实验班 控制班 显著性水平 有效试卷 55 56 兴趣平均分 13.68 11.23 Z=5.775 p<0.01 标准差 4.53 4.11 从上表可以看出，经过一个学期的反思意识培养，两个班的数学兴趣均有所提高，实验班提高的更快一些，说明解题后反思意识的培养有助于学生数学学习兴趣的提高，进而提升学生的学习动力。

(三) 能有效开发解题智慧，提高思维能力，提升学生应试能力

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表5 2010学年高二数学联赛获奖对比

班级 实验班 控制班 县三等奖人数 4 2 县二等奖人数 2 1 县一等奖人数 1 0 从上表可以看出，经过一个学期的反思意识培养，实验班竞赛获奖的人数与档次明显优于控制班。

结论：

通过反思意的识培养，能明显改善学生的数学学习兴趣，有效解决学生知识点易混淆的通病，更快速有效的找准解题突破口，使用高效策略,放弃低效策略,促进知识的同化和迁移，开发解题智慧，提高思维能力，提升学生的应试能力；长期坚持下去，不仅能进一步培养学生的乐观、勤奋、勇敢、镇定等优秀思维品质，同时可使学生思维的深刻性、批判性、广阔性，灵活性和创新性得以锻炼和提高，达到减负增效的目的。

七、问题与思考

1、个别学生完成自我提问单时，注重形式，缺乏实质性的思考。在交流活动上，学生的参与度不均衡，个别学生参与交流的积极性不够，在小组活动中，常有不友好、不倾听、不分享的现象。个别性格内向学生只作为一个旁观者，而不是参与者；

2、解题反思能够提高差生解题正确率,但也会延长差生的解题时间，如何寻找平衡点； 3、反思的策略与方法仍不够多样，且不同的年龄段思维的方式有所不同，该如何逐步实施存在困惑，还需进一步探索研究。

八、与课题相关的获奖或发表的论文

论文名称 培养反思意识，突破数学学习瓶颈 探索解后反思新路，有效提高教学效益 养成自主反思习惯 发展自我教育能力 【参考文献】 1．《剖析错因，反思教学》?徐永忠?数学通报?2003.10 2．《理清解题思路》?刘月红?师范教研?2003年1月版

3．《数学解题思维策略》?刘云章,赵雄辉?湖南教育出版社?1999年3—4月

4．《浅谈如何在数学教学中培养学生的解题反思能力[J].数学通报》?苗建成?2007年46卷 5．《中学数学学困生问题解决中的元认知知识、技能培训》?郭海杰?首都师范大学?2004 6．《数学解题学引论》?罗增儒?陕西教育出版社?2002.4

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发表或获奖 衢州教育教育科研版 市二等奖 县二等奖 时间 2010．9 2010．12 2011．6

附录：数学学习兴趣水平测试题

每个题目若符合自己的情况在题号前打“√”，不符合的打“×” 1. 我对数学课兴趣最大。 2. 我很希望上数学课。

3. 上数学课时我经常希望快些下课。

4. 课下我喜欢翻阅数学教师尚未讲过的内容。 5. 数学课上我常积极思考老师提出的问题。 6. 我对数学课不感兴趣。 7. 我希望就某些问题老师讲的深些

8. 我常用学过的数学知识去思考解决生活中的一些实际问题。 9. 我希望老师不布置作业。 10.我觉得学习数学是一种负担。 11.我很愿意解难度较大的数学问题。

12.如果课前知道数学课上不了，我会感到很高兴。 13.数学课上我的思维很活跃。

14.我很喜欢搞清数学概念之间的联系与区别。 15.我经常就数学问题请教别人。

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