初等几何研究第一章习题的答案(5)

五、关于平行与垂直

1、I是△ABC的内心,AI、BI和CI的延长线分别交△ABC的外接圆于 D、E和F.求证:EF⊥AD. 证明:已知I是△ABC的内心,

∴AD、BE和CF是∠BAC、∠ABC和∠ACB的角平分线

∴⌒BD=⌒CD，⌒BF=⌒AF，⌒AE=⌒CE ∴⌒BD+⌒BF+⌒AE=⌒CD+⌒AF+⌒CE ∴⌒DF+⌒AE=⌒DE+⌒AF

∴∠AIF=∠AIE=∠DIF=∠DIE ∴EF⊥AD

2. A、B、C、D是圆周上“相继的”四点，P、Q、R、S分别是弧AB、BC、CD、DA的中点，求证：PR⊥QS.

证明：∵P、Q、R、S 分别是AB、BC、CD、DA 的中点 D∴⌒AP=⌒PB ,⌒BQ=⌒QC ,⌒CR=⌒RD ,⌒DS=⌒SA ∴⌒AP+⌒QC+

⌒CR+⌒SA=⌒PB+⌒BQ+⌒RD+⌒DS

R又∵⌒PQ+⌒RS=⌒PB+⌒BQ+⌒RD+⌒DS , ⌒SP+⌒RQ=⌒AP+⌒QC+⌒

CR+⌒SA ∴⌒PQ+⌒RS=⌒SP+⌒RQ ∴SQ⊥PR

3、凸四边形ABCD的每条对角线皆平分它的面积，求证:ABCD是平行四边形。 证明：设AC和BD相交于点O，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE

∵对角线BD平分四边形ABCD的面积 ∴S△ABD＝S△CBD ∴AE=CF A 又∵AE⊥BD，CF⊥BD ∴AE∥CF

∴四边形AECF为平行四边形 ∴AO=CO

同理可得 BO=DO

O ∴四边形ABCD是平行四边形

O O

E 4、已知△BCX和△DAY是□ABCD外的等边三

角形，E、F、G和H是YA、AB、XC和CD D 的中点。求证：EFGH是平行四边形。

证：∵ABCD是平行四边形，且F、H是AB、CD的中点

∴CH=AF,∠BCD=∠BAD,且AD=BC ∵△BCX、△DAY是分别以BC、AD为边的等边三角形 且E、G分别是AY、XC的中点

∴∠XCB=∠DAY,CG=AE ∴∠GCH=∠EAF

∴△GCH≌△AEF ∴EF=GH 且∠GHC=∠AFE

∵AB∥CD ∴∠AFH=∠AEF,∠GHF=∠EFH ∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形

5.在△ABC的各边上向外作正方形BCDE、CAFG、 H ABHI,其中心依次为O 1，O2, O3求证:AO1┴O2 O3

证明:如上图所示取AC中点M，连结MO2、CE、AE、HC

∵ BH=AB BC=CE ∠HBA+∠ABC=∠EBC+∠ABC 即∠HBC=∠ABE ∴△ABE≌△HBC

∴AE=HC HB=AB BE=BC 又∵∠HBA=90o ∴AE┴HC 又∵O3 、M、O1、中点 ∴O3M=HC MO1=AE 又∵HC=AE ∴MO1=┴O3M 且 MO1┴O3M

E 12ASPBCQB F C I O3 A F O2 M G B C 12OD 又∵AM=MO2 ∠AMO2 +AMO3 =∠O1MO3 +∠AMO3

即∠O1MO2 =∠AMO1 ∴△O2MO3≌△AMO1

∴ AM=MO2 AO1=O2 O3 ∠AMO2 =90o ∴AO1┴O3M

6. 正方形ABCD内任取一点E ，连AE、BE 外分别以AE、 ，在△ABE

BE为边作正方形AEMN和EBFG，连NC、 AF .求证：NC∥AF

证明：连结CF、DN .如图所示 。则有AN=AE , AD=AB ∵∠NAD+∠DAE=∠EAB+∠DAE=90o ∴∠NAD=∠EAB ∴△ADN≌△ABE 又AB=BC ,BF=BE

∠CBF+∠CBE=∠ABE+∠CBE=90o ∴∠CBF=∠ABE 即有△ADN≌△CBF ∴AN=CF 又DN=BF ，CD=AB ∠NDC=∠NDA+90o=∠ABE+90o=∠ABF ∴△CDN≌△ABF ∴CN=AF ∴四边形AFCN为平行四边形 即NC∥AF

以□ABCD的对角线AC为一边在其两侧各作一个正三角形ACD、ACQ。求证：BPDQ为□。

证明：由题意可得：△APC≌ΔACQ ∴AP=QC,AQ=PC

A 又∵∠PAC=∠ACQ=60o ∵AB∥CD∴∠BAC=∠ACD

∠PAB=∠PAC-∠BAC ∠DCQ=∠ACQ-∠ACD ∴∠PAB=∠DCQ 在ΔAPB和ΔDCQ中 AP=CQ AB=CD ∴ΔAPB≌ΔQCD ∴BP=DQ 又∠QAC=∠ACP=60o ∵AB∥CD ∠BAC=∠ACD

D ∠BAQ=∠QAC+∠BAC ∠DCP=∠ACP+∠ACD

∠BAC=∠DCP 在ΔABQ和ΔPDC中

AB=DC AQ=PC ∴ΔABQ≌ΔPDC ∴BQ=PD

Q

∴四边形BPDQ为平行四边形。

8.已知：凸五边形的四条边平行于所对的对角线。 求证：第五边也平行于所对的对角线。

证：如图所示，已知AB//CE , BC//DA ,CD//BE , DE//AC ,

P B C ?AB//CE , BC//DA ,CD//BE , DE//AC , ?S?ABE = S?ABC

S?ABC = S?DBC S?DBC = S?DEC S?DEC = S?ADE

?S?ABE = S?ADE ?AE//CE

9. 在△ABC中，∠B≠90°，BC边的垂直平分线交AB于D ，△ABC的外接圆在A、B两点之切线交于E，求证：DE∥BC. 证明：连接CD ?EA=EC ?∠2=∠EAC又 CD=BD

?∠B=∠DCB 又?∠2=∠B (外角=内对角） ?△ACE∽△BCD ∠BCD=∠AEC

又∠BDC+∠CDA=180° ?∠AEC+∠CDA=180°

A

?A、D、C、E四点共圆 ?∠1=∠2 （同弦所对的圆周角） ?∠1=∠B

10. P是正方形ABCD边CD上的一点，过D作AP的垂线分别交AP、BC于Q、R，O是正方形的中心，求证：ＯＰ⊥ＯＲ。

证明：如图所示， ∵∠PAD=90°-∠APD=∠RDC 又∵∠ADC=∠DC

∴∠APD=∠DRC 又∵AD=CD ∴△APD≌△DRC ∴AP=DR ∵∠OAP=45°-∠PAD ∠ODR=45°-∠RDC ∴∠OAP=∠ODR

B

R

D

O Q P C

又∵O为正方形ABCD的中心， ∴OA=OD ∴△AOP≌△DOR 又∵AP⊥DR ∴△DOR是经O点旋转90°得到的， ∴OP⊥OR.

11、从等腰△ABC的底边AC上的中点M作BC边的垂线MH，H为垂足，点P为线段MH的中点。求证：AH⊥BP。 证明：如图取AM的中点Q，并连接BQ、PQ

则在Rt△BAM中，BQ为中线 又BP为Rt△BMH的中线 ∴∠QBM=∠PBH ∴Rt△BQM∽Rt△BPH 则∠BPH=∠BQM ∴点B、Q、M、H四点共圆

∵∠BPQ=∠BMQ(弦BQ所对的圆用角) ∴PQ⊥BP P 又∵P、Q分别为MH与AM的中点 ∴PQ∥AH ∴AH⊥BP A

Q M

P 12. 给定正方形ABCD，P,Q分别为AB,BC上的点，满足BP=BQ,

A 自B作BH⊥PC于H，求证：∠DHC=90°。 H 证明：如图延长BH交AD于F ∵BH⊥PC ∴∠PBH=∠BCP

又∵AB=BC ∠A=∠B ∴△ABF≌△BCP ∴AF=BP=BQ

F ∴C，D，F，Q四点共圆（矩形） ∴∠ABF=∠BFQ=∠BCP BP=BQ ∴F，C，Q，H四点共圆

∴F，D，C，Q，H五点共圆 ∵DQ为直径 ∴∠DHC=90°

13. 在△ABC中，AB=AC, O为外心，D 为AB的中点，E是△ACD的重

AD 心。证明：OE⊥CD

AE2证明：∵E是ACD的重心。 ∴? ∵G是△ABC的重心。

AM3DG111∴?。 ∴DG=DC ∵M是DC的中点。 ∴DM=CD。 GC232EDG2DGAED∴。 ∴EG∥AD. ∵OD⊥AB. ?。 ∴?ODM3DMAM∴OD⊥EG ∵AH⊥BC且DF∥BC. ∴GO⊥DE GM∴O是△DEG的垂心。 ∴OE⊥DG ∴OE⊥CD

14、在?ABC中，∠A=90，D在BC上且AD⊥BC,求证：∠BAC的平分线垂直BH平分?ACD与ABD的内心之连线。

B 证：设I、J分别是?ABD、?CAD的内心，连接I、J并延长分别交AB、AC

DIBD于E、F,则DI、DJ是对应线段，故由?ABC∽?CAD知=但∠

DJADIDJ=90°∴?IDJ∽?BDA. ∴∠DJI=∠DAB ∴A、E、D、J共圆 ∴∠AEJ=∠ADJ=45° ∴AE=AF ∴∠BAC的平分线垂直于EJ.

D 15.考虑△的三个旁切圆，每一对圆恰有一条与△ABC的边不同的公切线，

这三条公切线组成一个三角形T，O是△ABC的外心，证明：OA与T的一边垂直。 B'H'证：利用A处得对称性设○IB、○IC的另一C'公切线分别于BA、CA的延长线交于C'、

A B'，则易知△AB'C'与△ABC关于IBIC对称。

连结OA、OB,由中心角与圆周角的关系可ICAIB知∠OAB=90°-∠C（∵∠AOB=2∠C） 再自A作AH⊥BC与H，AH′⊥B′C′与H′，则∠H′AC′=HAC=90°-∠C OCHB B H C B Q C FCC ∴∠OAB=H′AC′ ∴O、A、H共线 OA⊥B′C′

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