第五章 常微分方程初值问题数值解法

数值分析第五章课件

第5章 常微分方程数值解法§5.1 引言 u( x1 , , xn ) y ' x y y包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微 ( x) : 2 2 u u y (0) 1 2 0 2 , x1 自变量的 xn 分的方程称为微分方程.在微分方程中 个数只有一个, 称为常微分方程.自变量的个数为 两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程.微分方 程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方

程的阶数.如果未知函数y及其各阶导数

y , y , , y

( n)

都是一次的,则称它是线性的,否则称为非线性的.

数值分析第五章课件

在《常微分方程》中，对于常微分方程的求解，给出了一些典型方程求解析解的基本方法，如可分

离变量法、常系数齐次线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的解法等.但能求解的常微分方程仍 然是有限的，大多数的常微分方程是不可能给出解 析解. 譬如

y x y2

2

这个一阶微分方程就不能用初等函数及其积分来 表达它的解.

数值分析第五章课件

再如，方程

y y y (0) 1的解 y e x ,虽然有表可查,但对于表上没 有给出 e x 的值,仍需插值方法来计算

数值分析第五章课件

从实际问题当中归纳出来的微分方程，通常主要依 靠数值解法来解决.本章主要讨论一阶常微分方程初 值问题

y f ( x, y ) ( 5.1 ) y ( x ) y 0 0 在区间a≤x≤b上的数值解法. 可以证明,如果函数在带形区域 R={a≤x≤b,-∞<y<∞} 内连续，且关于y满足Lipschitz条件，即存在常数 L(它与x,y无关)使 f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2

对R内任意两个 y1 , y2 都成立,则方程( 5.1 )的解 y y ( x) 在 a, b 上存在且唯一.

数值分析第五章课件

数值方法的基本思想 对常微分方程初值问题(5.1)式的数值解法，就 是要算出精确解y(x)在区间 a,b 上的一系列离散节

点 x1 x2

xn xn 1 处的函数值 y( x1 ), y( x2 ), y( xn ), y( xn 1 ), 的近似值 y1, y2 , , yn , yn 1, 相邻两个节点的间距 h xi 1 xi 称为步长，步长可以相等，也可以不等.本章总是假定h为定数，称为定步长，这时节点可表示为

,

xn x0 nh, n 0,1, 2,数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从而求 出离散节点的数值解.

数值分析第五章课件

对常微分方程数值解法的基本出发点就是离散 化.其数值解法有个基本特点，它们都采用“步进 式”,即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地

向前推进，描述这类算法，要求给出用已知信息 差分格式 yn , yn 1 , yn 2 , 计算 yn 1 的递推公式. 建立这类递推公式的基本方法是在这些节点上用数 值积分、数值微分、泰勒展开等离散化方法，对初 值问题 y f ( x, y ) y ( x0 ) y 0 中的导数 y 进行不同的离散化处理.

数值分析第五章课件

y f ( x, y ) y (

x0 ) y 0 的数值解法，首先要解决的问题就是如何对微分方 程进行离散化，建立求数值解的递推公式. 递推公式通常有两类，一类是计算yn+1时只用到xn+1, xn和yn,即前一步的值，因此有了初值以后就可以逐 步往下计算，此类方法称为单步法. 另一类是计算yn+1时，除用到xn+1,xn和yn以外，还要 用到 xn 1, yn 1, xn 2 , yn 2 , xn k , yn k , 即前面k步的值，此 类方法称为多步法.对于初值问题

数值分析第五章课件

§5.2 Euler方法 5.2.1 Euler格式

Euler方法是解初值问题的最简单的数值方法.初值问题

y f ( x, y ) y ( x0 ) y 0 的解y=y(x)称为它的积分曲线.积分曲线上每一点 ( x, y ) 处的切线的斜率 y ( x) 等于函数 f ( x, y ) 在这 点的值.

数值分析第五章课件

即有 y '( x) f ( x, y( x))在点xn处为 y '( xn ) f ( xn , y( xn ))

y( xn 1 ) y( xn ) y( xn 1 ) y( xn ) 取 y '( xn ) xn 1 xn h

y( xn 1 ) y( xn ) hf ( xn , y( xn )) yn 1 yn 设y(xn)的近似值yn已知，用它带入上式右端进行计 算，并取计算结果yn+1作为y(xn+1)的近似值,则可得则有

yn 1 yn hf ( xn , yn )

( 5.2 ) Euler格式

数值分析第五章课件

Euler法的求解过程是:从初 始点P0(即点(x0,y0))出发, 作积分曲线y=y(x)在P0点上P0

P1 P1

P i+1 Pn y=y(x) Pi Pn Pi Pi+1

切线 P0 P (其斜率为 1 y ( x0 ) f ( x0 , y0 ) ),与x=x1直线

x0

x1

xi

xi+1

xn

相交于P1点(即点(x1,y1),得到y1作为y(x1)的近似值,如上图所示.过点(x0,y0),以f(x0,y0)为斜率的切线方 程为y y0 f ( x0 , y0 )(x x0 )

当x x1时,得

y1 y0 f ( x0 , y0 )(x1 x0 )

这样就获得了P1点的坐标.

数值分析第五章课件

P1 P0 P1

P i+1 Pn y=y(x) Pi Pn Pi+1 Pi

x0

x1

xi

xi+1

xn

同样, 过点P1(x1,y1),以斜率 f ( x1 , y1 ) 作直线交x=x2于 P2点,线段 P 所在的直线方程为 1P 2

y y1 f ( x1 , y1 )(x x1 )当 x x2 时,得 y2 y1 f ( x1 , y1 )(x2 x1 ) 由此获得了P2的坐标.

数值分析第五章课件

P1 P0 P1

P i+1 Pn Pi Pi+1 Pi

y=y(x) Pn

x0

x1

xi

xi+1

xn

重复以上过程,就可获得一系列的点:P1,P1,…,Pn.对 已求得点 Pn ( xn , y n )

以 f ( xn , yn )为斜率作直线 y yn f ( xn , yn )(x xn )当 x xn 1 时,得 yn 1 yn f ( xn , yn )(x x 1 xn ) 取 y( xn 1 ) yn 1

数值分析第五章课件

P1 P0 P1

P i+1 Pn Pi Pi+1 Pi

y=y(x) Pn

x0

x1

xi

xi+1

xn

这样,从x0逐个算出 x1 , x2 , xn 对应的数值解

y1 , y2 , yn

从图形上看,就获得了一条近似于曲线y=y(x) 的折线 PP 1 2P 3

P n.

数值分析第五章课件

Euler格式算法实现 (1)计算步骤 b a ① 输入 a, b, h, f ( x, y), x0 , y0 ,并计算出 N ; h ② 使用Euler格式进行计算

y1 y0 hf ( x0 , y0 ) x1 x0 h③ 输出 x1 , y1,并使 x1 x0 , y1 y0 转到 ② 直至n > N 结束.

数值分析第五章课件

( ) 格 式 的 流 程 图

开始 输入 a,b,h,x0, y0,f(x,y) N=(

b-a)/h;n=1

2 Euler

y0+hf(x0,y0 ) y1 x0+h x1

输出 x1, y1 nn=N ? n+1 n

y 结束

x1 x0 y1 y0

数值分析第五章课件

例5.1 用Euler格式解初值问题

2x y y y y(0) 1 取步长h=0.1.

(0 x 1)

Euler格式的具体形式为

yn 1 yn hf ( xn , yn ) 2 xn yn 0.1( yn ) yn 0.2 xn 1.1yn yn

数值分析第五章课件

计算公式的精度 常以Taylor展开为工具来分析计算公式的精度. 为简化分析，假定yn是准确的，即在 yn y( xn ) 的前提下估计误差 y( xn 1 ) yn 1 Euler格式的局部截断误差 由 从而

局部截断误差

f ( xn , yn ) f ( xn , y( xn )) y '( xn ) y( xn 1 ) yn 1 y( xn 1 ) ( yn hf ( xn , yn )) y( xn 1 ) y( xn ) hy '( xn ) h2 y ''( xn ) 2

数值分析第五章课件

5.2.2 后退的Euler格式

对 y '( x) f ( x, y( x)),在点xn+1处为

y '( xn 1 ) f ( xn 1, y( xn 1 ))y ( xn 1 ) y ( xn ) y ( xn 1 ) y ( xn ) 取 y '( xn 1 ) xn 1 xn h则有 y( xn 1 ) y( xn ) hf ( xn 1, y( xn 1 )) 设y(xn)的近似值yn已知，用它带入上式右端进行计

算，并取计算结果yn+1作为y(xn+1)的近似值,则可得

yn 1 yn hf ( xn 1 , yn 1 )

( 5.3 )

后退的Euler格式

数值分析第五章课件

隐式方程(5.3) yn 1 yn hf ( xn 1 , yn 1 )常用迭代法求解 (0) (0) 设用Euler格式 yn 给出迭代初值 y hf ( x , y ) y 1 n n n n 1用它带入(5.3)的右端，使之转化为显式，直接计算得(1) ( 0) yn y hf ( x , y 1 n n 1 n 1 )

然后再用 y

(1) n 1 ( 2) n 1

带入(5.3)的右端，又有 (1) y yn hf ( xn 1, yn 1 )

如此反复进行迭代，得( k 1) (k ) yn y hf ( x , y 1 n n 1 n 1 ), k 0,1,(k ) 如果迭代过程收敛，则极限值 yn 1 lim yn 1 k

必满足隐式方程(5.3),从而获得后退的Euler格式的解.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pvum.html