D8_3全微分

同济大学 高等数学 课件

第三节第八章

微全分y = Ax + o ( xdy) =f ′x)( x应用

一函元数 y f= x( 的)微分近似计算估计 差

误本内容: 节节内容

本、全一分微定的 、义二*、全微分在值数算计的中应用机

动目录上页下

页返

回束结

同济大学 高等数学 课件

一全微分的、义定、定 : 义定义 如函果 数z =f ( x ,y )定在域 义 D内的(点 , xy) 处全增量 可示成

表 z=A x+B y + (ρo) , 中 其 A, 不依B赖于 x, y ,与仅 x , 有关y则称函，数 有，关称则数 函 ( x,f y )点(在 x ,) 可y微可 微 在点， (x y) ,的全分 微作 全微分, 记全微分 为称数函f (,x )ydz =d f = Ax + B若函数在y域 D各内都点微可 ,则此函数称在 内可微D 在内可微.机动 录 上页 下页 返回目 束

结

同济大学 高等数学 课件

由微定分义 :li mz l=im [ A( x B + y) + oρ ) ]( = x→0 0 →y0ρ→0

得

x→0 →0yilmf (x + x, y + y = )f(x, y) 即函 z数= f (x ,y)在 (点x ,y 可微

)z = (xf + , x +y y) f( ,x ) y函在数该连续点下两面个理给出定可了与偏微导的关系: 数()1函数可微 (2 偏)导连续数 导偏存在 函数数微可动机 目录上 页下页 返回 结束

同济大学 高等数学 课件

定理 1理1定(要条必件)若函 数 z = f(,xy )在点 x,( y) 微 可 ,则该数函在该点偏数导必 存在且,有 z z zd =x + y yx证: 由全 增量式 得到对 x公 的增偏量令 y= 0,

x+ x x

= A +xo ( x

) z x ∴z lim == Ax x0 x → z =, 因此B有 样可同 证 y动机目录 上 页下页 返回 结束

同济大学 高等数学 课件

注:意 意注 理定 1逆定的理不立 . 即成:偏 数导存在数函 一不可定 微!xy 2 2, x+ y 0 ≠22 x + y反例 :反例 函 f (x数, )y

=0,知 f易x (0, 0) = f (y, 0) 0=0 ,但

2 x +2 y =0 xy z [ f x(0 ,0 ) x+f y 0,( )0 y =

(] )x+ ( )y2

2

x y = ( )x 2 (+ )y

02

≠oρ( 因)此,数函点 在(,0)0不 微 .可动 目录机上 页 下页 返回 结束

同济大学 高等数学 课件

z z 定2理 定理 充分条件( 若)数函的 偏数 导, x y在点(,x y) 续, 连函则数在点可该微分 证.: z =f( x + , x y +)y f ( , y)x= [ (f +x x ,y+ y )f (x, y y+) ]+ f[(x, y + ) y (x,f y)] f=x (x +θ1x ,y + y x + ) yf( , xy+ 2 y)θ y ( <θ01, θ2 1< ) im lα= 0, lmi β= 0 x → 0 x→ 0 →y0 y→0 机 动录 目上页下页 返 结束回= [fx ( x y, )+α ]x + [fy ( x, y)+ β y]

同济大学 高等数学 课件

z= L =f x x,( y) + x y fx,(y) y+ x α β +y lmi α= 0 l,mi β =0 →0x x→0 y→ 0 →y0α x + β y α ≤+ β,故 有注意到 ρ z = fx( x, ) y +x fy (,x )y y+ o (ρ) 所以数函

在

可点.微机

动目录上页

下

页返回结束

同济大学 高等数学 课件

推广: 推 类广似可讨论三元三元以上及数的函可性问题.微 例

如,三元函数 u = f( x y, z),的全 微分为 uu u du = x + y +z x y z习惯 上把自变的增量量用微表分示 于,是

du= 作记 u dz + zdz

dx uu, d y u, d z称为偏u分微故 有下述加原理 叠微分偏 .偏分微d u = dx + duy u+ zd u机动目 录上 页下页 回 返束结

同济大学 高等数学 课件

1.例 计算函数 zy ex ,y =解: x

在点( ,1) 2的处微分.全 z xe yx = y

z e=2 , x2(,1)

z = 2e 2 (2y,1

例)2 计.算函 解数:d =u1 cs yo +(2 2的全微分y. ) dz y ze机

动目录

上页

下页

返

回结束

同济大学 高等数学 课件

*、全微分在二值计数中算应的用1. 近计似算 全由微定义分 z = f x(x ,y )x + f y(x, ) y + o(ρy)d

可z知当 及 较小, 时有似等式近: z≈ zd= fx (x , y x)+ f y (x , ) y(可用于y似计近算 ;差误析)分

f(x + ,xy + y )≈ (x, fy)+ f xx( ,)y +xf y ( x,y) y可(于近用似算)机计动目 上页录下 页 回返结 束

例

同济大学 高等数学 课件

3 .一有圆体受柱压发后生形变,半径由 2 c0m 增大 到20 05.cm ,高 度由100c 减m到少 99c , m求此圆体柱体积 的似近改变量 解.:已 知

V则≈ 2π hr r +π r h2 r 20=,h =1 00 ,r= .00,5 h =1 V 2π ≈×2 ×1000 ×0.50+π × 02 × 2 1( =) 200π (cm)3即压受后圆体柱积体减了机少 动目 上录 下页 页返 结束回

4.计

同济大学 高等数学 课件

算例 .4

近似的值.f (, x) y x =,y 则: 解设f x(x, ) = yyx y1 , f y(x y,) = lx xny

取x =, 1 y=2 ,x = 0.04 , y 0.02=

则1.042.20 f= 1.(4, 0.202 )= +1 2 0×.4 0 0+×0. 02 1.=08机动

目录

上

页页下返回

结束

同济大学 高等数学 课件

.2 差估计误 用 利令 z ≈f xx(, y )x+ f (yx y) y,分别表 x示 , , y z绝的误对差界 则,z的绝对误差 界为约δ z= f x(x,y) x + δ yf( , yx) δz y相的对差误界为约δ

zf y (x ,)yf x ( ,xy )= δ + xy z δ f(,x )y f x, y()机

动录目

上页下

返页回

结束

同济大学 高等数学 课件

特注意别δ x z= zy

x δ + x yδy

乘后除结的相果对误变差大 很小数的能做不数 除类可似推以广三到及三元元以上的形情

.机动目录

页

下上

返页回

结束

同济大学 高等数学 课件

例5 利用公.式计三角形面算积.现测得

=a2.1 ± 0501. ,b= 8. ±3 0.0, C = 301°± 0 .1°求算计积时的面绝误差与对相误差对. S SS :解 S= δaδ+δb +δc a b c 11 1 = bsin δ aC a+s i Cn δb + abcs o Cδ C 2 2 2 aπ= 1 .2, 5 =b8. 3 , =C 03,°δ =δa b =.00, δ1C = 1 80 0绝故对差误为 约1 又 = ×125×..8×3 ins30° ≈ 25.49 所2 S以 的相误差对为约机 目录动 页上下页 返回结

同济大学 高等数学 课件

例束6.直在流路中, 电得电测 压 U 2=4伏 相对,误为 0.差3;%测得电流 I 6安=,相对 差误 为05 % . 求用欧姆, 律定计电算 R阻 产生的相时误对和绝对误差差 .U 24 解: 由欧姆定可知 律 =R == ( 欧) I 46所 以 R的相 对差误约 为δR δ Uδ I= + =0.3 +%0. 5 %

= .80% RU IR 的绝误差对为约δR = R× 0 8. =%0 0.23 欧 ()机 目录动上页 下 页返回 束结

内

同济大学 高等数学 课件

小容结. 微1定义分: z

+ o =()ρρ = x()2 +( y )2d z =fx ( ,xy d) + x yf (x, )yyd2. 要关重系 函数连续: 数可导

函数可微函

导偏连数续机动目 录 页上下 页返回结 束

同济大学 高等数学 课件

.3 分微应用 近计似算f xx,( )y x+ fy (,x y y )f xx, y( x) +f (yx ,y)y 计误估 差绝对差 δ z =误 x f(x,y ) δ +x fy ( x y),δ y f y x( ,y) δ zf (x,xy) =δ + δyx 对误相差z f(x, )yf x( ,y

)动机目录

页上

页下返回

结束

同济大学 高等数学 课件

思考练与 1.习P 27题 1 ( 习总题)2.八选 题 函择 数z= f (,xy )在(x 0, y )0可微的 分充件是(条D ) A()f x,(y 在) (0 ,xy0 )连续 ;

′′ B()f x (,xy) , fy (x, y) (在0 , xy0 )某的域内存邻在 ;

′′ C() z f x ( x, y x) f y (, xy )y当 x(2 +)( y ) 2→ 0时是 穷无量小; ′ z ′f xx(, y )x f y ( x,y y) ()x2 +( y 2)(D

)当( )x 2+( y ) 2 →0 是无穷小时 .量动机目 录页上下 页返 结回

束3

同济大学 高等数学 课件

. 7P3 7 题答案:答案

z x =2 x, = 00.1 =y1 , y = 0 .30

=0. 20

zd

x= 2 , x = 0.01 y= ,1 y= .003 0.0=3

可也写作 : 当 = x ,2y = , △x = 01.01 , △ y=0.0 3时 △z 0.02= , d = z003.机动

目录

上页

下

返回页

结束4

同济大学 高等数学 课件

.设 (注意 x:y z, 例2注 意L. P245, 有)具 x 解 Q f (:x0,,0 = )轮换称对 3 +性 csox 1x ′ = ∴) fx( 0,00), =( 3 +os c xx= 041f y 0,(00),= f z(0 0,,0) =4 ∴ d f0(,0,)0 = y (0f,0,) d 0x + fy 0(0,0,)d y f +z(0 0,,)0 zd1 (= xd+ d + dyz) 4机动目录 页 上下页 返回结束

用轮换对称利性 ,可

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pvc1.html