北京师范大学附属中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(精品解析)

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广东省深圳市宝安区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题

一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）

1.已知集合

0，1，，，则

A.

B.

C. 0，

D. 1， 【答案】A

【解析】

【分析】

解一元二次不等式，求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】解：，0，1，； ．

故选：A ．

【点睛】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．

2.化简

的值为

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】 根据两角和的余弦公式可得：

，故答案为C. 3.函数的定义域是

A.

B.

C.

D. 【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数成立的条件即可求函数的定义域． 【详解】解：要使函数有意义，则

， 得，即， 即函数的定义域为

故选：A ．

【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．函数的定义域主要由以下

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2 2 方面考虑来求解：一个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零.

4.如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

因为点是的中点，所以，

点是的中点，所以，

所以，故选D.

5.若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】 利用函数的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案． 【详解】解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到，

由得：， 即平移后的图象的对称轴方程为，

故选：B ．

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2 3 【点睛】本题考查函数

的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题．

6.已知函数（）的最小值为8，则（ ） A. B. C. D.

【答案】A

【解析】 因为在上单调递减，在上单调递增，所以， 令，则在上单调递增， 又，，所以存在零点.故选A. 7.已知为三角形内角，且，若，则关于的形状的判断，正确的是

A. 直角三角形

B. 锐角三角形

C. 钝角三角形

D. 三种形状都有可能

【答案】C

【解析】

【分析】 利用同角平方关系可得，，结合可得，从而可得的取值范围，进而可判断三角形的形状． 【详解】解：，

，

为三角形内角，，

为钝角，即三角形

为钝角三角形 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了利用同角平方关系的应用，其关键是变形之后从的符号中判断的取值范围，属于三角函数基本技巧的运用．

8.(2016高考新课标III ，理3)已知向量

, 则ABC = A. 30 B. 45 C. 60 D. 120

【答案】A

【解析】

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2 4 试题分析：由题意，得，所以，故选A ． 【考点】向量的夹角公式．

【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．

9.函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（ ）．

A.

B.

C.

D. 【答案】D

【解析】

是奇函数，故

；又 是增函数，，即 则有 ，解得

，故选D. 【点睛】 解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为

，再利用单调性继续转化为

，从而求得正解. 10.已知函数

的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

由图可知

,

，

，

当 时

，

，该对称中心为

时， ，当 时， ，所以对称中点为 ，故选C.

1 【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用利用图像先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求使解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点，用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点) 时；“第二点”(即图象的“峰点”) 时；“第三点”(即图象下降时与轴的交点) 时；“第四点”(即图象的“谷点”) 时；“第五点”时.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.函数的值域为，则实数a的取值范围是______．

【答案】.

【解析】

∵函数的值域为，∴，解得或，则实数a的取值范围是，故答案为.

12.设函数的图象关于y轴对称,且其定义域为,则函数在上的值域为________.

【答案】

【解析】

∵函数的图象关于y 轴对称，且其定义域为

∴，即，且为偶函数

∴，即

∴

∴函数在上单调递增

∴，

∴函数在上的值域为

故答案为

点睛：此题主要考查函数二次函数图象对称的性质以及二次函数的值域的求法，求解的关键是熟练掌握二次2 5

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2 6 函数的性质，本题理解对称性很关键．

13.已知函数

，若关于x 的方程有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是______． 【答案】

【解析】

【分析】

由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程根的个数，由图象可得答案． 【详解】解：由题意作出函数的图象，

关于x 的方程

有两个不同的实根等价于 函数

与有两个不同的公共点， 由图象可知当

时，满足题意， 故答案为：．

【点睛】本题考查方程根的个数，数形结合是解决问题的关键，属基础题．

14.已知函数

，正实数m ，n 满足，且，若在区间上的最大值为2

，则______． 【答案】

【解析】

【分析】 由正实数满足，且，可知且

,再由在区间上的最大值为2，可得出求出、，从而可得的值. 【详解】，正实数满足，且，

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2 7 由对数函数的性质知

，

，可得

， 所以， 又函数在区间

上的最大值为2 , 由于

， 故可得，即， 即，即， 可得

， 则，故答案为.

【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及对数函数的图象、值域与最值，意在考查对基本性质掌握的熟练程度以及综合应用所学知识解答问题的能力，求解本题的关键是根据对数函数的性质判断出

，以及，本题属于难题. 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）

15.已知集合

=R . (1)求

; (2)求(A);

(3)如果非空集合,且A ,求的取值范围.

【答案】(1)(2)(3)

. 【解析】 试题分析：（1）化简集合、，根据并集的定义写出

；（2）根据补集与交集的定义写出；（3）根据非空集合与，得出关于的不等式，求出解集即可． 试题解析：(1)∵=== ∴

(2)∵

A = ∴

A)

(3)非空集合 ∴，即

∵A

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2 8 ∴

或

即或 ∴ 16.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若

，则=___________. 【答案】

【解析】

试题分析：因为

和

关于

轴对称，所以

，那么

，

（或

）， 所以

. 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式 【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则

，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则. 17.如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处，第一种是从A 沿直线步行到C ，第二种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到某旅客选择第二种方式下山，山路AC 长为1260m ，从索道步行下山到时C 处经测量，，，求索道AB 的长．

【答案】索道AB 的长为1040m ．

【解析】

【分析】 利用两角和差的正弦公式求出

，结合正弦定理求AB 即可 【详解】解：在中，，，

，

， 则， 由正弦定理得得，

1 则索道AB的长为1040m．

【点睛】本题主要考查三角函数的应用问题，根据两角和差的正弦公式以及正弦定理进行求解是解决本题的关键．

18.已知函数，，且．

求实数m的值；

作出函数的图象并直接写出单调减区间．

若不等式在时都成立，求m的取值范围．

【答案】（1）（2）详见解析，单调减区间为：；（3）

【解析】

【分析】

由，代入可得m值；

分类讨论，去绝对值符号后根据二次函数表达式，画出图象．

由题意得在时都成立，可得在时都成立，解得即可

【详解】解：，

由得

即

解得：；

由得，

即

则函数的图象如图所示；

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10 单调减区间为：

； 由题意得在时都成立， 即在时都成立， 即在时都成立， 在时，

，

． 【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求法，零点分段法，分段函数，由图象分析函数的值域，其中利用零点分段法，求函数的解析式是解答的关键．

19.已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为

．

Ⅰ求和的值；

Ⅱ若，求的值． 【答案】（1）

；（2）.

【解析】 试题分析：（1）由两个相邻的最高点的距离可求得周期，则，函数为，由函数关于直

线对称，可

知，结

合

可求

得的值；（2）

对

进行三角恒等变换，可求得

的值，又

为锐角，可求得，再利用三角恒等变换求得值.

试题解析：（1）由题意可得函数的最小正周期为，

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再根据图象关于直线对称，可得

结合，可得

（2）

再根据

考点：三角函数的周期与初相，三角恒等变换. 20.设函数

且

是奇函数．

求常数k 的值； 若

，试判断函数

的单调性，并加以证明；

若已知，且函数在区间

上的最小值为，求实数m 的值．

【答案】（1）；（2）

在上为单调增函数；（3）

．

【解析】

试题分析：（1）根据奇函数的定义，恒成立，可得值，也可用奇函数的必要条件

求出值，

然后用奇函数定义检验；（2

）判断单调性，一般由单调性定义，设，判断的正负（因式分解

后判别），可得结论；（3）首先由

，得

，这样就有

，这种函数的最值求法是用换元法，即设

，把函数转化为二次函数的问题，注意在

换元过程中“新元”的取值范围． 试题解析：（1）函数的定义域为 函数（且）是奇函数

，

（2）

设、为上两任意实数，且

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，，

，

，即 函数在上为单调增函数．

（3）

，

，解得或

且，

（） 令（），则 当时，，解得，舍去 当时，，解得

考点：函数的奇偶性、单调性，函数的最值．

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