2014广州中考数学试题及解析

秘密★启用前

广州市2014年初中毕业生学业考试

数 学

本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：

1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；填写考场试室号、座位号，再用2B铅笔把对应这两个号码的标号涂黑．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题同的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改 液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分 选择题（共30分）

一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的）

1．a（a 0）的相反数是（ ）．

（A） a （B）a （C）a （D）【考点】相反数的概念

【分析】任何一个数a的相反数为 a． 【答案】A

2．下列图形是中心对称图形的是（ ）．

1

a

（A） （B） （C） （D）

【考点】轴对称图形和中心对称图形．

【分析】旋转180°后能与完全重合的图形为中心对称图形． 【答案】D

3．如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA （ ）．

34

（A） （B）

55

（C）

34 （D） 43

【考点】正切的定义． 【分析】tanA 【答案】 D

4．下列运算正确的是（ ）． （A）5ab ab 4 （B）

3112

（C）a6 a2 a4 （D） a2b a5b3

aba b

BC4

． AB3

【考点】整式的加减乘除运算． 【分析】5ab ab 4ab，A错误；

11a b

，B错误；

abab

3

a6 a2 a4，C正确； a2b a6b3，D错误．

【答案】C

5．已知O1和O2的半径分别为2cm和3cm，若O1O2 7cm，则O1和O2的位置关系是（ ）． （A）外离 （B） 外切 （C）内切 （D）相交 【考点】圆与圆的位置关系．

【分析】两圆圆心距大于两半径之和，两圆外离． 【答案】A

x2 4

6．计算，结果是（ ）．

x 2

（A）x 2 （B）x 2 （C）【考点】分式、因式分解

x 4x 2

（D）

x2

x2 4 x 2 x 2 【分析】 x 2

x 2x 2

【答案】B

7．在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，7，9，9，8．对这组数据，下列说法正确的是（ ）．

（A）中位数是8 （B）众数是9 （C）平均数是8 （D）极差是7

【考点】数据

【分析】中位数是8.5；众数是9；平均数是8.375；极差是3． 【答案】B

8．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当

∠B 90 时，如图2 ①，测得AC 2，当∠B=60 时，如图2 ②， AC （ ）．

（A

（B）2 （C

（D

）

A

D

A

D

BCBC

图2-① 图2-② 【考点】正方形、有60 内角的菱形的对角线与边长的关系 【分析】由正方形的对角线长为2

【答案】A

9．已知正比例函数y kx（k 0）的图象上两点A（x1，y1）、B（x1，y2），且x1 x2，则下列不等式 中恒成立的是（ ）．

（A）y1 y2 0 （B）y1 y2 0 （C）y1 y2 0 （D）y1 y2 0 【考点】反比例函数的增减性 【分析】反比例函数y

k

中k 0，所以在每一象限内y随x的增大而减小，且当x 0时，y 0，x 0 x

当 B=60°时，菱形较短的对

时y 0，∴当x1 x2时，y1 y2，故答案为y1 y2 0

【答案】C

10．如图3，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点

O．设AB a，CG b（a b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG DE；③

DGGO

；

GCCE

④ a b S△EFO b2 S△DGO．其中结论正确的个数是（ ）．

（A）4个 （B）3个

2

A

D

O

F

（C）2个 （D）1个

【考点】三角形全等、相似三角形

【分析】①由BC DC,CG CE, BCG DCE可证△BCG≌△DCE(SAS)，故①正确；

②延长BG交DE于点H，由①可得 CDE CBG， DGH BGC（对顶角） ∴ BCG DHG=90°，故②正确；

③由△DGO∽△DCE可得

DGGO

，故③不正确；

DCCE

S EFOEF2b2S EFO

() ④△EFO∽△DGO，等于相似比的平方，即，

S DGOS DGODG(a b)2

∴(a b)2S EFO b2S DGO，故④正确．

【答案】B

第二部分 非选择题（共120分）

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

11．△ABC中，已知∠A 60 ，∠B 80 ，则∠C的外角的度数是_____． 【考点】三角形外角

【分析】本题主要考察三角形外角的计算，∠C 40 ，则∠C的外角为180 40 140 【答案】140

12．已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD 10，

则PE的长度为_____． 【考点】角平线的性质

【分析】角平分线上的点到角的两边距离相等． 【答案】10 13．代数式

1

有意义时，x应满足的条件为______． x 1

【考点】分式成立的意义，绝对值的考察

【分析】由题意知分母不能为0，即x 1，则x 1 【答案】x 1

14．一个几何体的三视图如图4，根据图示的数据计算该几何体的全面积为_______（结果保留 ）． 【考点】三视图的考察、圆锥体全面积的计算方法

【分析】从三视图得到该几何体为圆锥体，全面积=侧面积+底面积，底面积为圆的面积为： r2 9 ，

1

侧面积为扇形的面积 LR，首先应该先求出扇形的半径R，由勾股定理得R 5，

2

L d 6 ，则侧面积= 5 6 =15 ，全面积15 +9 =24 ．

12

【答案】24

主视图

左视图

俯视图

15．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：_________，

该逆命题是_____命题（填“真”或“假”）． 【考点】命题的考察以及全等三角形的判定

【分析】本题主要考察命题与逆命题的转换，以及命题真假性的判断 【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．假命题．

216．若关于x的方程x2 2mx m2 3m 2 0有两个实数根x1、x2，则x1 x2 x1 x2的最小值为___.

【考点】一元二次方程根与系数的关系，最值的求法

【分析】该题主要是考察方程思想与函数思想的结合，由根与系数的关系得到：

x1 x2 2m，x1x2 m2 3m 2，原式化简 3m2 3m 2．因为方程有实数根，

∴△ 0，m

【答案】

5

4

225．当m 时，3m2 3m 2最小值为． 334

三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分9分）

解不等式：5x-2 3x，并在数轴上表示解集.

【考点】不等式解法

【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时减去3x，再同时加上2，再除以2，不等号的方

向不变.注意在数轴上表示时，此题是小于等于号，应是实心点且方向向左.

【答案】解：移项得，5x 3x 2，

合并同类项得，2x 2， 系数化为1得，x 1， 在数轴上表示为：

18．（本小题满分9分）

如图5，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别交于点

E、F，求证：△AOE≌△COF．

D

图5 【考点】全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质

B

【分析】根据平行四边形的性质可知，AO CO，∠EAO ∠FCO，又根据对顶角相等可知，

∠AOE ∠COF，再根据全等三角形判定法则ASA，△AOE≌△COF，得证.

【答案】证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O ∴AO CO，AB∥CD

∴∠EAO ∠FCO 在△AOE和△COF中，

ì?EAO FCOïï

íAO=CO ∴△AOE≌△COF

ïïî?AOE COF

19．（本小题满分10分）

已知多项式A x 2 1 x 2 x 3. （1）化简多项式A；

（2）若 x 1 6，求A的值.

【考点】（1）整式乘除 （2）开方,正负平方根 【分析】（1）没有公因式,直接去括号,合并同类型化简

（2）由第一问答案,对照第二问条件,只需求出x 1，注意开方后有正负

2

2

【答案】解:（1）A (x 2) (1 x)(2 x) 3 x2 4x 4 2 2x x x2 3 (x x) (4x 2x x) (4 2 3)

2

22

3x 3

（2）(x 1) 6,

则x 1 A 3x 3

3(x 1) 20．（本小题满分10分）

某校初三（1）班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：

（1）求a，b的值；

（2）若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数； （3）在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生，为了了解学生的训练效果，从这5名学生

中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中至多有一名女生的概率． ．．

【考点】（1）频率（2）①频率与圆心角； ②树状图，概率

【分析】（1）各项人数之和等于总人数50 ; 各项频率之和为1（2）所占圆心角=频率*360 （3）画出列表图，至多有一名女生包括有一个女生和一个女生都没有两种情况． 【答案】（1）a 50 9 12 8 5 16

b 1 0.18 0.16 0.32 0.10 0.24 （2）“一分钟跳绳”所占圆心角=0.16 360 =57.6 （

3）至多有一名女生包括两种情况有1个或者0个女生 列表图：

2

有1个女生的情况：12种

有0个女生的情况：6种

至多有一名女生包括两种情况18种 至多有一名女生包括两种情况=

21．（本小题满分12分）

已知一次函数y kx 6的图像与反比例函数y （1）求k的值和点A的坐标； （2）判断点B的象限，并说明理由．

1一次函数；○2反比例函数；○3函数图象求交点坐标 【考点】○

189

==0.90 2010

2k

的图像交于A、B两点，点A的横坐标为2． x

【分析】第（1）问根据A点是两个图象的交点，将A代入联立之后的方程可求出k，再将A点的横坐标

代入函数表达式求出纵坐标；第（2）问根据一次函数与反比例函数的解析式分析两图像经过的象限，得出两图像交点所在象限.此题主要考查反比例函数与一次函数的性质

【答案】解：（1）将y kx 6与y

2k

联立得： x

2k y x

2k y x kx 6

2k

1 ○x

2k

解得k 2 2

4 x

1式得： A点是两个函数图象交点，将x 2带入○

2k 6

故一次函数解析式为y 2x 6，反比例函数解析式为y 将x 2代入y 2x 6得，y 2 2 6 2

A的坐标为k (2, 2)

（2）B点在第四象限，理由如下：

一次函数y 2x 6经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，

因此它们的交点都是在第四象限.

22、（本小题满分12分）

从广州某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍． （1）求普通列车的行驶路程；

（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比

乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度． 【考点】行程问题的应用

【分析】路程=速度×时间，分式方程的实际应用考察 【解析】

（1）依题意可得，普通列车的行驶路程为400×1.3=520（千米）

（2）设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁平均速度为2.5x千米/时．

依题意有：

520400

3 x2.5x

可得：x 120

答：高铁平均速度为 2.5×120=300千米/时． 23、（本小题满分12分）

如图6，△

ABC中，AB AC

cosC

（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的O，并标出O与AB的交点D，与BC的交点E

（保留作图痕迹，不写作法）： （2）综合应用：在你所作的圆中，

①求证：DE CE；

②求点D到BC的距离．

【考点】（1）尺规作图；（2）①圆周角、圆心角定理； ②勾股定理，等面积法 【分析】（1）先做出AB中点O，再以O为圆心，OA为半径画圆.

（2）①要求DE EC，根据圆心角定理，同圆中圆心角相等所对的弧也相等，只需证出

EOC DOE即可，再根据等腰三角形中的边角关系转化.

②首先根据已知条件可求出BC 8，依题意作出高DH，求高则用勾股定理或面积法，注

意到AC为直径，所以想到连接CD，构造直角三角形，进而用勾股定理可求出BD，CD

的长度，那么在Rt△BDC中，求其高，就只需用面积法即可求出高DH.

【答案】（1）如图所示，圆O为所求

（2）①如图连接OE、OD，设 B , 又AB AC,OA OD OE OC

80 2 OEC C B EOC A1

则 DOE DOC EOC 2 (180 2 ) (180 2 ) 180 2 EOC DOE

DE EC

②连接CD,过A作AM BC于M,过D作DH BC于H

cosC=

CM

又AB ACAC CM 4,BC 2CM 8 又AC为直径

ADC BDC 90

设BD

a，则AD a， 在Rt BDC和Rt ADC中， 有AC2 AD2 BC2 BD2

即

2

a

2

82 a2

解得：a

即CD 又S BCD

11

DH BC BD CD

22

11即 8 DH

22 DH

16

5

A

DB

24．（本小题满分14分）

H

E(M)

C

已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线y ax2 bx 2（a 0）过点A、B，顶点为C．点P（m，n）（n<0）为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式与顶点C的坐标． （2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围． （3）若m

35

，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0 t ）个单位，点P、C移动22

后对应的点分别记为P'、C'，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、P'、C'所构成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．

【考点】动点问题.(1)二次函数待定系数法;

(2)存在性问题,相似三角形;

(3)最终问题,轴对称,两点之间线段最短

1

a a b 2 0 2

【答案】(1)解:依题意把A,B的坐标代入得: ;解得:

316a 4b 4 0 b 2123

x x 2 22b33133325 ,将x 代入抛物线得y ()2 () 2 顶点横坐标x

2a2222228

325 C(, )

28

13

(2)如图,当 APB 90 时,设D(x0,x02 x0 2),

22

抛物线解析式为y

则ED x0 1,DF 4 x0,BF 过D作直线l

123

x0 x0 2 22

x轴, AE l,BF l

AED BFD AEDF

EDBF

123

x0 x0 2

4 x022

(注意用整体代入法)

13x0 1

x02 x0 222

解得x1 0,x2 3

D1(0, 2),D2(3, 2)

当P在AD1,BD2之间时， APB 90

1 m 0或3 m 4时， APB为钝角.

(3)依题意m 3，且 APB 90 P(3, 2)

设P,C移动t（t 0向右，t o向左）

325

P (3 t, 2),C ( t, )

28

连接AC ,P C ,P B

则CABP C AB BP P C C A 又AB,P C 的长度不变

四边形周长最小，只需BP C A最小即可 将C A沿x轴向右平移5各单位到BC 处 P 沿x轴对称为P

∴当且仅当P 、B、C 三点共线时，BP C A最小，且最小为P C ，此时C (

1325 t, ) 28

25 13

( t)k b

P (3 t,2)，设过P C 的直线为y kx b，代入 28;

(3 t)k b 2

41

k 4141(3 t) 28

x 2 ∴ 即y

41(3 t)2828 b 2 28

4141(3 t)15

4 2 0，解得：t 28284115

∴当，P、C向左移动单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。

41

将B(4,0)代入，得：

25．（本小题满分14）

∥CD如图7，梯形ABCD中，AB，∠ABC 90 ，

D

F

E

C

AB 3,BC 4，CD 5，点E为线段CD上一动点（不与点C 重合）， BCE关于BE的轴对称

图形为 BFE，连接CF，设CE x， BCF的面积为S1， CEF的面积为S2． （1）当点F落在梯形ABCD的中位线上时，求x的值； （2）试用x表示

S2

，并写出x的取值范围； S1

S2

的值． S1

（3）当 BFE的外接圆与AD相切时，求

1，HK为梯形ABCD的中位线，则CH HB 2，过点E作EI HK于点I，【答案】解：（1）如图○

则有：EF CE x,EI CH 2 在Rt EFI中，有EF x,EI

2

FI 在Rt FBH中，BF BC 4,BH

2

FH

又HI CE

x

FH FI IH x

解得：x

3

2，BE交CF于点J，Rt BCE与Rt BFE关于BE对称， （2）如图○

则有：CJ BE， CJE BJC 90 又 CEJ ECJ 90, BCJ ECJ 90

CEJ BCJ CEJ

BCJ

S CEHCE2x2

2

S BCHBC16

又Rt BCE与Rt BFE关于BE对称，S CEJ S EFJ,S CJB S BFJ

S2S CEFS CEJx2 (0 x 5) S1S BCFS BCJ16

3，当Rt BFE的外接圆与AD相切时，则F为切点. （3）如图○

BFE的圆心落在BE的中点，设为K

则有FH AD，过点K作KL AB,LM BC,KN CD， 连接KF,KA,KD,KC，得

11x

BC 2,KM CE

222

1BE

则FK BE

2KN KL

又SABCD S DKA S CKD S CKB

S AKB

(3 5) 415 24x3 2

222222

解得：x1 32 x2 32

S2x2 139

S116D

D

D

G

① ② ③

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pvg1.html