数学必修5选修2-1期末试卷+答案详解

1 2016-2017学年广东省深圳市高二（上）期末试卷

数学（理科）选修2-1+必修5

一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）在△ABC 中，a=3,b=5,sinA=

13,则sinB=( ) A.15 B.59

D.1 （2）设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集。若命题:,2p x A x B ?∈∈，则（ ）

A ．:,2p x A x

B ??∈∈ B.:,2p x A x B ???∈

C ．:,2p x A x B ??∈? D.:,2p x A x B ????

（3）动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是 （ ） A 双曲线 B 双曲线的一支 C 两条射线 D 一条射线错误！未找到引用源。

（4）“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

（5）设a,b,c ∈R,且a>b,则(

) A.ac>bc B.11a b

< C.a 2>b 2 D.a 3>b 3 （6）设首项为1，公比为错误！未找到引用源。的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）

（A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =-（C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-

（7）若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是 ( )

A ．[]0,2

B ．[]2,0-

C ．[)2,-+∞

D ．(],2-∞-

（8）抛物线24y x =的焦点到双曲线2

213y x -=的渐近线的距离是（ ） （A ）12 （B

（C ）1 （D

（9）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ,0=m S ,31=+m S ，则=m （ ）

A.3

B.4

C.5

D. 6

（10）已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则

b =（ ）

（A ）10

（B ）9 （C ）8 （D ）5

2

（11）已知椭圆:E )0(122

22>>=+b a b

y a x 的右焦点)0,3(F ，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB

的中点坐标为)1,1(-，则E 的方程为（ ）

A.

1364522=+y x B. 1273622=+y x C. 118272

2=+y x D.

19

182

2=+y x （12）如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )

A.

B.

C.

D.

（请把选项填入表格内）

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。 （13）不等式2

20x x +-<的解集为 . （14）设,x y 满足约束条件 13,

10

x x y ≤≤??

-≤-≤?，则2z x y =-的最大值为______。

（15）已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若

1a 、2a 、5a 成等比数列，则8S = （16）已知圆2

2

:(1)1M x y ++=，圆2

2

:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心

P 的轨迹为曲线C ，则C 的方程为 .

三.解答题：

17.（10分）在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个内接矩形花园(阴影部分), 则当边长x 为何值时，花园面积最大并求出最大面积

3 18.（12分）已知2:10p x mx ++=有两个不等的负根，2:44(2)10q x m x +-+=无实根，若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围.

19.（12分）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,已知a=bcosC+csinB .

(1)求B. (2)若b =2,求△ABC 面积的最大值.

20.（12分）如图, 在直三棱柱111A B C - ABC 中, AB ⊥AC, AB = AC=2,1A A = 4, 点 D 是 BC 的中点.

(1)求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值;

(2)求平面1ADC 与平面 AB 1A 所成二面角的正弦值.

4 21.（12分）设n S 为数列{n a }的前项和，已知01≠a ，2n n S S a a ?=-11，∈n N *

（Ⅰ）求1a ，2a ，并求数列｛n a ｝的通项公式；(Ⅱ) 求数列｛n na ｝的前n 项和。

22.( 12分)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,

过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截

. (Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左、右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.

5 必修5和选修2-1测试卷

一、选择题：

（1）在△ABC 中，a=3,b=5,sinA=

13,则sinB=( ) A.15 B.59

D.1 【解析】选B 。由正弦定理得355,,sin 1sin sin sin 93

所以所以===a b B A B

B （2）设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集。若命题:,2p x A x B ?∈∈，则（ ）

A ．:,2p x A x

B ??∈∈ B.:,2p x A x B ???∈

C ．:,2p x A x B ??∈? D.:,2p x A x B ????

【解析】选C ，根据:,2p x A x B ?∈∈的否定是:,2p x A x B ??∈?，故选C.

（3）动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是 （ ）

A 双曲线

B 双曲线的一支

C 两条射线

D 一条射线

【解析】选D 错误！未找到引用源。

（4）“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选A ，因为集合(1,2)是(-∞,2)的真子集,所以“1<x<2”是“x<2”成立的充分不必要条件,故选

A.

（5）设a,b,c ∈R,且a>b,则(

) A.ac>bc

B.11a b <

C.a 2>b 2

D.a 3>b 3 【解析】选D.y=x 3在(-∞,+∞)上为增函数,所以a 3>b 3.

（6）设首项为1，公比为错误！未找到引用源。的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）

（A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =-（C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-

【解析】选D.方法一：因为等比数列的首项为1，公比为错误！未找到引用源。，3

2132111--=--=n n n a q q a a S ，所以n n a S 23-=.

6 方法二：333

21)32(1-=--=n

n S n )32(?1)32(23--=n ，1)32(-=n n a ，观察四个选项可知选D. （7）若2x +2y

=1,则x+y 的取值范围是 ( )

A ．[]0,2

B ．[]2,0-

C ．[)2,-+∞

D ．(],2-∞-

【解析】选

D. ≤2x +2y =1,所以2x+y ≤错误！未找到引用源。,即2x+y ≤2-2,所以x+y ≤-2. （8）抛物线24y x =的焦点到双曲线2

213y x -=的渐近线的距离是（ ） （A ）12 （B

（C ）1 （D

【解析】选B ，由抛物线24y x =的焦点(1,0)，双曲线22

13y x -=

0y -=，根

据点到直线的距离公式可得d =，故选B. （9）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ,0=m S ,31=+m S ，则=m （ ）

A.3

B.4

C.5

D. 6

【解析】选C.由已知得，21=-=-m m m S S a ,311=-=++m m m S S a ，因为数列}{n a 为等差数列，所以11=-=+m m a a d ，又因为02

)(1=+=m m a a m S ，所以0)2(1=+a m ，因为0≠m ，所以21-=a ，又2)1(1=-+=d m a a m ，解得5=m .

（10）已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则

b =（ ）

（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5

【解析】选D.因为02cos cos 232=+A A ， 01cos 2cos 2322=-+A A ，解得25

1cos 2=A ， 方法一:因为△ABC 为锐角三角形，所以51cos =A ,5

62sin =A . 由正弦定理C c A a sin sin =得，C

sin 65

627=.35612sin =C ，3519cos =C .又)(C A B +-=π， 所以C A C A C A B sin cos cos sin )sin(sin +=+=，

7 17565035612513519562sin =?+?=B .由B b A a sin sin =得, 175

6

505627b =，解得5=b . 方法二:由A bc c b a cos 2222-+=，51cos =

A ，则495112362=?-+b b ，解得5=b （11）已知椭圆:E )0(122

22>>=+b a b

y a x 的右焦点)0,3(F ，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为)1,1(-，则E 的方程为（ ） A. 1364522=+y x B. 1273622=+y x C. 118272

2=+y x D. 19

1822=+y x 【解析】选D.由椭圆122

22=+b

y a x 得，222222b a y a x b =+， 因为过F 点的直线与椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 交于A ，B 两点， 设),(11y x A ，),(22y x B ,则

1221=+x x ，1221-=+y y 则22212212b a y a x b =+ ①22222222b a y a x b =+ ②

由①-②得0)()(2

221222212=-+-y y a x x b ，

化简得0))(())((2121221212=+-++-y y y y a x x x x b . 0)(2)(2212

212=---y y a x x b ， 22

2121a b x x y y =-- 又直线的斜率为0(1)1312k --==-，即2122=a

b .因为92222-=-=a

c a b ， 所以21922=-a

a ，解得182=a ，92=

b .故椭圆方程为19182

2=+y x . （12）如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )

A.

B.

C.

D.

【解析】选D.如图建立空间直角坐标系,则B(2,2,0),D 1(0,0,1),C 1(0,2,1), ∴错误！未找到引用源。=(0,0,1),错误！未找到引用源。=(2,2,0),错误！未

8 找到引用源。=(-2,0,1).

设平面BB 1D 1D 的一个法向量n =(x,y,z),

由错误！未找到引用源。可得错误！未找到引用源。∴可取n =(1,-1,0).

cos<n ,错误！未找到引用源。>=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。, ∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为错误！未找到引用源。.

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

（13）不等式220x x +-<的解集为 .

【解析】{|21}x x -<<. 22(1)(2)0x x x x +-=-+<，解得21x -<<

（14）设,x y 满足约束条件 13,10x x y ≤≤??-≤-≤?

，则2z x y =-的最大值为______。 【解析】3 画出可行域如图所示，

当目标函数y x z -=2过点)3,3(A 时，取得最大值，3332max =-?=Z

（15）已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若1a 、2a 、5a 成等比数列，则8S =

【解析】64， 因为1a 、2a 、5a 成等1比数列, 11a =所以d d 41)1(2+=+,化简得d d 22

= 因为0d ≠,所以2=d ,故.64568278818=+=?+

=d a S （16）已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心

9

三.解答题：

17.（10分）在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个内接矩形花园(阴影部分), 则当边长x 为何值时，花园面积最大并求出最大面积

【解析】设矩形高为y , 由三角形相似得:

40,40,0,0,40

4040<<>>-=y x y x y x 且 400

20,240取最大值时，矩形的面积仅当xy s y x xy y x ===≥+=?.

19.（12分）已知2:10p x mx ++=有两个不等的负根，2:44(2)10q x m x +-+=无实根，若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围.

【解析】见世纪金榜课本相关页

19.（12分）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,已知a=bcosC+csinB .

(1)求B. (2)若b =2,求△ABC 面积的最大值.

【解析】(1)因为a=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即cosBsinC=sinCsinB ,因为sinC ≠0,

所以tanB=1,解得B=错误！未找到引用源。

(2)由余弦定理得:b 2=a 2+c 2-2accos 错误！未找到引用源。,即4=a 2+c 2

-错误！未找到引用源。ac,由不等式得a 2+c 2≥2ac,当且仅当a=c 时,取等号,所以4≥(2-错误！未找到引用源。)ac,解得ac ≤4+2错误！未找到引用源。,所以△ABC 的面积为错误！未找到引用源。acsin 错误！未找到引用源。≤错误！未找到引用源。×(4+2错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。+1.所以△ABC 面积的最大值为错误！未找到引用源。+1.

20.（12分）如图, 在直三棱柱111A B C - ABC 中, AB ⊥AC, AB = AC=2,1A A = 4, 点 D 是 BC 的中点.

(1)求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值;

(2)求平面1ADC 与平面 AB 1A 所成二面角的正弦值.

【解析】(1)以A 为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz, 则A(0,

0, 0), B(2, 0, 0), C(0, 2, 0), D(1, 1, 0),1A (0, 0, 4), 1C (0, 2, 4), 所以1A B =(2, 0, -4), 1C D =(1, -1, -4).因为

10 111111cos ,||||A B C D A B C D A B C D ?<>=== 所以异面直线1A B 与1C D

所成角的余弦值成角的余弦值为10

(2)设平面1ADC 的法向量为1n = (x, y, z), 因为AD =(1, 1, 0), 1AC =(0, 2, 4), 所以1n ·AD =0,

1n ·1AC =0，即x+y=0 且y+2z =0, 取z =1, 得x =2,y=-2, 所以, 1n =(2, -2, 1)是平面1ADC 的一个

法向量.取平面A 1A B 的一个法向量为2n =(0, 1, 0), 设平面1ADC 与与平面 AB 1A 所成二面角的大小为

θ.由|cos θ

|=121223

||||n n n n ?=== 得 sin θ

=3 因此, 平面1ADC 与平面 AB 1A

所成二面角的正弦值为3

21.（12分）设n S 为数列{n a }的前项和，已知01≠a ，2n n S S a a ?=-11，∈n N *

（Ⅰ）求1a ，2a ，并求数列｛n a ｝的通项公式；(Ⅱ) 求数列｛n na ｝的前n 项和。

【解析】（Ⅰ）令1=n ，得21112a a a =-，因为01≠a ，所以11=a ， 令2=n ，得222112a s a +==-，解得22=a 。当2≥n 时，由n n s a =-12 1112--=-n n s a ，两式相减，整理得12-=n n a a ，于是数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以，12-=n n a 。

(Ⅱ)由(I )知12-=n n n na ，记其前n 项和为n T ，于是

12223221-?++?+?+=n n n T ① n n n T 2232221232?++?+?+?= ②

① -②得 n n n n n n n T 2122222112?--=?-++++=-- 从而1(1)2n

n T n =+-

11 22.( 12分)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,

过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆

. (Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左、右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.

【解析】(Ⅰ)设(,0)-F c

由c a =

知,a =过点F 且与x 轴垂直的直线为,x c =-代入椭圆方程有2222()1,c y a b -+=

解得y =

=

解得b =又222-=a c b ，

从而1a c ==，所以椭圆方程为22

1,32

x y +=. (Ⅱ)设1122(,),(,)C x y D x y ，由(1,0)F -得直线CD 的方程为(1),y k x =+由方程组22(1),1,3

2y k x x y =+???+=??消去y ，整理得2222(23)6360.+++-=k x k x k

可得22121222

636,.2323k k x x x x k k -+==++

因为(A

B

所以11222211··(),)(),)AC DB AD CB x y x y x y x y +=?-+?-

212121212222212122

622622(1)(1)

2126(22)2()2623x x y y x x k x x k k x x k x x k k =--=--+++=-+-+-=++ 由已知得22

2126823k k ++=+

，解得k =

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