【恒心】高考数学(文科)传奇逆袭008-平面解析几何

第八章 平面解析几何

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1．直线的倾斜角

(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

(2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率

(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．

(2)过两点的直线的斜率公式：

经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2

x 1－x 2.

3．直线方程

1．利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况．

2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．

3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．

4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；

当B ≠0时，k ＝－A B

. [试一试]

1．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( )

A ．1

B ．2

C ．－12

D ．2或－12

解析：选D 当2m 2＋m －3≠0时，即m ≠1或m ≠－32时，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3

＝1，即2m 2－3m －2＝0，

故m ＝2或m ＝－12

. 2．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________．

解析：∵k MN ＝m －4－2－m

＝1，∴m ＝1. 答案：1

3．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．

解析：①若直线过原点，则k ＝－43

， 所以y ＝－43

x ，即4x ＋3y ＝0. ②若直线不过原点．

设x a ＋y a

＝1，即x ＋y ＝a . 则a ＝3＋(－4)＝－1，

所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0.

答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0

1．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．

2．求直线方程的一般方法

(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．

(2)待定系数法，具体步骤为：

①设所求直线方程的某种形式；

②由条件建立所求参数的方程(组)；

③解这个方程(组)求出参数；

④把参数的值代入所设直线方程．

[练一练]

1．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )

A ．[0，π)

B.????0，π4∪????3π4，π

C.????0，π4

D.????0，π4∪???

?π2，π 解析：选B 设倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤π4

或3π4

≤θ＜π. 2．过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________．

解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；

当斜率存在时，设其为k ，

则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，

即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得

|10－5k |k 2＋1

＝5， 解得k ＝34

. 故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.

综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.

答案：x －5＝0或3x －4y ＋25＝0

直线的倾斜角与斜率

1．的倾斜角是( )

A.π6

B.π3

C.2π3

D.5π6

解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－

33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6

. 2．(2014·常州模拟)若ab ＜0，则过点P ????0，－1b 与Q ????1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．

解析：k PQ ＝－1b －00－1a ＝a b ＜0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为????π2，π.

答案：????π2，π

[类题通法]

1．求倾斜角的取值范围的一般步骤：

(1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；

(2)利用三角函数的单调性，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．

2．求倾斜角时要注意斜率是否存在. 直线方程[典例] (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010

； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.

[解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．

设倾斜角为α，则sin α＝1010

(0＜α＜π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13

. 故所求直线方程为y ＝±13

(x ＋4)． 即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.

(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a ＝1，

又因为直线过点(－3,4)，

所以－3a ＋412－a

＝1，解得a ＝－4或a ＝9. 故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.

[类题通法]

1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．

2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．

[针对训练]

经过点P (－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是( )

A ．8x ＋5y ＋20＝0或2x －5y －12＝0

B ．8x －5y －20＝0或2x －5y ＋10＝0

C ．8x ＋5y ＋10＝0或2x ＋5y －10＝0

D ．8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0

解析：选D 由题意设所求方程为y ＋4＝k (x ＋5)，即kx －y ＋5k －4＝0.由12·|5k －4|·|4k

－5|＝5得，k ＝85或k ＝25

. 直线方程的综合应用

角度一 与基本不等式相结合求最值问题

1．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：

(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程；

(2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程．

解：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)．

设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b ＝1，

所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )????1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a

＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.

(2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，

则A ????1－1k ，0，B (0,1－k ), 所以|MA |2＋|MB |2＝?

???1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k 2≥2＋2k 2·1k 2＝4，当且仅当k 2＝1k

2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.

角度二 直线方程与平面向量的综合

2．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求当MA ·MB 取得最小值时，直线l 的方程．

解：设A (a,0)，B (0，b )则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b ＝1.故MA ·MB ＝－MA ·MB ＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b )????2a ＋1b －5

＝2b a ＋2a b

≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. [类题通法]

1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定”．

2．求解与直线方程有关的最值问题，选设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.

[课堂练通考点]

1．(2014·云南检测)直线x ＝π3

的倾斜角等于 ( ) A ．0

B.π3

C.π2

D ．π 解析：选C 直线x ＝π3，知倾斜角为π2

. 2．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( )

A.33

B. 3 C ．－ 3

D ．－33 解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33

. 3．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )

A ．y －1＝3(x －3)

B ．y －1＝－3(x －3)

C ．y －3＝3(x －1)

D ．y －3＝－3(x －1)

解析：选D 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．

4．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．

解析：k ＝tan α＝2a －(1＋a )3－(1－a )＝a －1a ＋2

. ∵α为钝角，∴a －1a ＋2

＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0，故－2＜a ＜1. 答案：(－2,1)

5．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：

(1)过定点A (－3,4)；

(2)斜率为16

. 解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k

－3,3k ＋4， 由已知，得(3k ＋4)????4k ＋3＝±

6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83

. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.

(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16

x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，

已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.

∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.

[课下提升考能]

第Ⅰ组：全员必做题

1．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )

A.13

B ．－13

C ．－32 D.23

解析：选B 设P (x P ,1)，由题意及中点坐标公式得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5，即P (－5,1)，

所以k ＝－13

. 2．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )

A ．ab ＞0，bc ＜0

B ．ab ＞0，bc ＞0

C ．ab ＜0，bc ＞0

D ．ab ＜0，bc ＜0

解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方

程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b ＜0且－c b

＞0，故ab ＞0，bc ＜0. 3．若实数a ，b 满足a ＋2b ＝3，则直线2ax －by －12＝0必过定点( )

A ．(－2,8)

B ．(2,8)

C ．(－2，－8)

D ．(2，－8)

解析：选D a ＋2b ＝3?4a ＋8b －12＝0，又2ax －by －12＝0，比较可知x ＝2，y ＝－8故选D.

4．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )

A ．y ＝－13x ＋13

B ．y ＝－13x ＋1

C ．y ＝3x －3

D ．y ＝13

x ＋1 解析：选A 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13

x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13

. 5．(2014·浙江诸暨质检)已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )

A ．k ≥34

或k ≤－4 B ．－4≤k ≤34 C.34≤k ≤4 D ．－34

≤k ≤4

解析：选A 如图所示，∵k PN ＝1－(－2)1－(－3)＝34，k PM ＝1－(－3)1－2

＝－4，∴要使直线l 与线段MN 相交，当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ；当l

的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ，由已知得k ≥34

或k ≤－4，故选A. 6．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝________.

解析：因为k AB ＝7－54－3＝2，k AC ＝x －5－1－3

＝－x －54. A ，B ，C 三点共线，所以k AB ＝k AC ，即－x －54

＝2， 解得x ＝－3.

答案：－3

7．已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则k 的取值范围是________．

解析：y ＝k (x ＋1)是过定点P (－1,0)的直线，k PB ＝0，k P A ＝

1－00－(－1)＝1. ∴k 的取值范围是[0,1]．

答案：[0,1]

8．过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．

解析：(1)当过原点时，直线方程为y ＝－53

x ， (2)当不过原点时，设直线方程为x a ＋y －a

＝1， 即x －y ＝a .代入点(－3,5)，得a ＝－8.

即直线方程为x －y ＋8＝0.

答案：y ＝－53

x 或x －y ＋8＝0 9．已知两点A (－1,2)，B (m,3)．

(1)求直线AB 的方程；

(2)已知实数m ∈???

?－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1；

当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1

(x ＋1)． (2)①当m ＝－1时，α＝π2

； ②当m ≠－1时，m ＋1∈???

?－33，0∪(0， 3 ]， ∴k ＝1m ＋1

∈(－∞，－ 3 ]∪????33，＋∞， ∴α∈????π6，π2∪????π2，2π3.

综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈????π6，2π3.

10．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．

(1)证明：直线l 过定点；

(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；

(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．

解：(1)证明：法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，

故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．

法二：设直线l 过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立，

∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，

解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．

(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，

要使直线l 不经过第四象限，则????? k ≥0，

1＋2k ≥0，

解得k 的取值范围是[0，＋∞)．

(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ? ????－1＋2k k ，0，

B (0,1＋2k )．

又－1＋2k k

<0且1＋2k >0，∴k >0. 故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k

(1＋2k ) ＝12?

???4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12

时，取等号． 故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.

第Ⅱ组：重点选做题

1．(2014·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4

，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )

A ．45°

B ．60°

C ．120°

D ．135°

解析：选D 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4

知，f (0)＝f ????π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为135°.

2．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则a ＝________.

解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距

为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12

×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝????a －122＋154，当a ＝12

时，面积最小． 答案：12

第二节两直线的位置关系

1．两直线的位置关系

设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐标

就是方程组?????

A 1x ＋

B 1y ＋

C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．

3．几种距离

(1)两点间的距离：

平面上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离公式

d (A ，B )＝|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.

(2)点到直线的距离：

点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 1＋By 1＋C |A 2＋B

2. (3)两条平行线间的距离：

两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|

A 2＋

B 2.

1．在判断两直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．

2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．

[试一试]

1．(2013·长春调研)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的

距离是( )

A.17

10 B.17

5 C ．8

D ．2

解析：选D ∵63＝m 4≠14

－3

，

∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42

＝

2.

2．已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的 ( )

A ．充要条件

B ．充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1

×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.

1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法

与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0. 2．转化思想在对称问题中的应用

对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法． [练一练]

1．点(2,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是________．

解析：设对称点为(a ，b )，则??

?

b －3

a －2

＝1，a ＋22＋b ＋3

2＋1＝0，

解得?????

a ＝－4，

b ＝－3.

答案：(－4，－3) 2．(2014·张家口质检)已知直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方

程为________．

解析：由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－3

2，由点斜式可得直线

l 的方程为y －2＝－3

2

(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.

答案：3x ＋2y －1＝0

两直线平行与垂直

1．已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )

A ．－10

B ．－2

C ．0

D ．8 解析：选A ∵l 1∥l 2，

∴k AB ＝4－m m ＋2

＝－2. 解得m ＝－8.

又∵l 2⊥l 3，

∴－1n

×(－2)＝－1，解得n ＝－2， ∴m ＋n ＝－10.

2．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 解析：选C 当a ＝2时，直线ax ＋2y ＝0即x ＋y ＝0与直线x ＋y ＝1平行；当直线ax

＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行时，－a 2

＝－1，a ＝2.综上所述，“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的充要条件，故选C.

3．经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．

解析：法一 由方程组{ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得{ x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．

∵l ⊥l 3，∴直线l 的斜率k 1＝－43

， ∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，

即4x＋3y－6＝0.

法二∵直线l过直线l1和l2的交点，

∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，

即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.

∵l与l3垂直，

∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，

∴λ＝11，

∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.

答案：4x＋3y－6＝0

[类题通法]

充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．

距离问题

[典例]已知A：4x＋3y－2＝P，使|P A|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2.

[解] 设点P的坐标为(a，b)．

∵A(4，－3)，B(2，－1)，

∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．

而AB的斜率k AB＝－3＋1

4－2

＝－1，

∴线段AB的垂直平分线方程为

y＋2＝x－3，

即x－y－5＝0.

∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，

∴a－b－5＝0.①

又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，

∴|4a ＋3b －2|5

＝2， 即4a ＋3b －2＝±10，②

由①②联立可得????? a ＝1，

b ＝－4，或??? a ＝277，b ＝－87.

∴所求点P 的坐标为(1，－4)或????277

，－87. [类题通法]

1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．

注意：直线方程为一般式．

2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|P A |＝|PB |这一条件的转化处理．

[针对训练]

与直线7x ＋24y －5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是___________________． 解析：设所求直线方程为7x ＋24y ＋m ＝0，

由3＝|m ＋5|

72＋242，

∴m ＝70或－80.

答案：7x ＋4y －80＝0或7x ＋24y ＋70＝0 对称问题

角度一 点关于点的对称

1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．

解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，

则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，

代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，

解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，

所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.

角度二 点关于线对称

2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标． 解：设A ′(x ，y )，

再由已知得???

y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22

＋1＝0， 解得??? x ＝－3313，y ＝413，故A ′???

?－3313，413. 角度三 线关于线对称

3．在[角度二]的条件下，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． 解：在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则

??? 2×?

????a ＋22－3×? ????b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，

得M ′????613，3013. 设直线m 与直线l 的交点为N ，则

由?

???? 2x －3y ＋1＝0，

3x －2y －6＝0， 得N (4,3)．

又∵m ′经过点N (4,3)，

∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.

角度四 对称问题的应用

4．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．

解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D

关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角

等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .

故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2

，即10x －3y ＋8＝0. [类题通法]

解决对称问题的方法

(1)中心对称

①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足

?????

x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y . ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．

(2)轴对称

①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有????? n －b m －a ×????－A B ＝－1，

A ·a ＋m 2＋

B ·b ＋n 2＋

C ＝0.

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.

[课堂练通考点]

1. (2013·银川模拟)已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a 等于( )

A ．3

B ．1

C ．－1

D ．3或－1

解析：选C 由题意知，l 1∥l 2?1a －2＝a 3≠62a ，

即a ＝－1.

2．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0垂直，则实数a ＝( ) A.23

B ．－1

C ．2

D ．－1或2

解析：选A 由a ×1＋(a －1)×2＝0

∴a ＝23

. 3．(2014·广州模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )

A ．x ＋2y －1＝0

B ．2x ＋y －1＝0

C ．2x ＋y －3＝0

D ．x ＋2y －3＝0 解析：选D 由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．

又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －3

1－3

，即x ＋2y －3＝0. 4. 已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．

解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5

. 又|15－3a |5≤3， 即|15－3a |≤15，

解之得，0≤a ≤10，

所以a ∈[0,10]．

答案：[0,10]

5．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b 的值．

(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；

(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等．

解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，

即a 2－a －b ＝0.①

又点(－3，－1)在l 1上，

∴－3a ＋b ＋4＝0②

由①②得a ＝2，b ＝2.

(2)∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，b ＝a 1－a

， 故l 1和l 2的方程可分别表示为：

(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a

＝0， (a －1)x ＋y ＋a 1－a

＝0， 又原点到l 1与l 2的距离相等．

∴4??????a －1a ＝????

??a 1－a ， ∴a ＝2或a ＝23

， ∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23

，b ＝2. [课下提升考能]

第Ⅰ组：全员必做题

1. (2014·成都模拟)若直线(a ＋1)x ＋2y ＝0与直线x －ay ＝1互相垂直，则实数a 的值等于

( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

解析：选C 由?

???－a ＋12×1a ＝－1，得a ＋1＝2a ，故a ＝1. 2．已知平面内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l 的条数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：选C 由题知满足题意的直线l 在线段AB 两侧各有1条，又因为|AB |＝ 5，所以还有1条为过线段AB 上的一点且与AB 垂直的直线，故共3条．

3. 已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( ) A.12 B ．－12

C ．2

D ．－2

解析：选A ∵l 2，l 1关于y ＝－x 对称，

∴l 2的方程为－x ＝－2y ＋3.即y ＝12x ＋32

. ∴l 2的斜率为12. 4. 已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )

A ．－2

B ．－7

C ．3

D ．1

解析：选C 由已知k AB ＝2，即4m －1

＝2，解得m ＝3. 5. 设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )

A ．x ＋y －5＝0

B ．2x －y －1＝0

C ．x －2y ＋4＝0

D ．x ＋y －7＝0

解析：选D 由|P A |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且P A 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线P A ，PB 关于直线x ＝3对称，直线P A 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，

∴直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.

6. 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，若折痕所在直线的斜率为k (k ≠0)，则折痕所在直线的方程为________．

解析：设将矩形折叠后A 点落在线段CD 上对应的点为G (a,1)(0≤a ≤2)，所以A 与G 关

于折痕所在的直线对称，设所求直线的斜率为k ，则有k AG ·k ＝－1，即1a

·k ＝－1，得a ＝－k ，故G 点的坐标为(－k,1)(－2≤k <0)，从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标为???

?－k 2，12 ，折痕所在直线的方程为y －12＝k ????x ＋k 2，即y ＝kx ＋k 22＋12

(－2≤k <0)． 答案：y ＝kx ＋12k 2＋12

(－2≤k <0) 7．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．

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