九章算术与几何原本的比较

《九章算术》与《几何原本》的一些比较

摘要《九章算术》与《几何原本》是古代东西方数学上的两个代表, 对东西方数学发展分别产生过重大的影响,此文对它们之间进行比较, 进而试探性地回答它们对现代数学发展所产生程度不同的影响.关镇词九章算术, 几何原本, 比较《九章算术)( 以下称《九章》)与《几何原本》( 以下称《原本》) 是古代东西方数学上的两个代表, 对东西方数学发展分别产生过重大影响.它们无论是在编排体系或其它方面都有着不同的特点. 以下从若干方面对两者进行比较.

1 体系

《九章》的体系是全书共246 个算术题目, 同一类型的计算问题归为一章, 共九章. 在每一章里先给出算术题,, 然后给出答案,相同计算方法的题目放在一起, 在这些题后总体给出“术” 即计算方法..《原本》的体系是全书共分15 卷, 相同的内容也集中在一起, 如第一卷、第二卷为直线形, 第三卷第四卷为圆, 第五卷讲比例等等. 编排上在每卷首给出本卷所需概念的定义(在第一卷还给出了5 个公设和5 个一般概念为全书使用) , 然后讲命题(包括作图题和证明题) , 如第2 卷讲了48 个命题, 第3 卷讲了14 个命题等,由此可以看出两书在编排体系上有很大差别..

2 内容

《九章》中的内容主要属于现今的初等数学内容, 其中以代数内容为主, 涉及到几何部分亦以代数处理. 而《原本》主要涉及现今的初等几何, 涉及到代数部分如比例运算等亦以几何处理. 也就是说《九章》以代数为主, 而《原本》以几何为主.

3 与实际的联系

《九章》与外界关系是极为密切的, 其中的每一间题均为日常生活中的实际间题, 如田地丈量、钱粮分配等,《原本》与外界几乎毫无关系, 开始给出定义、公设和一般概念, 然后根据它们去解决一个个命题,可以说《九章》是开放性的而《原本》是封闭的从而《九章》具有广泛的实用价值, 相对来说《原本》就差得多了.

4 具体与抽象

《九章》中的向题是具体的, 而《原本》却是很抽象的. 从而《九章》易为一般人所接受,《原本》却不能.

5 逻辑性

《九章》中的问题由于是实际间题的排列, 所以并无逻辑性可言. 而《原本》却有比较严格的逻辑性. 命题中所运用的概念, 一般必须是前面已定义的, 前面命题可以作为后面命题的推理根据, 而不能由后面的命题来推导, 在任一命题的推导中, 必须做到每前进一步都有根据, 这根据必须是在本命题前已出现过的

以上从五个方面对《九章》和《原本》进行了比较

《九章》对东方数学产生的影响是很大的. 在中国本身, 自《九章》出现后, 一直是作为基本的数学书而加以研究或是作为教材,这种状况一直到西方数学的传入, 可以说《九章》代

表了中国的古代数学, 另外《九章》也传到了日本、印度、阿拉伯、朝鲜等国, 使这些国家的数学深受《九章》的影响. 今天, 许多国家的有关人士仍在致力于对《九章》的研究.《原本》对世界数学的影响是巨大的在《原本》基础上产生了现代数学的许多分支, 它使现代数学得益非浅, 特别是它的公理化方法成为任何一个数学分支成熟的标志, 即使现在全世界中学生仍在学习主要是来源于《原本》的几何知识, 《几何》成为中学生的必修课，比起《九章》来说, 《原本》对世界数学的影响更深，更广

·。

为什么会出现这样的差别呢?

尽管数学来源于实际, 但却是抽象化的实际, 它以抽象的手段去表现实际, 去发展本身.如果一门数学一直停留在对实际问题的研究上, 那么它是很难发展的. 《九章》的研究成果在当时的世界处于领先地位, 但终究没有对现代数学产生重大影响, 这也许是间题的根本在，我们是否由此可以得出《九章》在现代已没有什么价值呢? 不能! 数学发展到今天, 由于电子计算机的出现, 计算数学已成为和基础数学、应用数学相并列的门类，由于《九章》中的间题代数化, 一切由计算解决, 从而使《九章》在今天重新放出光彩, 人们正重新认识其价值.可预料的将来, 《九章》的影响将不仅是东方而是世界，而来源于《原本》的中学几何课, 由于其难以理解, 又不贴近现实, 尽管有争议, 许多国家已从中学数学课中大幅削减, 甚至完全砍去. 可以肯定, 《九章》比《原本》具有更强的生命力

<<几何原本>>

各卷简介

第一卷：几何基础。重点内容有三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是 毕达哥拉斯定理的正逆定理；

第二卷：几何与代数。讲如何把三角形变成等积的正方形；其中12、13命题相当于余弦定理。

第三卷：讨论了圆与角。

第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质；

第五卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论 第六卷：讲相似多边形理论；

第五、第七、第八、第九、第十卷：讲述比例和算术的理论；第十卷是篇幅最大的一卷，主要讨论无理量（与给定的量不可通约的量），其中第一命题是极限思想的雏形。 第十一卷、十二、十三卷：最后讲述立体几何的内容。 从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。属于《几何原本》内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧氏几何。

九章算术》的九章的主要内容分别是：

第一章“方田”：田亩面积计算；

第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；

第三章“衰分”：比例分配问题；

第四章“少广”：已知面积、体积、求其一边长和径长等； 第五章“商功”：土石工程、体积计算； 第六章“均输”：合理摊派赋税； 第七章“盈不足”：即双设法问题； 第八章“方程”：一次方程组问题；

第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题．

《九章算术》和《几何原本》在思维方法上有很大的不同。

《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书于东汉初年〔公元前一世纪〕。全书采用问题集的形式编写，共收集了246个问题及其解法，分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。

《九章算术》很强调辩证思维，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，对中国古算影响深远。它的一些成就如十进制值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进了世界数学的发展。

《几何原本》是欧几里德一生著有的多部数学著作其中最有价值的一部。它系统的总结了古代劳动人民在实践中获得的几何知识，把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。

几何原本的一些内容 五条公理

1.等于同量的量彼此相等； 2.等量加等量，其和相等； 3.等量减等量，其差相等；

4.彼此能重合的物体是全等的； 5.整体大于部分。

五条公设

1.过两点能作且只能作一直线；

2.线段(有限直线)可以无限地延长；

3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆； 4.凡是直角都相等；

5.在一平面内,过直线外一点,可作且只可作一直线跟已知直线平行。(最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。）

关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来

命题的结论是正确的，也称作反证法。

都是复制而来的东西，其实我只看过《九章》，没看过《几何》。不过听说从初等几何的观点看，《几何原本》的逻辑大部分是对的，只有少数的疏忽，所以并奉为经典，就是现在也有一看的价值。而我记忆里九章好像就不那么注重理论的建立，列举了很多的实际问题和解答方法，看懂的人就会算，但不太知道为什么，就是知其然不知其所以然那种。

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