电磁场与电磁波 - 章三习题答案

第3章 恒定磁场

点评：

1、3-5题Jm???M??ez??(Az2?B)??ez?ez2Az?0，这里用到了恒等式，课本344页A3-6

????A?????A????A当A=ez，?=Az2?BJm???M??ez??(Az2?B)??ez?ez2Az?0

2、3-17题。这是一个近似求解，题目表述不太清楚。这里应该是l1＞＞l2，因为l1＞＞l2，因此w1影响可以忽略不计。

1、一个半径为a的导体球带电荷量为Q，以匀角速度? 绕一个直径旋转，求球心处的磁感应强度B。

解：球面上的电荷面密度为：

?s?Q 4?a2当球体以均匀角速度?绕一直径旋转时，球面上位置矢量r?era点处的电流线密度为：

Js=?sv=?s??r=?sez??era?e???sasin?Q?sin? =e?4?a 图3－1

将球面划分为无数个宽度为dl?ad?的细圆环，则球面上任一个宽度为dl?ad?的细圆环的电流为

dI?Jsdl=?Qsin?d?

4?细圆环的半径为b?asin?，圆环平面到球心的距离d?a|cos?|，利用电流圆环的轴线上的磁场公式可得该细圆环电流在球心处产生的磁感应强度为：

3?0?Q2asin3?d???Qsin?d?0 dB?ez ?e?ezz22(b2?d2)3/2?8a(2si?n?a2c?o2s3)/2?a8?0b2dI故整个球面电流在球心处产生的磁感应强度为：

B?ez??0?0?Qsin3?d???Q?ez0

8?a6?a

3、若无限长半径为a的圆柱体中电流密度J?ez(r?4r)，r≤a，试求圆柱体内外的磁感应强度。

解：取圆柱坐标系，当r≤a时，通过半径为r的圆柱电流为

2?r8??1Ii??J?ds??ez(r2?4r)?ezds??d??(r2?4r)rdr???r4?r3?

ss003??2由 ??B?dl??0Ir

l2求得 B?e??0?当r≥a时

?1342?r?r? 43??a8??1I0??d???r2?4r?rdr???a4?a3?

003??2由 ??B?dl??0I0

2?l求得 B?e??0?143?4a?a? ?r?43?25、半径为a的磁介质球，其磁化强度为M?ez(Az?B)，其中A、B均为常数。若采用安培电流模型，求磁化电流体密度Jm和磁化电流面密度Jms。

解：磁介质球内的磁化电流体密度为

Jm???M??ez??(Az2?B)??ez?ez2Az?0

磁介质球表面的磁化电流面密度为

Jms?M?n|r?a?ez?er(Aa2cos2??B)?e?(Aa2cos2??B)sin?

9、无限长直线电流I垂直于磁导率分别为?1和?2的两种磁介质的分界面，试求两种媒质中的磁感应强度B1的B2。

解：设电流方向为z轴方向，介质分界面向右的方向为x轴方向。由安培环路定理得

2?r?I?I所以 B1??0H?e?0，B2??H?e? 图3－9

2?r2?r10、一根极细的圆铁杆和很薄的圆铁盘放在磁场B0中并使它们的轴与B0平行。求两样

品内的B和H。如已知B0=1T，?=5000?0，求两样品内的M。

解：对于极细的圆铁杆样品，根据边界条件H1t?H2t可得

H?e?I

H=H0=B0/?0，B??H??B， ?00?1??4999M??H???1?B0?B0

?0?0??0??0B对于很薄的圆铁盘样品

B?B0，H?B??B0?，M??11?4999B0 ?H????B0??0??5000?0?0?B11、已知y＜0区域为磁性介质，其相对磁导率?r＝5000，y＞0的区域为空气。试求：⑴ 当空气中的磁感应强度B0?ex0.5?ey10mT时，磁性介质中的磁感应强度B；⑵ 当磁性介质中的磁感应强度B0?ex10?ey0.5mT时，空气中的磁感应强度B0。

解：⑴ 设磁性媒质中的磁感应强度为

B?exBx?eyBy

根据边界条件B1n?B2n和H1t?H2t，有

Bx0.5?

5000?0?0可得Bx?2500, By??10，所以，边界上空气中的磁感应强度

By??10, B0?ex2500?ey10 mT

⑵ 设空气中的磁感应强度为B0?exB0x?eyB0y，则由边界条件可得

10, B0y?By?0.5

?05000?0B0x?0.002, B0y?0.5

?所以，边界上空气中的磁感应强度

B0?ex0.002?ey0.5 mT

17、两个长的平行矩形线圈放置在同一平面上，长度分别为l1和l2，宽度分别为w1及w2，两线圈最近边的距离为s。

证明：两线圈的互感是

B0xM??0l2w2?sln 2??w2?s?1??w?s?1?设l1＞＞l2，两线圈都只有一匝，且已略去端部效应。

证明：由于l1＞＞l2，因此可以近似认为线圈1 图3－17

中的电流在线圈2的回路中产生的磁场与两根无限长平行直线电流产生的磁场相同。线圈1中的电流I1在线圈2的回路中产生的磁场为：

B12?与线圈2交链的磁通为

?0I1?11????

2??rr?w1??12??11????l2dr ?rr?w1??S?w1?w2???0I1l2?(S?w1)(S?w2)??0I1l2??S?w2??ln??ln????? ??ln?2???S?S?w2?S(S?w?w)?1???12??0I1S?w2??S2所以两线圈的互感为：

M?

?12?0l2?(S?w1)(S?w2)??ln?? I12??S(S?w1?w2)?

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