必修1 第二章整理

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必修一第二章函数

一、函数的三要素——定义域、值域、对应法则 1、求定义域的各种方法 ① 整式 ② 分式

③ 开偶此方、零次幂或负数次幂的底数例题：已知函数f (x) =

例题：若函数f?x??

④ 实际背景问题

例题设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域.

⑤ 含参数问题例题. 求函数f(x)?

⑥ 复合函数

(1)、已知f(x)的定义域，求f?g(x)?的定义域

思路：设函数f(x)的定义域为D，即x?D，所以f的作用范围为D，又f对g(x)作用，作用范围不变，所以g(x)?D，解得x?E，E为f?g(x)?的定义域。例题设函数f(u)的定义域为（0，1），则函数f??2x?3?的定义域。

例题若函数f(x)?1x?1ax?1x?3?1x?2

1mx?6mx?m?82定义域为R，计算实数m的取值范围。

的定义域。

，则函数f?f(x)?的定义域为______________。

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必修一第二章函数

例题已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求函数f(x)的定义域。

（2）、已知f?g(x)?的定义域，求f(x)的定义域

思路：设f?g(x)?的定义域为D，即x?D，由此得g(x)?E，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以x?E，E为f(x)的定义域。

例题已知f(3?2x)的定义域为x???1，2?，则函数f(x)的定义域为_。

例题已知函数f(3?2x)的定义域为[?3,3]，求f(x)的定义域。

（3）、已知f?g(x)?的定义域，求f?h(x)?的定义域

思路：设f?g(x)?的定义域为D，即x?D，由此得g(x)?E，f的作用范围为E，又f对h(x)作用，作用范围不变，所以h(x)?E，解得x?F，F为f?h(x)?的定义域。例题已知函数y?f?x?2?的定义域为??1,0?，求f

⑦ 分段函数

例题已知函数由下表给出，求其定义域

X Y

?2x?2x?[?1,0];?xx?(0,2);的定义域例题．求函数f(x)???12?x?[2,??);?32?2x?1?的定义域。

1 22 2 3 3 14 4 35 5 －6 6 17

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必修一第二章函数

2、求值域的各种方法

① 观察法:有的函数的结构并不复杂，可以通过对函数解析式的简单变形和观察，利用熟

知的函数的值域求出函数的值域；图像法:先作出函数的图像，观察函数图像的“最高点”和“最低点”，采用数形结合的方法求得函数的值域一般求分段函数的值域常用此法。 ② 配方法:对二次函数型的解析式先进行配方，并充分注意到自变量的取值范围，利用求

二次函数值域的方法求函数的值域. 例题求函数y＝2x＋4x的值域。

③ 判别式法:形如y?a1x?b1x?c1a2x?b2x?c2222

(a1、a2不同时为零)的函数，当分子和分母没有公因

式时(分母有公因式时，先消去公因式)将函数的解析式转化为关于目变量x(或某个代数

式)的一元二次方程，利用一元二次称有实根的条件是判别式△≥0，得到关于y的不等式，解此不等式即可得到值域.

2x?2x?3例题. 求函数y?的值域。 24x?5x?6

例题：求函数y?

例题：求函数y?x?x?1的解析式、定义域和值域

④ 换元法:通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，利用

这些函数的取值范围求函数的值域.用换元法求函数的值域时，要注意换元后辅助元(也叫中间变量)的取值范围.形如y=ax+b+cx+d ( a,b,c,d均为常数，ac≠0)的函数，求值域时常用换元法. 例题. 求函数

y?2x?41?xx?5x?6x?622的值域

的值域。

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必修一第二章函数

⑤ 分离常数法:形如y=

ccx+dax+b?a?0?的函数，经常采用分离常数法，将

cx+dax+b

变形为a?ax+b?+d-ax+bbca=ca+d-bca再结合x的取值范围确定的取值范围，

ax+b

d-bca的值域. ax+b从而确定函数

y?2x?3x?1的值域

例题. 求函数

⑥ 单调性法例题. 求函数y?

?2x?3，x∈［4，5］的值域。

⑦ 分段函数的值域：应为各区间段上值域的并集。 ?x,x?[1,2]?2y?例题. 求函数的值域。 ?x,x?(2,3]?2x?1,x?(3,4]?

3、求函数解析式

① 待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；例题已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式

例题求实系数的一次函数f(x)，使f?f(x)??4x?3

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必修一第二章函数

② 换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；也可以用拼凑的方法，已知f(g(x))的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x))

的解析式中拼凑出“g(x)”作为整体来表示，再将解析式两边的g(x)都用x代替即可。例题已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。

f(x?1x)?x?x?1x22例题已知

，试求f(x)。

例题已知f(x?

1x)?x?21x2，求函数f(x)的解析式。

③ 构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x

代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；例题已知f?x??f??1?2??3x?4x?5，试求f?x??x?；

例题已知f?x??2f??x??3x?4x?5，试求f?x?；

例题若f?x??3f?1?x??2x，求f?x?；

④ 根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等

量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，

还受其实际意义限定。

例题动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发，顺次经过C、D再到A停止。设x表示P行驶的路程，y表示PA的长，求y关于x的函数。

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必修一第二章函数

⑤ 特殊值法：所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或是这

两个变量相等代入，再利用已知条件，可求出未知的函数。至于取什么特殊值，根据题目特征而定。

例题抽象函数：已知f?0??1,f?a?b??f?a??b?2a?b?1?，求f(x)的解析式

4、判断同一函数：构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和

对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

例题下列为同一函数的是①y?x?1，y?t?1②y?1，y?x0 ③y?f?x?,y?f?x?1?④y?2x?1?x?z?,y?2x?1?x?z?

5、映射的判断以及个数问题 ① 映射的判断

A对任意的两个集合M和N，都可以建立一个从M到N的映射； B对于两个无限集合M和N，一定不能建立一个M到N的映射；

C已知M为单元素集合，N为任一非空集合，则从M到N只能建立一个映射； D已知N为单元素集合，M为任一非空集合，则从M到N只能建立一个映射； E函数是定义域到值域的映射； ② 映射与函数的区别

③ 一一映射与函数的区别 ④ 映射个数的计算

例题已知集合M=??1,0,1?，映射f:M?M满足：f?0??f??1??f?1?，则这样的映射有多少个，分别用韦恩图表示出来。

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二、函数的性质——单调性

1、单调性的证明：第一步，任取x1，x2∈D，且x1

例题已知函数f?x??x?16x,试求函数f(x)的单调区间。 x2＋a例题已知函数f(x)＝(a>0)在(2，＋∞)上递增，求实数a的取值范围．

2、四种题型

例题(求最值) 已知函数

例题(比较大小) 函数f(x)在(0,+ ∞)上是减函数,求f(a?a?1) 与f(

例题(解不等式组) 已知f(x)是定义在??9,9?上的增函数，且满足f?2x?1??f?x?3?，求x的范围。

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2f?x??2x?1,x??2,6?，求函数f(x)的最大值和最小值.

34)的大小。

必修一第二章函数

例题(求参数范围) 已知函数f(x)＝x－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．例题 f

三、判断函数单调性的简洁办法。

①复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

y?f(u) u?g(x) y?f(g(x)) 2

?x??x?2?a?1?2x?2在区间(-∞，4)上是减函数，求a的取值范围。

增 ↗ 增 ↗ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 以上规律还可总结为： “同增异减”.

例题已知函数则f?x?在???,???上是减函数，则函数f?x2?2x?的单调递增区间是：

②取倒数法

若f?x??0，则函数f?x?与函数③开偶次方法与偶次方

若f?x??0，则函数f?x?与函数y?f?x?，y?1f?x?的单调性相反

?f?x??2的单调性相同

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必修一第二章函数

④两函数相加时

若f?x?与g?x?在公共区间上具有相同的单调性，则f?x?+g?x?与他们的单调性相同；

例题求函数y?

⑤两函数相乘时

若f?x??0，g?x??0，且在公共区间上都是增函数（或者减函数），则；若f?x??0，g?x??0，且在y?f?x?gg?x?在次公共区间上是增函数（或者减函数）

公共区间上都是增函数（或者减函数），则y?f?x?gg?x?在次公共区间上是减函数（或者增函数）；

四函数的奇偶性

1、判断函数奇偶性的方法 (1)看定义域例题判断函数f?x??

(2)取特殊值

例题判断函数f?x??x?x?1的奇偶性并说明理由；

324x?2?1?2x的最小值。

x2?x3?1?x?1的奇偶性并说明理由；

(3)用定义中的解析式的三种关系之一

例题判断函数f?x??

例题(分段函数) 作出函数

fx?1?1?xx?1?1?x22的奇偶性并说明理由；

?x????x(1?x),?x?0????x(1?x)?x?0?的大致图象，指出它的奇偶性并证明结

论；

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必修一第二章函数

例题 (抽象函数) 已知函数f?x?对任意的x、y?R满足f?x?y??f?x??f求(1)求f?0?的值； (2)求证f?x?是奇函数.

(4)观察图象

例题奇函数y＝f(x)的局部图象如图1所示，试比较f(2)与f(4)的大小．

?y?.

图1 例题如图2，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．

1．定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．

2．图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．

3、另外，还有如下性质可判定函数奇偶性：

偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数，奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域)

4、复合函数判断奇偶性的方法：只有“同奇为奇”；其余三种情况均为均为偶函数。 5、任何定义域关于原点对称的函数f(x)可以由一奇、一偶线性组合表示。 f(x)= ag(x)+bp(x)(可以表示四种函数)

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必修一第二章函数

2、利用奇偶性求解析式

例题已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x2＋3x－1，求f(x)的解析式．

例题已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋∞，0)时f(x)的解析式．

例题若f(x)是偶函数而g(x)是奇函数，且f(x)+ g(x)=

3、利用函数奇偶性和单调性解不等式

例题设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)

4、抽象函数的奇偶性问题

例题已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a、b∈R都满足：f(ab)＝af(b)＋bf(a)，

(1)求f(0)、f(1)的值． (2)证明f(x)为奇函数．

例题已知函数f(x)对一切x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)． (1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．

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x)，求当x∈(－

1?x?1,求f(x)和g(x)的解析式。

必修一第二章函数五、对勾函数当a,b同号时，从对勾函数y?ax?1、定义域：?x|x?R,x?0?；值域y|y?2ab或y??2ab 2、整体图像呈“对勾”的形状，图像关于原点呈中心对称，是奇函数； 3、当a>0,b>0时图像在一，三象限；当x?0时，由y?ax?x?babxbx的图像上看可得到y?ax?4bx有如下性质： ??2b = 0.42b5f(x) = a?x + 5bx1024 6?2ab（当且仅当8取等号） bx当x?0时，其性质可仿照x?0进行研究。故而得函数y?ax?（ba,??），（??,?ba的递增区间是），递减区间是（0，ba），（?ba,0） 4 当x>0时，在x=当x<0时,在x=?baba时，取最小值2ab，时，取最大值?2ab 24、当a<0,b<0时图像在二，四象限递增区间是（0，递减区间是（当x>0时,在x=当x<0时在x=?baf(x) = a?x + 5bx5ba），（?ba,0）， babb = –0.502,??），（??,?） 4baba时，取最大值2ab，时，取最小值?2ab bx 6当a,b异号时，从对勾函数y?ax?的图像上看可得到y?ax?8有如下性质： xb1、定义域：?x|x?R,x?0?；值域?y|y?R? 22、整体图像是两条曲线，图像分布于各个象限， f(x) = a?x + bx5图像关于原点呈中心对称，是奇函数； 3、当a>0,b<0时, 5bb = –0.5024 0),(0，??),没递减区间，没有最值； (??，24、当a<0,b>0时,递减区间是 5bb = 0.854f(x) = a?x + bx5100),(0，??),没递增区间，没有最值； (??，62 第 12 页共 15 页 4868必修一第二章函数

例题求函数y?x?(3)(-3,-2)

3x0)U(0，??) (2) (0,2) 在下列条件下的值域。(1) (??，例题 2.求下列函数在x?(1,2]的值域：

六、幂函数

1?1?y?2?y??xx?1x?3x?2xx?5x?122?3?f?x??问题：作出下列函数的图象：（1）y?x；（2）y?x2；（3）y?x2；（4）y?x?1；（5）y?x3．

从图象分析出幂函数所具有的性质. 观察图象，总结填写下表：

1 23y?x y?x y?x y?x y?x2

定义域值域

奇偶性

单调性

定点

小结：

幂函数的的性质及图象变化规律： 1、??0时