华南理工大学《高等数学》2009期末试卷答

2009级高等数学上考题

一. 填空题 (共5小题,每小题3分,共15分)

1．设x?0时,etanx?ex与xn是同阶无穷小,则n?_________3______； 2．设y?16!，则y(6)(x)?(?2)6； 71?2x(1?2x)39，b?；

223．若曲线y?ax3?bx2的拐点为（1, 3），则常数a??1x4．曲线y?(2x?1)e的渐近线方程为y?2x?1；

5.f(x)?lnx在x0?1处带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式为

111(x?1)?(x?1)2?(x?1)3???(?1)n?1(x?1)n?o((x?1)n)．

23n二. 计算下列各题 (共4小题,每小题5分,共20分)

x2?x1．已知f(x)?，指出函数的间断点及其类型．

|x|(x2?1)x1?0,x2?1,x3??1为间断点……….2分

x2?xx2?x?f(0?0)?lim??1,f(0?0)?lim?1,

x??0?x(x2?1)x??0x(x2?1)x2?x1x2?x1f(1?0)?lim?,f(1?0)?lim?,

x?1?0x(x2?1)x?1?0x(x2?1)22x(x?1)x2?xf(?1?0)?lim???,f(?1?0)?lim???,………3分，从而

x??1?0?x(x?1)?x?1?x?1?0?x(x2?1)x1?0为第一类跳跃间断点，x2?1为第一类可去间断点，x3??1为第二类无穷型间断点.1分

22??lnx?a,x?12．设函数f(x)??在点x?1处可导，求a,b的值．

b(x?1)??1,x?1?ef?1??f?1?0??f?1?0?f(1)?0?limlnx2?a2?lim?eb(x?1)?1?,ln1?a2?0,a?0

x?1?0x?1?0?3分 f??(1)f?x??f?1?ln1x??1??lim?lim? x?1?0x??10x?1x?11 1

bx?1f?x??f?1?e???1f??(1)?lim?lim?b，由可导知f??(1)?f??(1)?f?(1),b?1….2分…

x?1?0x?1?0x?1x?12arctanx?ln3．已知limx?0xn1?x1?x?C?0，试确定常数n和C的值．

用罗比达法则…….2分 n?3,C??2……….3分 4．lim(n??114n?12?14n?42?????14n?n22)．

??14?x20dx…………3分 ??6……………………..2分

三. 解答下列各题 (共3小题,每小题6分,共18分) 1．由方程xy?2x?y?0确定了隐函数y?y(x)，求微分dy．

d?eylnx?2x?y??eylnx?lnxdy?ydlnx??2dx?dy?0……………5分

即xylnxdy?xyy2x?ydx?2dx?dy?0,dy?dx……………1分 yxx?1?xlnx??x?t?ln(1?t)d2y2．求由参数方程?所确定函数的二阶导数2． 32dx?y?t?tdyd2y(6t?5)(t?1)?(3t?2)(t?1)……………3分 ?…….3分 2dxtdx3．已知函数f(x)连续，g(x)??t2f(t?x)dt，求g'(x)．

0xg(x)??(u?x)2f(u)du….3分 g'(x)??2?uf(u)du?2x?-x00?x?x0f(u)du…3分

四. 解答下列各题(共4小题,每小题6分,共24分)

1?sinxdx???sec2x?tanxsecx?dx?tanx?secx?c…….6 1．?2cosx2．?arctan116x?1dx．

令x?1?u，则x?1?u2??2，当x?1时u?0，当x?16时u?3，……2分

22原式=

?30arctanud?1?u22???1?u?3arctanu0??30?1?u?du……………3分

2 2

?16??u316?????u???23……………………….1分 3?33?0??1dx． 3．?x2?x1e?e=limb???3?b1exdx11??x?1b?1?? ?limarctane?limarctane????2x2b???b???e?eee4?4e?1b4．已知三点M(1,2,?1),A(2,3,?1)和B(1,3,0),计算：(1)以MA,MB为邻边的平行四边形的面积；(2)求同时垂直于MA,MB的单位向量n0．

?S?MA?MB?{1,?1,1}?3……3分 n0???3{1,?1,1}……….3分 3五. 解答下列各题(共2小题,每小题6分,共12分) 1．求r?2sin?和r2?cos2?围成图形的公共部分的面积．

?1623142S??(2sin?)d????cos2?d?..4分 =?……………2分

203226?2．求由曲线y?ex,x?1,x?2及x轴所围成的平面图形绕y轴旋转所成立体的体积．

V?2??xf(x)dx=2??xexdx…………4分 ?2?e2………2分

1221六. 证明下列各题(共2小题)

1．(本题6分)设函数f(x)在(??,??)上连续，利用定义证明函数F(x)??f(t)dt在

0x(??,??)上可导，且F'(x)?f(x)． F(x??x)?F(x)?lim=limx?x?0?xn?0?xx??xf(t)dt?x，……………..2分

因为f(x)在(??,??)上连续，由积分中值定理得

F(x??x)?F(x)f(?)?x??f(?)，其中??x???x，0???1………..2分

?x?0?x?xlim再利用f(x)的连续性得 limf(?)?f(x).故F'(x)?f(x) .2分

?x?02．(本题5分)设函数f(x)在[0,1]上连续，且?f(x)dx?0，?xf(x)dx?1，试证：

0011 3

（1）存在 ??[0,1]，使得f(?)?4；

（2）若f(x)在[0,1]上可导，则存在??(0,1)，使得f'(?)?4．

11（1）1??(x?)f(x)dx?02?10x?12f(x)dx，由积分第一中值定理的，存在

1??[0,1]，使得?101x?211f(x)dx?f(?)?x?dx?f(?)，故存在 ??[0,1]，使

024得f(?)?4……….3分

（2）由积分中值定理，存在c?[0,1]，使得?f(x)dx?f(c)?0.由拉格朗日中值定理，

01则存在??(0,1)，使得f(?)?f(c)?f'(?)(??c)?f'(?)，由（1）知f'(?)?4. …………………..2分

4

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pxw6.html