2018届中考数学《第六讲第3课时抛物线中的一个动点问题》同步练

第3课时 抛物线中的一个动点问题

(40分)

1．(20分)[2017·酒泉]如图6－3－1，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点B(－2，0)，点C(8，0)，与y轴交于点A.

(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋4的表达式； (2)连结AC，AB，若点N在线段BC上运动(不与点

图6－3－1

B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；

(3)连结OM，在(2)的结论下，求OM与AC的数量关系．

【解析】 (1)用待定系数法，将点B，点C的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋4，解得a，b，即可求出二次函数的表达式；

(2)设点N的坐标为(n，0)(－2＜n＜8)，则BN＝n＋2，CN＝8－n.由题意可知，BC＝10，OA＝4，S△ABC＝20，S△ABN＝2(n＋2)，因MN∥AC，根据平行线分AMNC8－n

线段成比例定理可得AB＝BC＝10，由△AMN，△ABN是同高三角形，可S△AMNAMCN8－n得出＝＝＝10，从而得出△AMN的面积S与n的二次函数关系

S△ABNABCB式，根据二次函数的顶点性质，即可求出当n＝3时，即N(3，0)时，△AMN的面积最大；

(3)当N(3，0)时，N为BC边中点，由NM∥AC推出M为AB边中点，根据直1

角三角形中线定理可得OM＝2AB，利用勾股定理，易得AB＝25，AC＝45，1

即可求出OM＝4AC.

?4a－2b＋4＝0，

解：(1)将点B，点C的坐标分别代入y＝ax＋bx＋4，得?

?64a＋8b＋4＝0，

2

13

解得a＝－4，b＝2.

13

∴该二次函数的表达式为y＝－4x2＋2x＋4；

(2)设点N的坐标为(n，0)(－2＜n＜8)； 则BN＝n＋2，CN＝8－n.

∵B(－2，0)，C(8，0)，∴BC＝10. 令x＝0，得y＝4，∴A(0，4)，OA＝4， AMNC8－n

∵MN∥AC，∴AB＝BC＝10.

1

∵OA＝4，BC＝10，∴S△ABC＝2BC·OA＝20.

11

S△ABN＝2BN·OA＝2(n＋2)×4＝2(n＋2)， S△AMNAM8－n又∵＝＝10，

S△ABNAB

8－n11

∴S△AMN＝10S△ABN＝5(8－n)(n＋2)＝－5(n－3)2＋5. ∴当n＝3时，即N(3，0)时，△AMN的面积最大； (3)当N(3，0)时，N为BC边中点．∴M为AB边中点， 1

∴OM＝2AB，∵AB＝OB2＋OA2＝4＋16＝25， AC＝OC2＋OA2＝64＋16＝45， 11

∴AB＝2AC，∴OM＝4AC.

2．(20分)[2016·贵港]如图6－3－2，抛物线y＝ax2＋bx－5(a≠0)与x轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE＝S△ABC时，求点E的坐标；

图6－3－2

(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP＝∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)把A，B两点坐标代入表达式，可得 1

a＝??3，?25a－5b－5＝0，

?解得?

2?9a＋3b－5＝0，

??b＝3，

12

∴抛物线的表达式为y＝3x2＋3x－5；

12

(2)在y＝3x2＋3x－5中，令x＝0，可得y＝－5， ∴点C坐标为(0，－5)，

∵S△ABE＝S△ABC，且点E在x轴下方， ∴点E纵坐标和点C纵坐标相同， 12

当y＝－5时，代入可得3x2＋3x－5＝－5， 解得x＝－2或x＝0(舍去)， ∴点E坐标为(－2，－5)；

12??

(3)假设存在满足条件的P点，其坐标为?m，3m2＋3m－5?，

??

如答图，连结AP，CE，AE，过点E作ED⊥AC于点D，过点P作PQ⊥x轴于点Q，

则AQ＝AO＋OQ＝5＋m， 2?1?

PQ＝?3m2＋3m－5?，

??

在Rt△AOC中，OA＝OC＝5， 则AC＝52，∠ACO＝∠DCE＝45°，

由(2)可得EC＝2，在Rt△EDC中，可得DE＝DC＝2， ∴AD＝AC－DC＝52－2＝42， 当∠BAP＝∠CAE时，则△EDA∽△PQA，

?122?

?3m＋3m－5?

?EDPQ2?

∴AD＝AQ，即＝，

5＋m42

121121

∴m2＋m－5＝(5＋m)或m2＋m－5＝－(5＋m)， 33433412115

当3m2＋3m－5＝4(5＋m)时，整理可得4m2＋5m－75＝0，解得m＝4或m＝－5(与点A重合，舍去)，

1219

当3m2＋3m－5＝－4(5＋m)时，整理可得4m2＋11m－45＝0，解得m＝4或m＝－5(与点A重合，舍去)，

第2题答图

915

∴存在满足条件的点P，其横坐标为4或4.

(40分)

3．(20分)[2016·南宁]如图6－3－3，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．

(1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)求证：△ABC是直角三角形；

(3)若N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与

图6－3－3

抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】 (1)∵顶点坐标为(1，1)， ∴设抛物线表达式为y＝a(x－1)2＋1，

又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a＝－1， ∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋1，即y＝－x2＋2x， 联立抛物线和直线表达式，可得

2

?y＝－x＋2x，?x＝2，?x＝－1，?解得?或? ?y＝x－2，?y＝0?y＝－3，

∴B(2，0)，C(－1，－3)；

(2)证明：如答图，分别过A，C两点作x轴的垂线，交x轴于D，E两点， 则AD＝OD＝BD＝1，BE＝OB＋OE＝2＋1＝3， EC＝3.

∴∠ABO＝∠CBO＝45°，即∠ABC＝90°， ∴△ABC是直角三角形；

(3)假设存在满足条件的点N，设N(x，0)，则M(x， －x2＋2x)，

∴ON＝|x|，MN＝|－x2＋2x|，

由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB＝2，BC＝32， ∵MN⊥x轴于点N，∴∠ABC＝∠MNO＝90°，

第3题答图

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pvw.html