和差化积、积化和差、万能公式之欧阳学文创作
更新时间:2023-05-14 04:54:02 阅读量: 实用文档 文档下载
- 和差化积积化和差万能公式推荐度:
- 相关推荐
欧阳学文创作
正、余弦和差化积公式
欧阳学文
指高中数学三角函数部分的一组恒等式
sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】
以上四组公式可以由积化和差公式推导得到
证明过程
sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程
因为
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,
将以上两式的左右两边分别相加,得
sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,
设α+β=θ,α-β=φ
欧阳学文创作
欧阳学文创作
那么
α=(θ+φ)/2, β=(θ-φ)/2
把α,β的值代入,即得
sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
编辑本段正切的和差化积
tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)(附证明)
cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)
tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)
tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)
证明:左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ
=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)
=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边
∴等式成立
编辑本段注意事项
在应用和差化积时,必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名,必须用诱导公式化为同名;若是高次函数,必须用降幂公式降为一次
欧阳学文创作
欧阳学文创作
口诀
正加正,正在前,余加余,余并肩
正减正,余在前,余减余,负正弦
反之亦然
生动的口诀:(和差化积)
帅+帅=帅哥
帅-帅=哥帅
咕+咕=咕咕
哥-哥=负嫂嫂
反之亦然
编辑本段记忆方法
和差化积公式的形式比较复杂,记忆中以下几个方面是难点,下面指出了各自的简单记忆方法。
结果乘以2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1],其积的值域也应该是[-1,1],而和差的值域却是[-2,2],因此乘以2是必须的。
欧阳学文创作
欧阳学文创作
也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相同而造成有系数2,如:
cos(α-β)-cos(α+β)
=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(c osαcosβ-sinαsinβ)]
=2sinαsinβ
故最后需要乘以2。
只有同名三角函数能和差化积
无论是正弦函数还是余弦函数,都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主要是根据证明记忆,因为如果不是同名三角函数,两角和差公式展开后乘积项的形式都不同,就不会出现相抵消和相同的项,也就无法化简下去了。
乘积项中的角要除以2
在和差化积公式的证明中,必须先把α和β表示成两角和差的形式,才能够展开。熟知要使两个角的和、差分别等于α和β,这两个角应该是(α+β)/2和(α-β)/2,也就是乘积项中角的形式。
欧阳学文创作
欧阳学文创作
注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”,但位置不同;而只有和差化积公式中有“乘以2”。
使用哪两种三角函数的积
这一点较好的记忆方法是拆分成两点,一是是否同名乘积,二是“半差角”(α-β)/2的三角函数名。
是否同名乘积,仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中,余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积,正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以,余弦的和差化作同名三角函数的乘积;正弦的和差化作异名三角函数的乘积。
(α-β)/2的三角函数名规律为:和化为积时,以cos(α-β)/2的形式出现;反之,以sin(α-β)/2的形式出现。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果要使和化为积,那么α和β调换位置对结果没有影响,也就是若把(α-β)/2替换为(β-α)/2,结果应当是一样的,从而(α-β)/2的形式是cos(α-β)/2;另一种情况可以类似说明。
余弦-余弦差公式中的顺序相反/负号
欧阳学文创作
欧阳学文创作
这是一个特殊情况,完全可以死记下来。
当然,也有其他方法可以帮助这种情况的判定,如(0,π]内余弦函数的单调性。因为这个区间内余弦函数是单调减的,所以当α大于β时,cosα小于cosβ。但是这时对应的(α+β)/2和(α-β)/2在(0,π)的范围内,其正弦的乘积应大于0,所以要么反过来把cosβ放到cosα前面,要么就在式子的最前面加上负号。
积化和差公式
sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2(注意:此时差的余弦在和的余弦前面)
或写作:sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2(注意:此时公式前有负号)
cosαcosβ=[cos(α-β)+cos(α+β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
编辑本段证明
欧阳学文创作
欧阳学文创作
积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明:
sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]
=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
其他的3个式子也是相同的证明方法。
(参见和差化积)
编辑本段作用
积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和乘以常数的形式,所以使用积化和差公式可以达到降次的效果。
在历史上,对数出现之前,积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算,运算需要利用三角函数表。
运算过程:将两个数通过乘、除10的方幂化为0到1之间的数,通过查表求出对应的反三角函数值,即将原式化为10^k*sinαsinβ的形式,套用积化和差后再次查表求三角函数的值,并最后利用加减算出结果。
欧阳学文创作
欧阳学文创作
对数出现后,积化和差公式的这个作用由更加便捷的对数取代。
编辑本段记忆方法
积化和差公式的形式比较复杂,记忆中以下几个方面是难点,下面指出了各自的简单记忆方法。
结果除以2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1],其和差的值域应该是[-2,2],而积的值域确是[-1,1],因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相同而造成有系数2,如:
cos(α-β)-c os(α+β)
=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)
=2sinαsinβ
故最后需要除以2。
使用同名三角函数的和差
欧阳学文创作
欧阳学文创作
无论乘积项中的三角函数是否同名,化为和差形式时,都应是同名三角函数的和差。这一点主要是根据证明记忆,因为如果不是同名三角函数,两角和差公式展开后乘积项的形式都不同,就不会出现相抵消和相同的项,也就无法化简下去了。
使用哪种三角函数的和差
仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中,余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积,正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以反过来,同名三角函数的乘积,化作余弦的和差;异名三角函数的乘积,化作正弦的和差。
是和还是差?
这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。规律为:“小角”β以cosβ的形式出现时,乘积化为和;反之,则乘积化为差。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果β的形式是cosβ,那么若把β替换为-β,结果应当是一样的,也就是
欧阳学文创作
欧阳学文创作
含α+β和α-β的两项调换位置对结果没有影响,从而结果的形式应当是和;另一种情况可以类似说明。
正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号
这是一个特殊情况,完全可以死记下来。
当然,也有其他方法可以帮助这种情况的判定,如[0,π]内余弦函数的单调性。因为这个区间内余弦函数是单调减的,所以cos(α+β)不大于cos(α-β)。但是这时对应的α和β在[0,π]的范围内,其正弦的乘积应大于等于0,所以要么反过来把cos(α-β)放到cos(α+β)前面,要么就在式子的最前面加上负号。
万能公式
【词语】:万能公式
【释义】:应用公式sinα=[2tan(α/2)]/{1+[tan(α/2)]^2}
cosα=[1-tan(α/2)^2]/{1+[tan(α/2)]^2}
tanα=[2tan(α/2)]/{1-[tan(α/2)]^2}
将sinα、cosα、tanα代换成tan(α/2)的式子,这种代换称为万能置换。
欧阳学文创作
欧阳学文创作
【推导】:(字符版)
sinα=2sin(α/2)cos(α/2)=[2sin(α/2)cos(α/2)]/[sin(α/2)^2+cos(α/2 )^2]=[2tan(α/2)]/[1+(tanα/2)^2]
cosα=[cos(α/2)^2-sin(α/2)^2]=[cos(α/2)^2-sin(α/2)^2]/[sin(a/2)^ 2+cos(a/2)^2]=[1-tan(α/2)^2]/[1+(tanα/2)^2]
tanα=tan[2*(α/2)]=2tan(α/2)/[1-tan(α/2)^2]=[2tan(α/2)]/[1-(tanα/2)^2]
欧阳学文创作
正在阅读:
英语48个国际音标表(新版)word版03-28
施工组织设计方案 - 图文11-08
备课基本要求及检查标准08-10
ps渐变02-09
五三班成长规划12-15
十八届三中全会全文(中共中央关于全面深化改革若干重大问题的决定)02-03
最新统编-部编人教版六年级下册语文:六年级语文下册语文复习资04-13
贺银成总结的病例分析诊断公式及各科金口诀11-30
直流稳压电源电路设计10-15
- 教学能力大赛决赛获奖-教学实施报告-(完整图文版)
- 互联网+数据中心行业分析报告
- 2017上海杨浦区高三一模数学试题及答案
- 招商部差旅接待管理制度(4-25)
- 学生游玩安全注意事项
- 学生信息管理系统(文档模板供参考)
- 叉车门架有限元分析及系统设计
- 2014帮助残疾人志愿者服务情况记录
- 叶绿体中色素的提取和分离实验
- 中国食物成分表2020年最新权威完整改进版
- 推动国土资源领域生态文明建设
- 给水管道冲洗和消毒记录
- 计算机软件专业自我评价
- 高中数学必修1-5知识点归纳
- 2018-2022年中国第五代移动通信技术(5G)产业深度分析及发展前景研究报告发展趋势(目录)
- 生产车间巡查制度
- 2018版中国光热发电行业深度研究报告目录
- (通用)2019年中考数学总复习 第一章 第四节 数的开方与二次根式课件
- 2017_2018学年高中语文第二单元第4课说数课件粤教版
- 上市新药Lumateperone(卢美哌隆)合成检索总结报告
- 学文
- 欧阳
- 公式
- 万能
- 创作
- 残角子宫还能怀孕吗
- 最新初一的生活作文300字合集10篇
- 西班牙语合同用词
- 中国石油大学(华东)2014年春三相交流电路实验报告
- 昆明理工大学 2014-Sheet1
- 农产品冷链物流中的安全监控应用研究
- 近年国家政策对商业银行个人住房贷款风险的影响
- 从关键期假设论二语习得
- MCGS组态软件教程
- 培训手册(1)-元件认知
- 山东省滨州市2021版二年级语文上学期期中测试卷B卷
- 中医对乳腺增生病的认识及实验研究概况
- 山东省滨州市二年级上学期语文期中考试试卷B卷
- 翻译与语境的关系正式开题报告
- 小学二年级教师工作计划_教师工作计划
- 大学生手机依赖与社会支持的关系研究-
- 福建漳浦海岸沙丘粒度参数记录的环境演变
- 高三化学石油、煤和天然气的综合利用1
- 2015-2022年中国涂料油墨、颜料及类似产品制造投资战略咨询报告
- psim仿真项目buck电路