高等数学第三章

第三章 导数与微分

一、本章提要

1. 基本概念

瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分． 2. 基本公式

基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式． 3. 基本方法

⑴ 利用导数定义求导数；

⑵ 利用导数公式与求导法则求导数； ⑶ 利用复合函数求导法则求导数； ⑷ 隐含数微分法； ⑸ 参数方程微分法； ⑹ 对数求导法；

⑺ 利用微分运算法则求微分或导数．

二、要点解析

问题1 从瞬时速度出发论述导数的实际意义，并列举一些常见变化率.

解析 对于作变速直线运动的质点，若位移变量s与时间变量t之间的函数关系为

s?s(t)，当t从t变化到t??t时，在间隔?t内的平均速度为

s(t??t)?s(t)，此式只反

?t映了在t点附近速度变化的快慢程度，即为t时刻速度的近似代替量，欲使其过渡到精确值，必须使?t?0，即t时刻瞬时速度为v(t)?lims(t??t)?s(t)，也即瞬时速度反映函数

?t?0?ts?s(t)在t时刻函数的变化率（导数），所以导数的实际意义表示函数在此点变化的快慢程

度．

常见的变化率：

⑴ 曲线y?f(x)的切线斜率意义；

dy是纵坐标y对横坐标x的变化率，这是导数的几何 dxdQ是电荷Q对时间t的变化率； dtdm⑶ 线密度是质量m对长度l的变化率；

dldQ⑷ 比热容是热量Q对温度θ的变化率，

dθ⑵ 电流强度

以及人口出生率，经济增长率，化学反应速度等等．

问题2 讨论函数的可导性及如何求函数的导数？

解析 1. 我们知道，函数的连续性只是可导性的必要条件． 函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数f'?(x0)与右导数f'?(x0)存在并且相等，即

f'(x0)?f'?(x0)?f'?(x0)

1

因此，要判定一个函数在某点是否可导，可先检查函数在该点是否连续，如果不连续，就一定不可导，如果连续，再用下面两种方法判定：

⑴ 直接用定义；

⑵ 求左、右导数看其是否存在而且相等．

当然，也可以不先检查连续性而直接用两种方法判定，但对于不连续函数，先检查连续性往

往比较方便．

2. 由于在科学技术和工程中所遇到的函数大多是初等函数．因此，我们把求初等函数的导数作为求导的重点．先是根据导数的定义，求出了几个基本初等函数——幂函数、正弦函数、余弦函数、对数函数与指数函数的导数．然后再用定义推出了几个主要的求导法则—求导的四则运算法则、复合函数的求导法则与反函数的求导法则． 借助于这些法则和上述的几个基本初等函数的导数公式，求出了其余的基本初等函数的导数公式．在此基础上解决了基本初等函数的求导问题．下面是我们解决这个问题的思路：

导数的定义 基本初等函数的导数 式公求导的四则运算法则 复合函数的求导法则反函数的求导法则 初等函数的导数 还需指出的是关于分段函数在分界点的求导问题． 例如，有一定义于(??,??)的函数

??(x),???x?a, f(x)????(x),a?x???,其中?(x)与?(x)分别在区间???x?a与a?x???可导，x?a为其分界点，求

f'(x)．

⑴ ???x?a时，由于f(x)??(x)，所以f'(x)??'(x)； ⑵ a?x???时，由于f(x)??(x)，所以f'(x)??'(x)；

⑶ 在x?a的左、右邻域，由于f(x)要从两个不同的表达式?(x)与?(x)去计值，所以求f'(a)必须先用左、右导数的定义求f'?(a)与f'?(a)．如果它们都存在而且相等，那么f'?(a)=f'?(a)=f'(a)．在这里特别注意求左、右导数要按照定义

f(a??x)?f(a)?(a??x)??(a)?lim?，

?x?0?x?0?x?xf(a??x)?f(a)?(a??x)??(a)?lim? f'?(a)?lim?．

?x?0?x?0?x?x f'?(a)?lim?我们不要因为当???x?a时，f(x)??(x)而认为f'(a)??'(a). 在???x?a

2

时，f'(x)??'(x)是对的，这在上面已经说过但不能误认为?'(a)就是f'(a)，有时f'(a)可能不存在，如下例所示：

证明函数

?1?,x?1， f(x)??x

2??x,x?1在x?1处的导数不存在．

因为

f(1??x)?f(1)(1??x)2?1f'?(1)?lim?lim?lim(2??x)?2， ???x?0??x?0?x?0?x?x1?1f(1??x)?f(1)1 f'?(1)?lim??lim?1??x?lim?(?)??1，

?x?0?x?0?x?0?x?x1??x所以f'(1)不存在．

问题3 为什么说复合函数求导法是函数求导的核心？复合函数求导法的关键是什

么？

解析 复合函数求导法是函数求导的核心在于：利用复合函数求导法可以解决复合函数的求导问题，而且还是隐含数求导法、对数求导法、参数方程求导法等的基础．

复合函数求导法的关键是：将一个比较复杂的函数分解成几个比较简单的函数的复合形式. 在分解过程中关键是正确的设置中间变量，就是由表及里一步步地设置中间变量，使分解后的函数成为基本初等函数或易于求导的初等函数，最后逐一求导． 求导时要分清是对中间变量还是对自变量求导，对中间变量求导后，切记要乘以该中间变量对下一个中间变量（或自变量）的导数．当熟练掌握该方法后，函数分解过程可不必写出．

例1

设y?lnsin(1x)，求y'.

22解 令y?lnu，u?v，v?sinw，w?1x，由复合函数求导法则有

y'?y'u?u'v?v'w?w'x?(lnu)'u?(v2)'v?(sinw)'w?(1x)'x

?11?2v?cosw?(?2)?ux11121?2sin?cos?(?2)??2cot， 21xxxxxsinx1如果不写中间变量，可简写成 y'x?(lnsin21)'x?x1111?(sin2)'x?sin2?2sin?(sin)'x 1xxxxsin2x1 3

?1sin21sin21x1x?2sin111?cos?()'x xxx ??2sin11121?cos?(?2)??2cot， xxxxx在相当熟练之后，可进一步简写成 y'x?(lnsin21)'x?x11121?2sin?cos?(?2)??2cot．

xxxxx21sinx1问题4 微分概念在实际应用中有何实际意义？微分与导数有何区别？ 解析 微分概念的产生是解决实际问题的需要．计算函数的增量是科学技术和工程中经常遇到的问题，有时由于函数比较复杂，计算增量往往感到困难，希望有一个比较简单的方法．对可导函数类我们有一个近似计算方法，那就是用微分dy去近似代替?y，根据函数的微分定义知

dy?f'(x)dx(dx??x)

是函数增量

?y?f'(x)?x?o(?x)

的线性主部，它有两个性质：

（1）dy是?x的线性函数；

（2）?y与dy之差是?x的高阶无穷小（当?x?0）．正是由于性质（1），计算?y的近似值dy是比较方便的，同时由于性质（2），当?x很小时，近似程度也是较好的．因此，

dy打交道的人，dx?ydy在自己所要求的精确范围内，往往就用微分dy去代替增量?y，用差商代替导数．

?xdx一些科学工作者、工程师以及在实际工作中必须同函数的增量?y或导数

微分还有一个重要性质，就是微分形式不变性，即不论是一个自变量还是一个变量的函数，y?f(u)的微分dy?f'(u)du这一形式不变．需要说明一点是：当u为自变量时，作为定义，du??u；当u是另一个变量的函数时，du??u．

微分与导数是两个不同的概念．微分是由于函数的自变量发生变化而引起的函数变化量的近似值，而导数则是函数在一点处的变化率. 对于一个给定的函数来说，它的微分跟x与?x都有关，而导数只与x有关. 因为微分具有形式不变性，所以提到微分可以不说明是关于哪个变量的微分，但提到导数必须说清是对哪个变量的导数．

三、例题精解

4

例2

若f(x)在点x0处可导，求

limh?0f(x0??h)?f(x0??h)．

h解 因为f(x)在点x0处可导，所以 limh?0f(x0?h)?f(x0)?f'(x0)

h因此 limh?0f(x0??h)?f(x0??h)

h ?lim[?h?0f(x0??h)?f(x0)f(x0??h)?f(x0)??]

?h??h ??f'(x0)??f'(x0)?(???)f'(x0)．

例3

?ex,x?0,设f(x)??当a,b为何值时，f(x)在x?0处连续且可导.

?a?bx,x?0,xx?0x?0x?0x?0f(x)?lime?1,limf(x)?lim(a?bx)?a， 解 因为lim????所以欲使f(x)在x?0处连续，须有

f(x)?limf(x)?f(0)， lim??x?0x?0由此解得a?1，又

f(x)?f(0)ex?1?lim?1， f'?(0)?limx?0?x?0?xx f'?(0)?lim要使f'(0)存在，则b?1．

故当a?b?1时，f(x)在x?0处连续且可导． 例4

设函数?(u)可微，求函数y?ln?2(sinx)的微分dy．

x?0?f(x)?f(0)(1?bx)?1?lim?b， x?0?xx??解一 因为y'?1'?2?(sinx)??(sinx)cosx，所以 2?(sinx)dy?2?(sinx)??'(sinx)?cosxdx．

?2(sinx)5

解二 由一阶微分形式不变性得 dy?112d?(sinx)??2?(sinx)d?(sinx)

?2(sinx)?2(sinx)2?(sinx)2?(sinx)?'(sinx)cosx?'(sinx)d(sinx)?dx． 22?(sinx)?(sinx) ?例5

设f(x)?sinxsin3xsin5x，求f''(0).

解一 利用乘积求导法则

xsin3xsin5x?3sinxco3sxsin5x?5sinxsin3xco5sx. f'(x)?cos继续用乘积求导法则求导得

f''(x)??35sinxsin3xsin5x?30sinxcos3xsin5x? 10cosxsin3xcos5x?6cosxcos3xsin5x， 所以 f''(0)?0．

解二 对函数先用和差化积公式得

f(x)?sinxsin3xsin5x?()sinx(cos2x?cos8x)

12141 f'(x)?()(?cosx?3cos3x?7cos7x?9cos9x)，

41 f''(x)?()(sinx?9sin3x?49sin7x?81sin9x)，

4 ?()(?sinx?sin3x?sin7x?sin9x)， 所以 f''(0)?0．

解三 利用“可导的奇（偶）函数的导数为偶（奇）函数”. 由f(x)为奇函数知f'(x)为偶函数，f''(x)为奇函数，又因为奇函数在x?0处函数值为零，知f''(0)?0.

比较上述方法知解三较优.

?x?a(t?sint),d2y例6已知摆线的参数方程?求2．

?y?a(1?cost),dx解一 利用参数方程求导法求导

dya(1?cost)'sint??， dxa(t?sint)'1?cots 6

dsint()d2yddycost(1?cost)?sintsint1dt1?cost ?()???22dxdxdxa(1?cost)dx(1?cost)dt ??1． 2a(1?cots)解二 利用导数为微分之商求得

dyasintdtsint， ??dxa(1?cots)dt1?cots(1?cots)cotsdtsintsintdtdy?d()d2y?1(1?cots)2(1?cots)2dx ． ???22dxa(1?cots)dtdxa(1?cots)例7 求由x?xy确定的y?f(x)在?1,1?处的切线方程.

y解 方程两边取对数，得 方程两边对x求导得

lnx?x?11lnx?lny，即xlnx?ylny， yx11?y'lny?y??y'， xy于是，y'?1?lnx，y'(1,1)?1．

1?lny所以，切线方程为y?1?x?1，即y?x?0．

例8 设有一深为18cm，顶部直径为12cm的正圆锥形漏斗装满水，下面接一直径为10cm的圆柱形水桶（如图所示），水由漏斗流入桶内，当漏斗中水深为12cm，水面下降速度为1cm/s时，求桶中水面上升的速度.

解 设在时刻t漏斗中水面的高度h?h(t)，漏斗在高为h(t)处的截面半径为r(t)，桶中水面高度H?H(t).

⑴ 建立变量h与H的关系，

由于在任意时刻t，漏斗中的水与水桶中的水量之和应等于开始时装满漏斗的总水量，则

()r(t)h(t)?5πH(t)?6π， 又因

π3223r(t)h(t)1?，所以r(t)?()h(t)，代入上式得 61837

(π3)h(t)?25πH(t)?63π． 27⑵ h'(t)与H'(t)之间的关系 将上式两边对t求导得

()h(t)h'(t)?25πH'(t)?0，

π92h2(t)?h'(t)， 所以 H'(t)??9?25由已知，当h(t)?12cm时，h'(t)??1cms，代入上式得

h(t)12216?(?1)?(cms)， H'(t)??9?2525因此，当漏斗中水深为12cm，水面下降速度为1cms时， 桶中水面上升速度为

H(t)16cms. 25四、练习题

1.判断正误

⑴ 若函数y?f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处一定可导； （ × ） 解析 函数在一点可导的充要条件是函数在该点的左右导数存在并且相等．如函数

??x,x?0,f(x)?x在x?0处可导，而f(x)?x?? 在x?0处左右导数存在但不相

x,x?0?等，所以f(x)在x?0处不可导．

⑵ 若f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处一定可导； （ × ） 解析f(x)在一点可导，f(x)在该点不一定可导．如函数f(x)????1,x?0,

1,x?0,?f(x)?1在x?0处可导，但f(x)在x?0处却不可导．

⑶ 初等函数在其定义域内一定可导； （ × ） 解析 初等函数在其定义区间内连续，但连续不一定可导．如函数y?数，其定义区间为???,???，但y?x2是初等函

x2?x 在x?0点处却不可导．

⑷ 若y?f(x)在(?a,a)可导且为奇（偶）函数，则在该区间内，f'(x)为偶（奇）函数； （ √ ）

8

解析 ① 若y?f(x)为奇函数，即f(?x)??f(x)，则由导数定义

f?(?x)?limf(?x??x)?f(?x)?x?0?x

??f(x??x)?f(x?lim)x?0?x ?f?x????x???f(x?lim)x?0??x ?f?(x)，

所以f'(x)为偶函数．

② 若y?f(x)为偶函数，即f(?x)?f(x)，则由导数定义

f?(?x)?f(?x??x)?f(?x)?limx?0?x

?limf(x??x)?f(x)?x?0???x

fx????x???f(x)?limx?0??x???1? ??f?(x)，

所以f'(x)为奇函数．

⑸ 若y?f(x)在点x0处可微，则f(x)在点x0处也一定可导. 解析 因为函数在一点处可微和可导是等价的，所以命题正确.

2.选择题

⑴y?x?1在x?1处（ A ）；

（A）连续； （B）不连续； （C）可导； （D）可微． 解析 y?x?1???x?1,x?1,?1?x,x?1,

lim(xlim?1?f(x)?limx?1?(1?x)?0，limx?1?f(x)?x?1?x?1)?0，所以limx?1f(x)?0，且f(1)?0，则limx?1f(x)?f(1)，所以函数y?x?1在x?1处连续； 另一方面，ff(1??x)?f(1)??(1)?lim?0??x ?lim??x?0?x?x?0??x ??1，

f?(1)?f(1??x)?f(1)?x?0? ?lim?limx?0??x?x?0??x ?1， 左右导数存在但不相等，所以函数y?x?1在x?1处不可导，也不可微．

9

√ ）（ ⑵y?xx(x?0)的导数为（ D ）； （A）xxx?1； （B）xlnx； （C）xxxx?1?xxlnx； （D）xx(lnx?1)．

解析 y?xx?exlnx，由复合函数求导法

y??exlnx[(x)??lnx?x(lnx)?]?exlnx(lnx?1)?xx(lnx?1)．

⑶下列函数中（ A ）的导数等于()sin2x；

（A）()sinx； （B）()cos2x； （C）()sin2x； （D）()cosx．

12122121212211??2sinx??sinx??sinx?cosx?sin2x， 221??1 （B）[()cos2x]????sin2x???2x???sin2x， 221??1（C）[()sin2x]??cos2x??2x??cos2x， 2211?2?1 （D）[()cosx]??2cosx??cosx???cosx?sinx??sin2x． 222解析 （A）[()sinx]?212?⑷若f(u)可导，且y?f(ex)，则有（ B ）；

（A）dy?f'(ex)dx； （B）dy?f'(ex)exdx； （C）dy?f(e)edx； （D）dy?[f(e)]'edx．

x解析 y?f(e)可以看作由y?f(u)和u?e复合而成的复合函数

xxxxx由复合函数求导法 y??f?(u)e????f?(u)?exx，

所以 dy?y??dx?f'(e)edx．

(10)⑸已知y?sinx，则y． ?（ C ）

xx（A）sinx； （B）cosx； （C）?sinx； （D）?cosx．

x，则y??cosx，y????sinx，y?????cosx，y(4)?sinx，依次类解一 y?sin推，可知y(8)?sinx，所以y(10)??sinx．

(n)x?解二 ?sin3. 填空题

?sinx(?nπ)，所以?sinx?(10)?sin(x?5π)??sinx． 2⑴ 曲线y?lnx上点(1,0)处的切线方程为y?x?1；

10

解 曲线在(1,0)点的切线斜率为 y?x?1??lnx??x?1?1x?1，

x?1所以曲线y?lnx在(1,0)点处的切线方程为 y?x?1．

⑵作变速直线运动物体的运动方程为s(t)?t2?2t，则其运动速度为v(t)?

2t?2，加速度为a(t)?2；

解 已知变速直线运动的速度是位移的变化率，加速度是速度的变化率，则有 运动速度为 v(t)?s?(t)?(t2?2t)??2t?2， 加速度为 a(t)?v?(t)?(2t?2)??2．

f(3?h)?f(3)??1；

h?02hf(3?h)?f(3)f?3?(?h)??f(3)1?lim?(?) （由导数定义） 解 limh?0h?02h?h211?(?)?f?(3)?(?)?2??1．

221dx； ln(1?x)?⑷d1?x11????1?x?dx ??dx． 解 d?ln1(?x)? ??ln(1?x)?dx ?1?x1?x⑶已知f'(3)?2，则lim⑸若f(u)可导，则y?f(sinx)的导数为

f?(sinx)?cosx?12x．

解 y?f(sinx)由y?f(u)，u?sinv，v?有 y??f?(u)?u?(v)?v?(x)

x复合而成，由复合函数求导法，

?f?(u)?cosv?12x

?f?(sinx)?cosx?4. 解答题

⑴ 设f(x)?e,g(x)?lnx，求f'?g'(x)?；

x12x．

解 f?(x)?e????exx， g?(x)??lnx???1 x11所以 f?[g?(x)]?f?[]?ex．

x

11

1?2?xsin,x?0,⑵ 已知f(x)??求f'(x)； x?x?0,?0,11111?x2?cos(?2)?2xsin?cos， xxxxx??x?2sin1?x?lim?x?sin1?0， x?0时，f?(0)?limf(0??x)?f(0)?lim?x?0?x?0?x?0?x?x?x2?解 x?0时，f'(x)?(xsin)?2x?sin1x11??2xsin?cos,x?0,所以 f'(x)?? xx?x?0．?0,⑶ 求曲线x2?y2?2x?3y?2?0的切线，使该切线平行于直线2x?y?1?0； 解 由隐函数求导法有 2x?2yy??2?3y??0， 所以曲线切线的斜率为 y??222?2x，

2y?3设切点坐标为?x0,y0?，则 x0?y0?2x0?3y0?2?0， ① 又知所求切线平行于直线2x?y?1?0，所以

y??x0,y0??2?2x0??2， ②

2y0?3联立①、②，解得切点坐标为?2,?1?和?0,?2?，

因此，所求切线方程为 y?1??2(x?2)和y?2??2(x?0)， 即 2x?y?3 和 2x?y??2．

⑷设f(x)在点x?0处连续，且limx?0f(x)?A（A为常数），证明f(x)在点x?0处x可导；

证 limx?0f(x)f(x)?A，则 limf(x)?lim?x?A?0?0，

x?0x?0xxx?0又因为f(x)在点x?0处连续，所以limf(x)?f(0)， 则 f(0)?0， 于是 f?(0)?limx?0f(x)?f(0)f(x)?0f(x)?lim?lim?A， x?0x?0xxx12

所以f(x)在点x?0处可导，且f?(0)?A．

⑸ 有一圆锥形容器，高为10cm，底半径为4cm，现以5cm3/s的速度把水注入该容器，求当水深5cm时水面上升的速度：（a）圆锥顶点在上；（b）圆锥顶点在下.

解 设t时刻容器内水的体积为V(t)，水面高度为h(t)，液面半径为r(t)， （a）圆锥顶点在上，容器截面如右图所示：

r10?h?， 4102h所以 r?4?，

51212所以 V(t)?π4?10?πr(10?h)

33160π12h??π(4?)2(10?h)

335由三角形的相似关系，有

r h 4 10 π24h24h3?(48h??)， 3525dV?48h12h2dh?(48??)， 则 dt3525dtdVdh5?5cm3min时，解得?cmmin， dtdt4π5cmmin． 所以当水深5cm时水面上升的速度为4π当h?5cm，

（b）圆锥顶点在下，容器截面如右图所示

rh由三角形的相似关系，有 ?，

4102h所以 r?， 10 5h 12π2h24π3h， 所以 V(t)?πrh?()h?33575dV4π2dh?h则 ， dt25dtdVdh5?5cm3min时，解得?cmmin， 当h?5cm，dtdt4π5cmmin． 所以当水深5cm时水面上升的速度为4π

4 r 13

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