华南理工大学《高等数学》2009期末试卷答
更新时间:2024-06-09 23:38:01 阅读量: 综合文库 文档下载
2009级高等数学上考题
一. 填空题 (共5小题,每小题3分,共15分)
1.设x?0时,etanx?ex与xn是同阶无穷小,则n?_________3______; 2.设y?16!,则y(6)(x)?(?2)6; 71?2x(1?2x)39,b?;
223.若曲线y?ax3?bx2的拐点为(1, 3),则常数a??1x4.曲线y?(2x?1)e的渐近线方程为y?2x?1;
5.f(x)?lnx在x0?1处带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式为
111(x?1)?(x?1)2?(x?1)3???(?1)n?1(x?1)n?o((x?1)n).
23n二. 计算下列各题 (共4小题,每小题5分,共20分)
x2?x1.已知f(x)?,指出函数的间断点及其类型.
|x|(x2?1)x1?0,x2?1,x3??1为间断点……….2分
x2?xx2?x?f(0?0)?lim??1,f(0?0)?lim?1,
x??0?x(x2?1)x??0x(x2?1)x2?x1x2?x1f(1?0)?lim?,f(1?0)?lim?,
x?1?0x(x2?1)x?1?0x(x2?1)22x(x?1)x2?xf(?1?0)?lim???,f(?1?0)?lim???,………3分,从而
x??1?0?x(x?1)?x?1?x?1?0?x(x2?1)x1?0为第一类跳跃间断点,x2?1为第一类可去间断点,x3??1为第二类无穷型间断点.1分
22??lnx?a,x?12.设函数f(x)??在点x?1处可导,求a,b的值.
b(x?1)??1,x?1?ef?1??f?1?0??f?1?0?f(1)?0?limlnx2?a2?lim?eb(x?1)?1?,ln1?a2?0,a?0
x?1?0x?1?0?3分 f??(1)f?x??f?1?ln1x??1??lim?lim? x?1?0x??10x?1x?11 1
bx?1f?x??f?1?e???1f??(1)?lim?lim?b,由可导知f??(1)?f??(1)?f?(1),b?1….2分…
x?1?0x?1?0x?1x?12arctanx?ln3.已知limx?0xn1?x1?x?C?0,试确定常数n和C的值.
用罗比达法则…….2分 n?3,C??2……….3分 4.lim(n??114n?12?14n?42?????14n?n22).
??14?x20dx…………3分 ??6……………………..2分
三. 解答下列各题 (共3小题,每小题6分,共18分) 1.由方程xy?2x?y?0确定了隐函数y?y(x),求微分dy.
d?eylnx?2x?y??eylnx?lnxdy?ydlnx??2dx?dy?0……………5分
即xylnxdy?xyy2x?ydx?2dx?dy?0,dy?dx……………1分 yxx?1?xlnx??x?t?ln(1?t)d2y2.求由参数方程?所确定函数的二阶导数2. 32dx?y?t?tdyd2y(6t?5)(t?1)?(3t?2)(t?1)……………3分 ?…….3分 2dxtdx3.已知函数f(x)连续,g(x)??t2f(t?x)dt,求g'(x).
0xg(x)??(u?x)2f(u)du….3分 g'(x)??2?uf(u)du?2x?-x00?x?x0f(u)du…3分
四. 解答下列各题(共4小题,每小题6分,共24分)
1?sinxdx???sec2x?tanxsecx?dx?tanx?secx?c…….6 1.?2cosx2.?arctan116x?1dx.
令x?1?u,则x?1?u2??2,当x?1时u?0,当x?16时u?3,……2分
22原式=
?30arctanud?1?u22???1?u?3arctanu0??30?1?u?du……………3分
2 2
?16??u316?????u???23……………………….1分 3?33?0??1dx. 3.?x2?x1e?e=limb???3?b1exdx11??x?1b?1?? ?limarctane?limarctane????2x2b???b???e?eee4?4e?1b4.已知三点M(1,2,?1),A(2,3,?1)和B(1,3,0),计算:(1)以MA,MB为邻边的平行四边形的面积;(2)求同时垂直于MA,MB的单位向量n0.
?S?MA?MB?{1,?1,1}?3……3分 n0???3{1,?1,1}……….3分 3五. 解答下列各题(共2小题,每小题6分,共12分) 1.求r?2sin?和r2?cos2?围成图形的公共部分的面积.
?1623142S??(2sin?)d????cos2?d?..4分 =?……………2分
203226?2.求由曲线y?ex,x?1,x?2及x轴所围成的平面图形绕y轴旋转所成立体的体积.
V?2??xf(x)dx=2??xexdx…………4分 ?2?e2………2分
1221六. 证明下列各题(共2小题)
1.(本题6分)设函数f(x)在(??,??)上连续,利用定义证明函数F(x)??f(t)dt在
0x(??,??)上可导,且F'(x)?f(x). F(x??x)?F(x)?lim=limx?x?0?xn?0?xx??xf(t)dt?x,……………..2分
因为f(x)在(??,??)上连续,由积分中值定理得
F(x??x)?F(x)f(?)?x??f(?),其中??x???x,0???1………..2分
?x?0?x?xlim再利用f(x)的连续性得 limf(?)?f(x).故F'(x)?f(x) .2分
?x?02.(本题5分)设函数f(x)在[0,1]上连续,且?f(x)dx?0,?xf(x)dx?1,试证:
0011 3
(1)存在 ??[0,1],使得f(?)?4;
(2)若f(x)在[0,1]上可导,则存在??(0,1),使得f'(?)?4.
11(1)1??(x?)f(x)dx?02?10x?12f(x)dx,由积分第一中值定理的,存在
1??[0,1],使得?101x?211f(x)dx?f(?)?x?dx?f(?),故存在 ??[0,1],使
024得f(?)?4……….3分
(2)由积分中值定理,存在c?[0,1],使得?f(x)dx?f(c)?0.由拉格朗日中值定理,
01则存在??(0,1),使得f(?)?f(c)?f'(?)(??c)?f'(?),由(1)知f'(?)?4. …………………..2分
4
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