浙江省杭州市六校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷

2014-2015学年浙江省杭州市六校高一（上）期中数学试卷

一．选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（3分）已知集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，则集合A∩B=（） A． {3} B． {1，3} C． {1，2，4，5} D．{3，4，5} 2．（3分）下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是（） A．

3．（3分）设函数f （x）= A． 1

4．（3分）函数

B． 3

，则f[f（2）]的值为（） C． ﹣3

的定义域是（）

D．0

B．

C．

D．

A． {x|x≥0} B． {x|x≤0} C． {x|x＞0} D．{x|x＜0} 5．（3分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数的为（） A．

6．（3分）函数f（x）=

的值域是（）

C． [0，2]

D．（﹣∞，2]

B． y=x

2

C． D．

A． （0，2] B． [0，2） 7．（3分）下列判断正确的是（）

0.30.3

A． 1.5＞0.8 C． 0.8＜0.8

8．（3分）函数

的图象是（）

3

4

B． 1.5＞1.5 D．

2.53

A． B．

C．

D．

9．（3分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式＞0的解集是（） A． （﹣2，0）∪（2，+∝） ∪（0，2） D．

B． （﹣∝，﹣2）∪（0，2） C． （﹣2，0）（﹣∝，﹣2）∪（2，+∝）

10．（3分）若函数f（x）=围是（） A． [0，2）

B．

是R上的单调函数，则实数a的取值范

C． [1，2] D．[0，1]

二．填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分，请将答案填写在答题卷中的横线上．）

2

11．（4分）集合{2，﹣1}={2，a﹣2a}，则实数a=． 12．（4分）已知函数f（x）=3x+2，则f（x+1）=．

13．（4分）已知a＞0且a≠1，则函数f（x）=a

14．（4分）函数y=

15．（4分）函数f（x）=x﹣2x+2在区间[0，m]上的最大值为2，最小值为1，则m的取值范围是．

16．（4分）若方程

17．（4分）给出定义：若m﹣＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题： ①函数y=f（x）的定义域为R，值域为

；

+a=0有解，则实数a的取值范围是．

2

x+2

+1的图象过定点．

的增区间为．

②函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称； ③函数y=f（x）是偶函数； ④函数y=f（x）在

上是增函数．

其中正确的命题的序号是．

三．解答题：（本大题有4小题，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 18．（8分）计算： （1）

；

（2）；

（3）已知x+x=3，求

19．（10分）已知函数

﹣1

的值．

的定义域为集合Q，集合P={x|a+1≤x≤2a+1}．

（1）若a=3，求（?RP）∩Q；

（2）若P?Q，求实数a的取值范围．

20．（10分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）=x+2x．函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示． （1）写出函数f（x），x∈R的解析式；

（2）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最大值．

2

21．（14分）已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）=

是奇函数．

（1）求a，b的值；

（2）判断函数f（x）的单调性并用定义加以证明；

22

（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t）+f（2t﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

2014-2015学年浙江省杭州市六校高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（3分）已知集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，则集合A∩B=（） A． {3} B． {1，3} C． {1，2，4，5} D．{3，4，5}

考点： 交集及其运算． 专题： 集合．

分析： 由A与B，求出A与B的交集即可．

解答： 解：∵A={1，2，3}，B={3，4，5}， ∴A∩B={3}． 故选：A．

点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．（3分）下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是（） A．

B．

C．

D．

考点： 判断两个函数是否为同一函数． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，这样的两个函数是同一函数，进行判断即可．

解答： 解：对于A，y=对于B，y=对于C，y=对于D，y=

=x（x≠0），与y=x（x∈R）的定义域不同，∴不是同一函数；

=x（x∈R），与y=x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；

=x（x≥0），与y=x（x∈R）的定义域不同，∴不是同一函数； =|x|（x∈R），与y=x（x∈R）的对应关系不同，∴不是同一函数．

故选：B．

点评： 本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，解题时应判断它们的定义域是否相同，对应关系是否也相同，是基础题．

3．（3分）设函数f （x）=

，则f[f（2）]的值为（）

A． 1 B． 3 C． ﹣3 D．0

考点： 函数的值． 专题： 计算题．

分析： 根据函数解析式先求出f（2）的值，再求f[f（2）]的值．

解答： 解：由题意得，函数f （x）=，

则f（2）=2﹣3=﹣1，f（﹣1）=1﹣1=0， 所以f[f（2）]=0， 故选：D．

点评： 本题考查分段函数的函数值，对于多层函数值应从内向外依次求值，注意自变量对应的关系式．

4．（3分）函数

的定义域是（）

A． {x|x≥0} B． {x|x≤0} C． {x|x＞0} D．{x|x＜0}

考点： 函数的定义域及其求法． 专题： 计算题．

分析： 本题要求根号下非负即可得到定义域满足的不等式，解所得的指数不等式即可

xx0

解答： 解：由题意2﹣1≥0，即2≥1=2 故x≥0

函数的定义域是{x|x≥0}

故选A

点评： 本题考查函数定义域的求法，求函数的定义域就是求使得解析式有意义的自变量的取值范围，一般有偶次根号下非负，真数大于0等． 5．（3分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数的为（） A．

考点： 专题： 分析： 论． 解答：

B． y=x

2

C． D．

函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

函数的性质及应用．

本题利用函数的单调性和奇偶性定义判断选项中的函数是否符合条件，得到本题结

解：选项A，

=﹣f（x），

∵f（x）=，f（﹣x）=∴y=是奇函数，不合条件；

选项B，

2

y=x在（0，+∞）单调递增，不合条件； 选项C， ∵

，f（﹣x）=

，

∴f（x）是偶函数，在区间（0，+∞）上是减函数，符合条件； 选项D， ∵∴

，f（﹣x）=（）=2

﹣x

x

，

不是偶函数，不符合条件．

故答案为：C．

点评： 本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性，本题难度不大，属于基础题．

6．（3分）函数f（x）= A． （0，2]

的值域是（）

C． [0，2]

B． [0，2） D．（﹣∞，2]

考点： 专题： 分析： 解答： ∴0≤

函数的值域．

计算题；函数的性质及应用．

由题意，利用观察法求函数的值域．

2

解：∵0≤4﹣x≤4，

≤2，

的值域是[0，2]．

即函数f（x）=

故选C．

点评： 本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择． 7．（3分）下列判断正确的是（）

0.30.32.53

A． 1.5＞0.8 B． 1.5＞1.5 C． 0.8＜0.8

3

4

D．

考点： 不等式比较大小． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．

0.30.3

解答： 解：A．∵1.5＞1＞0.8，∴正确；

x2.53

B．∵函数y=1.5在R上单调递增，∴1.5＜1.5，因此不正确；

x34

C．∵函数y=0.8在R上单调递减，∴0.8＞0.3，因此不正确；

D．∵=，函数y=在R上单调递增，

∴，因此不正确；

故选：A．

点评： 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．

8．（3分）函数

的图象是（）

A． B．

C．

D．

考点： 函数的图象与图象变化． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 先判断函数的奇偶性，利用基本初等函数的单调性，即可判断出．

解答： 解：令f（x）==，其定义域为{x|x≠0}．

∵f（﹣x）=C；

=﹣f（x），因此函数f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，

当x＞0时，∵函数y=，y=﹣x为单调递减，故排除A． 综上可知：正确答案为D．

点评： 本题考查了函数的单调性与奇偶性，属于基础题．

9．（3分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式

＞0的解集是（） A． （﹣2，0）∪（2，+∝） B． （﹣∝，﹣2）∪（0，2） C． （﹣2，0）∪（0，2） D． （﹣∝，﹣2）∪（2，+∝）

考点： 函数单调性的性质． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．

解答： 解：∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0， ∴函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，且f（﹣2）=f（2）=0， 作出函数f（x）的草图如图：

∵f（x）是奇函数，∴不等式等价为，

即或，

则0＜x＜2或﹣2＜x＜0， 故不等式故选：C

＞0的解集是（﹣2，0）∪（0，2），

点评： 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，利用数形结合是解决本题的关键．

10．（3分）若函数f（x）=围是（） A． [0，2）

B．

C． [1，2]

D．[0，1]

是R上的单调函数，则实数a的取值范

考点： 函数单调性的性质． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据函数单调性的定义和性质即可得到结论．

解答： 解：根据分段函数单调性的性质若函数为单调函数， 则函数只能是单调递减函数，

则满足，

即，

解得＜a＜2，

故选：B

点评： 本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质是解决本题的关键．

二．填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分，请将答案填写在答题卷中的横线上．） 11．（4分）集合{2，﹣1}={2，a﹣2a}，则实数a=1．

考点： 集合的相等． 专题： 集合．

分析： 利用集合相等，元素相同解答．

2

解答： 解：因为集合{2，﹣1}={2，a﹣2a}，

2

所以a﹣2a=﹣1， 解得a=1； 故答案为：1．

点评： 本题考查了集合相等，集合元素相同；属于基础题． 12．（4分）已知函数f（x）=3x+2，则f（x+1）=3x+5．

考点： 函数解析式的求解及常用方法．

2

专题： 函数的性质及应用．

分析： 本题可以用代数思想求出函数的解析式，得到本题结论． 解答： 解：∵函数f（x）=3x+2， ∴将上式中的“x”用“x+1”代入 f（x+1）=3（x+1）+2=3x+5． 故答案为：3x+2．

点评： 本题考查了代入法求函数解析式，本题难度不大，属于基础题．

13．（4分）已知a＞0且a≠1，则函数f（x）=a

考点： 指数函数的单调性与特殊点． 专题： 计算题；函数的性质及应用．

x+2

+1的图象过定点（﹣2，2）．

分析： 由a=1可得，令x+2=0，从而解得．

解答： 解：令x+2=0，则x=﹣2， 此时y=2， 故答案为：（﹣2，2）．

点评： 本题考查了指数函数的定点问题，也是恒成立问题，属于基础题．

14．（4分）函数y=

的增区间为[﹣5，﹣3]．

0

考点： 复合函数的单调性． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据复合函数单调性之间的关系即可得到结论．

解答： 解：由﹣x﹣6x﹣5≥0得x+6x+5≤0， 解得﹣5≤x≤﹣1，

故函数的定义域为[﹣5，﹣1]，

2

设t=﹣x﹣6x﹣5，则y=为增函数，

2

要求函数的增区间，根据复合函数单调性之间的关系即求t=﹣x﹣6x﹣5，

2

∵函数t=﹣x﹣6x﹣5的对称轴为x=﹣3，

2

∴函数t=﹣x﹣6x﹣5的递增区间为[﹣5，﹣3]， 故答案为：[﹣5，﹣3]

点评： 本题主要考查函数单调区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系，利用换元法是解决本题的关键．

15．（4分）函数f（x）=x﹣2x+2在区间[0，m]上的最大值为2，最小值为1，则m的取值范围是1≤m≤2．

考点： 二次函数在闭区间上的最值． 专题： 函数的性质及应用．

22

2

分析： 根据二次函数的性质得出解答： 解：∵f（x）=x﹣2x+2，

2

即求解即可．

∴对称轴x=1， ∴f（0）=2， f（1）=1，

2

∵f（x）=x﹣2x+2在区间[0，m]上的最大值为2，最小值为1 ∴

即

求解得：1≤m≤2

故答案为：1≤m≤2

点评： 本题考察了二次函数的性质，属于容易题．

16．（4分）若方程

+a=0有解，则实数a的取值范围是a＜0．

考点： 函数的零点．

专题： 计算题；函数的性质及应用．

分析： 由题意，方程的观点求解即可． 解答： 解：由题意， a=﹣（

）＜0，

+a=0可化为a=﹣（），利用函数

故答案为：a＜0．

点评： 本题考查了方程的根与函数的零点的关系，属于基础题．

17．（4分）给出定义：若m﹣＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题： ①函数y=f（x）的定义域为R，值域为

；

②函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称； ③函数y=f（x）是偶函数； ④函数y=f（x）在

上是增函数．

其中正确的命题的序号是①②③．

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 本题为新定义问题，因为m为整数，故可取m为几个特殊的整数进行研究，进而得到函数的图象的草图，结合图象分析得到答案．

解答： 解：由题意x﹣{x}=x﹣m，f（x）=|x﹣{x}|=|x﹣m|，

m=0时，﹣＜x≤，f（x）=|x|，

m=1时，1﹣＜x≤1+，f（x）=|x﹣1|， m=2时，2﹣＜x≤2+，f（x）=|x﹣2|， …

画出函数的图象如图所示，由图象可知正确命题为①②③， 故答案为：①②③

点评： 本题是新定义问题，考查函数的性质，可结合图象进行研究，体现数形结合思想．

三．解答题：（本大题有4小题，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 18．（8分）计算： （1）

；

（2）；

（3）已知x+x=3，求

﹣1

的值．

考点： 有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算． 专题： 函数的性质及应用．

分析： （1）利用根式的运算性质即可得出； （2）利用指数幂的运算性质即可得出；

（3）利用

解答： 解：（1）原式=

2

=x+x+2=5，x+x=（x+x）﹣2即可得出．

=

4

6

﹣12﹣2﹣12

=5；

（2）原式=（﹣2）×（﹣2）=2=64； （3）∵x+x=3，∴

又x+x=（x+x）﹣2=7，

2

﹣2

﹣1﹣1

=x+x+2=5，x＞0，∴

2

﹣1

=．

∴==．

点评： 本题考查了指数幂的运算性质与乘法公式，考查了计算能力，属于基础题．

19．（10分）已知函数

的定义域为集合Q，集合P={x|a+1≤x≤2a+1}．

（1）若a=3，求（?RP）∩Q；

（2）若P?Q，求实数a的取值范围．

考点： 集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算． 专题： 规律型．

分析： （1）当a=3时，求出集合P和Q，然后求（?RP）∩Q； （2）利用条件P?Q，建立条件关系即可求实数a的取值范围． 解答： 解：（1）当a=3时，P={x|a+1≤x≤2a+1}={x|4≤x≤7}，CRP={x|x＜4或x＞7}， 要使函数

有意义，则

，即

，解﹣2≤x≤5，

∴函数的定义域Q={x|﹣2≤x≤5}，

∴（CRP）∩Q={x|x＜4或x＞7}∩{x|﹣2≤x≤5}={x|﹣2≤x＜4}； （2）当P=?时，即2a+1＜a+1，得a＜0，此时有P=??Q；

当P≠?时，由P?Q得：，

解得0≤a≤2，

综上有实数a的取值范围是（﹣∞，2]．

点评： 本题主要考查集合的基本运算，以及利用集合关系求参数问题，比较基础，注意区间端点值的等号问题．

20．（10分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）=x+2x．函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示． （1）写出函数f（x），x∈R的解析式；

（2）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最大值．

2

考点： 函数解析式的求解及常用方法；二次函数在闭区间上的最值． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 本题（1）利用函数的奇偶性和已知的x≤0时解析式，求出函数在x＞0时的解析式，得到本题结论；（2）由（1）的结论得到函数g（x）的解析式，再通过分类讨论研究二次函数在区间上的值域，得到本题结论． 解答： 解：（1）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x）．

2

∵当x≤0时，f（x）=x+2x， ∴当x＞0时，﹣x＜0，

f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x）+（﹣x）]=﹣x+2x， ∴

．

2

2

（2）∵函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]， ∴g（x）=﹣x+（2﹣2a）x+2，x∈[1，2]， 当1﹣a≤1时，[g（x）]max=g（1）=3﹣2a；

2

当1＜1﹣a≤2时，[g（x）]max=g（1﹣a）=a﹣2a+3； 当1﹣a＞2时，[g（x）]max=g（2）=2﹣4a．

2

∴[g（x）]max=

．

点评： 本题考查了函数的奇偶性、函数解析式、二次函数在区间上的值域，本题难度不大，属于基础题．

21．（14分）已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）=

是奇函数．

（1）求a，b的值；

（2）判断函数f（x）的单调性并用定义加以证明；

22

（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t）+f（2t﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

考点： 函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质． 专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析： 本题（1）利用直线过定点和函数为奇函数，得到关于参数的方程组，解方程组得到本题结论；（2）利用函数单调性的定义加以证明，得到本题结论；（3）利用函数的奇偶性和单调性，将原不等式转化为相应自变量的比较，解不等式得到本题结论．

x

解答： 解：（1）设g（x）=m（m＞0，m≠1） ∵g（2）=4，

2

∴m=4， ∴m=2，

x

∴g（x）=2．

∴，

∵定义域为R的函数f（x）=是奇函数，

∴，

∴．

（2）函数f（x）是R上的减函数，下面证明． 证明：由（1）可知：f（x）=任取x1，x2∈R，且x1＜x2， 则：f（x1）﹣f（x2）=（﹣+∵x1＜x2， ∴2

＞

，

，

， ）﹣（﹣+

）=

，

，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0， ∴f（x1）＞f（x2）．

∴函数f（x）是R是上的单调递减函数．

22

（3）∵f（2t﹣2t）+f（2t﹣k）＜0对于任意的t∈R恒成立，

22

∴f（t﹣2t）＜﹣f（2t﹣k）．

∵定义域为R的函数f（x）是奇函数， ∴f（t﹣2t）＜f（k﹣2t）． ∵函数f（x）是R上的减函数， 22∴t﹣2t＞k﹣2t， ∴k＜3t﹣2t=∴k＜﹣．

点评： 本题考查了函数的奇偶性和单调性，本题难度适中，属于中档题．

22

2

对于任意的t∈R恒成立，

∵定义域为R的函数f（x）=是奇函数，

∴，

∴．

（2）函数f（x）是R上的减函数，下面证明． 证明：由（1）可知：f（x）=任取x1，x2∈R，且x1＜x2， 则：f（x1）﹣f（x2）=（﹣+∵x1＜x2， ∴2

＞

，

，

， ）﹣（﹣+

）=

，

，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0， ∴f（x1）＞f（x2）．

∴函数f（x）是R是上的单调递减函数．

22

（3）∵f（2t﹣2t）+f（2t﹣k）＜0对于任意的t∈R恒成立，

22

∴f（t﹣2t）＜﹣f（2t﹣k）．

∵定义域为R的函数f（x）是奇函数， ∴f（t﹣2t）＜f（k﹣2t）． ∵函数f（x）是R上的减函数， 22∴t﹣2t＞k﹣2t， ∴k＜3t﹣2t=∴k＜﹣．

点评： 本题考查了函数的奇偶性和单调性，本题难度适中，属于中档题．

22

2

对于任意的t∈R恒成立，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pvba.html