电磁感应作业习题及解答

Ch.9.电磁感应、电磁场作业习题及解答

9-2. 如图,两相互平行的长直导线载有等值反向的电流I(t)，某矩形导线圈与两导线共面,其一对边长平行

于两直导线，其位置、尺度如图示。 求: 该导线圈中的感应电动势。

解: 取导线圈回路的正绕向为顺时针绕向，

两长直电流产生的磁场为：

I O I l2 x l1 X ?I(t)11B(x,t)?0(?)

2?x?d2?d1x 通过该矩形导线圈中的磁通量为：

d2?l2d2 l2 x ?0I(t)d?l11l1?(?)dxd2?x?d2?d1x222?m(t)??d?m(t)??B(t)?dS??Sd2B(x,t)l1dx???m(t)??0I(t)l1d1?l2d?l(ln?ln22)2?d1d2

则该导线圈中的感应电动势为：

?i(t)??d?m?I(t)l1d?l2d?l2dI(t)??0(ln1?ln2)dt2?d1d2dt

dI(t)?0??i?0, 则该导线圈中的感应电动势为零； dtdI(t)?0??i?0, 则该导线圈中的感应电动势为逆时针绕向； dtdI(t)?0??i?0, 则该导线圈中的感应电动势为顺时针绕向。 dt9-4. PM和MN两段导线，其长均为10cm，在M处相接成30°角，若使导线在均匀磁场中以速度

v＝15 m/s运动，方向如图，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B=25×10-2T。 问：P、M两端之间的电势差为多少？哪一端电势高? 解：设运动导线上的动生电动势沿P→M→N，即

?PN??PM??MN

????(v?B)?lPM?vBlPMcos???vBlPM

B × × × × × × × × × × × × × × v N 式中?PM是导线PM上的动生电动势：

?PM × × × P × × × ×M × × × × × × ×

30° ?PM是导线MN上的动生电动势：

????MN?(v?B)?lMN?vBlMNcos150???vBlMNcos30?

两式中lPM?lMN?10cm，所以有：

?PN??PM??MN??vBlPM(1?cos30?)??7.0?10?3V

式中“-”号表明，导线上的动生电动势方向与所设正方向相反，由N指向P，即导线上的动生电动势 方向为：沿N→M→P. 因而P、M两端之间的电势差为：

UPN?VP?VN???PN?7.0?10?3V

即运动导线上P端的电势高。

1

Ch.9.电磁感应、电磁场作业习题及解答

9-5. (选做题）如图，在水平面内某矩形导体回路置于均匀磁场B

中（其方向与回路法线间的夹角θ=π/3），已知磁感应强度

?，回路的MN B的大小随时间线性增加，即B=kt（k>0）

边长为L，以速度v匀速向右移动，初始该边在x=0处。 求: 任意时刻导体回路中的感应电动势,并指明其绕向。

解:与矩形导体回路法向相顺应，该回路的正绕向为逆时针绕向。 该矩形导体回路中的磁通量为：

O en B M θ N v x X ?m(t)?B(t)?S?B(t)cos?S(t)，式中B(t)?kt、S(t)?Lx(t)?Lvt??m(t)?kLvt2

d?m则该矩形导体回路中的感应电动势为：?i(t)????2kLvtcos??0dt

该感应电动势为负，表明其绕向为顺时针绕向。

9-6. 如图所示，一长直导线通有电流I=0.5A，在与其相距d＝5.0m处放有一矩形线圈，共1000匝。线圈

以速度v=3.0m/s沿垂直于长导线的方向向右运动时，线圈中的动生电动势是多少？（设线圈长l＝4.0cm，宽b=2.0cm）

解: 距离长直导线为x的位置，由长直导线产生的磁场为:B(x)??0I2?x 磁场方向垂直纸面向里。 法一（动生电动势法）：

线圈运动到图示位置时，动生电动势由两长边切割磁感应线而产生。对单匝线圈，有

I l O v X????i??(v?B)?dl?vB1l?vB2l

L ?I?0I 式中：B1?0,B2?

2?d2?(d?b) 所以，单匝线圈内的电动势为： ?i?d b ?0I?0Ilv?lv 2?d2?(d?b)线圈内总电动势为：??N?i?N 总电动势方向：沿顺时针方向。 法二（法拉第电磁感应定律法）：

?0Ilv11(?)?6.86?10?5V 2?d(d?b) 如图所示，设t时刻矩形线圈的两边距长直导线电流分别 为x和x+b，

则通过回路的磁通匝链数为：

I O 回路正绕向 v X??x?b?I?Ilx?b0 ??N?m?N?B?dS?N?ldx ?N0lnx2?x2?xS

2

x x+b Ch.9.电磁感应、电磁场作业习题及解答

由题知：x?vt,dx?v，则感应电动势为： dt????Ildlnxdln(x?b)?0Ilbdxd??0Ilb?N0[?]?N?Nv dt2?dtdt2?x(x?b)dt2?x(x?b)?0Ilb2?d(d?b)运动到题中图示位置时，x=d，则有：

?x?d?Nv?6.86?10?5V?0

ε>0，表明电动势的绕行方向与设定的方向一致，即顺时针绕向。 9-9. 在B=0.50T的均匀磁场中，置一导线回路如图，其中一段为半径

r=0.10m的半圆，图中l=0.10m. 导线PMNQ以PQ为轴转动，转 速n=3600r/min。设电路的总电阻（包括电表M的内阻）为R=1000Ω。 求：导线中的动生电动势和感应电流的频率以及它们的最大值。 解：导线PMNQ转动的角速度为： ??2?n?120? (rad/s)

60设开始转动时，导线PMNQ处在图示位置，取回路的绕行方向为顺 时针，则t时刻通过该导线回路中的磁通量为:

P l M r M B× N Q l M,N,Q =ωt S B

??Φm?B?S?BS1?BS2cos?t

式中S1是回路矩形部分面积，S2是回路的半圆导线所谓面积，S2=π r2/2. 该导线回路中的感应电动势、感应电流的表达式分别为：

?i(t)??Ii(t)?dΦm1?BS2?sin?t??r2B?sin?t??msin(120?t) dt2?i(t)R?Imsin(120?t)

则感应电动势的频率、感应电流的频率皆为：??则感应电动势、感应电流的最大值分别为：

??60Hz 2?? ?m?BS2??1?r2B??2.96?10?4(V)Ii(t)?m?2.96?10?7(A) R2

9-13. 如图表示一个限定在半径为R的圆柱体内的均匀磁场B，B以1×10-2T/s的恒定变化率减少，电子

在磁场中A、O、C各点处时，设r=5.0m. 求：它所获得的瞬时加速度(大小和方向)。

解：由题知，A、C两点在同一半径的圆周上，由对称性可知，在这两点处

??? 感应电场E的大小相同。以r为半径，作顺时针的闭合回路L，则L所

???围面积S与B同方向，设L上各点E的方向处处沿L的切向。

?????B根据：E?dL???dS，可求得： ???tLS?rdBE?EA?EC??(r?R)

2dt 3

Ch.9.电磁感应、电磁场作业习题及解答

据题意，dB??10?2T/s < 0，所以：

dt E??rdB5?10?210-4 V/m > 0 ???(?10?2)V/m=2.5×

2dt2E> 0表明，在A、C两点处感应电场E的方向与顺时针绕向L的切线方向一致。 在O点处，由于r=0，故有：Eo=0

?电子在A、C两点处受电场力为：Fe??eE

????Fee?设电子的质量为me，因受感生电场力而获得的瞬时加速度为：a???E

meme 瞬时加速度的大小为：aA?aC? 在A、C两处电子的加速度a与该两处的E反方向。电子在O点处不受力，故ao=0. 9-18. 一截面为长方形的螺绕管，其尺寸如图所示，共有N匝，（R1、R2、h为已知量)， 求：此螺绕管的自感。

解：设螺绕管中通有电流I，如图取Or坐标系、取微元截面dS =hdr,

在R1< r < R2的管腔中的区域，取半径为r的圆为回路，则 由安培环路定理，可得：B2?r??0NI ∴管腔中的B值为B??0NI2?r

则通过此微元截面的磁通量为:dΦm=BdS=(μ0NI2πr)hdr 则通过此螺绕管的管腔的磁链为:

h R1 R2 ?e2

E?4.47?107m/s me?O r dS=hdr ??R2?NI?0N2IhR2 0??N?m?N?B?dS?N?hdr?lnR12?r2?R1S?N2hR2?0此螺绕管的自感系数为：L? ?lnI2?R19-19. (选做题） N1=50匝、面积S1=4cm2的圆形导线圈A，与N2=100匝、半径为R2=20cm的圆形导线 圈B共面、同轴。(1) 求两线圈的互感；(2) 线圈B的电流随时间的变化率为dI/dt=50A/s的情况下， 求线圈A中的磁通链随时间的变化率；(3) 求此情况下，线圈A中的感生电动势。

解: (1) 设线圈B载电流I，因为线圈A的面积远小于线圈B, 则可视I在线圈A面积区域产生的磁场

匀强, 该磁场正交穿过面积S1、其值为：B??0N2I2R2

穿过线圈A的磁通链为： ?m?N1?m?N1BS1?N2N1S1?0I2R2?I 则两线圈的互感为：M??mI?N2N1S1?02R2?6.28?10(H)

(2) 线圈B的电流变化率为dI/dt=50A/s的情况下，线圈A中的磁通链随时间的变化率为：

6d?m?0N2N1S1dI???3.14?10?4(Wbs?1) dt2R2dt

4

Ch.9.电磁感应、电磁场作业习题及解答

(3) 此情况下，线圈A中的感生电动势为：

?iA??d?mdI?M?3.14?10?4(Wbs?1) dtdt9-21. 一矩形线圈长L＝20cm，宽b＝10cm，由100匝表面绝缘的导线绕成，放置在一根长直导线的旁边，

并和直导线在同一平面内，该直导线是一个闭合回路的一 部分，其余部分离线圈很远，其影响可略去不计． 求：图(a)、(b)两种情况下，线圈与长直导线间的互感。 解：在图(a)情况下，设长直导线通有电流I，其在矩形线圈内

任意点x处产生的磁感应强度为: B??0I

2?x通过该矩形导线圈的磁通量为：

b b l dx O

??2b?I?Il0?a?N?B?dS?N?ldx?N0ln2

b2?x2?S长直导线与矩形导线圈之间的互感为:

x (a) b/2 X Ma??a?l?N0ln2?2.8?10?6H I2?在图(b)情况下，矩形线圈相对长直导线对称，通过矩形线圈的磁通 匝链数为零。所以，有：?b?0

则长直导线与矩形导线圈之间的互感为: Mb?0

9-25. 一根长直导线，其μ≈μ0，载有电流I，已知电流均匀分布在导线的横截面上。 求：单位长度的该导线内贮存的磁场能。

解: 由电流分布的轴对称性知，其磁场分布也是轴对称的。在长圆柱形

导线横截面取同心(O)圆周环路，应用安培环路定理，有：

l (b) I ???B?dl?B(r)2?r??0?Ii

Li,L内O r R r?R:B2?r??0(I?R2)?r2

?B(r)?(?0I2?R2)r,?m(r)?B22?0??0I2r28?2R4

在导线内r处取单位长(l=1m)的微元体积dV = 2πrldr =2πrdr (是与该长圆柱形导线同轴的薄圆筒）， 此微元体积中的磁场能为：

?0I22?0I23

dWm=?mdV?r2?rdr?rdr8?2R44?R4则单位长度的该导线内贮存的磁场能为：

?0I2R3?0I2

Wm??dWm?rdr?4?016?4?R5

Ch.9.电磁感应、电磁场作业习题及解答

9-29. 某平行板电容器的两极板皆是半径为R的圆板，该电容器用细长导线连接到一交变电源，使该电

容两极板的电荷量为q=q0sinωt，忽略极板边缘效应。 试求:两极板之间的磁场分布。 解: 取Or坐标系，如图.

r

d O R ??H??dl?H2?r?IDL??D??r2?q2?D???dS??r??2?t?t?R?tSr 9-31. (选做题）两圆形极板面积皆为S的某平行板电容器，两极板的间距为d。一根长为d的极细的导线

在极板间沿轴线与两扳相连，已知细导线的电阻为R，两极板外接交变电压U= U0sinωt。 求：(1) 细导线中的电流; (2) 通过电容器的位移电流; (3) 两极板的外接导线中的电流; (4) 两极板之间的磁场强度的分布。设r小于极板半径。 解: (1) 根据欧姆定律，两极板之间的细导线中的电流为：

IR=U/R = U0sinωt/R

(2) 电容C的极板的电量为Q=CU，则通过电容器的位移电流为：

dQdU?0SID??C?U0?cos?tdtdtd(3) 两极板的外接导线中的电流为：

r2?qr2?H2?r?2??2q0?cos?t ?H?q0?2rcos?t(r?R)

R?tR2?R

d Ie S O S Ie r 1?S?Ie(t)?I1?Isin??t0cos?t)D?U0(Rd

(4) 由于全电流激发的磁场具有轴对称性，在极板间取离轴线r为半径的磁场线为全电流定律的积分

回路，则r

??ID2?0S?1H?dl?H2?r?I?I?I??r?H2?r?U(sin?t?cos?t) RdR0?LSRd?H(r,t)?U01??r?[sin?t?0cos?t](r?R)2?rRd补充题1: 横截面为矩形的均匀密绕的环形螺线管，导线总匝数为N；其内、外半径分别为a和b（如图，

h为已知量）；一长直导线位于该螺绕环轴线处。 求: (1) 长直导线与螺绕环的互感系数；

(2) 若螺绕环的导线通电流I，则该螺绕环内的磁场能量为何值? 解(1): 取Or坐标系、取微元截面dS =hdr, 如图

设轴线处长直导线载流为I, 则其在管腔中(a< r

6

h a b O r dS=hdr Ch.9.电磁感应、电磁场作业习题及解答

B??0I2?r

则穿过微元截面的磁通量为：dΦm=BdS=(μ0Ih2πr)dr则穿过管腔的磁链为：

?m?N?m?N?BdS?S?0NIh2??ba?NIhb1dr?0lnr2?a

螺绕环与长直导线的互感系数为：M??mI??0Nh2?lnba

?N2hR2?0(2) 若螺绕环的导线通电流I, 由9-18题知此螺绕管的自感系数为：L? ?lnI2?R1212?0Nh则该螺绕环内的磁场能量为：Wm?LI?ln(ba)I224?

或另解: 螺绕环中

?m?B22?0??0N2I2??2r2

?0N2I28?2r12?0N2hdrWm?LI?ln(ba)I2 2r24?

取微元体积为dV=2πrhdr，则所求的螺绕环内的磁场能量为： Wm????(V)?mdV?2?h?ba 显然，两种解法所得结果相同。

补充题2: 载稳恒电流I的长直导线，导线旁有一长度为L的金属细棒，细棒绕其一端O在平面内以

匀角速度ω顺时针转动。载流长直导线位于金属细棒旋转平面内，O点至长直导线的距离为a， 如图所示。

求：当金属棒转至图示的OM位置时，金属细棒内的感应电动势ε＝？ 解: 如图，取O?r坐标系，长直电流 I在金属细棒旋转平面

内产生非均匀磁场，其大小为:

B(r)??0I2?r方向垂直纸面向里。

如图所示，细棒转至图示的OM位置时, 在棒上取线 元dl, 至O点的距离为l，其方向为OM，线元的运动 速度为v (方向向下)， dl中的动生电动势的大小为:

????d??(v?B)?dl?vBsin?cos0?dl??lBdl

2金属细棒上各线元的感应电动势走向一致(由O?M)，故整个棒上的总电动势为：

?OM?????(v?B)?dl?L?L0?l?0Idl 2?r统一积分变量，l =r－a, dl=dr, 则有：

7

?

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pwut.html