变化率问题教案
更新时间:2024-01-24 22:36:01 阅读量: 教育文库 文档下载
人教A版选修2-2第一章《导数及其应用》第1节 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
冯敏(监利一中) 教学目标 知识目标
1.了解微积分在数学发展中的作用,感受数学家的智慧和精神。
2.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程,体会从特殊到一般的数学思想,体现了数学知识来源于生活,又服务于生活。
3.通过函数平均变化率几何意义的教学,让学生体会数形结合的思想。 4.通过例题的解析,让学生进一步理解函数平均变化率的概念。 能力目标:1.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力;
2.通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。 情感目标: 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中,经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体会数学的博大精深以及学习数学的意义。 教学重点
1.平均变化率的概念的归纳得出;
2.理解平均变化率的概念,体会平均变化率的几何意义,会计算函数在某个区间上的平均变化率;
3.感受数学模型在刻画客观世界的作用,进一步领会变量数学的思想,提高分析问题、解决问题的能力。
教学难点:平均变化率的理解与转化 教学方法
引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念;引导学生通过积极探究、讨论,逐步理解平均变化率的实际意义和几何意义。 教学基本流程 历史背景 知识流程 现象解析 有效建构 类比归纳
实例探究 习题释疑 归纳小结 教学过程设计:
一.创设情境
为了描述现实世界中运动、变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究不断深入,17世纪中叶牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:(1)已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意
时刻的速度与加速度等;反之亦可;(2)求曲线的切线;(3)求已知函数的最大值与最小值;(4)求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一。 【设计意图】运用数学史知识,有助于帮助学生弄清数学知识的来龙去脉,使知识网络更加清晰,形成科学系统;运用数学史知识,会让学生大脑处于兴奋状态,提高学习兴趣,对所学内容有更深刻的理解乃至欣赏,并领悟到问题的本质. 二.新课讲授
(1) .问题提出:
T (℃)C (34, 33.4)问题1 气温平均变化率
30【设计意图】引导学生最终用温度的平均变化率刻画 20B (32, 18.6)温度变化的快慢,让学生意识到可以用变化率体现事 物变化的快慢情况。 10A (1, 3.5)2【学生探索】从图中观察出各时间段内的温度变化 02103034情况,怎样用数学知识表示这种现象? (注:3月18日为第一天)20t(d)问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)= -4.9t2
+6.5t+10.
思考,我们可以用什么物理量来描述运动员在某段时间内的运动快慢情况?(平均速度), 动手计算:0?t?0.5和1?t?2的平均速度v, 在0?t?0.5这段时间里,v?h(0.5)?h(0)0.5?0?4.05(m/s);
在1?t?2这段时间里,v?h(2)?h(1)2?1??8.2(m/s)
思考:当时间从t1增加到t2时,高台跳水运动员的平 均速度是多少?
v?h(t2)?h(t1)
t2?t1【归纳总结】平均速度是用来刻画位移变化快慢的量。 探究:计算运动员在0?t?6549这段时间里的平均速度,并思考以下问题: ⑴运动员在这段时间内是静止的吗?
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? h(65【学生探究】经过计算知h(65)?h(049)?h(0)49),所以v?65?0(s/m), 49?0
【分析作答】如图是函数h(t)= -4.9t2
+6.5t+10的图像,结合图形可知虽然运动员在
0?t?6549这段时间里的平均速度为0(s/m),但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,
平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态,并不能反映每一时刻的运动状态。 问题3 气球膨胀率
【学生探索1】吹气球的过程中,气球发生了什么变化?
现象总结:在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.
【学生探索2】从数学的角度, 如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)?43?r3 如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)?33V4? 空气容量v(L) 0 1 2 3 气球半径(dm) 0 0.62 0.78 0.89 半径的改变量(dm) 0.62 0.16 0.11 如果体积增量不是1L,而是2L或是3L,显然用半径的变化量不足以刻画半径增加的快慢, 因此还要计算半径的变化率。
此题中的气球半径的变化率就叫做气球的平均膨胀率。
V从0增加到1L气球平均膨胀率为 V从1L增加到2L气球平均膨胀率为 V从2L增加到3L气球平均膨胀率为
【设计意图】对一种生活现象的数学解析,层层深入,激发学生深入探究的兴趣,而且让学生感到数学是可以服务于生活实际的.
Vr(V2)?r(V思考:当空气容量从?1)1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少V2?V1
【归纳总结】平均膨胀率用来刻画气球半径变化快慢的量。
让学生回顾上述的三个问题,找出它们的共同特征,把问题一般化,归纳得到函数的平均变化率的概念。
(2)平均变化率概念:
【获取新知】平均变化率定义
平均变化率:式子f(x2)?f(x1)x ,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率。
2?x1习惯上用?x表示x2?x1,即?x?x2?x1, ?f?f(x2)?f(x1) 则平均变化率为
f(x2)?f(x1)x??y(说明?x是一个整体符号,而不是2?x1?x?与x相乘) 【定义理解】
1、平均变化率是用来刻画变量变化快慢的量。
2、式子中?x,?y的值可正、可负,?x的值不能为0,?y的值可以为0.
3、变式:
??x?x2?x1,?x2?x1??xf(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)x? 2?x1?x求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的变化量
?y?(2)计算函数平均变化率: ?f( yx2)?ff(x(x1)2)?f(x1)思考:
? x?x2?x1W(k
11 8.6 6. 3.5 (3)例题讲解 0 3 6 9 1T(月)
例1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试比较从出生到 第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率那个较大. 【设计意图】引导学生从数与形两个角度来 分析变量的变化快慢。
例2.已知函数f(x)=2x+1, 分别计算在下列区间上f(x)的平均变化率. (1) [-3,-1], (2) [0,5],
【设计意图】 理解定义并会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
(4)小结归纳,拓展深化
1.通过本节课的学习,你学到了那些知识? 2.你又掌握了哪些学习方法? 3.课后作业:①习题1.1A组 第1题.
②质点运动规律为s?t2?3,则在时间(3,3??t)中相应的平均速度为 . ③过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的斜率.
【设计意图】让学生在小结中明确本节课的学习内容,强化本节课的学习重点,并为后续学习打下基础.通过回顾知识,达到拓展深化.
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