【创新方案】2015届高考数学(新课标版,文)二轮复习专题训练：专题7 第1讲 几何证明选讲(选修4-1)]

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专题七 选修4系列

第一讲 几何证明选讲(选修4－1)

1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)

如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为

PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：

(1)BE＝EC； (2)AD·DE＝2PB2.

解：(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD， 故∠PAD＝∠PDA.

因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，

∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB， 所以∠DAC＝∠BAD，从而 因此BE＝EC.

(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.

因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB

. 由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，

2

所以AD·DE＝2PB. 2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.

(1)证明：∠D＝∠E；

(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．

解：

(1)由题设知A，B，C，D四点共圆， 所以∠D＝∠CBE.

由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.

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(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上． 又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD. 所以AD∥BC， 故∠A＝∠CBE.

又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.

由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．

3．(2014·辽宁高考)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且 PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.

(1)求证：AB为圆的直径；

(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.

证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD. 由于PD为切线，

故∠PDA＝∠DBA，又由于∠PGD＝∠EGA， 故∠DBA＝∠EGA，

所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA. 由于AF⊥EP， 所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°，故AB是直径．

(2)连接BC，DC. 由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB.

于是∠DAB＝∠CBA. 又因为∠DCB＝∠DAB，

所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.

由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角． 于是ED为直径，由(1)得ED＝AB.

4．(2013·辽宁高考)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：

(1)∠FEB＝∠CEB； (2)EF2＝AD·BC.

解：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.

π

由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝

2

π

又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，从而∠FEB＝∠EAB.

2

故∠FEB＝∠CEB.

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1．平行线等分线段定理

(1)那么在其他直线上截得的线段也相等．

(2)推论1(3)推论2：经过梯形一腰的中点，2．平行线分线段成比例定理

(1)定理：三条平行线截两条直线，

(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) 3．相似三角形的判定与性质

(1)判定定理1，两三角形相似．

判定定理2：两边对应成比例并且夹角相等，两三角形相似． 判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．

(2)性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线、似比．

性质定理2：相似三角形的面积比等于相似比的平方．

(3)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比

4．射影定理

直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．

5．圆周角与圆心角定理

(1)(2)

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 6．圆内接四边形的性质与判定定理

(1)性质定理1性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．

(2)判定定理：如果一个四边形的对角互补，推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 7．圆的切线的性质及判定定理

(1)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

(2) 8．弦切角的性质

定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 9．与圆有关的比例线段

(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，

(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．

(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．

(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

.

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如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，C是劣弧AB(不包括端点)上一点，直线PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且∠DAQ＝∠PBC.求证：

BDBC(1)＝ ADAC

(2)△ADQ∽△DBQ.

[师生共研] (1)因为△PBC∽△PDB，

BDPDADPD所以

BCPBACPA又因为PA＝

PB，

BDADBDBC所以，即.

BCACADAC

(2)连接AB.因为∠BAC＝∠PBC＝∠DAQ，∠ABC＝∠ADQ， 所以△ABC∽△ADQ， BCDQ即＝ ACAQBD

DQ故＝ ADAQ

又因为∠DAQ＝∠PBC＝∠BDQ， 所以△

ADQ∽△DBQ

.

判定两个三角形相似的四种常用方法

(1)两角对应相等，两三角形相似；

(2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； (3)三边对应成比例，两三角形相似； (4)相似三角形的定义． 1.

如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．

EC1EDDC

(1)若，＝1，的值；

CB3DAAB

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(2)若EF2＝FA·FB，证明：EF∥

CD. 解：(1)∵A，B，C，D四点共圆，

∴∠EDC＝∠EBF，又∠AEB为公共角， ∴△ECD∽△EAB， DCECED∴＝＝， ABEAEB

DC 2ECEDECED111∴ ＝·＝×＝， AB ＝EA·EBEBEA428DC2∴＝. AB4

(2)∵EF2＝FA·FB， EFFB∴＝， FAFE

又∵∠EFA＝∠BFE， ∴△FAE∽△FEB， ∴∠FEA＝∠EBF，

又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC＝∠EBF， ∴∠FEA＝∠EDC，∴EF∥CD. [例2]

(2014·兰州模拟

)如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M.

(1)求证：O、B、D、E四点共圆； (2)求证：2DE2＝DM·AC＋DM·AB.

[师生共研] (1)连接BE、OE，则BE⊥EC. 又D是BC的中点，所以DE＝BD， 又OE＝OB，OD＝OD， 所以△ODE≌△ODB.

所以∠OED＝∠OBD＝90°， 所以O、B、D、E四点共圆． (2)延长DO交圆O于点H. 因为DE2＝DM·DH＝DM·(DO＋OH)＝DM·DO＋DM·OH，

1 ＋DM 1 ， 所以DE2＝DM 2 2

所以2DE2＝DM·AC＋DM·AB.

(1)在平面几何中求角的大小，经常考虑用三角形内角和定理及其推论． (2)在圆中求角的大小经常需要用与圆有关的角的定理． 2.

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如图

，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点F.

(1)证明：A、E、F、M四点共圆； (2)若MF＝4BF＝4，求线段BC的长．

解：(1)如图，连接AM，由AB为直径可知∠AMB＝90°， 又CD⊥AB，所以∠AEF＝∠AMB＝90°， 因此A、E、F、M四点共圆．

(2)连接AC，由A、E、F、M四点共圆， 可知BF·BM＝BE·BA， 在Rt△ABC中，BC2＝BE·BA，

又由MF＝4BF＝4知BF＝1，BM＝5， 所以BC2＝5，BC＝5. [例3] (1)(2014·南京模拟)

9

如图，AB，CD是半径为1的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，若PC＝，OP

81

＝，求PD的长． 2

(2)(2014·太原模拟)如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E.

①证明：∠ADE＝∠AED；

PC

②若AC＝AP，求的值．

PA

[师生共研] (1)∵P为AB的中点， ∴OP⊥AB，

3

∴PBr－OP＝r为圆O的半径)，

2

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392

又∵PC·PD＝PA·PB＝PB2PC＝，得PD＝.

483

(2)①∵PA是切线，AB是弦， ∴∠BAP＝∠C.

又∵∠APD＝∠CPE，

∴∠BAP＋∠APD＝∠C＋∠CPE.

∵∠ADE＝∠BAP＋∠APD，∠AED＝∠C＋∠CPE， ∴∠ADE＝∠AED.

②由①知∠BAP＝∠C，

∵∠APC＝∠BPA，∴△APC∽△BPA， PCCA

∴＝又∵AC＝AP， PAAB

∴∠APC＝∠C＝∠BAP.

由三角形内角和定理可知，∠APC＋∠C＋∠CAP＝180°，∵BC是圆O的直径， ∴∠BAC＝90°，

∴∠APC＋∠C＋∠BAP＝180°－90°＝90°，

1

∴∠C＝∠APC＝∠BAP＝×90°＝30°，

3

CAPCCA

在Rt△ABC中，3，∴＝3.

ABPAAB

1．处理与圆有关的比例线段的常见思路有： (1)利用相似三角形； (2)利用圆的有关定理；

(3)利用平行线分线段成比例定理及推论； (4)利用面积关系等．

2．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦，如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理，在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向．

3.

已知圆O的弦CD与直径AB垂直并交于点F，点E在CD上，且AE＝CE. (1)求证：AC2＝CE·CD；

(2)已知CA＝5，AE＝3，求sin∠EAF.

解：(1)连接AD，则∠ACD＝∠ADC，∵CE＝AE，∴∠ACD＝∠EAC，

ACCE

∴△AEC与△CAD相似，∴＝，

CDAC

∴AC2＝CD·CE.

25

(2)CA＝5，AE＝3，∴CE＝3，CD＝，

3

1257

∴CF＝＝，则EF＝，

266

767

∴sin∠EAF＝＝.

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1．(2014·江苏高考)

如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点． 证明：∠OCB＝∠D.

证明：因为B，C是圆O上的两点， 所以OB＝OC.

故∠OCB＝∠B.

又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点， 故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角， 所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D. 2．(2014·洛阳模拟)在圆内接四边形ABCD中，AC与BD

交于点E，过点A作圆的切线交CB的延长线于点F，若AB＝AD，AD∥FC，AF＝18，BC＝15，求AE的长．

解：∵AF是圆的切线，且AF＝18，BC＝15， ∴由切割线定理知AF2＝FB·FC，即182＝FB·(FB＋15)，解得FB＝12. ∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.

又∵AF是圆的切线，∴∠FAB＝∠ADB. 则∠FAB＝∠ABD，∴AF∥BD， 又∵AD∥FC，

∴四边形ADBF为平行四边形， ∴AD＝FB＝12.

又∠ACF＝∠ADB＝∠F，∴AC＝AF＝18. ∵AD∥FC，

AEAD∴＝，解得AE＝8. 18－AEBC3．(2014·唐山模拟)

如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D在⊙O上，AD⊥AB，AD交BC于点E，点F

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在DA的延长线上，AF＝AE，求证：

(1)BF是⊙O的切线； (2)BE2＝AE·DF.

解：(1)连接BD.因为AD⊥AB，所以BD是⊙O的直径．

因为AE＝AF，所以∠FBA＝∠EBA. 又因为AB＝AC，所以∠FBA＝∠C. 又因为∠C＝∠D，∠D＋∠ABD＝90°， 所以∠FBA＋∠ABD＝90°，即∠FBD＝90°， 所以BF是⊙O的切线．

(2)由切割线定理，得BF2＝AF·DF. 因为AF＝AE，BE＝BF， 所以BE2＝AE·DF. 4．(2014·东北三校联考

)

已知PQ与⊙O相切于点A，直线PBC交圆于B，C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q.

(1)求证：AC2＝CQ·AB；

(2)若AQ＝2AP，AB3，BP＝2，求QD. 解：(1)

AB∥CD ∠PAB＝∠AQC

∠AQC＝∠ACB

PA为⊙O切线 ∠PAB＝∠ACB

AQ为⊙O切线 ∠QAC＝∠CBA

ACAB

△ACB∽△CQA AC2＝CQ·AB.

CQAC

2 AB∥CD

BPAPAB1

AP1 PC＝PQ＝QC3 QC＝33， AQ2

BP＝2，AB＝

PC＝6，

AP为⊙O切线 AP2＝PB·PC＝12 AP＝23 QA＝

3.

163

又AQ为⊙O切线 AQ2＝QC·QD QD＝

3

5．(2014·沈阳模拟)

如图，已知圆O1与圆O2外切于点P，直线AB是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A、B两点，AC是圆O1的直径，过C作圆O2的切线，切点为D.

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(1)求证：C、P、B三点共线； (2)求证：CD＝CA.

证明：(1)连接PC，PA，PB，BO2，∵AC是圆O1的直径，∴∠APC＝90°.

连接O1O2必过点P，

∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点， ∴∠BAP＝∠ACP＝α，∴∠AO1P＝2α. 由于O1A⊥AB，O2B⊥AB，

∴∠BO2P＝π－2α，∴∠O2BP＝α. 又∠ABP＋∠O2BP＝90°，∴∠ABP＋∠BAP＝90°， ∴C、P、B三点共线．

(2)∵CD切圆O2于点D，∴CD2＝CP·CB. 在△ABC中，∠CAB＝90°，又∵AP⊥BC，

2

∴CA＝CP·CB，故CD＝CA. 6．(2014·忻州模拟

)

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD.

(1)求证：直线AB是⊙O的切线；

1

(2)若tan∠CED＝，⊙O的半径为3，求OA的长．

2

解：(1)如图，连接OC，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB. ∵OC是⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线．

(2)∵ED是直径，∴∠ECD＝90°，∴∠E＋∠EDC＝90°， 又∠BCD＋∠OCD＝90°，∠OCD＝∠EDC， ∴∠BCD＝∠E，又∠CBD＝∠EBC，

BCBD

∴△BCD∽△BEC＝BC2＝BD·BE.

BEBC

CD1

∵tan∠CED＝BCD∽△BEC，

EC2

BDCD1∴＝ BCEC2

设BD＝x，则BC＝2x，∵BC2＝BD·BE，

2

∴(2x)＝x(x＋6)，∴BD＝2， ∴OA＝OB＝BD＋OD＝2＋3＝5.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/py3e.html