初中数学，开放题的几个案例及其教育价值

开放题的几个案例及其教育价值

【摘要】目前，数学开放题已成为数学教学领域的热点和亮点，被认为是当今最富有价值的题型之一。现行初中数学教材中的数学题大多是封闭题，而实践表明封闭题已不能完全满足新课程数学素质教育的要求，所以，关注初中数学开放题并用之于数学教学实践就显得特别有价值。笔者在学习相关文献的基础上，结合平素教学案例，主要对其内在的教育价值予以分析和阐述。 关键词：数学 开放题 教学案例 教育价值

一、开放题的涵义

数学开放题是对数学问题自身结构、解题的思维过程进行研究，以及对他们进行外在形式分类的结果，数学开放题是相对数学封闭题而言的。除了和封闭题的相对对立这样一点外，国际上对于什么是数学开放题这一概念还没有取得完全一致的意见。从查阅的文献资料看，学者们多从问题命题要素的特点来分析数学开放题的涵义，归纳起来主要有以下三类：

1、答案不确定的数学问题

日本的泽田利夫认为：“有几种正确答案似乎都带有可能条件的问题，称为未完结的问题、开放的问题，??目的在于使之思索集中得出答案的方法和过程，??动机在于培养造就数学的思考方法和处理方法的能力和态度”1；有多种正确答案、结果是开放的题，这类问题给予学生以自己喜欢的表达方式解答问题的机会，在解题过程中，学生可以把自己的知识、技能以各种方式结合，去发现新的思想方法2；答案不唯一的问题成为开放题3；数学开放题是指那些答案不唯一、并在设问方式上要求学生进行多方位、多角度、多层次探索的数学习题。

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2、条件不完备，结论不确定的数学问题。

如条件多余需选择，条件不足需补充的或答案不固定的数学问题5；问题不

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泽田利夫，从“未完结问题”提出的算术、数学课的教学方案，外国教育，1980年（4）。 刘学质，问题解决在美国和日本，数学教学，1993（2）。 3

俞求是，中学数学教科书中的开放题，中学数学教学参考，1999（4）。 4

戴再平主编，开放题——数学教学的新模式，上海教育出版社，2002。 5

王万祥，《中学数学习题理论研究》。

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必有解、答案不必唯一，条件可以多余6；数学开放题是相对于传统中条件完备、结论确定的封闭题而言的，是指那些条件不完备、结论不确定的数学问题7；开放型问题是指题目的条件不完备或结论不明确，从而蕴涵着多种可能性，要求解题者自行推断8。

3、数学开放题是指条件开放（条件在不断变化）、结论开放（多结论或无结论）、策略开放（可以采用多种方法和途径去解决）的问题。

具有多种不同的解法、或有多种可能的解答，??笼统地称之为问题的开放性（郑毓信，1994）。9一个数学问题，如果它的答案不唯一或者有多种解法，就称这个问题为开放题。10

综上所述，和传统意义上的数学习题比较起来，这类题目的最大特点就是条件的开放和答案不确定，这样的问题对解题者来说没有直接的解决问题的方法，往往需要解题者对问题建立自己的理解之后，联系已有的知识和经验，尝试对问题进行解答。因为问题解决过程的个性化，导致问题解决结果的多样性。本文对数学开放题的理解是数学开放题是答案不唯一或者有多种解法，需要解题者进行多层次、多角度的理解和探索的题目。

二、数学开放题在教学实践中的类型和特点分析

从不同的分类角度可以把数学开放题进行不同的分类，常见的分类方式有按命题要素分类、按答案结构分类、按解题目标分类等等11，根据初中学生的年龄特点，笔者在课堂教学中所选用的开放题主要是按命题要素分类的，即条件开放型、策略开放型、结论开放型、综合开放型四种类型。借助具体的题例分析数学开放题的特点。 （1）条件开放题

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陈昌平，关于问题解决（problem-solving），数学教学，1995（6）。 刘萍，数学开放题与学生主体意识的培养，中学数学，2008年（9）。 8

孙耀庭，结合教材编制开放性问题，数学通讯，2006（5）。 9

郑毓信，《问题解决和数学教育》，江苏出版社，2004。 10

朱乐平，小学数学开放题的含义和分类，小学教学，1999年（4）。 11

戴再平，开放题——数学教学的新模式，上海教育出版社，p39。

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数学命题一般可根据思维形式分为“假设－推理—判断”三个部分。如果数学开放题的未知要素是假设，则为条件开放题。下面一个例题就是笔者在《平行四边形》的教学中选用的条件开放题。

例1：已知：如图2-1，四边形ABCD,仅从下列条件中任取两个加以组合,能得出四边形ABCD是平行四边形的结论。①AB∥CD②BC∥AD③AB=CD④BC=AD

图2-1

分析：这是一道条件开放题，题目给出了部分条件及确定的结论，目的在于考察学生对平行四边形判定的理解和应用，要求学生深入认识题中的内在联系，填写出能得到结论的两个条件就能解决。 （2）策略开放题

如果数学开放题的未知要素是推理，则为策略开放题。这类题目从题设出发，去探索结论成立的多种途径或最优途径，具体表现为一题多解、一题多变引申推广、最优方案设计等。在有理数的运算教学中笔者使用了下面这个例题： 例2：请用你认为比较简便的方法计算：

分析：本题有以下几种的具有代表性解题方法 方法1：直接通分，相加后约分。 方法2：

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方法3:

其中方法1是常规方法，方法2提出了与常规方法不相同的方法，体现了化归思想。方法3运用了一种数学方法，即把分数拆分成两个分数的差，抵消互为相反数，得到计算结果。显然比前两种方法更新颖、简便，容易引起思维的震憾。 （3）结论开放题

数学开放题的未知要素是判断，则为结论开放题。这类题目从同一条件出发去探求多种不同的结论，主要考查和培养学生的发散能力和应用能力。在初三函数部分期末复习时笔者举了这样一个例子：

例3：已知函数图像经过A(3，3)、B(1，－1)两点，请你导出满足上述条件的函数解析式，并简要说明解答过程。

分析：该题由于函数解析式的类型未知，因此所确定的函数可能为直线、双曲线、抛物线等，结论不确定，是一道结论开放题。此题既考察数学基本方法——待定系数法，又能训练学生思维的逻辑性和严密性。 （4）综合开放题

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如果数学题只给出一定的情境，其条件、解题策略与结论都要求主体在情境中自行设定与寻找，这类题目可成为综合开放题。对于这种问题，由于答题者思考角度与经验背景不同，必然会提出多种多样的解题策略，这样的问题，其条件、解题策略与结论都呈现极大的开放性。

例4：如图2-2，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，给出5个论断： ①CD⊥AB，②BE⊥AC，③AE=CE，④∠ABE=30°，⑤CD=BE． (1)如果论断①、②、③、④都成立，那么论断⑤一定成立吗?

(2)从论断①、②、③、④中选取3个作为条件，将论断⑤作为结论，组成一个真命题，那么你选的3个论断是．(只需填论断的序号)

(3)用(2)中你选的3个论断作为条件，论断作为结论，组成一道证明题，画 出图形，写出已知、求证，并加以证明。

图2-2

分析：这是综合开放题，它从等边三角形及其两条高中写出5个论断，然后加以组合来研究新命题．它虽然难度不高，却令人颇感新意，从命题的层层推进到解题，体现出对灵活思维的要求，同时也能促进思维的发展。

三、开放题的应用及教育价值（附课堂观察案例）

数学开放题本身蕴涵的广阔时空和思维内容，常常具有丰富的思维材料、多样的思维方向和解题途径，它使学生能更加自然的进行自主探索、亲身实践、合作交流，让学生的数学学习活动真正成为一个感受发现的乐趣、获得丰富的学习

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体验的过程。笔者结合教学实践，选取学生发展和教师成长两个维度将其教育价值概括如下：

（一）促进学生发展

1、有助于培养学生的问题意识，促进学生的数学理解和数学思维能力的发展。

例如：浙教版八年级上7.2.2一节中的探究活动-----正方形边上的点数n与各边上的点数和s之间的函数关系，这是一个策略开放问题，笔者在教学中鼓励学生积极思考并阐述自己的想法，记录如下：

学生1：s=4n-4,理由是每条边上有n个点，4条边就是4n个，4个顶点有重复计算所以再减4

学生2：我们小组认为是4（n-1），每条边把要重复的点去掉一个再乘以4 学生3：也可以是2n+2（n-2）

学生4：我觉得可以从面积上考虑n2-（n-2）2 ﹉﹉

该题的解题过程没有固定的方法，结果虽一样但过程具有很大的开放性，需要解题者通过自己的理解，结合自己的角度和技能，探索和构建解决问题的方法。学生可以在自己理解的基础上，在自己选定的方向上用自己的方式努力。在这个过程中，学生常常可以做出多种不同的理解，选择自己喜欢的思维方式或者问题表征方式，采取不同的方式或路径解决问题。而且所有学生都可以在问题解决的过程中做出自己的努力，学生在与人交流的过程中能意识到自己有所发现，有所成就，并逐渐愿意思考、乐于思考和善于思考。

善于思考的一个重要表现就是善于提出问题和解决问题的思路。心理学的研究表明，没有问题的思维往往是被动的、肤浅的思维，思维过程也即是发现问题、推断问题和解决问题的过程。因而强烈的问题意识不仅可以体现个体思维品质的活跃性、深刻性，而且可以作为思维的动力，推动思维的展开和运作。学生在对数学开放题进行理解的同时，常常更能放开思维的视角，教师要注意在与学生互动的过程中引导学生观察、分析、概括、提炼，可以培养学生的问题意识，引导学生敢问、会问。同时，学生之间对问题做出的理解和想法本身就是一种非常丰富和珍贵的教学资源，学生们对来自同伴的理解和意见更能对他们造成某种思维

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上的冲击，更能引起他们的疑问和讨论热情。他们常常主动做出解释，和要求其他汇报的同学做出解释，不断展示思维过程。这一过程是学生对数学开放题进行分析、综合、比较等思维活动的过程。学生在不断地进行讨论、表达，会促进学生的思维碰撞，有利于培养学生思维的逻辑性、批判性和深刻性。 2、有利于培养学生创新思维能力。

开放题的解题没有固定模式可遵循，在解答过程中，可能引发不同的视角，必须打破常规的思维模式束缚，展开联想和想象的翅膀，从多角度、多方位寻找答案，因而思维方向和模式呈发散性有利于培养学生的创新意识和创新思维能力。笔者在中考第一轮复习阶段中曾采用了下面这个例题： 例５：试比较下列两个图形的异同。

分析：这两个图形的异同可从多角度来挖掘，相同点有：都是正多边形；都有外接圆；都有内切圆等等。不同点有：边数不同；对称轴不同等等。在解本题时并没有常规的解题模式可以遵循，呈发散性，如果找到一个新的角度，就会有新的答案。

数学开放题本身具备的创新性，容易激起学生的创造欲望。学生在解决开放题的过程中，通过分析后独立往往会提出一种新的解题视角或独立构造出一种新的方案，这本身就是一种创造。 在开放题的教学中，教师要引导学生根据所给的已知条件或要求对问题广泛联想，积极探索、猜想，以便寻找方法，使问题得到合理解决。数学开放题由于具有探索性和多样性，不同的问题应有不同的解题策略，需要不断研究和推敲，常常要不循常规，勇于创新，考虑的问题存在着多种可能性，这样有利于培养思维的独创性、多向性和灵活性，从而提高学生的创新思维能力。

3、有利于数学交流，促进培养学生的民主性与合作性。

数学交流是指用动作、模像、语言和符号为载体，对数学的认识、情感等进

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行表达、接受与转换12。学生通过听觉、视觉、触觉（多游戏的方式）来接受他人的数学观念和感受，同时将自己的数学观念和感受用动作的、直观的形式或者数学语言的形式表达出来。（全美数学教师协会）（NTCM）发表的《中小学数学课程与评估标准》中明确指出：把学生培养成为有数学素养的社会成员的一条重要标记就是他们会数学交流13。为促进学生交流知识构建，学习他人思考的方法，并且澄清自己的思维，笔者在命题和定理的教学中穿插了这样一个例子：

例６：在△ABC和△ADC中，下列三个论断①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC，

将其中的两个论断作为条件，另一个论断作为结论,写出一个真命题 该题是条件开放，结论也开放，3个论断中2个论断作为条件，剩余一个论断则是结论，要求学生展开联想，发散思维，根据自己的理解提出各种不同的可 以解决的问题。

由于题目的发散性，不同的学生常常因为有不同的想法得到不同的结果，这为学生与学生之间进行交流提供了较大的空间。数学开放题的课堂教学尤其重视在师生之间、生生之间有效的数学交流。教师提出要探索的问题并要求学生解释他们的想法时，教师就在推进了数学交流的过程。由于学生常常可以从不同的角度或者不同的方式对数学开放题作出自己的理解、形成不同的解题方法和多种不同的答案，因此他们更加需要表达自己的理解和发现，也会经常地要求其他同学解释和被要求做出解释来辩证自己的理解或者结论。他们的想法和观点需要在讨论和交流中相互比较和优化，而且这种来自同伴的新异观点更能引起学生的兴趣和讨论的热情。同时，学生在解决问题的过程中也会遭遇许多困难需要相互帮助和协作。这样，在教学过程中，学生可以充分发表自己的见解，并在聆听别人见解和讨论的同时，不仅学到知识，形成新的认识冲突，而且学会与人合作，学会帮助他人等。

4、有助于学生获得丰富的学习体验，建立和增强他们的参与感和自信心。 开放性问题可以促进学生比较充分地把各有的知识和经验用于解决问题之中，通过自己的观察和思考，提出自己的解题思路，使每个学生都可以从事自己力所能及的探索，优生可做得多而深些，基础差的学生也不至于无从下手。不同

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丁亿，数学交流的价值及其内容与形式，数学教学，1998（2）。 全美教师联合会（NTCM），《学校课程标准与评估标准》，人民教育出版社，1989。

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的人在不同的起点上思考同一个问题，思考的角度，使用的方法和所得的结果可能会有所不同，但他们都能在自己原有的基础上有所得、有所获、根据自己的知识和经验构造自己的数学学习活动。笔者在勾股定理教学后设计了这样一个例题：

例７：给出一组式子：

①你能发现关于式子中的一些规律吗？

②请你运用所发现的规律，或者通过试错的方法，给出第5个式子。 ③请你证明你所发现的规律。

这个开放题的起点低，学生可以根据自己的情况找到适合自己的切入点，因而能满足各种层次水平的学生的需要。

数学开放题本身有层次性，即使学习有困难的学生也能做出一种或多种答案，无论程度如何，都将使学生体验到成功的乐趣，这种快乐感会使学生心甘情愿继续寻求更多更好的东西，而没有一种无可奈何的被迫练习的感觉，从而提高他们学习的内在动力，培养学生的自信心，并能在解决问题的过程中使学生感受到数学的美和解决问题的趣味性，增强进一步学习和应用数学的信心。有利于他们形成信心——兴趣——发展能力的良性循环。此外，在与同学的合作、讨论、争论等交往过程中，能充分表达自己的思想，发挥自己的特长，体现其在社会交往中的价值，增强了与人交往的自信，尤其当学生的观点或行为得到大家的肯定和赞扬时，更能强化学生的这种对自己的积极认识。

（二）促进教师成长

1、教师可以更准确地把握学生的学习状况，进行有针对性的教学评价和反思。

传统的教学方法是试图教给学生一些特殊的技能，有经验的好教师会更多地关注解题的思维过程，但是在传统的评价模式下，教师和学生关注的仍然只是最后的答案是否正确，学生很少能获得有关他们所使用的问题解决策略或思维过程

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的任何建议或反馈。教师计划每天、每节课的教学任务，目的是为了发展学生的数学理解，而做好这一工作的前提是教师自身必须十分清楚地了解学生目前正在使用和发展着的数学知识、观念以及思维的活动如何。在教学过程中只要教师有意识地去收集这方面的数据，是很容易获得学生这方面的信息的，因为教师的每天教学中，尤其是在新知识的传授之后会很自然地提供一些需要学生解决的问题和任务。通过观察学生对这些问题和任务的解决和讨论，教师所获得的数据将会比通过一次正规的单元测试所获得的数据更丰富和更有用。它不仅能帮助教师看到学生可能在什么地方出错，在哪些地方还不清楚或没有牢固掌握，更重要的它还能帮助教师发现导致错误答案背后的原因，找到解决学生学习困惑的症结所在，在错误被当成一个事实，或发展成一个习惯之前及时地弥补和调整自己的教学14。

另外，数学开放题答案的不确定性与多样性，给学生提供了更为宽泛的探索空间，思维更为发散，他们得到的答案有些可能教师也是无法预测的。面对学生种种新颖而独特的想法以及别具一格的解答，教师要给予及时而适当的评价，这就对教师的能力提出新的挑战。在实际教学中教师除了采用现有的开放题外，还要根据教学实际设计开发新的开放题，因而，对教师的数学专业素质、教育科学素质、人文素养以及知识面等都提出更高的要求。教师要不断地提升自己的教学能力，不断地学习、探索和研究，更新教育教学理念，使自己的素质得到持续稳定的发展，才能更好地适应数学开放题的教学。可见，开放题教学有助于教师对学生学习的知识、技能，过程、方法，情感、态度、价值观等作出更全面的评价。 2、开放题的教学有利于教师转变教育观念及教学方式。

开放题的设计、参考答案的寻求、对学生的充分估计、对课堂生成的正确处理、对不同学生的分层教学都迫使每个老师不断学习，提高自身的数学底蕴和教学水平；提示教师必须转变教育观念及教学方式，而当务之急是教师必须具有创新意识和创新能力，必须冲突传统教学观念的束缚，改革教学方法，把学生真正当作学习的主体。

14 张奠宙，赵小平.让开放题教学成为“家常菜”[J].数学教学.2004（1）.3

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