4.4 利用根轨迹分析系统性能

4.4 利用根轨迹分析系统性能

利用根轨迹，可以定性分析当系统某一参数变化时系统动态性能的变化趋势，在给定该参数值时可以确定相应的闭环极点，再加上闭环零点，可得到相应零、极点形式的闭环传递函数。本节讨论如何利用根轨迹分析、估算系统性能，同时分析附加开环零、极点对根轨迹及系统性能的影响。

4.4.1 利用闭环主导极点估算系统的性能指标

如果高阶系统闭环极点满足具有闭环主导极点的分布规律，就可以忽略非主导极点及偶极子的影响，把高阶系统简化为阶数较低的系统，近似估算系统性能指标。

例4-10 已知单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)=

K

s(s+1)(0.5s+1)

试用根轨迹法确定系统在稳定欠阻尼状态下的开环增益K的范围，并计算阻尼比ξ=0.5的

K值以及相应的闭环极点，估算此时系统的动态性能指标。

解 将开环传递函数写成零、极点形式，得

2KK*

G(s)==

s(s+1)(s+2)s(s+1)(s+2）

式中，K*=2K为根轨迹增益。

系统有三条根轨迹分支，均趋向于无穷远处； ⑴ 实轴上的根轨迹区段为：( ∞, 2]，[ 1,0]；

1 2 σ== 1 a3

⑵ 渐近线：

=(2k+1)π=±π,πa 33

⑶ 分离点：

111++=0 dd+1d+2

整理得 3d2+6d+2=0

解得 d1= 1.577 d2= 0.432 显然分离点为 d= 0.432，由幅值条件可求得分离点处的K值：

*Kd=dd+1d+2=0.4

*

⑷ 与虚轴的交点：闭环特征方程式为

D(s)=s3+3s2+2s+K*=0

2*

Re[D(jω)]= 3ω+K=0

令

3

Im[D(jω)]= ω+2ω=0

ω

=±2

解得 *

K=6

系统根轨迹如图4-16所示。

从

从根轨迹图上可以看出稳定欠阻尼状态的根轨迹增益的范围为0.4<K*<6，相应开环增益范围为0.2<K<3。

为了确定满足阻尼比ξ=0.5条件时系统的3它个闭环极点，首先做出ξ=0.5的等阻尼线0A，与负实轴夹角为

β=arccosξ=60o

如图4-16所示。等阻尼线0A与根轨迹的交点即为相应的闭环极点，可设相应两个复数闭环极点分别为

λ1= ξωn+jωn ξ2= 0.5ωn+j0.866ωn λ2= ξωn jωn ξ2= 0.5ωn j0.866ωn

闭环特征方程为

D(s)=(s λ1)(s λ2)(s λ3)=

22

s3+(ωn λ3)s2+(ωn λ3ωn)s λ3ωn=

s3+3s2+2s+K*=0

ωn λ3=3

2

比较系数有 ωn λ3ωn=2

2* λ3ωn=K

2 ω= n3

解得 λ3= 2.33

*

K=1.04

故ξ=0.5时的K值以及相应的闭环极点为 K=K

*

=0.52

λ1= 0.33+j0.58，λ2= 0.33 j0.58，λ3= 2.33

在所求得的3个闭环极点中，λ3至虚轴的距离与λ1（或λ2）至虚轴的距离之比为

2.34

≈7（倍） 0.33

可见，λ1，λ2是系统的主导闭环极点。于是，可由λ1，λ2所构成的二阶系统来估算原三阶系统的动态性能指标。原系统闭环增益为1，因此相应的二阶系统闭环传递函数为

0.332+0.5820.6672

=2Φ2(s)= 2

(s+0.33 j0.58)(s+0.33+j0.58)s+0.667s+0.667

ωn=0.667将 代入公式得

ξ=0.5

σ%=e

ts=

ξπ

ξ2

=e 0.5×3.14

0.52

=16.3%

3.5

ξωn

=

3.5

=10.5s

0.5×0.667

原系统为Ⅰ型系统，系统的静态速度误差系数计算为

Kv=limsG(s)=lims

s→0

s→0

K

=K=0.525

s(s+1)(0.5s+1)

系统在单位斜坡信号作用下的稳态误差为

ess=

11

==1.9 KvK

例4-11 单位反馈系统的开环传递函数为

K*

G(s)=

(s+1)2(s+4)2

（1）画出根轨迹；

（2）能否通过选择K满足最大超调量δ%≤4.32%的要求？ （3）能否通过选择K满足调节时间ts≤2s的要求？ （4）能否通过选择K满足误差系数Kp≥10的要求？

***

K*

解 开环传递函数为 G(s)=

(s+1)2(s+4)2

（1）绘制系统根轨迹

1×2 4×2 σ== 2.5 a4渐近线：

kπππ(2+1)3 ==±,±a 444

起始角：对开环极点p1,2= 1：

(0+0+2θ1)=(2k+1)π

对开环极点p3,4= 4：

θ1=±90° θ3=±90°

(2×180°+2θ3)=(2k+1)π

与虚轴的交点：闭环特征方程为

D(s)=s4+10s3+33s2+40s+16+K*=0

令

42*

Re[D(jω)]=ω 33ω+16+K=0

3

Im[D(jω)]= 10ω+40ω=0

ω=±2解得

Kc=100

系统根轨迹如图4-17所示。

（2）由根轨迹可见，系统存在一对复数主导极点，系统性能可以由二阶系统性能指标公 式近似估算。σ%=4.32%，对应画β=45的等阻尼线与根轨迹交于A点。设位于A点的

o

主导闭环极点为 λ1,2= σ±jσ，则可设另外两个极点为λ3,4= δ±jσ，由根之和条件：

2σ 2δ=2×( 1)+2×( 4)= 10，可得：δ= 5+σ。因此有

D(s)=(s+σ+jσ)(s+σ jσ)(s+5 σ+jσ)(s+5 σ jσ)

=s4+10s3+(25+10σ)s2+50σs+(50 20σ+4σ2)σ2 =s4+10s3+33s2+40s+16+K*=0

比较系数可得

σ=0.8 K=7.8934

*

可见，当取K*≤7.8934时，有δ%≤4.32% （3）要求ts=

3.5

ξωn

≤2s，即ξωn≥1.75。这表明主导极点必须位于左半s平面，且距

离虚轴大于1.75。由根轨迹图知，在系统稳定的范围内，主导极点的实部绝对值均小于1，故调节时间ts≤2s的要求不能满足。

K

，临界稳定的根轨迹增益为Kc（4）由于Kp=limG(s)==100。所以，使系统稳

s→016

定的位置误差系数应满足

Kc 100

Kp<==6.26

1616

故不能选择K满足位置误差系数Kp≥10的要求。

例4-12控制系统结构图如图4-18(a)所示，试绘制系统根轨迹，并确定ξ=0.5时系统的开环增益K值及对应的闭环传递函数。

解 开环传递函数为

*

K*(s+4)s+2

G(s)H(s)=

s(s+2)(s+3)s+4

*K* = KK =

s(s+3) v=1

根据法则，系统有2

穷远处。

实轴上的根轨迹： [ 3,0]

11

分离点： +=0

dd+3

解得 d= 2

系统根轨迹如图4-18(c)所示。

作β=60

直 当ξ=0.5时，β=60。线与根轨迹交点坐标为

o

o

λ1= +jtg60o= +j

K*=

3

23232332

3333+j3 +j+3=9 2222

K*K==3

3

闭环传递函数为

K*(s+1)

K*(s+4)s(s+2)(s+3)

=2= Φ(s)=**

(s+3s+K)(s+2)K

1+

s(s+3)

9(s+4)

2

(s+3s+9)(s+2)

注意：本题中开环传递函数出现了零、极点对消现象。事实上，系统结构图经过等效变换可以化为图4-18（b）的形式，z= 4,λ= 2分别是闭环系统不变的零点和极点，而两条根轨迹反映的只是随根轨迹增益K变化的两个闭环特征根。这时应导出Φ(s)，找出全部闭环零、极点，然后再计算系统动态性能指标。

*

4.4.2 开环零、极点分布对系统性能的影响

开环零、极点的分布决定着系统根轨迹的形状。如果系统的性能不尽人意，可以通过调整控制器的结构和参数，改变相应的开环零、极点的分布，调整根轨迹的形状，改善系统的性能。

1．增加开环零点对根轨迹的影响

例4-13 三个单位反馈系统的开环传递函数分别为

K*(s+4)K*K*(s+2+j4)(s+2 j4)

G1(s)= G2(s)= G3(s)=

s(s+0.8)s(s+0.8)s(s+0.8)

试分别绘制三个系统的根轨迹。

解 三个系统的零、极点分布及根轨迹分别如图4-19(a), (b), (c)所示。当开环增益K=4时系统的单位阶跃响应曲线如图4-19(d) 所示。

(a) 原系统根轨迹图 (b) 加开环零点-2±j4后系统根轨迹图 (c) 加开环零点-4后系统根轨迹图

(d) 系统单位阶跃响应曲线

图4-19 增加开环零点后系统的根轨迹及其响应曲线

从图4-19中可以看出，增加一个开环零点使系统的根轨迹向左偏移。提高了系统的稳定度，有利于改善系统的动态性能，而且，开环负实零点离虚轴越近，这种作用越显著；若增加的开环零点和某个极点重合或距离很近时，构成偶极子，则二者作用相互抵消。因此，可以通过加入开环零点的方法，抵消有损于系统性能的极点。

2．增加开环极点对根轨迹的影响

例4-14 利用上述例子进行讨论。在原系统上分别增加一个实数开环极点-4和一对开环极点-2±j4，三个单位反馈系统的开环传递函数分别为

K*K*K*

G1(s)=， G3(s)=， G2(s)=

s(s+0.8)(s+4)s(s+0.8)(s+2+j4)(s+2 j4)s(s+0.8)

试分别绘制三个系统的根轨迹。

解 三个系统的零、极点分布及根轨迹分别如图4-20(a)，(b)，(c)所示。当开环增益K=2时系统的单位阶跃响应曲线如图4-20(d) )所示。

(a) 原系统根轨迹 (b) 加开环极点-4后的根轨迹 (c) 加开环极点-2±j4后的根轨迹

(d) 系统单位阶跃响应曲线

图4-20 增加开环极点后系统的根轨迹及其响应曲线

从图4-20中可以看出，增加一个开环极点使系统的根轨迹向右偏移。这样，降低了系统的稳定度，不利于改善系统的动态性能，而且，开环负实极点离虚轴越近，这种作用越显著。因此，合理选择校正装置参数，设置响应的开环零、极点位置，可以改善系统动态性能。

例4-15 采用PID控制器的系统结构图如图4-21所示，设控制器参数

KP=1,KD=0.25,KI=1.5。当取不同控制方式（P / PD / PI / PID）时，试绘制

K*=0→∞时的系统根轨迹。

解 (1) P控制：此时开环传递函数为

KPK K

KK= K=

GP(s)=P 22

s(s+2) v=1

根轨迹如图4-22 (a)所示。

(2) PD控制：此时开环传递函数为

K

(s+4)

K (0.25s+1) = GPD(s)=

s(s+2)s(s+2)

K

K=

2 v=1

根轨迹如图4-22 (b)所示。可见，由于根轨迹向左偏移，系统的动态性能得以有效改善。 (3) PI控制：此时开环传递函数为

K (1+

GPI(s)=

1.5

=K(s+1.5) s(s+2)s2(s+2)

3

K=K

4 v=2

系统由I型变为II型，稳态性能明显改善，但由相应的根轨迹图（图4-22 (c)）可以看出，由于引入积分，系统动态性能变差。 (4) PID控制：此时开环传递函数为

1.5K

K(1+0.25s+(s+2+j2)(s+2 j2)

GPID(s)==2

s(s+2)s(s+2)

3

KK=

4 v=2

根轨迹如图4-22 (d)所示。可以看出， PID控制综合了微分控制和积分控制的优点，既能改善系统的动态性能，又保留了II型系统的稳态性能。所以，适当选择KP、KD和KI可以有效改善系统性能。

(a) P控制根轨迹图 (b) PD控制根轨迹图

(c) PI控制根轨迹图

(d) PID控制根轨迹图 图4-22 采用P \ PD \ PI \ PID控制器时系统的根轨迹

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pvtj.html