分式的概念和性质(提高)+答案

分式的概念和性质（提高）

【学习目标】

1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.

2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】

【高清课堂403986 分式的概念和性质 知识要点】 要点一、分式的概念

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子

A叫做分式.其中AB叫做分子，B叫做分母.

要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，

分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.

（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以

分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.

（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个

常数，不是字母，如

a?是整式而不能当作分式.

（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式

x2y不能先化简，如是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，

x不能看化简的结果.

要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零.

2.分式无意义的条件：分母等于零.

3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就

必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.

（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式

中分母的值不等于零.

（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质

分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：

AA?MAA?M?，?（其中M是不等于零的整式）. BB?MBB?M要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着

的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式

中字母的取值范围有可能发生变化.例如：字母x的取值范围变大了.

，在变形后，

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要点四、分式的变号法则

对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.

要点诠释：根据分式的基本性质有

?bb?bb?，?.根据有理数除法的符号法则有?aaa?a?bbbaa???.分式与?互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着a?aabb重要的作用.

要点五、分式的约分，最简分式

与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.

要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分

母再没有公因式.

（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式

是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.

要点六、分式的通分

与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.

要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高

次幂的积作为公分母.

（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相

同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.

（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则

是针对多个分式而言. 【典型例题】 类型一、分式的概念

【高清课堂403986 分式的概念和性质 例1】

1、指出下列各式中的整式与分式：，

1xa?bx321，，，2，?，?3?2y2，

32?x?1x?yx2y2，．

4x【思路点拨】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【答案与解析】

a?bx2y22解：整式有：，，?，?3?2y，；

32?4地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010－82025511 传真：010－82079687 第2页 共10页

13x21分式有：，，，．

xx?yx2?1x【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母．此题判断容易出错的地方有两处：一个是把π也看作字母来判断，没有弄清π是一个常数；另一个就是将分式化简成整式后

x2再判断，如x和，前一个是整式，后一个是分式，它们表示的意义和取值范围是不相同

x的．

类型二、分式有意义，分式值为0

【高清课堂403986 分式的概念和性质 例2】

2、 当x取什么数时，下列分式有意义？当x取什么数时，下列分式的值为零？ （1）

xx?52x?10；（2）；（3）． 22x?1x?5x2【答案与解析】

解：（1）当x?1?0，即x??1时，分式有意义．

∵ x为非负数，不可能等于－1， ∴ 对于任意实数x，分式都有意义； 当x?0时，分式的值为零．

（2）当x?0即x?0时，分式有意义； 当?222?x?0,即x?5时，分式的值为零

?x?5?0,（3）当x?5?0，即x?5时，分式有意义；

?x?5?0,①当?时，分式的值为零，

2x?10?0②?由①得x?5时，由②得x?5，互相矛盾． ∴ 不论x取什么值，分式

2x?10的值都不等于零． x?5【总结升华】分母不为零时，分式有意义；分子的值为零，而分母的值不为零时，分式的值为零． 举一反三： 【变式1】若分式【答案】－2；

x?2x?5x?62的值为0，则x的值为___________________.

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提示：由题意??|x|?2?02?x?5x?6?0，???|x|?2?0，所以x??2.

???x?3??x?2??0【变式2】当x取何值时，分式【答案】

x?2的值恒为负数？ 2x?6?x?2?0,?x?2?0,解： 由题意可知?或?

2x?6?0,2x?6?0.??解不等式组??x?2?0,该不等式组无解．

?2x?6?0,?x?2?0,解不等式组?得?3?x?2．

2x?6?0.?所以当?3?x?2时，分式类型三、分式的基本性质

【高清课堂403986 分式的概念和性质 例4】

3、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数. (1) 【答案与解析】 解：(1)

；

； (2)

； (3)

.

x?2的值恒为负数． 2x?6(2)

???a?1?a?1； ??a2?2a2?2.

(3)

【总结升华】(1)、根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用；(2)、添括号法则：

当括号前添“＋”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号. 举一反三：

【变式】下列分式变形正确的是（ ）

xx2m?n(m?n)2(m?n)2A．?2 B． ??yym?n(m?n)(m?n)m2?n2C．

1?x1bab??2 D．2x?2x?1x?1aa【答案】D；

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提示：将分式变形时，注意将分子、分母同乘（或除以）同一个不为0的整式这一条件．其中A项分子、分母乘的不是同一整式，B项中m?n?0这一条件不知是否成立，故A、B两项均是错的．C项左边可化为：项亦错，只有D项的变形是正确的．

类型四、分式的约分、通分

1?x11，故C??(1?x)21?xx?1a2?2a?12n2?m4、约分：（1）；（2）；

a2?12mn?4n3通分：（3）

【答案与解析】

3a?b14x2与；（4），，． 222x?42ababcx?2x?2a2?2a?1(a?1)2a?1解：（1）； ??a2?1(a?1)(a?1)a?112n2?m2n2?m?(m?2n2)??（2）； ??3222n2mn?4n2n(m?2n)2n(m?2n)（3）最简公分母是2abc．

2233?bc3bca?b(a?b)?2a2a2?2ab． ?2?22，2??22222ab2ab?bc2abcabcabc?2a2abc（4）最简公分母是(x?2)(x?2)，

4x4x1x?2x?222(x?2)2x?4?2??2??2，2，．

x?2(x?2)(x?2)x?4x?4x?4x?2(x?2)(x?2)x?4【总结升华】如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，也就是分子、分母系数的最大公约数与相同字母的最低次幂．通分的关键是确定几个分式的最简公分母，若分母是多项式，则要因式分解，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母以及符号的变化情况．

类型五、分式条件求值

xx2?2xy?3y25、若??2，求2的值． 2yx?6xy?7y【思路点拨】本题可利用分式的基本性质，采用整体代入法，或把分式的分子与分母化成只含同一字母的因式，使问题得到解决． 【答案与解析】

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解法一：因为

x??2，可知y?0， y(x2?2xy?3y2)?1x2?2xy?3y2y2?所以2x?6xy?7y2(x2?6xy?7y2)?1y2?x?x?2??3?y?y ???2?x?x?6??7?y?y??2(?2)2?2?(?2)?35??． 2(?2)?6?(?2)?79解法二：因为

x??2， y所以x??2y，且y?0，

x2?2xy?3y2(x?3y)(x?y)x?3y?2y?3y5所以2????． 2x?6xy?7y(x?7y)(x?y)x?7y?2y?7y9【总结升华】本题的整体代入思想是数学中一种十分重要的思想．一般情况下，在条件中含有不定量时，不需求其具体值，只需将其作为一个“整体”代入进行运算，就可以达到化简的目的． 举一反三： 【变式】已知【答案】 解： 设

xyzxy?yz?zx??(xyz?0)，求2的值． 22346x?y?zxyz???k(k?0)，则x?3k，y?4k，z?6k． 346xy?yz?zx3k?4k?4k?6k?6k?3k54k254∴ 2???．

x?y2?z2(3k)2?(4k)2?(6k)261k261

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【巩固练习】 一.选择题

a2?91．若分式2的值为0，则a的值为（ ）

a?a?6A．3 B．－3 C．±3

D．a≠－2

2.把分式

2x中的x、y都扩大m倍（m≠0），则分式的值（ ） x?yB．缩小m倍

C．不变

D．不能确定

A．扩大m倍 3．若分式

5a?b有意义，则a、b满足的关系是（ ）

3a?2b122A．3a?2b B． a?b C．b???a D．a???b

5331?b4．若分式2的值是负数，则b满足（ ）

2b?1A．b＜0 B．b≥1 C．b＜1 D．b＞1

?x?yx?y?x?yx?y?x?yx?y??;②??;③??; 5．下面四个等式：①222222?x?yx?y④??其中正确的有（ ）

2?2A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

a2?b26．化简2的正确结果是（ ）

a?2ab?b2A．

a?b a?bB．

a?b a?bC．

1 2abD．

?1 2ab二.填空题 7.使分式

2x有意义的条件为______． 2(x?3)8.分式

2x?5有意义的条件为______．

(x?1)2?2|x|?4的值为零． x?4?m?nn?m2a?1?();(2)?(10．填空：(1)m?n?m?n?2b9．当______时，分式

11．填入适当的代数式，使等式成立．

)1?2a? 2baa?ab?2b()b?(). ??（1）（2）

a2?b2ab?aa?b1?b221?地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010－82025511 传真：010－82079687 第7页 共10页

m2?2m?112. 分式约分的结果是______．

1?m2三.解答题

x2?x113.若2的值为零，求的值． 2x?3x?2(x?1)14.已知

113x?7xy?3y的值． ??2，求

2x?3xy?2yxyx2x2?,求415.（1）阅读下面解题过程：已知2的值． x?15x?1解：∵

x2?,?x?0? x2?151512∴?,即x???

15x2x?xx21114∴4????? x?1x2?1(x?1)2?2(5)2?217x2x2（2）请借鉴（1）中的方法解答下面的题目：

xx2?2,求4已知2的值．

x?3x?1x?x2?1

【答案与解析】 一.选择题

1. 【答案】B；

【解析】由题意a?9?0且a?a?6?0，解得a??3. 2. 【答案】C； 【解析】

222mxm?2x2x??.

mx?mym(x?y)x?y2b. 33. 【答案】D；

【解析】由题意，3a?2b?0，所以a???4. 【答案】D；

【解析】因为2b?1?0,所以1?b?0,即b＞1. 5. 【答案】C；

【解析】①④正确.

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6. 【答案】B；

a?b??a?b?a?b?a2?b2?? 【解析】2. 2a?2ab?b2a?b?a?b?二.填空题

7. 【答案】x??3.

8. 【答案】x为任意实数；

【解析】x为任意实数，分母都大于零. 9. 【答案】x??4； 【解析】??|x|?4?0，所以x??4.

?x?4?010.【答案】（1）－；（2）＋； 11.【答案】（1）a?2b；（2）b?a；

aa?b?a?b??a?2b?；b?b?a?b. a?ab?2b 【解析】?a2?b2?a?b??a?b?1?ab?ab?abb1?m12.【答案】；

1?m221??m?1??1?mm2?2m?1? 【解析】.

1?m21?m1?m1?m????三.解答题

13.【解析】

2??x(x?1)?0?x?x?0解：由已知得：?2，即?，

(x?1)(x?2)?0???x?3x?2?02∴ ??x?0或x?1?0，

?x?1?0且x?2?0?x?0或x??1,∴ ?

x??1且x??2,?∴ x?0， 将x?0代入得：14.【解析】 解：方法一：∵

111???1．

(x?1)2(0?1)2(0?1)211y?x???2， xyxy等式两边同乘以xy，得2xy?y?x．

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∴ x?y??2xy．

∴

3x?7xy?3y3(x?y)?7xy?3?2xy?7xyxy1?????．

2x?3xy?2y2(x?y)?3xy?2?2xy?3xy?7xy7方法二：∵

11??2， xy?11?33?3????7?7?xy?3x?7xy?3yy?3?2?71x∴ ??????．

2x?3xy?2y2?3?2?2?2?37?11??2????3yx?xy?15.【解析】 解：∵

x?2,?x?0? 2x?3x?1171∴?2，∴x??

1x2x??3xx21114∴4. ????2221x?x?1x2??1?451??7?x??1?12????xx???2?

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