01.（简）电磁学 第一章 真空中的静电场(2003) - 图文

(Electromagnetism)

·电磁学是经典物理学的一部分。 ·电磁学研究：

(1)电磁现象的基本概念和基本规律 电荷、电流产生电场、磁场的规律， 电场和磁场的相互联系， 电磁场对电荷、电流的作用， 电磁场对物质的各种效应。

第三篇 电 磁 学

(2)处理电磁学问题的基本观点和方法。 ·电磁学内容：静电学

1

恒定电流 恒定电流的磁场 电磁感应 电磁场与电磁波

第1章 真空中的静电场

(Electrostatic Field in Vacuum)

静电场—静止或低速( ? << c )电荷产生的 电场。 §1 电荷 库仑定律 一、电荷(Electric charge)

二、电荷守恒(Charge conservation) 三、库仑定律(Coulomb’s Law) 1.库仑定律

F2 ? F 1 ?

q1 r q2

12

qq r)(F2 = k(2r)r 2

适用条件： ·点电荷—理想模型

若 带电体的线度<<带电体间的距离， 则 带电体可看成点电荷。

·真空

·电荷静止(或低速)

★约定：电荷不说负就算正(以后均如此)。

2.有理化 米—千克—秒—安培 制 (1)国际单位制(SI)

·q—库仑(C)；F—牛顿(N)； r—米(ｍ) ·实验定出，

k = 8.9880?10N?m/C

k? 9?109 N?m2/C2 (2)有理化

·引入常数?0 ，使 k = 1

4??

3

9 22

0

·?0—真空介电常数(真空电容率) (Permittivity of vacuum)

1

?0 =

4? k

-1222

?0 = 8.85?10 C/N?m ·库仑定律：

q1q2)( r)1F2 = (2r4??0r §2 电场 电场强度 一、电场(Electric field) 1.电荷产生电场 2.电场性质

(1)力的性质：对处于电场中的其他带电体有 作用力；

(2)能量的性质：在电场中移动其他带电体 时，电场力要对它作功。

4

二、电场强度(Electric field intensity)

FE =q0

定义

q0—检验电荷(电量小、线度小)

三、点电荷场强公式

·求点电荷q(源电荷)在p点(场点)产生的电 场

·在p点放一检验电荷q0，

E

q0

p 定义，有 q0受力 r

qq0 r 1

F = 4?? ( 2)( r )

0r ? q

·由库仑定律和场强

·

p点场强

F E = q0

q )(r)1E = (2r (?) 4??0r

点电荷场强公式

5

(?--典型结果，要记在“?”中)

§3 场强叠加原理 电场强度的计算 一、场强叠加原理(Superposition principle of electric field intensity) ·源电荷：q1 、 q2、?、qi、? ·p点放检验电荷q0， 则q0受力 F = F1 + F2 + ? + Fi + ? (Fi为qi和q0间的作用力) ·p点场强

F

E = q0

E = E1 +E2 +?+Ei +? 场强叠加原理：电场中某点的场强等于每 个电荷单独在该点产生的场强的叠加(矢 量和)。

·空间某点的场强是空间所有电荷共同产生

6

的。 二、电偶极子

1.电偶极子(Electric dipole)

·电偶极子：一对靠得很近的等量异号的点 电荷。

- q q

p

? · 0 ? ·

r

l E - E E+

l << r

·电偶极矩(Electric dipole moment): P = q l l ： 由 -q 指向 +q ·介质分子 ? 电偶极子(模型)

2.电偶极子轴线延长线上任一点p的场强 E = E+ + E- ；E = E+ - E q 1 1 E = 4?? [ 2- 2] l l 0 (r - ) (r + )

2 2

7

q l 3利用 r ?? l ，有 E ? 2??0 r

P 2

E ? 4?? ( 3)， E ? 1 3r 0r

3.电偶极子轴线的中 垂线上任一点的场强 q

E+ = E- = 4??0 [

E+ E · p 1

]

22 r +( l )

2

E- E = E+ cos ? + E- cos ? r q l 1 = 223/2? l 4?? 0[ r +( ) ] l · 2 q l ? ?

-q 0 q ? 34??0 r

1 -1 P )，E ? 3 ( E ? r 4??0 r3 4.电偶极子在均匀电场中所受的力矩 M=2[qE(l/2) sin? ] F - =PE sin?

F+= qE ， F-=-qE q· P ? F+

E l ·- q 8

M = P ? E

M使得P向? 减小的方向转(使P向和E 尽量一致的方向转)。

三、连续带电体的场强 Q

p

· 场强积分法 d E

解题步骤：

? dq r

·把Q ? 无限多电荷元dq(图中是点电荷) ·由dq ? dE (由电荷元的场强公式) ·由dE ? E = ? dE (利用场强叠加原理) ★矢量积分化作分量积分去作 E = ? dE ? Ex = ? dEx Ey = ? dEy Ez = ? dEz

可利用“对称性分析”， 根据带电体的 对称性，分析某分量积分是否为零。

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★电荷密度

·体电荷密度 ? ：单位体积的带电量 ·面电荷密度 ? ：单位面积的带电量 ·线电荷密度 ? ：单位长度的带电量

[例1]一半径为R、带电量为Q的均匀带电 细圆环，求其轴线上任一点的场强。 dq Q r dE? R ? p d E ??x

· x o

dE dE? ·?

dq?

解：·把Q分成无限多点电荷dq

·如图dq产生的场强为dE

·由对称性分析知，所有dq产生的

dE?相互抵消 ·整个圆环产生的场强

E = ? dE?? = ? dE ? cos?

dq 10

= ? 2cos? 4??0 r

1 x Qx

( r ) ? dq = = 23 4??0 r 4??0 r

1 Qx

[ 223/2] i E =

4??0 (R+x)

·特例：当x>>R时，有 E ? Q 24??0x

圆环 ? 点电荷 可见，点电荷并非真正的“点”。

注意：直接对dE积分是常见的错误 一般 E ?? dE

[例2]求半径为R，面电荷密度为?的均匀带电圆盘在轴线上任一点产生的场强。

dS ?

p dE R x · o x

r dr

dq

11

解：·电荷元的取法：把圆盘分解为大小不同的带电细圆环(电荷元)。任取一半径为r、宽度为dr的圆环，其面积为

dS = 2?rdr

带电量为 dq = ?dS

·dq在轴上p点产生的电场由例一可知为

1 xdq ]

[ 223/2dE =

4??0 (r+x)

方向：沿+x 向

·考虑所有细圆环的贡献，即对上式积分

R 1 x ? 2?rdr ]

[ 223/2 E = ?dE = ?0

4??0 (r+x)

·结果：

x?[1 -E =221/2]2?0(R+ x)

·特例： (1)当x << R

? (?) E =2?0

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圆盘 ?“无限大”均匀带电平板 (2)当x >>R

[例3]均匀带电长直导线，长为L，带电量为Q，求距导线为x的任一点P点的电场强度。 解：·将导线分

L,Q y q

E ? 24??0x

圆盘 ? 点电荷

?2 ? 解为无限多个 点电荷，任取

dy y o dq r x 一个点电荷dq， dq = ? dy ? = Q/L 为导线上的线 电荷密度。

· · dEy ?1 P dEx x ? dE ·dq在P点产生的场强为

dq dE = 4??0 r3 r

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·dE的两个分量为

dEx = dE sin? ；dEy = dE cos? ·因 y = x tg(? - ?/2) = -x ctg? ，

dy = x csc? d? 222 r = y + x

·可得

2

dEx = ? sin? d?

4??0 xdEy = ? cos? d?

4??0 x·考虑导线上所有点电荷的贡献，对上两式Ex = ?dEx = ?? 1 ? sin? d?

x4??0

?2

? E·结果为 y = ?dEy = ? ?1 4?? x cos? d? 0

-? Ex = 4??x (cos?2 - cos?1) 0

? Ey = 4??x (sin?2 - sin?1)

0 ·场强的矢量式为 E = Ex i + Ey j

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积分

?2

大小为 E = (Ex2

+ Ey2)

1/2

和x轴的夹角大小为 ? = tg

-1 Ey

·特例：

Ex

(1)如果P点在导线的中垂线上，则 ?2 = ? - ?1 于是有 Ex = 2?? ? 0

x cos?1

cos?1 = L/2

[(L/2)2 +x2]1/2

Ey = 0

(2)如果带电导线为“无限长”直导线，则 ?1=0，于是 E?

x = 2??x ，(?)

0

Ey = 0

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★叠加

圆环 圆盘 无限大平板

?

点电荷

球面 球体

直导线 柱面 柱体

?

点电荷

大平板

§4 电通量 高斯定理 一、电场线(Electric field line ) 1.画法

(1)电场线上某点的切向和该点场强方向一

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致；

(2)通过垂直于E的单位面积的电场线的 根数等于该点E的大小。 2.性质

(1)两条电场线不能相交；

(2)电场线起自正电荷(或无穷远处)； 止于负电荷(或无穷远处) 电场线有头有尾，不是闭合曲线。

二、电通量(Electric flux)

1.定义：通过某面积S的电通量等于通过S 的电场线的条数。

(1)均匀电场， S是平面，且与电场线垂直 电通量

S ? = ES

E

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(2)均匀电场， S是平面，与电场线不垂直 ? = ES? S = EScos? n ? ? = E ? S ? S?

·?是S的法线和电场线的夹角

·面积作为矢量：大小为S；方向沿法向n S = S n

E (3)S是任意曲面，

dS ? E E是非均匀电场

S ·把S分成无限 多dS ·通过dS的通量 d? = E ? dS ·通过整个曲面的电通量

? = ?S E ? dS 18

2.通过闭合曲面的电通量

? = ? S E ? dS ·规定：闭合面的法线指向面外。 ·电场线穿出 处，?—锐角 电通量d? > 0。 ·电场线穿入处， ?—钝角， 电通量d? < 0。

·闭合面的电通量为穿过整个闭合面的电场 线的净根数。

三、高斯定理( Gauss’ Theorem) ·高斯定理是静电场的一个重要定理，

? ? E

dS 19

反映 场 和 源 的关系。 1.高斯定理： 真空中静电场内， 通过任意 闭合曲面 的电通量

等于

该曲面所包围的电量的代数和的1/?0倍。

?S E?dS = ?q内/?0

2.证明 S (1)q—点电荷， q S—球面 ? r (以q为中心，半径为r) q ?S E?dS = ?S ( 4??0r2 )dS q = 2?S ds 4??0r

q 2 = 24?r 4??0r

q

=

?0

E dS

高斯定理成立。

20

(2) q—点电荷， S S?—任意闭合曲面

q S? ? (包围q) ?S? E?dS = ?S E?dS = q/?0 高斯定理成立。

S? 电场线 ? q (3) q—点电荷， S?—任意闭合曲面 电场线 (不包围q) 进出S ?的电力线的条数相等，净通量为 零，

?S? E?dS = 0 高斯定理成立。 (4) q1、q2、q3—点电荷组

E1、E2、E3— q1、q2、q3分别在场中某 点产生的场强

S?—任意闭合曲面(q1、q2在面内，

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q3在面外) ? E?dS = ? E?dS + ? E?dS + ? E?dS S?S?1S?2S?3

= (q1/?0) + (q2/?0) + 0

= ?q内/?0 高斯定理成立。

推论：对任意连续电荷分布亦正确。

思考： p

S

(1) q1、q2在S内， ? S

·

q3在S外， ? ? ?

q1、q2 q3

·高斯面上任一点p

的场强和哪些电荷有关？ · ??S E?dS 和哪些电荷有关？ · ?S E?dS 和哪些电荷有关？

(2)“如S上各点E = 0，则 ?S E?dS = 0 ” “如 ?S E?dS = 0 ，则S上各点E = 0”

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此话对否？举例说明之。

S S ? ? ?

q

+q -q

练习：请用高斯定理证明，电场线在没有电 荷的地方不会中断。

3.几点讨论

(1)高斯定理和库仑定律的关系 ·高斯定理是由库仑定律导出来的。 ·高斯定理反映了库仑定律的平方反比关系 F ? 1/r2

如库仑定律无此关系则得不到高斯定理。

(2)库仑定律和高斯定理适用范围不同 库仑定律只适用于静电场，而高斯定理除适用于静止电荷和静电场外，还适用于运

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动电荷和迅速变化的电磁场。

(3)高斯定理对静电场的描述是不完备的 ·高斯定理是静电场的两个基本定理之一 (另一个是环路定理)。

·两个定理各自反映静电场性质的一个侧 面。二者结合，才能完整地描述静电场(没 有一定的对称性就不能只靠高斯定理求场强分布)。

·高斯定理对静电场的描述是不完备的。

三、用高斯定理求电场分布

·高斯定理的应用：分析静电场问题； 求静电场的分布。 ·求电场分布的步骤： (1)对称性分析； (2)选合适的高斯面；

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(3)用高斯定理计算 。

[例1]求半径为R带电量为Q的均匀带电球 面的电场分布。 解：先求球面外的场强

(1)对称性分析：根据带电体的对称性定性分 析待求场强的大小和方向的特点。 S Q dq

p dE? r R E o · d E

dq? · p? E?

···p点E的方向特点：

带电体有球对称性，在其上对称地取两个 点电荷 dq、dq?

dq ?dE ， dq??dE? 由dE 、dE ?，其合场强沿r向，

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整个球面是由这样一对对的电荷组成 的，整个球面在p点产生的场强沿r向。 ·E的大小特点：

距中心同样远的点(如p点和p?点)的 场强大小相同。

可见，电荷分布有球对称性时，所激发的场也有球对称性。 (2)选合适的高斯面

·选高斯面的目的是为了能用高斯定理求出 p点的E，

即由 ?S E?dS = ?S EdScos? = Q/?0

? E = ??

·由对称性分析，高斯面应选过p点的同心 球面。 (3)计算

由 ?S E?dS = ?S EdScos? = Q/?0

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有 E ?S dS = Q/?0

Q

(r ? R) (?)

E = 4??r2 ， 0

同样可求球面内有

E = 0 ， (r < R) (?)

场强分布曲线 E

思考：

o R r

·如选高斯面为过p点的任意闭合曲面，高 斯定理是否成立？能否由此求出p点的场 强？

·能否这样证明球面内的场强：“因为球面 内没有电荷，所以场强为零”，对吗？

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[例2]求无限长均匀带电圆柱面(线电荷密度 ?) 的电场分布。 解：柱面外

S p h · E r

? (1)对称性分析： 因电荷分布有轴对称性，场也有轴对称 性。

·p点的场强沿径向； ·距轴同远处场强相同。

(2)选高斯面：选S为高h半径为r的同轴 圆柱面。 (3)计算

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· 由 ?S E?dS = q/?0

?上底 E?dS +?下底 E?dS + ?侧面 E?dS = q/?0

·左端第一、二项为零(为什么？) · ?侧面 Ecos? dS = q/?0 E ?侧面dS = h?/?0

E(2?rh) = h?/?0

? (r ? R) (?)

E = 2??r ， 0

圆柱面内

E = 0 ，

(r < R) (?)

思考：(1)上面求出的柱面外的E，是圆柱 面上全部电荷产生的，还是仅由高斯面所 包围的电荷产生的？在上面的分析中，哪 一步可说明此问题？

(2)高斯面能否选得和带电圆柱面一样长?

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[例3]求均匀带电的无限大平板(面电荷密度 ?)产生的电场。

解：(1)对称性分析：因电荷分布对op对称且均匀分布在无限大平板上，电场分布对平板对称，

·E的方向：垂直板面向外

· 大小：距板同远处E大小相同 (2)高斯面：如图圆柱面 (3)计算

? S · o · p E

S底 ·由 ?S E?dS = q/?0

?左底 E?dS +?右底 E?dS + ?侧面 E?dS = q/?0 ·左端第三项为零(为什么？)

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· E?左底dS +E?右底dS + 0 = q/?0 E(2S底) = S底?/?0

?， (?) E =2?0

★几点说明： (1)高斯面选择原则：

·高斯面上各点E大小相等，且处处垂直于 高斯面(如例1)； 或

·部分面上通量为零，其它部分高斯面上各 点E相等，且处处垂直于高斯面(如例2、 例3)。

(2)仅当带电体上电荷分布具有某种对称性时(如板类、柱类、球类)才能用高斯定理求出其产生的电场分布。 (3)求电场的方法： 方法一：场强积分法 方法二：用高斯定理求场强

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·利用场强叠加原理，可求出更多带电体的 电场分布。如

两平行的无限大 带小缺口的细圆环 带电平板

?

?1 ?2

带圆孔的无限大平板(圆孔外部分面电荷密度为?)

? o x

R

? · a· 内有空腔的带电球体

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★静电应用(图片)

海底探雷

静电除尘 静电喷漆

带

电 木梳 吸水

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(第1章结束 )34

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