热力学与统计物理重点

Ω不一定掌握，玻色 麦克斯韦 费米 玻尔兹曼 简答题 简单回答？三个简答题

相空间（μ空间的解释）如何描述微观粒子运动，用相空间的一个点描述，把物理问题转几何问题 p2A2p2122谐振子计算 考一个计算吗 能量均分定理

??2m?2x??m?x2m2等概率原理（一个假设，系统的限制？不能乱加孤立系统…） 玻尔兹曼分布导出能量均分：X^2贡献0.5kT

理想自由单原子气体 3个维度 ，N个粒子再乘以N，相关计算

波色——爱因斯坦凝聚：（为何一定只有波色有：费米体系玻尔兹曼化学势不会

小于0）TC相变温度，凝聚点，

：费米面？费米面只有费米体系才有，泡利不相容原理，下面站满了，往上占，费米面就是化学势，是一个固定值。

布置的2维6.3…（综合8.19）一起；固体热容量爱因斯坦理论7.7这一节的例题 所有。。

2??nx, nx?0, ?1, ?2, ...a2??py?ny, ny?0, ?1, ?2, ...b2??pz?nz, nz?0, ?1, ?2, ...cnx、ny、nz三个量子数描述

px?动量跟量子数之间一一对应的函数关系，

L?V?dn xdnydnz???dpxdpydpz?3dpxdpydpz?2???h

3如果利用q和p来描述粒子的运动状态，则一个状态对应于?-空间中的一个体积，称为一个相格。对于自由度为r的自由粒子，该相格的大小为hr

准静态过程：是一个非常缓慢的过程。系统在过程中经历的每一个状态都可以看作平衡态。* dW=Ydy dU＝dW＋dQ体积有dV的变化时，外界对系统做的功为-PdV

????Z??e?配分函数： ??热力学性质（内能、熵、自由能）

1??kBT玻尔兹曼 系统内能U,广义力Y,P=-Y：熵: ?lnZ??S?Nk?lnZ?????定域系统熵计算： ： ????U??N?lnZ??N?Y??lnZ??y S?k?ln??lnZ??eZS?Nk??ln????N???? 不可分辨粒子熵计算：自由能为F=U-TS=。。。

理想气体的物态方程PV=nRT=NkBT

外界所作的功体现为：粒子分布不变，能级的改变； 所吸收的热量体现为：粒子能级不变，分布的改变。 简答：

1、 什么是“最概然分布”？ 孤立系统:

这样的系统具有确定的粒子数N、体积V和总能量E。

??l?N; ??l?l?E; (l?0, 1, 2, ......)ll定域系:可以分辨

非定域的玻色子:不可分辨，每个个体量子态上的粒子数目不受限制

非定域的费米子:不可分辨，且服从Pauli不相容原理，每个个体量子态只能有1个粒子 分布:

给出的是在每个能级上的粒子数:

能级： ?1 ?2 ?3 。。。， ?l，。。。 简并度： ?1 ?2 ?3 。。。， ?l，。。。

粒子数： ?1 ?2 ?3 。。。， ?l，。。。

微观状态数：分布+(既要确定在每一个能级?l上的是哪?l个粒子)(定域)还要确定每一个能级?l上?l个粒子占据?l个量子态的方式。 与一个分布{?l}相对应的微观状态数 如下：

N!??l!??????M.B.l玻尔兹曼 费米： F.D.????l!ll?l!?(?l??l)!l

l玻色 ?B.E.??

等几率原理:

l(?l??l?1)!?l!?(?l?1)!对于处于平衡态的孤立系统，系统各个可能的微观态出现的几率相等 微观状态数目最多的分布出现的概率最大。这种分布称为最概然分布。

用取对数加斯特林公式ln(m!)=m(lnm-1)，? ln?=0，?^2 ln?<0

?N????l?0; ?E???l??l?0引入Lagrange乘子?，?

ll玻尔兹曼系统中粒子的最概然分布

?l??le?????l对于宏观系统，与最概然分布（玻尔兹曼分布）相对应的?值非常陡，使其他分布的微观状态数目与之相比，几乎等于零。因此，可以认为在平衡态下粒子实质上处于玻尔兹曼分布。 ?l玻色 费米 ?l??l

e????l??1e?????1l?l2、 如何理解“经典极限条件” “经典极限分布”？

经典极限或者非简并条件为(?l 《 ?l )下，e?>>1，玻色费米分布可忽略分子分母的+-1，在平衡态，近似为玻尔兹曼系统中粒子的最概然分布。

在玻色和费米分布中， ?l个粒子占据能级?l上?l个量子态本来是关联的。在经典极限条件下，由于每个量子态上的平均粒子数远远小于1，粒子之间的关联（粒子遵循的统计特性之间的差异）可以忽略。但是，粒子的全同性仍然发挥影响：1/N!

3、 什么是“能量均分定理”？由能量均分定理给出自由电子气的定容热容量

Cv。（？粗略估计or实在估计？）

能量均分定理：对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值为1/2kBT。

玻色、费米统计的应用五：金属中的自由电子气

从图中看出，温度T下，同0K时相比，只有在费米能级附近的分布发生了改变。所以：只有费米能级附近的电子对热容量有贡献。 粗略估计以下。假设对热容量有贡献的电子数目为：

Neff? kT??N利用能量均分定理，金属中自由电子对热容量的贡献为： eCV 33kT3T?Neffk?Nk?Nk?22?2TF系统的内能近似为： 3 ?4?V?3/2d?3/2U?3?2m??? h0exp??????1???kT??5?2?kT?2?U? N??0???1????512???0??????2?U?kT??热容量近似为： eCV?????Nk2??0? ??T?V4、什么是“玻色-爱因斯坦”凝聚？“玻色-爱因斯坦”凝聚和一般原子在固（液）体中的凝聚有什么不同？

简并理想玻色气体的情况以及其在动量空间中的凝聚现象 根据玻色分布，有：

?l?e?????1l?l1???; ???kTkT将?，?与化学势?和温度T间的关系代入， 有 ??l

?kT?处在任意能级上的粒子数目不能为负数：

?l???exp????1?l?0?l???0??0??理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。如果假设粒子的最低能

级（基态）能量＝0，则有：?<0，可以由右式求出： 1?l????exp???1?kT? 化学势?为温度T和粒子数密度n的函数。在粒

V l子数密度n不变的情况下，温度越低，化学势越高。

???lN??nV化学势随着温度的下降而上升。当温度趋于某一临界温度Tc时，化学势将趋于

????零（假设基态能量＝0）。 ?exp???1????0?0

?kTc?由于玻色子在能级上的占据数目不受限制，因此在温度趋于绝对零度时，基态

上的粒子数目将会很大。因而不能忽略。在T

?2??1/2d?3/2n0(T)?3?2m???nh0exp??/kT??1

在T

基态对离子数密度的贡献为： n??0??T?2??1/2d?3/2?3?2m???n???h?Tc?0exp??/kT??13/2n0(T)?n?n??03/2???T??n??1????T?c?????在T

子数密度n具有相同的量级。这一现象称为玻色－爱因斯坦凝聚（Bose-Einstein-Condensation)，温度Tc称为凝聚温度。

玻色爱因斯坦凝聚是指粒子在极低温的情况下的凝聚，温度接近绝对零度，此时

粒子的能量最低（基态），粒子的状态相同。而一般的原子凝聚（不知道你说的是真正意义上的凝聚还是只是凝固）只是宏观上的稳定态，其本质只不过如同水凝结成冰，温度不需要极低，而且粒子仍旧在运动，因此粒子有能量。

计算：推导爱因斯坦固体的熵；(P223 7.20 与7.27)(公式要推导 n个粒子化为

3n个亚子？？（声子）、，假定振动频率都是w)

对上述熵的计算结果的高温极限（T?TE）和低温极限（T?TE）情况作讨论。

线性谐振子。以?表示谐振子的频率，三个方向上 振子的能级为

??v???n????, n?0, 1, ..., 2??1

配分函数 Z????e????带入能级得 Z??n?0?

Einstein特征温度?E

1????????n??2??e?e21?e????????kB?E???E ,

1??又 ，讨论T>>?

kBT

?lnZ???Nk?（）????lnZ *3?代入Z，S->∞ 熵SS=3NK?????lnZ?，代入Z，S->0 ? T<

计算：假设自由电子在二维平面上运动，面密度为n，求温度为绝对零度时此二维电子气的费米温度(P188 6.3 +P248 8.19)(平均能量=总内能/总粒子??) 温度为T时，处在能量为?的一个量子态上的平均电子数为：

1f????? ?exp???1?kT? 现在讨论温度T＝0K时的情况。

在T＝0K时，能量小于化学势的能级都被占据

了；能量高于化学势的能级都空着。根据泡里不相容原理，化学势是0K时电子的最大能量。

?f?1 ???(0)??f?0 ???(0)0K时的化学势? （0）可以由下式得到： 二维是4Πa/h2 md? 从0到μ（0）积分=N μ（0）=h^2/4πm(N/A)= h^2*n/4πm

??0?4?V3/21/2??2m?? ?d??N3h00K时电子的最大动量，称为费米动量。0K时电子气的内能为： 费米温度:Cu的费米温度TF为7.8X104K

kTF???0?TF=μ（0）/k= h^2*n/4πmk.

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