高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题2.14 超越方程反解难巧妙构造变简单

高考数学压轴题 高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题2.14 超越方程反解难巧妙构造变简单

【题型综述】

导数研究超越方程

超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解． 在探求诸如0109623=-+-x x x ，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决．

此类题的一般解题步骤是：

1、构造函数，并求其定义域．

2、求导数，得单调区间和极值点．

3、画出函数草图．

4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况求解．

【典例指引】

例1．已知函数()ln f x ax x x =+在2x e -=处取得极小值． （1）求实数a 的值；

（2）设()()()2

2ln F x x x x f x =+--，其导函数为()F x '，若()F x 的图象交x 轴于两点()()12,0,,0C x D x 且12x x <，设线段CD 的中点为(),0N s ，试问s 是否为()0F x '=的根？说明理由．

【思路引导】

（1）先求导数，再根据()20f e -'=，解得1a =，最后列表验证（2

因

为，利用21112ln 0x x x --=，22222ln 0x x x --=得

，

其

高考数学压轴题

（2）由（1）知函数()2

2ln F x x x x =--． ∵函数()F x 图象与x 轴交于两个不同的点()()12,0,,0C x D x ，（ 12x x <）， ∴21112ln 0x x x --=，22222ln 0x x x --=． ． ，∵120x x <<，∴01t <<，即

高考数学压轴题

又01t <<，∴()0u t '>，

∴()u t 在()0,1上是増函数，则()()10u t

u <=，

，即()0F s '=不成立． 故s 不是()0F

x '=的根．

例2（1）当3,2a b ==时，求函数()f x 的单调区间；

（2，其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率立，求实数a 的取值范围．

（3）当0,1a b ==-时，方程()f x mx =在区间21,e ????内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．

【思路引导】

（1）先求导数()'f x 然后在函数的定义域内解不等式()'0f x >和 ()'0f x <的区间为单调减区间；（2）先构造函数()F x 再由以其图象上任意一点(

)00,P x y 为切点的切线

（3）

先把握()f x mx =

高考数学压轴题

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()'0f x >，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()'0f x <，解不等式得x 的范围就是递减区间．

例3．已知函数

（） （1）讨论的单调性；

（2）若关于的不等式 【思路引导】
的解集中有且只有两个整数，求实数 的取值范围．
（1）求出 ，分两种情况讨论，分别令
得增区间，令
得减区间；（2）
，令
，利用导数研究其单调性，结合零点定理可得结果．
试题解析：
（1）
，当 时， 在
上单调递增，在
单调递减；
上单调递减，在
单调递增；当 时， 在
（2）依题意
，
，
令
，则
，
令
，则
，即 在
上单调递增．
又 存在唯一的
， ，使得
， ．
当
，
在 单调递增；
当
，
在
单调递减．
，
，
，
且当 时，
，
又
，
，
．
故要使不等式
解集中有且只有两个整数， 的取值范围应为
．
【同步训练】1．已知函数 f x te2x x 1 （ t R ），且 f x 的导数为 f x ．2高考数学压轴题

高考数学压轴题 （Ⅰ）若()()2

F x f x x =+是定义域内的增函数，求实数t 的取值范围； （Ⅱ）若方程()()2

22f x f x x x +=--'有3个不同的实数根，求实数t 的取值范围． 【思路引导】

（Ⅰ）只需()0f x '≥，

求出()min g x 即可得结果；（Ⅱ）

原方程等价于

令()0h x '=，解得3x =-或1x =．

列表得：

高考数学压轴题

，此时()0h x >． 因此当3x <-时，；当31x -<<时，

；当1x >时， ，因此实数t 的取值范围是 2．已知函数图象的一条切线为x 轴．（1）求实数a 的值；（2）令，若存在不相等的两个实数1

2,x x 满足()()12g x g x =，求证： 121x x <．

【思路引导】

（1）对函数求导，由题可设切点坐标为()0,0x ，由原函数和切线的斜率为0可得方程组，解方程组得a 值；

（2）利用导数与函数单调性的关系，判断()g x ，利用导数判断出()G x 的单调性，最后可令1201x x <<<，利用()G x 单调性可得结论．

高考数学压轴题

()()(),1{,01

h x x g x h x x ≥=-<<且()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ()10g =，

当1x >时， 记函数()y f x ='的导函数为()y f x =''，则

高考数学压轴题

3．已知函数()()ln f x a x x =+（0a ≠），()2

g x x =． （1）若()f x 的图象在1x =处的切线恰好也是()g x 图象的切线．

①求实数a 的值；

②若方程()f x mx =在区间内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．

（2）当01a <<时，求证：对于区间[]1,2上的任意两个不相等的实数1x ， 2x ，都有

【思路引导】

（1）①首先求函数()f x 的图象在1x =处的切线，， ()'12f a =，又因为切点为()1,a ，所以切线方程为2y ax a =-，于是问题转化为直线2y ax a =-与函数()g x 图象相切，于是可以根据直线与抛物线相切进行解题；②问题转化为方程ln x x mx +=

研究()

t x的单调性、极值，转化为直线y m

=与()

y t x

=

有且只有一个交点，（2）当01

a

<<时，()

f x在[]

1,2上单调递增，()2

g x x

=在[]

1,2上单调递增，设12

12

x x

≤<≤，则()()

12

f x f x

<，()()

12

g x g x

<，于是问题转化为()()()()

2211

f x

g x f x g x

-<-，构造函数()()()

F x f x g x

=-，通过函数()

F x在[]

1,2上单调递减，可以求出a的取值范围．

()

'0

t x>，函数单调递增，()

,e+∞，()

'0

t x<，函数单调递减，

，且()

,

x e

∈+∞时，()1

t x>，

证明：（2）不妨设

12

12

x x

≤<≤，则()()

12

f x f x

<，()()

12

g x g x

<，

可化为()()()()

2121

f x f x

g x g x

-<-

∴()()()()

2211

f x

g x f x g x

-<-

设()()()

F x f x g x

=-，即()()2

ln

F x a x x x

=+-，∴()

F x在[]

1,2上单调递减，

高考数学压轴题

高考数学压轴题

在[]1,2上恒成立， ，∴1a ≤， 从而，当01a <<时，命题成立． 4．已知函数()()ln , 2.718

f x x x e ==． （1）设()()()2216

g x f x x e x =+-++，

①记()g x 的导函数为()g x '，求()g e '； ②若方程()0g x a -=有两个不同实根，求实数a 的取值范围； （2）若在[]1,e 上存在一点0x 使()()

20011m f x x ->+成立，求实数m 的取值范围． 【思路引导】 （1）①对()g x 进行求导，将e 代入可得()g e '的值；②对()g x 进行二次求导，判断()g x '的单调性得其符号，从而可得()g x 的单调性，结合图象的大致形状可得a 的取值范围；

（2）将题意转化为，题意等价于()h x 在[]1,e 上的最小值小于0，对()h x 进行求导，对导函数进行分类讨论，判断单调性得其最值．

高考数学压轴题 （2

）由题可得()2

000ln 11m x x x ->+，∴000011ln m x x x x ??->+ ??

?，∴00001ln 0m x m x x x +-+<， 1m ，则()h x 在[]1,e 上的最小值小于0，

1，当1m e +≥时，即1m e ≥-， ()h x 在[]1,e 上递减，所以()0h e <，解得 2，当11m +≤即0m ≤， ()h x 在[]1,e 递增，∴()10h <解得2m <-；

3，当11m e <+<，即01m e <<-，此时要求()10h m +<又()0ln 11m <+<，

所以()0ln 1m m m <+<，

所以()()12ln 12h m m m m +=+-+>此时()10h m +<不成立，

综上2m <-或 点睛：本题考查导数的运用：求考查函数与方程的联系单调区间最值，同时考查不等式的存在性转化为求函数的最值问题，正确求导是解题的关键．在正确求导的基础上，利用导数与0的关系得到函数的单调区间，

高考数学压轴题 也是在高考中的必考内容也是基础内容；注意存在性问题与恒成立问题的区别．

5．已知函数()()233x f x x x e =-+?．

（1）试确定t 的取值范围，使得函数()f x 在[]2,(2)t t ->-上为单调函数；

（2）若t 为自然数，则当t 取哪些值时，方程()()0f x z x R -=∈在[]2,t -上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数z 的取值范围．

【思路引导】

（1）先求函数导数，根据导函数零点确定函数单调区间，再根据[]2,t -为某个单调区间的子集得t 的取值范围，（2）结合三次函数图像确定t 的取值范围：当2t ≥,且t N ∈时，方程()0f x z -=在[]2,t -上有可能有三个不等实根，再根据端点值大小确定实数z 的满足的条件： ()(){}()(){}()

max 2,1,min 0,z f f f f t ∈-，最后解不等式可得实数z 的取值范围．

只需满足()(){}()()

{}()max 2,1,min 0,z f f f f t ∈-即可． ，且()()()2230f t f e f ≥=>=， 因而()()()()()2102f f f f f t -<<<≤，

高考数学压轴题

所以()()10f z f <<，即3e z <<，

综上所述，当2t ≥,且t N ∈时，满足题意，此时实数z 的取值范围是(),3e ． 6是函数()f x 的一条切线． （1）求a 的值；

（2，都存在[]21,4x ∈，使得()()12f x g x =，求b 的取值范围；

（3）已知方程()f x cx =有两个根1212,()x x x x <，若()1220g x x c ++=，求证: 0b <． 【思路引导】

（1）对函数()f x 求导，设直函数()f x 相切与点

()20000,ln (0)x x ax x +>，（2）对任意的1[1,x ∈ 都存在[]21,4x ∈，使得()()12f x g x =，只需要()1f x 的值域是()2g x 值域的子集，利用导数的方法分别求()1f x 、()2g x 的值域，即可求出b 的取值范围；（3）根据题意得

()()2211

{

f x cx f x cx ==,两式相减得，

，所以

则()0,1t ∈，1t

+

(2) 由（1）得 f x lnx 1 x2 ，所以 f ' x 1 x 1 x2 ，当 x (1， e] 时， f x 0 ，所以
2
x
x
f x 在 1, e 上 单 调 递 减 ， 所 以 当 x (1 ，
e] 时 ， f x f min
e 1e ， 22
f x min

f
1


1 2
,
g
'x


1 x2
1
1 x2 x2
，当 x 1, 4 时，
g ' x 0 ，所以 g x 在1, 4上单
调递增，所以当 x 1, 4 时，
g
x min

g
1

2
b, g
x max

g
4

17 4
b
，依题意得

1 2

e 2
,
1 2

2

b,
17 4

b

2 ，所以{17
b
b
1 2
e 2 1
，解得
19 4

b


3 2

e 2
．
4
2
(3)
依
题
意
得
{
f f
x2 x1


cx2 cx1
,两式相减得
lnx2

lnx1


1 2
x22 x12
c x2 x1
，所以
c lnx2 lnx1 x2 x1
x2 x1
2
，方程
g x1 x2 2c 0
可转化为
7．已知函数
（ 为自然对数的底数，
），
，
．
（1）若
，
（2）若 时，方程
，求 在 上的最大值 的表达式； 在 上恰有两个相异实根，求实根 的取值范围；
高考数学压轴题

（3）若
，
，求使 的图象恒在 图象上方的最大正整数 ．
【思路引导】 (1)先求函数导数，根据定义域 以及 取值分类讨论导函数是否变号，确定函数单调性，进而确定函数最值，(2)作差函数，求导得原函数先减后增，因此要有两个相异实根，需极小值小于零，两个端点值大 于零，解不等式可得 的取值范围； (3)实际为一个不等式恒成立问题，先转化为对应函数最值问题（利用 导数求差函数最小值），再研究最小值恒大于零问题，继续求导研究函数单调性，并结合零点存在定理限制 或估计极点范围，最后范围确定最大正整数 ． 试题解析：
(1)
时，
,
；
①当 时，
， 在 上为增函数，此时
，
②当 时，
，在
故 在 上为增函数，此时
③当 时，
，在
上为增函数， 上为增函数，在
上为减函数，
若
，即 时，故 在
上为增函数，在
上为减函数，
此时
若
，即
时， 在 上为增函数，则此时
，
综上所述：
（2） ∴在 ∴
，
，
上单调递减，在
上单调递增，
在 上恰有两个相异实根，
实数 的取值范围是
， ，
高考数学压轴题

8．设函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；

（3）若方程，有两个不相等的实数根，比较与0的大小．

【思路引导】

(1)先求函数导数,再求导函数零点 ,根据定义域舍去,对进行讨论, 时，，单调增区间为．时,有增有减;(2) 函数有两个零点，所以函数必不单调,且最小值小于零,转化研究最小值为负的条件:,由于此函数单调递增,所以只需利用零点存在定理探求即可,即取两个相邻整数点代入研究即可得的取值范围,进而确定整数值,（3）根据，所以只需判定大小,由

高考数学压轴题

可解得,代入分析只需比

较大小, 设,构造函数

,利用导数可得最值,即可判定大小．

(3)证明：因为是方程的两个不等实根，由(1)知．不妨设，则，．两式相减得，

即．所以．因为，

高考数学压轴题

点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．

高考数学压轴题

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