大学物理第8章 稳恒磁场 课后习题及答案

第8章 稳恒磁场 习题及答案

?6. 如图所示，AB、CD为长直导线，BC为圆心在O点的一段圆弧形导线，其半径为R。若通以电流I，求O点的磁感应强度。

?解：O点磁场由AB、BC、CD三部分电流产生，应用磁场叠加原理。 AB在O点产生的磁感应强度为

B1?0

?BC在O点产生的磁感应强度大小为

?I?I??I B2?0??0??0，方向垂直纸面向里

4?R4?R312RCD在O点产生的磁感应强度大小为

?IB3?0(cos?1?cos?2)

4?r04?Rcos600?I3?0(1?)，方向垂直纸面向里 2?R2?I3??)，方向垂直纸面向里 故 B0?B1?B2?B3?0(1?2?R267. 如图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A，B两点，并在很远处与电源相连。已知圆环的粗细均匀，求环中心O的磁感应强度。

解：圆心O点磁场由直电流A?和B?及两段圆弧上电流I1与I2所产生，但A?和B?在O点

产生的磁场为零。且

??0I(cos150??cos180?)

I1电阻R2??? I2电阻R12???I1产生的磁感应强度大小为

B1??0I1（2???），方向垂直纸面向外 4?RI2产生的磁感应强度大小为

?IB2?02?，方向垂直纸面向里

4?RBI(2???)?1 所以， 1?1B2I2?环中心O的磁感应强度为

???B?B?B 012?0

8. 如图所示，一无限长载流平板宽度为a，沿长度方向通过均匀电流I，求与平板共面且距平板一边为b的任意点P的磁感应强度。

解：将载流平板看成许多无限长的载流直导线，应用叠加原理求解。

以P点为坐标原点，垂直载流平板向左为x轴正方向建立坐标系。在载流平板上取dI?强度大小为

Idx，dI在P点产生的磁感应a 1

dB??0dI?I?0dx，方向垂直纸面向里 2?x2?axP点的磁感应强度大小为

B??dB??0Ib?adx?0Ib?a ?ln?b2?ax2?ab方向垂直纸面向里。

9. 如图所示，真空中有两个点电荷A,B,分别带有电量?q和?q，相距为d。它们都以角速度?绕轴OO'转动，轴OO'与AB连线相互垂直，其交点为C，

d。求C点的磁感应强度。 3解：?q电荷运动形成电流大小为

qq? I1??T2?I1在C点产生的磁感应强度大小为

?I?I3?q?B1?01?01?0

2R2?d/34?d方向沿O??O方向

同理，?q电荷运动形成电流的电流I2在C点产生的磁感应强度

距A点为大小为

B2??0I22?2d/3?3?0q? 8?d

方向沿O??O的反方向

所以，C点的磁感应强度大小为

B?B1?B2?方向沿O??O方向

10. 已知磁感应强度大小B?2.0Wb·m-2的均匀磁场，方向沿x轴正方向，如图所示。试求：(1)通过图中abcd面的磁通量；(2)通过图中befc面的磁通量；(3)通过图中aefd面的磁通量。

解：(1)通过abcd面积S1的磁通量为

?1?B?S1?2.0?0.3?0.4cos???0.24Wb

3?0q? 8?d?????2?B?S2?0

(3)通过aefd面积S3的磁通量为

???3?B?S3?2?0.3?0.5?cos?

4

?2?0.3?0.5??0.24Wb

511．如图所示，真空中一半径为r的金属小圆环，在初始时刻与一半径为R（R??r）的金属大圆环共面且同心，在大圆环中通以恒定的电流I，如果小圆环以匀角速度?绕其直径转动，求任一时刻t通过小圆环的磁通量?m。

解：载流大圆环在圆心处产生的磁感应强度大小为

(2)通过befc面积S2的磁通量为

B??0I2R，方向垂直纸面向外

任一时刻t通过小圆环的磁通量为

???m?B?S?B??r2cos?t

2

12. 如图所示，电流I1?I2?I，求沿回路L1、L2以及L3的磁感应强度的环流。 解：由安培环路定理得

???L1B?dl??0I1??0I ???L2B?dl???0I2???0I ???B?dl??0(I1?I2)?0

L313. 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a)和一同轴的导体圆管(内、外半径分别为b,c)构成，横截面如图所示。使用时，电流I从一导体流去，从另一导体流回，设电流都是均匀地分布在导体的横截面上。求：(1)导体圆柱内(r＜a)；(2)两导体之间(a＜r＜b)；（3）导体圆筒内(b＜r＜c)以及(4)电缆外(r＞c)各点处磁感应强度的大小。

解：磁场分布具有轴对称性，在横截面内取同心圆为回路，应用安培环路定理，有

???B?dl?B?2?r??0?I

i

(1)当r?a时，?Ii?I2，所以 ??r2?a?0Ir 22?a(2)当a?r?b时，?Ii?I，所以

?IB?0

2?rB?(3)当b?r?c时，?Ii?I?

I22??(r?b)，所以 22?(c?b)?0I(c2?r2) B?222?r(c?b)(4)当r?c时，?Ii?0，所以

B?0

14. 有一长直导体圆管，内外半径分别为R1和R2，如图所示，它所载的电流I1均匀分布在其横截面上。导体旁边有一绝缘“无限长”直导线，载有电流I2，且在中部绕了一个半径为R的圆圈。设导体管的轴线与长直导线平行，相距为d，而且它们与导体圆圈共面，求圆心O点处的磁感应强度。

解：应用磁场叠加原理求解。

长直载流导体圆管产生的磁场分布具有轴对称性，在横截面内取圆心在轴线上、过O点的圆周为回路，应用安培环路定理，有

???B?dl?B1?2?(R?d)??0?I??0I1

i所以，长直载流导体圆管在O点产生的磁感强度大小为

I1B1?，方向垂直纸面向里

2?R?d电流I2的长直导线在O点产生的磁感强度大小为

?IB2?02，方向垂直纸面向外

2?R电流I2的圆线圈在O点产生的磁感强度大小为

?0I2 I1 d

O R I2 3

B3??0I22R，方向垂直纸面向外

所以，O点的磁感强度大小为

B?B2?B3?B1??0(1??)I22?[R?I1] R?d方向垂直纸面向外。

15. 在半径为R的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a,且a＞r，横截面如图所示。现在电流I沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行。求：

(1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小； (2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小。

解：在空腔处补上沿导体管流动、在横截面均匀分布的电流I2和?I2，应用补偿法求解。

电流I2和?I2在空间产生的磁场相互抵消，因此空间各点磁场可看作半径为R、电流

I1?I?I2均匀分布在横截面上的圆柱导体和半径为r、电流?I2均匀分布在横截面上的圆柱导体产生的磁场的叠加。 I2和I1的大小为

Ir2I2???r?2 222?(R?r)R?rI2IR2I1?I?I2?2

R?r2I1和I2产生的磁场分布具有轴对称性，应用安培环路定理求磁感应强度。

（1）电流I1在O点产生的B1?0，电流?I2在O点产生的磁感应强度满足

???B?dl?B2?2?a??0?I??0I2

i?0I2?0Ir2B2??

2?a2?aR2?r2圆柱轴线上的O点B的大小为

?0Ir2 B0?B1?B2?

2?a(R2?r2)??0，电流I1在O?点产生的磁感应强度满足 (2) 电流?I2在O?点产生的B2??I12?B?dl?B?2?a??I????a ?1002?i?R?0Ia?0I1a2?B1??

2?aR22?(R2?r2)空心部分轴线上O?点磁感应强度的大小为

?0Ia??B1??B2?? B0

2?(R2?r2)?置于磁感应强度为B的均匀磁场中，bc弧是半径为R的半圆周，

?B的方向垂直纸面向里。求此导线受到安培力的大小和方向。

?16. 通以电流I的导线abcd形状如图所示，ab?cd?l，

?dF ?y dl 解：应用安培定律求解。 ab边受力大小为

Fab?BIl，方向：向左

? x

cd边受力大小为

4

Fcd?BIl，方向：向右

对于bc边，建立图示坐标系。

?在bc边上取电流元Idl，dF?BIdl?BIRd? 根据对称性有Fx?0

dFy?dFsin??BIRsin?d?

Fy??dFy?BIR?sin?d??2BIR

0?此导线受到安培力的大小为F?2BIR，方向沿y轴正向。

17. 在长直导线AB内通以电流I1，在矩形线圈CDEF中通有电流I2，AB与线圈共面，且

CD，EF都与AB平行，线圈的尺寸及位置均如图所示。求：导线AB的磁场对矩形线圈每边所

作用的力及矩形线圈所受合力。

?解：FCD方向垂直CD向左，大小

?0I1 2?d?同理，FFE方向垂直FE向右，大小

?0I1FFE?I2b

2?(d?a)?FCF方向垂直CF向上，大小为

d?a?II?IId?a012FCF??dr?012ln

d2?r2?d?FED方向垂直ED向下，大小为

FCD?I2bFED?FCF

????? 线圈所受合力F?FCD?FFE?FCF?FED方向向左，大小为

F?FCD?FFE??0bI1I2a

2?d(d?a)18. 有圆线圈直径8cm，共12匝，通电流5A，将此线圈置于磁感应强度为 0.6T的匀强磁场中。试求：

（1）作用在线圈上的最大磁力矩；

（2）线圈法线方向与磁场方向夹角多大时，力矩是线圈上最大力矩的一半？（取最小角度）

2解：(1)Pm?NIS??RNI

02 M?PmBsin90??RNIB?0.18N?m

(2) M?PmBsin??1PmB，所以 2???6

19. 一线圈由半径为R的1/4圆弧和相互垂直的二直线组成，通以电流I，把它放在磁感应强度大小为B的均匀磁场中(磁感应强度B的方向如图所示)。求：

⌒(1)线圈平面与磁场垂直时，圆弧 AB 所受的磁力； (2)线圈平面与磁场成60°角时，线圈所受的磁力矩大小。

?解：（1）建立图示坐标系。在圆弧上取电流元Idl

dF?BIdl?BIRd?

根据对称性有Fx?0

y

??dF dl x

5

?

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