上海高考数学易错题讲义

第一部分 集合

1. 在集合运算中一定要分清代表元的含义.

例1、 已知集P?{y|y?x,x?R},Q?{y|y?2x,x?R}，求P?Q.

【分析：集合P、Q分别表示函数y?x2与y?2x在定义域R上的值域，所以P?[0,??)，

Q?(0,??)，P?Q?(0,??).】

例2、 设A集合

??1A??yy?2，x?R?x?1??，B?xy?x?1，x?R??，则

B?___________.

【分析：集合P、Q分别表示函数y?x2与y?2x在定义域R上的值域，所以P?[0,??)，

Q?(0,??)，P?Q?(0,??).】

2. 对于空集?的讨论不要遗漏.

例3、 若A?{x|x2?a},B?{x|x?2}且A?B??，求a的取值范围.

【分析：集合A有可能是空集.当a?0时，A??，此时A?B??成立；当a?0时，

A?(?a,a)，若A?B??，则a?2，有0?a?4.综上知，a?4.注意：在集合

运算时要注意学会转化A?B?A?A?B等.】

例4、 已知集合A?xx2?3x?2?0，x?R，B?xx2?mx?2?0，x?R，A则m的取值范围是_________.

【分析：AB?B?B?A，说明B中的解一定是A中的解或者是无解】

例5、 【2003年秋季理科】a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别为集合M和N，那么“

????B?B，

a1b1c1??”是“M=N”的 a2b2c2

（ ）

A．充分非必要条件. C．充要条件

B．必要非充分条件. D．既非充分又非必要条件.

【分析：不要忘记两个不等式均无解】 【答案：D】

3. 区间端点的取舍讨论.

例6、 【长宁区(文)】已知集合A?xlog2x?2,B?(??,a)，若A?B则实数a的取值范围是_________ 【答案：?4,???】

例7、 【闵行2011一模第12题】已知条件p:x?1?2；条件q:x?a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是 ． 【答案：?1,???】

??BR?例8、 【2009年上海秋季高考】已知集合A??x|x?1且A??，B??x|x?a?，

则实数a的取值范围是______________________ .

【答案：a?1】

??x?k?0，x?R?，且A例9、 若集合A?xx2?2x?8?0，x?R，B??x?x?k?1?，

??B??，

则实数k的取值范围是_______. 【答案：(??,?4]

(1,??)】

4. 充分必要条件的判断

?36?a?例10、 【2010年春季高考】若a1,a2,a3均为单位向量，则1??3,3??是

??a1?a2?a3??3,6的 （ ）

? Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件

Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分又不必要条件

【答案：B】

例11、 【松江区15】设a,b?R，则“a?b?2且ab?1”是“a?1且b?1”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案：B】

例12、 【10年一模宝山区15】以下四个命题中的假命题是……（ ） （A）“直线a、b是异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”； （B）直线“a?b”的充分不必要条件是“a垂直于b所在的平面”； （C）两直线“a//b”的充要条件是“直线a、b与同一平面?所成角相等”； （D）“直线a//平面?”的必要不充分条件是“直线a平行于平面?内的一条直线”． 【答案：C】

第二部分 不等式

1. 解分式不等式时注意等价变形

例1、 不等式

x?1?0的解集是_______________． x?4【答案：(?4,?1]】

例2、 不等式

2?x?2的解集是_______________． x?4【答案：(?4,?2]】

例3、 【2008学年青浦区一模第11题) 设函数f(x)的定义域为[?4,4]，其图像如下图，

那么不等式

f(x)?0的解集为____________. sinxy-4-2O14x

【答案：[?4,??)[?2,0)[1,?)

?4?】

2. 注意对不等式最高次项系数的讨论（是不是为0，判断正负号）

例1、 若关于x的不等式kx2?kx?2?0的解集为R，则实数k的取值范围是___________. 【答案：{x|?8?x?0}】

例2、 【2011年徐汇区一模第21题】

已知关于x的不等式(kx?k?4)(x?4)?0，其中k?R。

（1）求上述不等式的解；

（2）是否存在实数k，使得上述不等式的解集A中只有有限个整数？若存在，求出使

得A中整数个数最少的k的值；若不存在，请说明理由。

【答案：

221．解： （1）当k?0时，A?(??,4)； ………………2分 当k?0且k?2时，

k?2?4………………4分 k4?A?(??,4)(k?,??)；……………………5分

k当k?2时，A?(??,4)当k?0时，A?(k?(4,??)；（不单独分析k?2时的情况不扣分）

4,4).……………….7分 k（2） 由（1）知：当k?0时， A中整数的个数为无限个；………………..9分

当k?0时，A中整数的个数为有限个， ……………11分

4因为k???4，当且仅当k??2时取等号，……………12分

k所以当k??2时，A中整数的个数最少。…………….14分

】

例3、 【2011闸北区一模理第9题】

若不等式ax?bx?c?0的解集为{x|?1?x?2}，则不等式为 ．

【答案：{x|?2?1?x?0}】

3. 不等式证明题——利用特殊值法只能排除错的选项！；

例1、 【2007年上海秋季高考第13题】

已知a,b为非零实数，且a?b，则下列命题成立的是

A、a?b B、ab?ab C、【答案：C 】

例2、 【2008年南汇一模第13题】 若a?b?0，则下列结论中不恒成立的是（ ） ．．．．

222222a?b?c?b|x|的解集x11ba?? D、22ababab

A． a?b B．

11? C． a2?b2?2ab D．a?b??2ab ab【答案：D 】

例3、 【2006年春季高考第14题】若a、b、c?R,a?b，则下列不等式成立的是( ) （A）

ab11?2.（D）a|c|?b|c|. ?. （B）a2?b2. （C）2c?1c?1ab【答案：C 】

4. 利用基本不等式求最值时注意“一正、二定(定积定和原理)、三相等”；若基本不等式求最值时无法取得等号，应考虑利用函数单调性（还会用定义法证明）不等式证明题—；

例1、 函数y?arccosx?【答案：??10的最小值为___________.

arccosx10?】

例2、 【2011年杨浦区二模文理第11题】已知函数f(x)?lg(x?1)，若a?b且

f(a)?f(b)，则a?b的取值范围是 . 【答案】【(0,??)】

例3、 函数y?x2?5x?42的最小值为___________.

【答案：

5】 2第三部分 函数与方程

1. 函数定义域与限制条件，并注意答案写成集合或区间的形式

例1、 不等式log3(5x2?8x?3)?1的解集为___________. 【答案：[?2,1)(1,3]】

?x2?x?6例2、 【2008年秋季理科3】函数f(x)?的定义域是 .

x?1【答案：[0,3)5(1,8]】 5

例3、 【2010年二模长宁第18题】如果函数f(x)?|lg|2x?1||在定义域的某个子区间

(k?1,k?1)上不存在反函数，则k的取值范围是 （ ）

1313A.[?,2) B.(1,] C.[?1,2) D.(?1,?]?[,2)2222

【答案：D】

2. 奇函数若在x?0处有意义，则f(0)?0；奇函数的图像不一定过原点；函数具有奇偶性，首先其定义域应关于原点对称；不具有奇偶性应举反例加以否定.

例1、 设a?R,f(x)?【答案：-1】

例2、 (2010年杨浦一模)设函数f?x??2?a是奇函数,求a x2?1?x?1??x?a?x为奇函数，则实数

a? ．

【答案：-1】

k?2x例3、 (2011年嘉定一模)若函数f(x)?（k为实常数）在其定义域上是奇函x1?k?2数，则k的值为__________． 【答案：?1】

3. 正确使用计算器求解根的范围

?1?例1、 【2010秋季高考理科】若x0是方程???x3的解，则x0属于区间 ( ).

?2?x1

?2??12??11?A. ?,1? B. ?,? C. ?,? D.

?3??23??32??1??0,? ?3?【答案：C】

例2、 【2010秋季高考文科】若x0是方程lgx?x?2的解，则x0属于区间 A．(0,1) B．(1,1.25) C．(1.25,1.75) D．(1.75,2)

【答案：C】

例3、 【2011年闵行区二模理第17题】设函数f1(x)?log4x?()（ ）

14x、

1f2(x)?log1x?()x的零点分别为x1、x2，则（ ）

44(A) 0?x1x2?1. (B) x1x2?1. (C) 1?x1x2?2. (D) x1x2?2. 【答案：A】

?1y?f(2x)y?f(2x).比如4. 反函数的本质是x，y交换，比如函数反函数不是

?1y?f(x?1)y?f(x?1). 函数反函数不是

例1、 已知函数y?f(x)的反函数是y?f?1则函数y?2f?1(3x?4)的反函数的(x)，

表达式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

【分析：求函数的反函数是解方程的过程，即用y表示x,然后将x,y互换即得反函数的表

yy1y?3x?4?f()?x?[f()?4].所22321x以函数y?2f?1(3x?4)的反函数为y?[f()?4]】

32达式.由y?2f?1(3x?4)可得f?1(3x?4)?

例2、 【2010年一模长宁】已知函数f(x)定义在R上,存在反函数,且f(9)?18,若

y?f(x?1)的反函数是y?f?1(x?1),则f(2008)= . 【答案：?1981】

例3、 【2009年高考理科22】已知函数y?f?1(x)是y?f(x)的反函数。定义：若对给定的实数a (a?0)，函数y?f(x?a)与y?f?1(x?a)互为反函数，则称y?f(x)满足“a和性质”；若函数y?f(ax)与y?f?1(ax)互为反函数，则称y?f(x)满足“a积性质”，

（1） 判断函数g(x)?x2?1 (x?0)是否满足“1和性质”，并说明理由； （2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；

【答案：22.解：（1）函数g(x)?x2?1(x?0)的反函数是g?1(x)?x?1(x?1)，

?g?1(x?1)?x(x?0)，

x?1?1(x?1)

而g(x?1)?(x?1)2?1(x??1) ，其反函数为 y?故函数g(x)?x2?1(x?0)不满足“1和性质” …… 4分 （2）设函数f(x)?kx?b(x?R)满足“2和性质”，k?0。

?f?1(x)?x?b(x??R?,?f?1(x?2)?x?2?b …… 6分

kk而f(x?2)?k(x?2)?b(x?R)，得反函数y?由“2和性质”定义可知

x?b?2k， …… 8分 kk?2?bx?b?2k＝对(x?R)恒成立。 kk?k??1,b?R?即所求一次函数f(x)??x?b(b?R）. ……10分

】

5. 判断函数的单调性可用有关单调性的性质（如复合函数的单调性），但证明函数单调性只能用定义！！！不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数

b单调性的关键步骤往往是因式分解.记住并会证明：函数y?ax?,(a,b?0)x的单调性.

例1、 已知函数f(x)?x3?ax在区间[1,?∞)上是增函数，则实数a的取值范围是___________. 【答案：a?[3,??)】

例2、 【2010年嘉定区二模第21题】 已知a?R，函数f(x)?x?a（x?[0,??)，求函数f(x)的最小值． x?1【答案：解 设x1、x2是[0,+?)内任意两个实数，且x1x2，则

f(x1)-f(x)2=x+1aa -x-2x1+1x2+1a(x2-x1)

(x1+1)(x2+1) ＝(x1-x2)+

＝

(x1-x2)(1-a)． ……………………4分

(x1+1)(x2+1)(i)当a<1时，

1-xx+x1+x2+1-aaa=12>0，(x1-x2)(1-)<0，(x1+1)(x2+1)(x1+1)(x2+1)(x1+1)(x2+1) …7即f(x1)-f(x2)<0.分

因此，f(x)在[0,+?)上是单调增函数，故(f())x9分

(ii) 当a31时，

f(x)=x+aa=(x+1)+-1?2a1． x+1x+1a，即x=x+1a-1(a-1?[0,?))时，等号成立． ……

nim0)(=fa=． …………

当且仅当x+1=14分

于是，(f(x))min=f(a-1)=2a-1． ……………………

15分

所以，(f(x))min16分

】

例3、 【2007年上海秋季高考第19题】已知函数f?x??x?2ìa(a<1)??=í． …………???2a-1(a?1)a(x?0,a?R) x（1）判断f?x?的奇偶性 （2）若f?x?在?2,???是增函数，求实数a的范围 【答案：（1）当a?0时，f(x)?x2， 0) 对任意x?(??，(0，??)，f(?x)?(?x)2?x2?f(x)， ?f(x)为偶函数．

当a?0时，f(x)?x2?a(a?0，x?0)， x 取x??1，得 f(?1)?f(1)?2?0，f(?1)?f(1)??2a?0， f(，1)f ?f(?1)???(1?)f，? 函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．

（2）解法一：设2≤x1?x2， f(x1)?f(x2)?x1?2aa(x1?x2)2?x2??x1x2(x1?x2)?a?， ?x1x2x1x2??)上为增函数，必须f(x1)?f(x2)?0恒成立． 要使函数f(x)在x?[2，

x1?x2?0，xx1?24，即a?x1x2(x1?x2)恒成立．

16]． 又?x1?x2?4，?x1x2(x1?x2)?16． ?a的取值范围是(??，2??)为增函数． 解法二：当a?0时，f(x)?x，显然在[2，当a?0时，反比例函数

aa?f(x)?x2?在[2，??)为增函数，??)为增函数．在[2，

xx 当a?0时，同解法一．】

第四部分 三角函数

1. 三角函数的最小正周期，计算公式少掉绝对值；

x?例1、 【2011年黄浦区二模文理第5题】若函数f(x)?2cos(4a= ． g(x)?5tan(ax?1)?的最小正周期相同，则实数2【答案：a=?2】

?7?)与1函数

2. 三角方程解的个数；

例2、 【2011年杨浦区二模文第9题】方程cos2x?sinx?1,x(?是 ． 【答案：?0,?,

例3、 【2011年徐汇区二模理科第5题，文科第7题】在?ABC中，a,b,c分别是角

解[0,?的])???5??6,?】 6?A,B,C所对的边，且3a?2csinA，则角C的大小为 。

【答案：

例4、 【2011一模黄浦6】方程sinx?cosx??1的解集是 ． 【答案】：【镲x|x=(2n-1)p或x=2np-睚?2?和】 33禳镲镲镲铪p，n?Z】 2

例5、 【2010一模宝山10】方程sin4x?sin2x在(0,?)上的解集是________

【答案：?

???5??,,?】 ?626?3. 三角函数的图象平移问题

例6、 【2011年徐汇区二模理科第17题】函数y?2cos(2x??6)?2的图象按向量a平

移后的函数解析式为y?f(x)。当函数f(x)为奇函数时，向量a可以等于（ ） （A）(??6,?2) （B）(??,2) （C）(,?2) （D）(,2) 666??【答案：B】

例7、 【2011一模闵行7】将函数y?3tan2x的图像向右平移1个单位，得到的图像对应的函数解析式是 ．

【答案】：【y?3tan(2x?2)】

例8、 将函数y?4sin??2x??????的图象横坐标拉伸为原来的2倍，再向左平移个?1?63?单位，得到的图象对应的函数解析式是__________ 【答案：y??4sin?x?

??????1】 6?4. 通过化简三角比判断三角形形状

例9、 【2011年奉贤区二模文理第15题】在△ABC中，“ccosB?bcosC”是“△ABC是等腰三角形”的（ ） （A）充分不必要条件 （C）充分必要条件 【答案：A】

例10、 【2011奉贤一模15】在?ABC中，“cosA?sinA?cosB?sinB”是“C?90”的 （ ）

（A）．充分非必要条件 （C）．充要条件 【答案】：【B】

例11、 【2010二模闵行16】已知△ABC中，AC?22,BC?2，则角A的取值范围

（B）．必要非充分条件 （D）．非充分非必要条件

（B）必要不充分条件

（D）既不充分也不必要条件

是 （ ）

(A)?????,?. (B) ?63?????0,?. (C) ?6?????,?. (D) ??42?????0,?. ?4?【答案：D】

5. 三角函数值域问题：

例12、 【2010二模虹口6】函数y?2sinx?3sin2x的最大值是 . 【答案：2?13】

例13、 【2010二模长宁7】函数f(x)?2sin2x?6cosx?3的最大值为【答案：9】

例14、 函数y?【答案：?1,3?】

例15、 函数y?2_______

sinx?2???，x??0,?的值域为_________

2?sinx?2?sinx?2，的值域为_________

2?cosx??【答案：?22?1,22?1?】

6. 反三角函数的求值问题

?3?sinarctan?_________． 例16、 【2011一模金山4】计算：????3??【答案：

例17、 【2011一模闸北12】函数y?arccos(sinx)??1】 22?????x??的值域是（ ） 33??A．???5?，?66???2? B．??,??63??2? C．0，????3?5??0， D．???6??? ?【答案：D】

例18、 【2010一模普陀5】已知cos(???)??反三角函数表示） 【答案：?arccos

例19、 【2010一模静安8】函数y?arccosx?【答案：??

1???，????,0?，则?? . （用3?2?1】 310的最小值是_________.

arccosx10?】

7. 诱导公式、三角和差公式、二倍角公式应用出错

例20、 【2011年崇明县二模文理第2题】函数y?cos4?x?sin4?x的最小正周期T? ． 【答案：2】

例21、 【2010二模闸北13】已知cos(x?A．2m

B．?2m

?6)?m，则cosx?cos(x? D．?3m

?3)?（ ）

C．3m

【答案：C】

第五部分 数列

1. 数列的通项公式

【例1】【2011年虹口区二模文理第2题】数列?an?的前n项和Sn?n2?n?3，则通项公式an? ． 【答案：?

【例2】【2011年嘉定区一模文理第23题】已知数列?an?的前n项和为Sn，对任意n?N*，点(n,Sn)都在函数

??1(n?1)】

?2n(n?2)f(x)?2x2?x的图像上．

（1）求数列?an?的通项公式；

【例3】数列{an}满足

11a1?2a2?22?1an?2n?5，则an= n22. 等比数列的证明与性质

【例1】【2011年黄浦区二模理第21题】已知函数f(x)?4x?2(x??1，x?R)，数列?an?x?1满足 a1?a(a??1，a?R)，an?1?f(an)(n?N*)． (1)若数列?an?是常数列，求a的值； (2)当a1?4时，记bn?an?2证明数列?bn?是等比数列，并求出通项公式an． (n?N*)，

an?1【答案： (1)实数a的值是1或2．

2()n?222n?12n*(2)bn?()?()(n?N)． an?3】 (n?N*)．

2n333()?13

【例2】【2010年上海高考第20题】已知数列?an?的前

n项和为Sn，且Sn?n?5an?85，

n?N*，证明：?an?1?是等比数列；

【答案：略】

【例3】【2011年上海卢湾区二模第22题】已知数列a,b,c是各项均为正数的等差数列，

公差为d（d ?0）．在a,b之间和b,c之间共插入n个实数，使得这n?3个数构成等比数列，其公比为q． （1）求证：|q|?1；

（2）若a?1, n?1，求d的值；

（3）若插入的n个数中，有s个位于a,b之间，t个位于b,c之间，且s,t都为奇数，试

比较s与t的大小，并求插入的n个数的乘积（用a,c,n表示）

【答案：（1）由题意知qn?2?c，c?a?2d， ac2d?1??1， aa又a?0,d?0，可得qn?2?即|qn?2|?1，故|q|n?2?1，又n?2是正数，故|q|?1．

（2）由a,b,c是首项为1、公差为d的等差数列，故b?1?d,c?1?2d， 若插入的这一个数位于a,b之间，则1?d?q2，1?2d?q3， 消去q可得(1?2d)2?(1?d)3，即d3?d2?d?0，其正根为d?若插入的这一个数位于b,c之间，则1?d?q，1?2d?q3， 消去q可得1?2d?(1?d)3，即d3?3d2?d?0，此方程无正根． 故所求公差d?1?5． 21?5． 2（3）由题意得qs?1?ba?dca?2d，qt?1??，又a?0,d?0， ?aaba?da?da?2dd2a?da?2da?2d???0，可得故，又??0， aa?da(a?d)aa?da?d故qs?1?qt?1?0，即|q|s?1?|q|t?1． 又|q|?1，故有s?1?t?1，即s?t．

设n?3个数所构成的等比数列为{an}，则a1?a,as?2?b?由akan?4?k?a1an?3?ac(k?2,3,4,…，n?2)，可得

a?c,an?3?c， 2(a2a3…an?2)2?(a2an?2)(a3an?1)…(an?1a3)(an?2a2)?(ac)n?1，

又qs?1?bc?0，qt?1??0， ab由s,t都为奇数，则q既可为正数，也可为负数， ①若q为正数，则a2a3…an?2?(ac)n?12n?12(ac)2； ，插入n个数的乘积为

a?c②若q为负数，a2,a3,…,an?2中共有故a2a3…an?2?(?1)n(?1)2n?1个负数， 2(ac)n?12nn?1(?1)22，所插入的数的乘积为(?1)(ac)2．

a?cn?12(ac)2； 所以当n?4k?2(k?N*)时，所插入n个数的积为

a?cn?12(ac)2． 】 当n?4k(k?N*）时，所插入n个数的积为?a?c

3. 数列求和

【例1】求和Sn?123n?2?3?????n. xxxx?121n?n，当n为偶数时；??22 （分类讨论求和）【答案：Sn??】 2??n?n，当n为奇数时.??2

【例2】【2010年上海六校联考第23题】已知：函数f(x)?总有an?f(2x?3，数列{an}对n?2,n?N3x1),a1?1； an?1(1)求{an}的通项公式。

(2) 求和：Sn?a1a2?a2a3?a3a4?a4a5??(?1)n?1anan?1

【答案：（1）an?2n?1(n?N*) 3?222?n?n??93（2）Sn??2?2n?6n?7?9?

n为偶数】

n为奇数1?1?【例3】【2011年徐汇区二模理科第14题】设函数f(x)?x???，O为坐标原点，

2x?1??xAn为函数y?f(x)图象上横坐标为n(n?N*)的点，向量OAn与向量i?(1,0)的夹角为

?n，则满足tan?1?tan?2?【答案：3018】

?tan?n?5的最大整数n的值为 。 34. 最大、最小项思想

【例1】【2011年闵行区二模文理第8题】已知数列{an}是以?15为首项，2为公差的等差数列，Sn是其前n项和，则数列{Sn}的最小项为第 项. 【答案：8】

【例2】【2011年杨浦区二模文理第23题】设二次函数f(x)?(k?4)x?kx对任意实数x，有f(x)?6x?2恒成立；数列{an}满足an?1?f(an). （1） 求函数f(x)的解析式和值域；

（2） 试写出一个区间(a,b)，使得当a1?(a,b)时，数列{an}在这个区间上是递增

数列，并说明理由； （3） 已知a1?2(k?R)，

1?，是否存在非零整数?，使得对任意n?N，都有 3???????1??1??1?n?1n?121(?21)?log?nlog3??log3??????log3?????1???2n?1????32 3log111??a1???a2???an??2??2??2? 恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.

【答案：（1）k?2，所以f(x)??2x2?2x， 其值域为(??,]. （2）数列{an}在区间(0,)上是递增数列.

注：本题的区间也可以是[,)、[,)、[,)等无穷多个】

【例3】【2010年嘉定区一模第23题】已知函数f(x)?log2是f(x)图像上两点．

(1)若x1?x2?1，求证：y1?y2为定值； (2)设Tn?f???f?????f?12121152114211322xP(x,y)P(x,y)，111、2221?x?1??n??2??n??n?1? ?，其中n?N*且n?2，求Tn关于n的解析式；

?n?(3)对（2）中的Tn，设数列?an?满足a1?2，当n?2时，an?4Tn?2，问是否存在角a，

?1??1??1?????1?1?1?使不等式?…?????a1??a2??an?sin???对一切n?N*都成立？若存在，求出角?2n?1??的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案：（1）当x1?x2?1时，y1?y2为定值1．

（2）

Tn?n?12（n?N*，n?2）．

（3）f(n)的最大值为

f(1)??2???3?2k??,2k???33??k?Z】 ?2，的取值范围为

【例4】【2010年上海高考第20题】已知数列?an?的前

n项和为Sn，且Sn?n?5an?85，

n?N*

（1）证明：?an?1?是等比数列；

（2）求数列?Sn?的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由。

5. 数列中的数列问题

【例1】【2010年金山区一模第22题】已知等差数列?an?中，a3?7，a1?a2?a3?12，令bn?anan?1，数列{1}的前n项和为Tn.n?N* bn（1）求?an?的通项公式；∴an?3n?2. n?N* （2）求证：Tn?1； 3Tn?的探究，写出“T1,Tm,Tn成等比数列”的一个真命题并说明理由（3）通过对数列?（1?m?n，m,n?N*）. 当且仅当正整数m=2,n=16时，T1,Tm,Tn成等比数列.

??an+c，an<3

【例2】【2008年上海高考第20题】已知以a1为首项的数列{an}满足：an＋1＝?an

， a≥3n?d?

⑴当a1＝1，c＝1，d＝3时，求数列{an}的通项公式

⑵当0＜a1＜1，c＝1，d＝3时，试用a1表示数列{an}的前100项的和S100

11111

⑶当0＜a1＜（m是正整数），c＝，d≥3m时，求证：数列a2－，a3m+2－，a6m+2－，

mmmmm1

a9m+2－成等比数列当且仅当d＝3m

m

?1,n?3k?2??【答案：（1）由题意得an??2,n?3k?1,(k?Z)

?3,n?3k?(2) ∴S100?11(11?31)a1?198 23 （3）证明略】

【例3】【2011年徐汇区二模理科第23题】设等比数列?an?的首项为a1?2，公比为q(q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列

?bn?满足

32n2?(t?bn)n?bn?0(t?R,n?N*)。

2(1)求数列?an?的通项公式；

(2)试确定实数t的值，使得数列?bn?为等差数列；

(3)当数列?bn?为等差数列时，对每个正整数k，在ak和ak?1之间插入bk个2，得到一个新数列?cn?。设Tn是数列?cn?的前n项和，试求满足Tm?2cm?1的所有正整数m。 【答案：（1）an?2n(n?N*) （2）t?3

（3）满足题意的正整数仅有m?2。

【例4】【2010年上海六校联考第23题】已知：函数f(x)?总有an?f(2x?3，数列{an}对n?2,n?N3x1),a1?1； an?1（1）求{an}的通项公式。

(2) 求和：Sn?a1a2?a2a3?a3a4?a4a5?（3）若数列{bn}满足：①{bn}为{?(?1)n?1anan?1

11}的子数列（即{bn}中的每一项都是{}的项，且按anan在{11}中的顺序排列）②{bn}为无穷等比数列，它的各项和为。这样的数列是否存在？

2an若存在，求出所有符合条件的数列{bn}，写出它的通项公式，并证明你的结论；若不存在，说明理由。

6、数列中数的讨论

例13、【2009年上海高考理第23题】已知?an?是公差为d的等差数列，?bn?是公比为q的等比数列。

（1）若an?3n?1，是否存在m、k?N，有am?am?1?ak?说明理由； （2）找出所有数列?an?和?bn?，使对一切n?N,

**an?1?bn,并说明理由；若ana1?5,d?4,b1?q?3,试确定所有的p，使数列?an?中存在某个连续p项的和是数列

?bn?中的一项，请证明。

【答案：（1）不存在m、k?N*，使等式成立。

（2）有an?c?0，bn?1，使对一切n???，（3） 当且仅当p?3s,s?N，命题成立。】

an?1?bn an7、数列极限

an?2n?1【例1】(a??2)=_____ nn?1lim2?an???1?a,a?2?【答案：?2,a?2】

?1,a?2??

8、概率与排列组合

【例1】口袋里有2个白球，3个红球，5个黑球，从中任取2个球，求取出的两球颜色不同的概率。

【答案：P(A)?1?P(A?)?1?

1431?】4545

第六部分 复数部分

1. 复数计算问题，常见的化简；

说明：注意复数运算与向量运算/实数运算的异同

［例1］【2011年卢湾区二模文理第1题】设i为虚数单位，计算

1?i? . i【答案：1?i；注意计算细节i??1】

［例2］【2010年长宁区二模文科第一题】设i为虚数单位，则复数

2i?_________1?i

【答案：

?1?i】 23?i?______________． 1?i［例3］【2010年嘉定区一模第一题】设i为虚数单位，计算【答案：2?i】

2. 复数问题实数化时，设复数z?a?bi，不要忘记条件a,b?R.

说明：两复数相等的条件是实部与虚部分别相等.这是复数求值的主要依据.根据条件，

求复数的值经常作实数化处理.若z为实数，则虚部为零，若z为纯虚数，则实部为零，虚部不为零.

［例1］【2010年闵行区二模文理第1题】若则a?b?

【分析：?2i?1?a?bi?a?1,b??1】

［例2］【2010年静安区一模文理第3题】若复数z满足z?(1?i)?2（其中i为虚数单位），则Rez?_________.

2?i?a?bi（i为虚数单位，a、b?R），i【答案：设z?a?bi(a,b?R)，原式化为(a?bi)(1?i)?2，得a?b?(a?b)i?2，

求得Rez?a?1】

［例3］【2011年闸北区二模文理第1题】已知z和

z?2都是纯虚数,那么z? ． 1?i【答案：设z?bi(b?R)，原式化为

bi?2是纯虚数，得b??2，得z??2i】 1?i3. 实系数一元二次方程

说明：实系数一元二次方程根的情况可通过判别式判断。若存在虚根，则此两虚根互为

共轭.若虚系数一元二次方程存在实根不能用判别式判断.

132i)是实系数方程ax2?bx?1?0［例1］ 【2010年崇明县二模文理第8题】复数z?(?22的根，则ab? . 【答案：z1?(?12133213i)???i，则z2???i， 22222b1??1 且 z1?z2??1，求得a?1,b?1.所得即为1】 aa得z1?z2??

［例2］【2010年杨浦区二模文理第17题】若z是实系数方程x?2x?p?0的一个虚根，且z?2，则p?_______.

【答案：实系数一元二次方程若有虚根，则两根必互为共轭，z1.z2?|z|?p?4】

［例3］【2011年黄浦区二模理第8题】已知0?m?1(m?R)，?是方程x?mx?1?0的根，则|?|= ．

【答案：根据判别式可知，实系数一元二次方程有2个虚根，则z1.z2?|?|?1】

2［例4］若方程x?bx?2?0(b?R)的两根?,?满足|???|?2，求实数b的值.

2222

【答案：在复数范围内|???|2?(???)2不一定成立，但|(???)2|?|???|2一定成立.

对于二次方程，韦达定理在复数范围内是成立的.???????b，

????2|(???)2|?|b2?8|?4，则b2?4或b2?12，所以b??2或b??23.】

m100?0(m为实常［例5］【2011年杨浦区二模文理第22题】设虚数z满足z?mz?42t数，m?0且m?1，t为实数）.（1） 求z的值；（2） 当t?N，求所有虚数z的实部和；

?m100m50?z?【答案：（1）zz?z?） 422 （2）z是虚数，则m100mt?m?0?m?m，z的实部为；

22tt50???2mmmmm2mmm49mm50??mmm?mmm?t?1,?1,得得50tt??且5050t且且?tt?N?NN???SSS???2(2(???????)??)?. 当m?1,得22(?222222222m??11m?151515252mmmmmmm510?000m??m?m1,??1,得1,得得t?tt?50?5050且且且tt?t??NNN???SSS???2(2(?????)))???当22(.】

2222211??mm???

4. 复平面轨迹方程

|z?z0|?r的几何

说明：|z1?z2|的几何意义是复平面上z1,z2对应点之间的距离，

意义是复平面上以

z0对应点为圆心，r为半径的圆.

［例1］若|z?2i|?|z?z0|?4表示的动点的轨迹是椭圆，则|z0|的取值范围是＿. 【答案：首先要理解数学符号的意义：|z?2i|?|z?z0|?4表示，

复数z对应的动点到复数2i与z0对应的两定点之间的距离之和等于4. 而根据椭圆的定义知，两定点之间的距离要小于定值4，所以有|z0?2i|?4， 而此式又表示z0对应的点在以2i对应点为圆心，4为半径的圆内，

由模的几何意义知|z0|?[0,6).】

［例2］【2010年普陀区二模文理第7题】在复平面上，已知直线l上的点所对应的复数z满足z?i?z?3?i，则直线l的倾斜角为 .（结果反三角函数值表示） 【答案：首先根据复数模的概念，可以看出原式表示

复数z所对应的点到（0,-1）与其到（3,1）的距离相等， 那么复数z即为（0，-1）与（3,1）所在线段的中垂线上一点， 所以直线l的斜率即为?3，转化为倾斜角，注意在第二象限， 2所以?=??arctan

3。】 2［例3］【2011年卢湾区二模文理第17题】已知复数z满足z?1?2i?z?2?i?32（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为（ ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．一条射线 D．两条射线 【答案：复数z到(1,2)的距离减去其到(?2,?1)的距离之差等于32，

根据双曲线定义，由于两定点之间距离也等于32，所以其轨迹为射线， 可以看到原式表示的线段中，复数z到(1,2)的距离显然大于其到(?2,?1)的距离， 所以点z的轨迹为一条射线。】

第七部分 向量易错点

1. 向量的数量积运算相关概念性问题

【例1】【2011年闸北区二模文理第5题】下列三个命题：①若|a?b|?|a?b|，则a?b?0； ②若a?0，a?b?a?c，则b?c；③若|a?b|?|a||b|，则a//b．其中真命题有 ．（写出所有真命题的序号） 【答案：①③】

【例2】【2011年长宁区二模文第16题】设向量a?(1,0),b?(的是（ ）

A．a?b．B．a?b?．C．a∥b ． D．a－b与b垂直．

2

11,),则下列结论中正确222【答案：D】

2. 投影的概念及计算方式

【例1】【2011年奉贤区二模文理第6题】已知|a|?|b|?2,a与b的夹角为投影为 【答案：1】

【例2】【2010二模闵行区15】如图，已知正六边形ABCDEF，下列向量的数量积中最大的是（ ）

E F A B D C

?,则b在a上的3

(A) AB?AC.

(B) AB?AD. (C) AB?AE. (D) AB?AF. 【答案：A】

3. 向量夹角为钝角忽略平行的情况（其他忽略平行的情况）

【例1】【2011年普陀区二模理科第17题】已知向量a??2cos?,2sin??，???向量b??0,?1?，则向量a与b的夹角为 （ ） A. ?； B. 【答案：C】

【例2】已知向量a??1,2?,b???2,m?的夹角为钝角，则m的取值范围为________ 【答案：???,?4?

【例3】已知直角坐标系中，A?1,x?,B?2,0?,C??1,1?，ABC为锐角三角形，则x的 取值范围为_________ 【答案：??1,?

???,??，2???2??； C. ???2； D.

3???. 2??4,1?】

??1??1??,2?】 3??3?4. 向量的分解定理

【例1】【2011年徐汇区二模文科第15题】已知O,A,B是平面上不共线的三点，若点C满足AC?CB，则向量OC等于（ ） （A）OA?OB （B）OA?OB （C）【答案：D】

11(OA?OB) （D）(OA?OB) 22【例2】【2010二模普陀11】如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，点P是

MD的中点. 若AB?2， AD?1，且?BAD?60?，则AP?CP? . D P M A 第11题图

B C

【答案：?

25】 16【例3】【2011一模浦东18】点O在?ABC所在平面内，给出下列关系式：

（1）OA?OB?OC?0；

（2）OA?OB?OB?OC?OC?OA；

?????ACAB??BCBA???OB????0； （3）OA?????ACAB??BCBA?????（4）(OA?OB)?AB?(OB?OC)?BC?0．

则点O依次为?ABC的 （ ） A．内心、外心、重心、垂心 C．重心、垂心、内心、外心 【答案】：C

B．重心、外心、内心、垂心 D．外心、内心、垂心、重心

第八部分 立体几何

1. 点、线、面的关系

［例1］【2011年杨浦区二模理第7题】已知直线m?平面?，直线n在平面?内，给出下列四个命题：①

?//??m?n；②????m//n；③m?n??//?；④

m//n????，其中真命题的序号是 . 【分析：熟悉点线面的的一些常用定理，直线垂直平面，则垂直于平面内任意一条直线。

若两平面平行，则该直线也垂直于此平面。】

［例2］【2011年闵行区二模文理第15题】给定空间中的直线l及平面?，条件“直线l与平面?垂直”是“直线l与平面?内无数条直线垂直”的（ ）

A. 充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件

【分析：直线与平面垂直，则该直线垂直平面内任意一条直线，“无数条”不是“任意”】

［例3］【2010年浦东新区二模理第15题】“直线a与平面M没有公共点”是“直线a与平面M平行”的（ ）

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【分析：直线与平面平行的定义即为直线与平面没有公共点】

2. 常见空间图形的面积，体积公式

［例1］【2010年闵行区二模第6题】已知球O的半径为R，一平面截球所得的截面面积为

4?，球心到该截面的距离为5，则球O的体积等于 . 【分析：平面截球所得的截面即为一平面圆，所以该圆半径即为2，

又由于球心到该截面距离为5，而球体半径， 截面半径与球心到截面距离正好构成一个直角三角形，

由勾股定理可得球体半径为3，根据球的体积公式V?

4?R3?36?。】 3［例2］【2010年松江区二模第4题】一个与球心距离为1的平面截球所得的圆的面积为?，则球的表面积为 ．

【分析：球体半径，截面半径与球心到截面距离正好构成一个直角三角形,

计算可得球体半径为2，根据球的表面积公式S?4?R?8?】

2

［例3］【2011年闸北区二模文理第7题】设一个正方体的各个顶点都在一个表面积为12?的球面上，则该正方体的体积为 ．

【分析：由于正方体的各个顶点都在球面上，可知，该正方体的中心和球的球心为同一点，

则正方体体对角线等于该球的直径，又由于球的表面积为12?， 所以根据球的表面积计算公式可得半径为3， 所以正方体的边长为2，体积即得，等于8】

3. 异面直线的角度范围

说明：直线与平面所成角的范围是[0,?]；两异面直线所成角的范围是(0,].特别要

22

?注意的是两异面直线所成角的范围.当求出的余弦值为a时，其所成角的大小应为

arccos|a|.

［例1］【2011年杨浦区二模理第9题】在平行四边形ABCD中，AB=1，AC=3，AD=2；线

段 PA⊥平行四边形ABCD所在的平面，且PA =2，则异面直线PC与BD所成的角等于 （用反三角函数表示）. 【分析： arccos

［例2］【2011年闵行区二模文理第19题】如图，已知ABCD?A1B1C1D1是底面为正方形的

314或2arcsin】 77P是AD1的中点，求异面直线AA1与B1P所成的长方体，?AD1A1?4，点1?60，ADo角（结果用反三角函数表示）．

D

B

P C

. A1 B1 C1

D1

【分析： arctan

15】 3［例3］【2011年普陀区二模理科第21题】如图，PA?平面ABCD，四边形ABCD是正方形， PA?AD?2，点E、F、G分别为线段PA、PD和CD的中点. 求异面直线EG与BD所成角的大小；

z PEABFDCQGy x

【分析：异面直线EG与BD所成角大小为arccos

3.】 64. 图形的旋转（绕哪根轴），立体图形的平面展开图，截面问题

［例1］【2011年闵行区二模文理第6题】圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2?cm，半径为2cm，则该圆锥的体积为____ cm. 【分析：圆锥的体积为

3?3】

［例2］【2010年普陀区一模文理第9题】如图，OABC是边长为1的正方形，AC是四分之一圆弧，则图中阴影部分绕轴OC旋转一周得到的旋转体的体积为 .

C

B

O

第9题图

A

【分析：阴影部分体积等于

?3】

BC?4cm，AB?5cm，［例3］【2010年黄浦一模文理第11题】在?ABC中，AC?3cm，现以BC边所在的直线为轴把?ABC(及其内部)旋转一周后，所得几何体全面积是___cm2 【分析：S?S底面+S表面=9?+.5.2?.3?24?】

2

15. 立体图形中点线面的计算，特别是点到平面距离的求解

［例1］【2011年徐汇区二模理科第20题】如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO1的表面积为20?，OA?2，?AOP?120?。

AP所成角的大小；（1）求异面直线A（结果用反三角函数值表示） 1B与

（2）求点A到平面A1PB的距离。

A1O1B1A

OPB

AP所成角的大小为arccos【分析：（1）异面直线A1B 与

23. 5（2）点A到平面A1PB的距离d?

n?A1An?126】 ?7。277［例2］正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，BC1与平面ACC1A1所成角为30°.试求：（1）三棱柱ABC－A1B1C1的体积；（2）点C到平面BAC1的距离. A1 C1

B1

E A

C B

【分析：（1）三棱柱的体积V=26.

（2）点C到平面BAC1的距离为

266.】 11［例3］【2010年卢湾区二模理科第20题】在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?2，过

A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD?AC11D1，

且这个几何体的体积为10．

（1）求棱A1A的长；

（2）求点D到平面A1BC1的距离．

D1A1C1DABC

【分析：（1）A1A的长为3．

（2）点D到平面A1BC1的距离d?

622． 】 116. 球面距离的计算

［例1］【2011年普陀区二模文理第6题】在球心为O，体积为43?的球体表面上两点A、

B之间的球面距离为3?，则?AOB的大小为 . 4【分析：

?】 4［例2］【2010年长宁区一模文理第11题】如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，

?ABC=90°，BA?BC, 球心O到平面ABC的距离是

是__________。

32，则B、C两点的球面距离2

【分析：弧长即为?】

［例3］【2010年杨浦区一模文理第13题】在体积为43?的球的表面上有A、B、C三

点,AB?1,BC?2,A、C两点的球面距离为

3?.3

（文科考生做）则AB?BC?_________.

（理科考生做）则球心到平面ABC的距离为_________. 【分析：文科0；理科

3】 2

第九部分 圆锥曲线

1、 常见直线方程的几种形式及适用范围要熟悉：（1）点斜式y?y0?k(x?x0)，过定点

(x0,y0)

与x轴不垂直；（2）斜截式y?kx?b，在y轴上的截距为b与x轴不垂直；（3）一般式

ax?by?c?0适用于所有直线，它的其中一个法向量可表示为(a,b)，方向向量为(b,?a)or(?b,a).

【2009年普陀区一模第5题)】已知两直线方程分别为l1:2x?y?1?0、l2:ax?y?2?0，若l1?l2，则直线l2的一个法向量为n? . 【答案】?1,2?

2、求直线的方程时要特别注意直线的斜率是否存在的情况，不确定时要注意分类讨论，漏解肯定是斜率不存在的情况.要明确解析几何是“用代数方法解决几何问题”的道理，所以做解析几何问题不要“忘形”.

【例】过点P(2,3)与坐标原点距离为2的直线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

分析：若仅用点斜式设出直线方程，再用点到直线的距离来求解，则会漏解，这是因为在设立方程的时候就排除了斜率存在的情况.考虑到直线x?2满足题义，故所求直线有两条，其方程为：5x?12y?26?0与x?2.

22【例】过点P(2,3)与圆x?y?4相切的直线方程为_______【答案】

x?2or5x?12y?26?0

3、圆的一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0，表示圆的充要条件是D?E?4F?0. 【例】二次方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件是＿＿＿＿＿； 分析：注意到圆的一般方程中没有xy这样的项，且二次项系数都为1.则必有B?0，且

22A?C?0，此时方程可以化成：x2?y2?得出：(DEFx?y??0.与圆的一般方程比较可以AAAD2EF)?()2?4?0.其充要条件为：A?C?0,B?0,D2?E2?4AF?0. AAA4、直线与圆的位置关系的判断主要是利用点（圆心）到直线的距离来判断.设圆C的半径是r，圆心到直线L的距离是d，当d?r时，直线L与圆C相离；当d?r时，直线L与圆C相切；当d?r时，直线L与圆C相交.求直线被圆所截的弦长用圆半径、弦心距、

弦长一半组成直角三角形来求解.

【例】已知点(a,b)是圆x2?y2?r2外的一点，则直线ax?by?r2与圆的位置关系是―――――――――――――――――――――――――――――――――――（ ） A、相离； B、相切； C、相交且不过圆心； D、相交且过圆心. 分析：点(a,b)在圆x2?y2?r2外，则a?b?r，圆心到直线ax?by?r2的距离

222d?r2a?b22?r，又d?0.选C.

【2011年虹口区二模文理第3题】直线x?y?5?0被圆x2?y2?2x?4y?4?0所截得的弦长等于 ．【答案】【2】

【2011年黄浦区二模文理第17题】17．已知直线l：ax?by?1，点P(a，b)在圆C：

x2?y2?1外，则直线l与圆C的位置关系是 ( )

A ．相交． B．相切． C ．相离． D．不能确定． 【答案】【A】

5、椭圆的定义中要注意隐含的条件：定值大于两定点之间的距离.掌握椭圆基本量之间的关系，分清长轴、短轴、焦距、半长轴、半短轴、半焦距.椭圆最基本的几何性质是定义的逆用：“椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴的长”.

【例】已知复数z满足|z?2i|?|z?2i|?4，则z对应点的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿； 分析：根据复数的几何意义，复数z对应点到2i与?2i对应点的距离之和为4，看似椭圆，但注意到两定点之间的距离为4.所以z对应点的轨迹是以2i与?2i对应点为端点的线段.

x2y2【例】设P是以F1,F2为焦点的椭圆2?2?1(a?b?0)上的一点，若点P满足：

abPF1?PF2?0,tg?PF1F2?A、

1，则椭圆的焦距与长轴的比值为―――――――――（ ） 21215； B、； C、； D、. 2333分析：由题知PF1?PF2，又tg?PF1F2?得|PF1|?1，则|PF1|?2|PF2|.由|PF1|?|PF2|?2a24a2a25a2c5,|PF2|??.则2c?|F1F2|?.则.选D. 3332a36、双曲线的定义中要注意（1）是差的绝对值，若少掉绝对值则双曲线只有一支；（2）两焦点之间的距离大于定值（实轴长）；

【2011年卢湾区二模文理第17题】已知复数z满足z?1?2i?z?2?i?32（i是虚数

单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为 （ ）

A．双曲线的一支 B．双曲线 C．一条射线 D．两条射线

【答案】【C】

7、双曲线焦点到同侧一支上的点的距离最小值是c?a，到异侧一支上点的距离最小值是

c?a；

x2y2［举例1］已知双曲线的方程为??1，P是双曲线上的一点，F1、F2分别是它的两

916个焦点，若|PF1|?7，则|PF2|?＿＿＿＿＿＿；

分析：由双曲线的定义||PF1|?|PF2||?6，知|PF2|?1或13.注意P点存在的隐含条件

|PF1|?|PF2|?|F1F2|?10，所以|PF2|?13.

8、抛物线有四种不同的形式，要注意开口方向与标准方程的关系.不要将抛物线的标准方程与二次函数的表达式相混淆.

【例】抛物线y?4x2的焦点坐标是＿＿＿＿＿；准线方程是＿＿＿＿＿. 分析：注意到方程y?4x2不是抛物线的标准方程，其标准形式为x?21y.所以此抛物线4的焦点坐标为(0,11)，准线方程为y??. 16169、直线与圆锥曲线之间的位置关系的讨论主要是转化为方程根的个数的讨论，联立直线与圆锥曲线方程得方程组，消去其中一个量得到关于另一个变量的一元二次方程，利用根的判别式进行讨论，但要注意二方面：一是直线的斜率是否存在，二是所得方程是否为一元二次方程.直线与双曲线或抛物线联立得到的方程二次项可能为零（双曲线中二次项系数为零时，得到的是两条与渐近线平行的直线；抛物线中二次项为零时，得到的是与对称轴平行的一条直线）

y2?1. 【例】已知直线l过点M(1,1)，双曲线C：x?32（1）若直线l与双曲线有且仅有一个公共点，求直线l的方程；

（2）若直线与双曲线的右支有两个不同的交点，求直线l斜率的取值范围；

（3）是否存在直线l使其与双曲线的有两个不同的交点A、B，且以AB为直径的圆过坐标原点？若存在求出此直线的斜率，不存在说明理由. 分析：（1）当直线l与x轴垂直时，直线x?1满足题义.当直线l与x轴不垂直时，设直线方

程为y?1?k(x?1)，联立得方程：(3?k2)x2?2k(1?k)x?(k2?2k?4)?0---（*） 当3?k?0时，方程（*）是一次方程，直线l与双曲线有一个公共点，此时直线l方程为

2y?1??3(x?1).当3?k2?0时，由△?48?24k?0，得k?2，所以满足题义的直

线l为：x?1,2x?y?1?0,y?1??3(x?1).

（2）直线l与双曲线的右支有两个不同的交点，则方程（*）有两不等的正根.由△?48?24k

2k(1?k)?x?x??012??3?k2?0，知k?2且?，得3?k?2或k??3. 2?x?x?k?2k?4?012?k2?3?（3）若以AB为直径的圆过坐标原点，则OA?OB?0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，即将x1x2,x1?x2代入化简x1x2?y1y2?0.(k2?1)x1x2?k(1?k)(x1?x2)?(1?k)2?0，得：k?4k?1?0，k??2?3（满足k?2)

10、直线与圆锥曲线的综合问题中，通常需要联立直线与圆锥曲线方程得方程组，消去其

中一个量得到关于另一个变量的一元二次方程，然后利用维达定理进行求解.不要忘记计算??0(求值问题中检验即可).

2x2y2【2011年虹口区二模文第22题】已知：椭圆2?2?1（a?b?0），过点A(?a,0)，

abB(0,b)的直线倾斜角为

?3，原点到该直线的距离为． 62（1）求椭圆的方程；（2）略 （3）对于D(?1,0)，是否存在实数k，直线y?kx?2交椭圆于P，Q两点，且

DP?DQ？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

x2?y2?1 【答案】（1）3（3）文科：记P(x1,22y1)，Q(x2,x2?y2?1， y2)，将y?kx?2代入3得(3k?1)x?12kx?9?0（*），x1，x2是此方程的两个相异实根． 设PQ的中点为M，则xM?x1?x226k??2，yM?kxM?2? 223k?13k?1

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