陕西省长安一中2011届高三数学综合模拟(一)理

1

陕西长安一中2011届高三综合模拟（一）数学（理）试题

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求（共10小题， 50分）。 1.已知集合{}2

|20A

x x x =->，{}

|1B x x =>，R 为实数集，则A B C R ?）（= ( )

A.[]0 1，

B.(]0 1，

C.(] 0-∞，

D.()1 2， 2.复数12i i

-(i 为虚数单位)的虚部是( )

A.

15i

B.15

- C.15

i

-

D.1

5

3. 要得到函数sin 2cos 2y x x =-的图象，只要将函数sin 2cos 2y x x =+的图象沿x 轴( ) A.向右平移4

π

个单位 B.向左平移4

π

个单位 C.向右平移

2

π

个单位 D.向左平移

2

π

个单位

4.已知m

是二项式7

)a x

（a

为常数）展开式中有理项的个数，则2)m

展开式的

中间项为（ ） A. 24x

-

B.

24x

C.

2

24x

D. 2

24x

-

5. 若函数21

2

log ,0()log (),0x x f x x x >??

=?--,则实数a 的取值范围

是（ ）

A. (1,0)(0,1)-?

B.(,1)(1,)-∞-?+∞

C. (1,0)(1,)-?+∞

D. (,1)(0,1)-∞-? 6. 执行右图所给的程序框图，输出的S 的值等于( ) A.17 B.25 C.26 D.37

7. 如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（ ） A ．π3 B ．π2 C ．π23

D ．π4

8. 已知双曲线

12

22

2=-

b

y a

x 的一个焦点与抛物线x y 42

=的焦点重合，且双曲

（ ）

主视

图

俯视

图左视图

2

A ．15

452

2

=-

y x

B ．

14

5

2

2

=-

y

x

C ．

14

5

2

2

=-

x

y

D ．14

552

2

=-

y x

9. 已知函数21(0)

()(1)1(0)

x x f x f x x ?-≤=?-+>?，把函数()()g x f x x =-的零点按从小到大的顺序

排列成一个数列，则该数列的通项公式为（ ） A ．*(1)()2

n

n n a

n N -=

∈ B ．*

1()n a n n N =-∈

C ．*(1)()n a n n n N =-∈

D ．*22()n n a n N =-∈

10. 定义两种运算：2

2

b a b a -=⊕，2

)(b a b a -=

?，则函数()()

222x f

x x ⊕=

-?（ ）

A ．是奇函数

B ．是偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．既不是奇函数又不是偶函数 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（共5小题， 25分）.

11．已知向量(,2),(4,),(,)(0,0)a x b y c x y x y ===>>

，若

//a b

则c 的最小值为 ．

12．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为

2

4

a

．类比到空间，有两个棱长均

为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ．

13．先后抛掷两枚均匀的骰子，骰子朝上的点数分别为m ，n ，则满足1log 2=n m

的概率

是 .

14．设,x y 满足约束条件2208400 , 0x y x y x y -+≥??

--≤??≥≥?

，若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值

为8，则a b +的最小值为________.

15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）

A ．（选修4—4坐标系与参数方程）若N M ,分别是曲线θρcos 2=和2

2)4

sin(=

-π

θρ上的动点，则N M ,两点间的距离的最小值是 . B ．（选修4—5 不等式选讲）若不等式1|||2|1x a x

+>-+对于一切非零实数x 均成立，则

实数a 的取值范围为__________.

C.（选修4—1 几何证明选讲）如图，圆O 的割线PBA 过圆心

3 O ,弦C D 交AB 于点E ，且COE PDE PB OA ??== ∽,2COE PDE PB OA ??== ，则P E 的长等于________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6小题， 75分）

16.已知数列{n a }满足)(222*213221N n n a a a a n n ∈=++++-

⑴求数列{n a }的通项公式；

⑵求数列{n a }的前n S n 项和.

17.已知平面向量(cos ,sin )a ??= ，(cos ,sin )b x x = ，(sin ,cos )c ??=- ，其中

0?π<<，且函数()()cos ()sin f x a b x b c x =?+? 的图象过点)1,6

(π． （1）求?的值；

（2）将函数)(x f y =图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g y =在[0,]2π

上的最大值和最小值．

18.(12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11AC C A 均为正方形，∠=90BAC ,点D 是棱11B C 的中点.

（Ⅰ）求证：1A D ⊥平面11BB C C ；

（Ⅱ）求证：1//A B 平面1A D C ；

（Ⅲ）求二面角1D A C A --的余弦值.

B C C 1B 1

A 1 D

19．（12分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；

（Ⅱ）从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率.

20.(本题13分)设椭圆的对称中心为坐标原点,其中一个顶点为)

2

,

0(

A,右焦点F

与点

,

B的距离为2.

(1)求椭圆的方程；

(2)是否存在经过点)

3

,

0(-的直线l,使直线l与椭圆相交于不同的两点,

M N满

足

=,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由.

21.(本题14分)设函数2

()ln

f x x a x

=-

与()

g x x

=-1

x=于点,A B,

且曲线()

y f x

=在点A处的切线与曲线()

y g x

=在点B处的切线平行.

(1)求函数()

f x,()

g x的表达式；

(2)设函数()()()

h x f x g x

=-,求函数()

h x的最小值；

(3)若不等式()()

f x m

g x

≥?在(0,4)

x∈上恒成立,求实数m的取值范围.

4

5

参考答案

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求（共10小题， 50分）。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

B

D

A

B

C

C

C

D

B

A

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（共5小题， 25分）. 11.4 12.

8

3

a

13.

112

14.4 15.

A.1

B.13a <<

C. 3

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6小题， 75分）

16.解（1）设数列}2

{1

n n a -的前n 项和为n T ,则2

n T n =………………2分

)(121

,12,1212,2

*

111

N n n n n n n T n T T a n n n n ∈-=???=≥-=???=≥-=∴--　　　　　

1

2

12--=

n n n a ……………………………………………………………6分

（2）由1

2

2

2

1

223

2 (2)

5231---+

-+

+++=n n n n n S ①

2

22

1

2...2725322--+++++=n n

n S ②………………………………………8分

由②-①得，

1

2

2

2

122

2 (2)

22

222----

+

++

+

+=n n n n S ………………………．．……10分

1

1

2

122

1

1)211(22----

-

-

+

=n n n

1

2

326-+-

=n n …………………………………………………………．．12分

17.解：（1） c o s c o s s i n s i n c o s (a b x x x ????=+=-

……………………1分

cos sin sin cos sin(b c x x x

????=-=-

()x -? ……………………………2分 ()()cos ()sin f x a b x b c x ∴=?+?

cos()cos sin()sin x x x x ??=-+- cos()x x ?=--

6

cos(2)x ?=-， ……………………………4分

即()cos(2)f x x ?=- ∴(

)cos(

)163f π

π

?=-=，

而0?π<<，

∴3

π

?=

． ……………………………6分

（2）由（1）得，()cos(2)3f x x π

=-

，

于是1()cos(2())23

g x x π

=-

，

即()cos()3

g x x π

=-． ……………………………9分

当[0,]2

x π

∈时，3

3

6

x π

π

π

-

≤-

≤

，

所以

1cos()12

3

x π

≤-

≤， ……………………………11分

即当0x =时，()g x 取得最小值12

，

当3

x π

=时，()g x 取得最大值1． ……………………12分

18.解：（Ⅰ）证明：因为侧面11ABB A ，11AC C A 均为正方形，

所以11,AA AC AA AB ⊥⊥,

所以1A A ⊥平面ABC ，三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱. ………………1分 因为1A D ?平面111A B C ，所以11C C A D ⊥， ………………2分 又因为1111A B A C =，D 为11B C 中点，

所以111A D B C ⊥. ……………3分 因为1111C C B C C = ,

所以1A D ⊥平面11BB C C . ……………4分 （Ⅱ）证明：连结1AC ，交1A C 于点O ，连结O D ，

因为11AC C A 为正方形，所以O 为1AC 中点， 又D 为11B C 中点，所以O D 为11A B C ?中位线， 所以1//A B O D ， ………………6分 因为O D ?平面1A D C ，1AB ?平面1A D C ， 所以1//A B 平面1A D C . ………………8分

(Ⅲ)解： 因为侧面11ABB A ，11AC C A 均为正方形， 90BAC ∠=

，

所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A xyz -.

7

设1AB =，则111(0,10),(1,0,0),(0,0,1),(,

,1)22

C B A

D ，.

()→

→

１１１１

ＡＤ＝（，，０），ＡＣ＝０，１，－１２２

设平面1A D C 的法向量为=()x,y,z n ，则有 11

00A D A C ?=??

?=?n n ，0

0x y y z +=??-=?， x y z =-=-， 取1x =，得(1,1,1)=--n .

又因为AB ⊥平面11AC C A ，所以平面11AC C A 的法向量为()→

ＡＢ＝１，０，０

cos ,3

n A B →

→

=

=

， 因为二面角1

D A C A --是钝角，所以，二面角

1

D A C A

--

的余弦值为3

- -----------12分

19.解：（Ⅰ）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++?=，所以高为

0.30.065

=．频率直方图如下：

-------------------------------2分 第一组的人数为

1202000.6

=，频率为0.0450.2?=，所以20010000.2

n =

=．

由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300?=，所以1950.65300

p =

=． 第四组的频率为0.0350.1?

=，

所以第四组的人数为10000.15

1?=，

所以1500.46a =?=．

-------------------------------5分

（Ⅱ）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为

60:302:1=，所以采

用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人.

8

设[40,45)岁中的4人为a 、b 、c 、d ，[45,50)岁中的2人为m 、n ，则选取2人作为领队的有(,)a b 、(,)a c 、(,)a d 、(,)a m 、(,)a n 、(,)b c 、(,)b d 、(,)b m 、(,)b n 、(,)c d 、(,)c m 、(,)c n 、(,)d m 、(,)d n 、

(,)m n ，共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(,)a m 、(,)a n 、(,)

b m 、(,)b n 、(,)

c m 、(,)c n 、(,)

d m 、(,)d n ，共8种.

-------------------------------10分

所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为815

P =

.----------12分

20.解:(1)依题意,设椭圆方程为)0(12

22

2>>=+

b a b

y a

x ,则其右焦点坐标为

2

2,)0,(b a c c F -=

,由=||FB 2,

2=,

即2

(24c -

+=,

故22=c . 又∵2=b ,∴212a =,从而可得椭圆方程为

14

12

2

2

=+

y

x

.—— 6分

(2)由题意可设直线l 的方程为3-=kx y (0)k ≠,由||||AN AM =知点A 在线段MN 的垂直平分线上,

由?

????=+-=1412

32

2

y

x kx y 消去y 得12)3(322=-+kx x ,即可得方程01518)31(22=+-+kx x k …（*）

当方程（*）的06014415)31(4)18(222>-=?+--=?k k k 即12

52

>k 时方程（*）有两

个不相等的实数根.

设),(11y x M ,),(22y x N ,线段MN 的中点),(00y x P ,则12,x x 是方程（*）的两个不等的实根,故有2

213118k

k x x +=

+.从而有

2

2

103192

k

k x x x +=

+=

,2

2

2

20031331)

31(393k

k

k k kx y +-=

++-=

-=.

于是,可得线段MN 的中点P 的坐标为)313,

319(2

2

k

k

k P +-+

又由于0k ≠,因此直线AP 的斜率为k

k k

k

k

k 9653192

313

2

2

2

1--=

+-+-=,

由AP M N ⊥,得

19652

-=?--k k

k ，即9652=+k ，解得12

53

22

>

=

k

，∴3

6±

=k ，

9 ∴综上可知存在直线l ：336-±

=x y 满足题意.————————13分

21.(1)由2()ln f x x a x =-得22'()x a

f x x -=,

由()g x x =-

得'()g x =

.又由

题意可得'(1)f g =,即222a

a --=,故2a =,所以2()2l n

f x x x =-

,()g x x =-——————4分 (2)

由2()()()2ln h x f x g x x x x =-=--+

得

2

1)(1)'()21x h x x x x +-=--+=.由0x >

可知

1)(1)0x +->.故当(0,1)x ∈时'()0h x <,()h x 递减,当(1,)x ∈+∞时'()0h x >,

()h x 递增,所以函数()h x

的最小值为2min ()(1)112ln 12h x h ==--+=.———9分

(3)当(0,4)x ∈时

,2()1)10g x x =-=-<,而2()2ln 1f x x x =-≥,故:

当0m ≥时,不等式()()f x m g x ≥?在(0,4)x ∈均成立.

当0m <时,()m g x ?的最大值为(1)m g m ?=-,故要使()()f x m g x ≥?恒成立,则必需1m -≤,即1m ≥-.事实上,当1x =时,1m =-.故可知此时10m -≤<.

综上可知当1m ≥-时,不等式()()f x m g x ≥?在(0,4)x ∈均成立.————14分.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/pvaq.html