高中数学知识要点(适合中等及以上学生研习)

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知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！ 目录

目录 (1)

作者自序 (2)

专题A 常用的数学思想和方法 (3)

专题B 常用化简技巧与常用公式 (4)

专题1 集合(B1) (5)

专题2 函数及其定义域(B1) (7)

专题3 函数解析式的求法(B1) (9)

专题4 值域，最值(B1) (11)

专题5 函数图象及其变换(B1) (13)

专题6 单调性(B1) (15)

专题7 奇偶性、对称性(B1) (17)

专题8 周期性(B4) (19)

专题9 指数与指数函数(B1) (20)

专题10 对数与对数函数(B1) (21)

专题11 幂函数的图像与性质(B1) (22)

专题12 函数与方程、二分法(B1) (23)

专题13 二次方程根的分布(B1) (24)

专题14 函数的应用(B1) (25)

专题15 抽象函数及定点问题(B1) (26)

专题16 恒成立及有解(B1) (27)

专题17 常见函数题型的解题思路（1）(B1) (29)

专题18 空间几何体(B2) (31)

专题19 点、直线、平面之间的关系(B2) (32)

专题20 空间向量，距离与夹角(X21) (36)

专题21 直线方程(B2) (37)

专题22 曲线的对称性(B2) (39)

专题23 圆的方程(B2) (40)

专题24 算法、程序框图、程序(B3) (43)

专题25 统计(B3) (45)

专题26 概率(B3) (48)

专题27 三角函数(B4) (49)

专题28 三角函数的图象与性质(B4) (50)

专题29 两角和与差的公式(B4) (51)

专题30 解三角形(B5) ................................................... 52 专题31 平面向量(B4) ................................................... 53 专题32 数列(B5) ........................................................... 55 专题33 等差数列(B5) ................................................... 56 专题34 等比数列(B5) ................................................... 57 专题35 递推数列的通项公式(B5) ................................ 58 专题36 数列求和(B5) ................................................... 61 专题37 数列型不等式的证明(B5) ................................ 62 专题38 不等式的性质(B5)............................................ 63 专题39 解不等式(B5) ................................................... 64 专题40 含参数不等式的解法(B5) ................................ 65 专题41 证明不等式常用方法(B5) ................................ 66 专题42 线性规划(B5) ................................................... 67 专题43 常用逻辑用语[X21] ......................................... 68 专题44 椭圆、双曲线、抛物线[X21] .......................... 69 专题45 直线交圆锥曲线的解题模式[X21] .................. 70 专题46 直线与圆锥曲线的综合知识[X21] .................. 72 专题47 曲线中的最值，定值(点)，取值范围[X21] .... 73 专题48 求轨迹方程[X21] ............................................. 74 专题49 坐标系，参数方程(X44) .................................. 75 专题50 导数[X22] ......................................................... 77 专题51 定积分(X22) ..................................................... 80 专题52 常见函数题型的解题思路（2）(X22)............. 81 专题53 推理与证明[X22] ............................................. 87 专题54 复数[X22] ......................................................... 88 专题55 排列与组合(X23) ............................................. 89 专题56 二项式定理(X23) ............................................. 90 专题57 随机变量及其分布(X23) .................................. 91 专题58 回归分析、独立性检验[X23] .......................... 93 专题59 几何证明(X41) ................................................. 94 专题60 柯西不等式、排序不等式(X45) ...................... 95 专题61 优选法(X47) ..................................................... 96 专题C 数学解题表 ...................................................... 98 专题D 数学解题经验谈 .............................................. 99 后记 (100)

【说明】括号中的B1表示必修1，X21表示选修2-1，以此类推！

（注意：X11、X12的内容在加中括号的X21、X22、X23中）

任何一种简洁的解题方法都离不开准确快速的运算做支撑！ 可以说，得运算者得数学，得数学者得天下！

总结细致入微，促你于无声处常顿悟！ 归纳全面突破，助你求知路上拔头筹！

《高中数学知识要点及解题方法精粹》——打开成功大门的金鈅匙

作者自序

这是一本极具个性和特色的高中数学知识要点和解题方法的辅导工具书！

它是来自于长期在教学一线并从事高三数学教学多年的教师的心血之作！

它站在实用的立场，瞄准高考，几乎一网打尽高考数学解题方法和策略！

一、大开本页面排版，使得每个专题的知识点、题型方法在一面上就能集中连贯流畅的显示，阅读起来非常方便；它避免了同学们在笔记本上因东抄西写而不成系统的缺陷，因此使用起来效率更高．

二、编排上不同于一些数学知识手册，它不是简单地将课本上的概念、定义、公式、定理简单罗列，而是将有规律性的数学结论（如周期性、等比型递推数列、线性规划中目标函数的类型等）集中在一起，有些结论给出了详尽的推导过程，还有一些给出了方法提示，阅读的时候若能比较、鉴别、思考，就能悟出许多解题方法．

三、将平常练习与考试中经常遇到的问题归结为一个题型，或进一步提供解题思路、或进一步归纳解决这一类问题的理论依据，以达到训练思维的作用．如：“?x1∈A，?x2∈B，使得方程g(x2)=f(x1)成立”，这句话的含义就是“*y|y=f(x)，x∈A+?*y|y=g(x)，x∈B+”，如果悟出了这个含义，涉及它的问题不就很容易解决了吗！如果平时没有学会这些命题或语句的转化，临到考试时岂不是束手无策？本书（如专题16）收集了众多这种能训练思维、清晰解题思路的命题或语句，如果平时能多悟一悟，解题能力必将上一新台阶！

四、强调知识、方法应用的可操作性．作者在归纳中，强调通则通法的掌握运用，并不归纳怪、偏、难的方法，如专题17和专题52的“常见函数题型的解题思路”，可使学生在模仿解题中感悟，在感悟中收获．还有些知识点，通过作者的反复揣摩，归纳出可操作性的步骤和结论，掌握之后，再全面理解整个知识点的发生过程就容易多了．

五、将教师在教学中常常需要强调的东西形成文字，便于学生反复阅读，从而加深印象．它也将许多散见于各种资料中和师生面授相传中的好方法汇集在其中．

六、本书归纳的方法、结论、解题规律确实很多，除少部分常用结论和方法要铭记于心之外，大部分只要通过反复体会和运用就能掌握，无需死记呆背．为了帮助同学们掌握方法和记忆重要结论，或直观理解一些结论，作者编配了一些顺口溜，绘制了一些对应的图象．

七、本书全面配合高考数学考点的复习安排，因此在一轮复习时若能及时同步消化吸收，必将奠定夺取高分的坚固基石；本书也是二三轮复习，乃至考前必读材料；高中数学有十多本教材，考前不可能再一一翻阅，正是由于本书全面配合高考数学考点的复习安排，因此考前对于自己感觉薄弱的地方，及时查阅强化不无裨益便捷．

八、同时本书又适于高一、高二学生作为工具书使用，同步积累知识和方法，为高考打下坚实的基础．

九、本书（续集）配备了16个题组，它们主要来自于近几年高三学生在平时的练习或考试（试题主要来源于湖南四大名校的试卷）中容易出错、或不会解答的题，但并非怪题、难题，它们甚至可以说是具有代表性的经典题、综合题，如果我们能在平时一一攻克，必将使我们的数学思维能力得到极大的锻炼和提高，解题能力产生质的飞跃；或期望读者通过对解题过程的理解，（客观题有关键性提示和答案，解答题则有详尽的解答过程），进一步掌握解题方法和思路，能够举一反三，避免在考试中失误．正所谓，它山之石，可以攻玉．

作者：陈永清

态度决定人生的高度！

记性、悟性、自觉性决定了你学习上的收获！

高分数、好成绩是靠自己悟出来的！正所谓：师傅领进门，修行在个人！

2 知识改变命运，奋斗成就梦想！多思出悟性，常悟获精华！

不怕难题不得分，就怕每题扣点分！

专题A 常用的数学思想和方法

一．数学思想：1．数形结合的思想；2．分类与整合的思想；3．函数与方程的思想；4．转化与化归的思想；

5．特殊与一般的思想；6．有限与无限的思想；7．或然与必然的思想；8．正难则反的思想．二．数学基本方法：配方法、换元法、反证法、割补法、待定系数法；分析法、比较法、综合法、归纳法、观察法、定义法、等积法、向量法、解析法、构造法、类比法、放缩法、导数法、参数法、消元法、不等式法、判别式法、数形结合法、分类讨论法、数学归纳法、分离参数法、整体代换、正难则反、设而不求、设而求之．【解题时：方法多，思路广，运算准，化简快．】

三．数学逻辑方法：分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等．【也称数学思维方法．】

四．选择题的方法：四个选项有极大的参考价值！千万不要小题大做！

⒈求解对照法(直接法)；⒉逆推代入法(淘汰法)；⒊数形结合法(不要得意忘形)；⒋特值检验法(定值问题)；

⒌特征分析法(针对选项)；⒍合理存在性法(针对选项)；⒎逻辑分析法(充要条件)；⒏近似估算法(可能性)．五．填空题的方法：⒈直接法；⒉特例法(定值问题)；⒊数形结合法；⒋等价转化法．

六．熟练掌握数学语言的三种形式：自然语言、符号语言、图形语言的相互转化．

七．计算与化简：这是一个值得十分注意的问题！平时的训练中，要多思考如何快速准确的计算和熟练的化简！八．学会自学！课堂上不可能把所有的题型都讲到！所以要多看例题，多思考！看之前一定要想自己会怎么做！

怎么看：一看解题思路【看完后要归纳步骤、总结方法】，二看规范表达【尽量学会使用数学语言、符号】．学会总结归类：⒈从数学思想上归类；⒉从知识应用上归类；⒊从解题方法上归类；⒋从题型类型上归类．

【特别提醒】

1．一道题有没有简便解法，关键就在于你能不能发现其中的一些条件的特殊性，并能加以灵活运用！（灵机一动）【转化、联想、换元等，另外，解题时有时对一些细节的处理也很关键，会起到峰回路转、柳暗花明的作用．】2．解函数、解析几何、立体几何的客观题，应特别注意数形结合思想的运用！但在解答题中，不能纯粹只凭借图象来解答问题；图象只起到帮助找到解题思路的作用【图象尽量画准，甚至在有时给出图象时也需要自己重新准确画一遍】；解题过程还是要进行严谨的理论推导【用数学语言表达】，不能纯粹以图象代替推理、证明．3．转化数量关系时，若是写不等式，则要注意是否可以取“=”．特别是求取值范围时，端点一定要准确处理．4．平常做解答题应该做完整：解题过程的表达是否流畅、简洁．否则到考试时，还需为如何组织语言表达去思考而耽误时间．这是平时训练值得注意的【条理分明、言简意赅、字迹工整】！表达也是思维的一部分！

5．在解答题中，某些局部问题解答过程的书写的详略，取决于整个解题书写过程的长短：长则略写，可用易证、易知等字眼；短则详写．如果要应用教材中没有的重要结论，那么在解题过程中要给出简单的证明．

6．在设置有几问的解答题中，后面问题的解决有时候依赖于如何灵活运用前面已解决的问题的结论．有些解答题某一问貌似与前面无关，实则暗【明】示你必须把它与前面联系起来，才能解决问题．

7．平常要多积累解题经验和解题技巧．熟记一些数学规律和数学小结论对解题也是很有帮助的．

8．数学总分上不上得去，很大程度上取决于选择题、填空题得分高不高．而选择题、填空题更注重对基础知识，基本数学思想、方法和技能的全面考察．因此，要熟练掌握解选择题、填空题的特有方法：在解选择题或填空题时，优秀的解题方法更显得重要．建议每天做一份选择、填空题，花大力气提高解选择、填空题的准确率和速度．【注意：选择题的四个选项中有且只有一个是正确的，是一个需要特别重视的已知条件．】

9．可以在本书每页的背面或专门的笔记本上，收集（作业、考试中的）错题、经典题，便于日后考前复习巩固．⒑作业本上的错题、试卷上的错题一定要及时更正！做错了不可怕，可怕的是做错了不去纠正！

3 知识改变命运，奋斗成就梦想！多思出悟性，常悟获精华！

我的成功归功于精细的思考，只有不断地思考，才能到达发现的彼岸。——牛顿

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知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！

专题B 常用化简技巧与常用公式

1．繁分式化简分式：

1a +2b +1c 3ac ;1b +4bc

=

(1a +2b +1c )×abc

(3ac ;1b +4bc

)×abc =

bc:2ac:ab 3b;ac:4a

． (同乘)

2．分式中的负指数幂化成正指数幂：a x :a ?x a x ;a ?x =(a x :a ?x )×a x

(a x ;a ?x )×a x =a 2x :1

a 2x ;1． (同乘) 3．齐次式变形：z =

a:√3b

√3a:b

；z =

2a 2:4ab;3b 2a :ab:b ；a 2?5ab +4b 2>0． (同除)

4．除法分配律（分数裂项）：①b:c

a

=b

a +c

a ；②a;b

ab =1

b ?1

a ． (分式变形时常用) 5．分子常数化：①y =

2x;1x;1

=

(2x;2):1x;1

=1

x;1+2； ②y =2x

x:4=

21:

4x

(x ≠0)； ③y =a x ;1a x

:1

=(a x :1);2a x :1

=1?2

a x :1；

④y =

2x 2;4x:3

x;1

=

2(x;1)2:1

x;1

=2(x ?1)+1

x;1（或用换元法令分母为t 后，达到分子常数化要求）．

6．分母有理化：①

√a:√b

=√a;√b)(

√a:√b)(√a;√

b)

=√a;√b

a;b

； ②

=

√2=√x 2+1+x ；

分子有理化：①√a ?√=

√a;√b)(√a:√b)

1?(√a:√b)=

√a:√

b

； ②√n 2+1?n =√n 2:1;n

1

=

22√2=

√2；

7．配方：①a 2±ab +b 2=(a ±b

2)2+3

4b 2； ②a 2+b 2=(a +b )2?2ab ；

③x 2+1

x 2=(x +1

x )2?2； ④y =ax 2+bx +c =a (x +b

2a )2+4ac;b 24a

(a ≠0)；

⑤a 2+b 2+c 2?ab ?ac ?bc =1

2,(a ?b )2+(a ?c )2+(b ?c )2-．

8．因式分解、乘法公式：

①a 2?b 2=(a ?b )(a +b)； ②(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ； ③a 2?2ab +b 2=(a ?b )2； ④a 2+2ab +b 2=(a +b )2； ⑤a 3?b 3=(a ?b )(a 2+ab +b 2)； ⑥a 3+b 3=(a +b )(a 2?ab +b 2)； ⑦(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3； ⑧(a ?b )3=a 3?3a 2b +3ab 2?b 3． 9．设ax 2+bx +c =0的两根为x 1，x 2，令?=b 2?4ac ， ①求根公式：x 1，2=

;b±√b 2;4ac

2a

(?≥0)．另有|x 1?x 2|=√(x 1?x 2)2=√(x 1+x 2)2?4x 1x 2=√?

|a|．

②（韦达定理）根与系数的关系：{

x 1+x 2=?b

a ，x 1x 2=c

a ．

【注意：解此类方程组时可构造方程x 2+b a x +c

a =0再解】

③因式分解：ax 2+bx +c =a (x ?x 1)(x ?x 2)． ⒑ ①三角形中的三边、边角不等关系，外角定理． ②n 边形内角和：(n ?2)?180°；n 边形外角和：360 ．

③角平线定理：在?ABC 中，∠A 的平分线交BC 边于D ，则BD

DC =AB

AC ．

④重心性质：设?ABC 的三条中线AE ，BF ，CD 相交于点O ，则AO =2OE ，BO =2OF ，CO =2OD ． ⑤若P 关于Q 成反比，则P =k

Q ；若P 关于Q 成正比，则P = Q ．【其中 为待定系数】 ⑥若y 关于u 成正比，且关于v 成反比，则y = ?u

v ；

⒒ ①ax +b =0；②am +bn =0对于x ∈R 或m ，n ∈R 恒成立?a =0，b =0．

③ax 2+bx +c =0；④am 2+bmn +cn 2=0对于x ∈R 或m ，n ∈R 恒成立?a =0，b =0，c =0． ⒓ 准确作图，对解题是有很大帮助的．因此作图工具要备好：圆规、三角板、量角器、铅笔．

⒔ 为便于自学，购买教辅资料时，尽量选每一题解答都非常详尽的那一种（但不要边做练习边看答案！）．

A

B

C

D F C

E

B

D

O A

学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然。——苏步青

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知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！ 专题1 集合(B1)

1．集合中的元素具有：确定性，互异性，无序性． 【思考】*x |(x ?a )(x ?3)=0+=？

2．元素a 与集合A 的关系：∈，?；

3．常用数集符号：N ?或N :正整数集，N 自然数集，Z 整数集，Q 有理数集，R 实数集， R Q 无理数集，C 复数集，

*x|x =2n ，n ∈Z+偶数集，*x|x =2n ?1，n ∈Z+奇数集．

4．集合的三种常用表示方法：列举法、描述法（形式可具有多样性）、图示法（一种解题工具或方法）．

5．集合A 与集合B 的关系：?，?，=，?，?． 【显然，A ?A ；另规定： ?A ．】

6．若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有子集个数为2n ． （∵C n 0+C n 1+C n 2+?+C n n =2n 或 (C 21)n =2n ．）

所有非空子集的个数是2n ?1，所有真子集的个数是2n ?1，所有非空真子集的个数是2n ?2． 【 ，A ．】

7．①A?B =*x|x ∈A ，或x ∈B+；

②A?B =*x|x ∈A ，且x ∈B+；

③ U A =*x|x ∈U ，且x ?A+． 【显然A 与 U A 成对出现】

8．摩根定理：①( U A )?( U B )= U (A?B)； ②( U A )?( U B )= U (A?B)．

【右上图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分你能用集合符号表示吗？】

9．①A?B =B ? ? ． ②A?B =A ? ? ． 【①②要重点理解掌握！】

③A?( U B)= ? ? ． ④( U A)?B =U ? ? ． ⑤ U B ? U A ? ? ．

⒑ 含参数的集合A 满足A ?B 或A?B = 等情形时，在求解的时候要注意是否需要分A = 与A ≠ 两种情形讨论．

若含参数的集合A 是一个方程或不等式的解集，也可以从通过讨论系数的符号来解方程或不等式的角度考察． 补充1

1．求集合（有限集）中的参数的值要注意检验：①是否违反集合中元素的互异性，②是否与已知条件矛盾．

2．求集合交、并、补或求满足 ? 或 ? = 等情形时参数取值范围的方法：

①观察法（有限集）， ②数形结合法【无限集，利用韦恩（Venn ）图，或数轴，或坐标平面】．

3．注意区分集合中元素的含义：【数集一般都要进一步化简！】

⒈数集： A =*x|f (x )=0+方程的解集； B =*x|f (x )>0+或*x|f (x )<0+不等式的解集；

C =*x|y =f (x )+函数y =f (x )的定义域；

D =*y|y =f (x )+函数y =f (x )的值域；

M =*x|F (x ，y )=0+，N =*y|F (x ，y )=0+：满足（曲线）方程F (x ，y )=0的x 或y 的取值集合．

⒉点集：A =*(x ，y)|F (x ，y )=0+曲线【或满足二元方程F (x ，y )=0解（实数对）的集合】；

B =*(x ，y)|F (x ，y )>0+区域；

C ＝*(x ，y)|F (x ，y )<0+区域；

D =*a ?|a ?=(f (t )，g (t ))+，令a ?=(x ，y)，则D ={(x ，y )|{x =f (t )y =g(t)

}=*(x ，y)|F (x ，y )=0+． 4．给出含参数不等式的解集，则解集中的端点值．．．是不等式所对应整式方程的根．（或者说是对应因式的零根．．

）． 5．你会用补集思想解决问题吗？补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题．

6．若 A =*a 1，a 2，?，a m +，C =*a 1，a 2，?，a m ，a m:1，?，a n +，(n >m )，

则满足A ?B ?C 的集合B 有2n;m 个；满足A ?B ?C 的集合B 有2n;m ?2个．

7．①ab =0?a =0或b =0； ②ab ≠0?{a ≠0b ≠0

，即a ≠0且b ≠0．

集合不论空不空,总有子集在其中!

B A A U A B U Ⅰ Ⅱ Ⅲ

Ⅳ B A U

把数学当成一门语言学习，学会每一个术语的用法，熟悉每一个符号的意义。

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知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！ 补充2

1．满足A?B =*a 1，a 2，?，a n +的集合A ，B 有 (C 31)n =3n 对．

【每个元素放置的位置都是三选一，如图．】

2．在集合A =*a 1，a 2，?，a n +的所有子集中： ⒈集合A 中的每个元素出现2n;1次（譬如a 1这个元素,注意集合 *a 2，?，a n +有2n;1个子集）．

⒉含m 个元素的子集有C n m 个，在这C n m 个子集中，集合A 中的每个元素出现C n;1m;1次（譬如a 1这个元素）．

3．从集合观点理解方程或不等式恒成立、有解、无解问题的解决之道： 对于集合A =*x|p (x )+，集合B =*x|f (x )+，其中p (x )，f(x)代表不等式或方程，则

⒈A ?B ?f(x)对x ∈A 恒成立！【大范围对小范围恒成立；有时需利用A ?B ? U B ? U A 转化一下．】 ⒉C ?(A?B )?f(x)对x ∈C 恒成立且p(x)对x ∈C 恒成立！

⒊A?B ≠ ?f(x)在A 有解（或p(x)在B 有解）；A?B = ?f(x)在A 无解（或p(x)在B 无解）． ⒋若?x ∈A ，都有x ∈B ?A ?B ． 【若A ?B ,但?x ∈B ，且x ?A ，则A ?B ．】

1．解方程组时消元的方法：①代入消元；②加减消元；③乘除消元．

2．求值时，很多时候要进行检验，以防止产生增根，此外还要考虑是否漏根；

求取值范围，则一般不需检验．

参见专题：恒成立及有解．

解答题中必要的常用的文字表达 1．解，令，则，而，又，且，即，当，若，记，故，设，取，或，及，再，由. 2．证明，解得，由于，于是，因此，从而，因为，所以，同理，此时，又即，假设，欲证，只需证，结合. 3．由已知，据题设，依题意，化简得，等价于，整理得，不妨设，解之得，要满足，事实上，注意到，由条件，一般地. 4．由…可知，综上可知，综上所述，由此可得，两式相减(加、乘、除)得，问题等价为，由…定理得，一方面，另一方面. 5．以O 为原点，…所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz . 【坐标系应符合右手直角坐标系，即x 、y 、z 轴要按逆时针螺旋式上升标记！且z 轴(竖轴)箭头一般是向上的！】 6．由…猜想…，下面（用数学归纳法、或综合法等方法）证明. B

A

学好数学的秘诀是：解题，解题，再解题。

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知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！ 专题2 函数及其定义域(B1)

研究函数必须树立定义域优先考虑．．．．．．．

的原则！(很重要，但又很容易忽视) 1．函数的定义：【解析法、列表法、图象法】

设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =f (x )，x ∈A ．

【因此，函数f(x)的图象与动直线x =m 至多只有一个公共点！这是判断一个图象是不是函数图象的方法．】

【点(a ，b)在函数y =f(x)的图象上?f (a )=b ．】

2．两个函数为同一函数的充要条件是定义域与对应关系相同【即在定义域相同的条件下解析式可化为相同】．

3．映射的定义：

设A ，B 是两个非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．

【函数与映射都是：一对一，或多对一．】

4．若A 中含有m 个元素，B 中含有n 个元素，从A 到B 能建立多少个映射？

5．给出函数的解析式，求函数的定义域所遵循的原则是：

①f(x)g(x)中要求g (x )≠0；

②√2n f (x )≥0；

③,f (x )-0中要求f(x)≠0；

④y =a x （a >0，且a ≠1），x ∈R ；

⑤y =log a x （a >0，且a ≠1），x >0；

⑥y =tanx ，x ∈R ，x ≠ π+π2， ∈Z ；

⑦通过加、减、乘、除四则运算及有限次复合构造出新函数，则新函数的定义域是每个函数定义域的交集． ⑧应用问题的定义域，除了要考虑解析式本身的定义域，还要考虑使应用问题有意义．

⑨求定义域时最好不要对解析式先变形，否则容易出错．

6．不给出f(x)的解析式，函数f(x)，f (g (x ))，f(?(x))三者之间定义域的关系：【定义域都是指x 的取值范围．】

①已知f(x)的定义域是(a ，b)，求f (g (x ))的定义域：解不等式a

利用x ∈(a ，b)先求出g(x)的值域(c ，d)，然后解不等式c

【总之，求抽象函数的定义域，关键是抓住被同一个 f 作用的对象取值范围相同．】

7．设函数y =f(x)的定义域为集合A ，若f(x)在集合B 上有意义，则B ?A ．

8．①|a |={a ， a ≥0，

?a ， a <0． ②|a ?b |=|b ?a|（数轴上a ，b 两点间的距离）； ③|?a |=|a |， ④(a ?b )2=(b ?a )2．

C n 1?C n 1???C n 1? m 个=n m (个)． 1．定义域必须用集合或区间的形式表示！ 2．集合*x|y =f (x )+的含义：即函数y =f(x)的定义域． 3．要养成这样一个习惯： 一研究函数问题，就指出该函数的定义域！

日日行，不怕千万里；常常做，不怕千万事。

8

知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！

补充

熟练掌握下列函数性质：定义域，值域(最值)，图象，单调性，奇偶性． 1．一次函数：y = x +b( ≠0)， ①定义域为R ，值域为R ．

②图象：直线，射线，线段的图象皆由两点确定．

③单调性： >0时，为R 上的增函数； <0时，为R 上的减函数； ④奇偶性：b =0时为奇函数； =0时为偶函数． ⑤y =√的值域为,0，+∞)． 2．二次函数：y =ax 2+bx +c =a (x +b

2a )2+4ac;b 24a

(a ≠0)，

①定义域为R ；当a >0时，值域为*y|y ≥

4ac;b 24a

+；当a <0时，值域为*y|y ≤4ac;b 24a

+．

②图象：利用顶点、两零点、对称轴作图．【“三点一线”】 【值域、最值、单调性问题用好对称轴，解集问题用好零点！】

③单调性：当a >0时，在(?∞，?b

2a -上单调递减，在,?b

2a ，+∞)上单调递增；

当a <0时，在(?∞，?b

2a -上单调递增，在,?b

2a ，+∞)上单调递减；

④奇偶性：b =0时为偶函数．（a =c =0时为奇函数） ⑤y =2+bx +c =√a (x +b

2a )2+

4ac;b 24a 的值域， 【不能简单类比y =√ x +b 而得出错误的结论．】

当a <0时，值域为,0，√f (?b 2a )-；当a >0时，值域为,0，+∞)或,√f (?b

2a )，+∞)（二者必居其一）． 3．反比例函数：y =k

x ( ≠0)，

①定义域是*x|x ≠0+，值域是*y|y ≠0+．

②图象： >0时一、三象限的双曲线； <0时二、四象限的双曲线． ③单调性：当 >0时，在(?∞，0)，(0，+∞)上为减函数；

当 <0时，在(?∞，0)，(0，+∞)上为增函数．

④奇偶性：一定是奇函数．

⑤y =ax:b cx:d (c ≠0，a c ≠b

d )分子常数化

→ y =k x;x 0

+y 0，其图象可由y =k x 变换得到；其值域为*y|y ≠a

c +．

不等式的解集

设x 10，则

1．*x |(x ?x 1)(x ?x 2)<0+?*x|x 10+?*x |x x 2+． 大于取两边 3．*x |x;x

1x;x 2

<0+?*x|x 1

4．*x |x;x 1

x;x 2

>0+?*x |x x 2+． 大于取两边

5．|x |a ?x 2?a 2>0?(x +a )(x ?a )>0?x >a 或x

【“小鱼吃中间，大鱼吃两边”，即“小于取中间，大于取两边”；数轴穿根法：奇穿偶切．】

它们的单调性、奇偶性与系数的关系要把握住！

a

?a

的几何意义是斜率； 的代数意义是当自变量x 取值增加1个单位时函数值的增量．

的几何意义是：当 >0时，

过双曲线上一点(x ，y)向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积；显然 <0时，是该矩形面积的相反数．

天行健，君子以自强不息。

9

知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！

专题3 函数解析式的求法(B1)

【函数变量是个筐，代数式都可以装（变量替换）．例：对于f (x )=ax 2+bx +c ，

=

+

+c ．】

1．函数解析式的求法：【函数与方程的思想；恒等式的变量替换，如：3x +4=(x +3)+(2x +1)．】

（1）代入法【直接法，适用于①由f(x)求复合函数f,g (x )-，②由f(x +a)、f(x ?a)、f(ax)、f(x

a )等求f(x)；

注意：由分段函数f(x)求复合函数f,g (x )-时，首先需要根据f(x)中对x 的分段，替换为对g(x)的分段．】 （2）凑配法【整体替换法，适用于f (√x +1)、f (1+1

x )、f(x +1

x )、f(x ?1

x )等类型．】；

（3）换元法【如f (3x +1)=2x 2?3x +1．换元法与凑配法可以交替使用，如f (√x +1)，f (1+1

x )等类型．】； （4）待定系数法【告知函数类型，就要设出该函数表达式，如f(x)是一次函数，则可设f (x )= x +b ；然后，

①利用条件得恒等式，由对应项的系数相等完成；②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可．】； （5）解方程组法【给出的方程同时含：

①f(x)与f(?x)，或f(x)与f(a ?x)； 【前者x →?x ，后者x →a ?x 】 ②一奇一偶函数f(x)与g(x)； 【x →?x 】

③f(x)与f(1

x )，或f(x)与f(a

x )； 【前者x →1

x ，后者x →a

x 】

方法：将原方程中的变量进行变量替换得新方程，联立原方程解方程组！】；

（6）图象变换法【根据变换过程写解析式，或根据对称关系、相关关系等用代入法求曲线（或轨迹）方程．】； （7）赋值法【给出可以求出解析式的恒等式时使用．】． 2．二次函数的解析式的三种形式(a ≠0)：

①一般式：y =ax 2+bx +c ；

顶点(?b

2a ，

4ac;b 24a

)．

②顶点式：y =a(x ??)2+ ； 顶点(?， )． ③两根式：y =a (x ?x 1)(x ?x 2)； 顶点(

x 1:x 22

，?a (

x 1;x 22

)2

)． 【提醒1】用待定系数法求二次函数的解析式按照③、②、①的顺序考虑去设解析式较好．

【提醒2】f (x )=ax 2+bx +c =a (x ?x 1)(x ?x 2)：一般式与两根式的相互转化使用，常有利于解决问题．

【已知一个零根x 1时，另一零根x 2可由韦达定理求出．】

【提醒3】与二次函数有关的问题【值域，最值，单调性等】，要学会直接运用对称轴和图象解决！ 3．应用题中求函数解析式：

关键是寻找等量关系，即同一个量用不同方式表达，由此就得到方程（或等式），从而就可得到函数解析式． 注意：①没有给出字母变量的，一定要先设出来．

②要根据实际意义，准确求出函数定义域．

③不能用一个式子表示的，则需要用分段函数表示．（几何背景的应用题常需要用分段函数表示！）

4．缴纳个人所得税也可以画线段示意图分段处理（分段纳税）．(另可建立分段函数模型)

常见函数的平方表示：

,f(x)-2=f 2(x)，(log a x )2=log a 2x ，(sinx )2=sin 2x ，(cosx )2=cos 2x ，(tanx )2=tan 2

x ．

基数免税

3% 10% 20% 3500元 1500元 3000元 4500元 26000元 25% 20000元 25000元

30% 35% 45%

学而不思则罔，思而不学则殆。

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知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！ 补充

1．设f (x )，g(x)均为定义域相同的两段式的分段函数， ①若分段标准一致，则y =f (x )±g(x)，y =f (x )?g(x)，y =f(x)g(x)(g (x )≠0)等函数仍为两段式的分段函数．

②若分段标准不一致，则y =f (x )±g(x)，y =f (x )?g(x)，y =f(x)g(x)(g (x )≠0)等函数均为三段式的分段函数．

2．给出分段函数f (x )={f 1(x )，x ≤a ，

f 2(x )，x >a ．如何解不等式（或方程）：f(

g (x ))≥f(?(x))． 方法一：就g (x )，?(x)与a 的大小关系分四种情形，将两边代出后求解；

方法二：令g (x )=a ，?(x )=a ，解出x 的值，得到（能分段代出两边的）标准后，分段求解．

3．若f (x )=a n x n +a n;1x n;1+?+a 2x 2+a 1x +a 0，且f (t )=0，则f(x)必含有因式(x ?t)；

必要时可以用竖式除法或待定系数法将f(x)因式分解；

若x =x 0为f(x)的极值点，则x =x 0必为方程f (x )=f(x 0)的重根．

4．y =ax 2+bx +c =a (x +b 2a )2+4ac;b 24a 在a 确定的情况下，抛物线的形状（即开口大小）也就随之确定！

5．三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的解析式：【其图象(a >0)的各种情形你知道吗？】

①若已知f (x )=0的三个根为x 1，x 2，x 3，则可设f (x )=a (x ?x 1)(x ?x 2)(x ?x 3)． ②若已知f (x )=0的两个根为x 1，x 2，则可设f (x )=a (x ?x 1)(x ?x 2)(x ?m)．

③若已知f (x )=0的一个根为x 1，则可设f (x )=a (x ?x 1)(x 2+mx +n)．

6．三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 有极值的充要条件是：f′(x )=3ax 2+2bx +c =0有两个不等实根．

【由f′(x )=3ax 2+2bx +c =3a (x ?x 1)(x ?x 2)的图象可知．】

无参函数先定性，定性之后再前行！ 定性：是指先确定函数定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，图象等性质；然后再结合性质去解题.

a

a 1 a 2

学而时习之，不亦说乎！

11

知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！ 专题4 值域，最值(B1)

1．观察法：主要针对一些简单函数，或作简单变形后观察，即可求出值域或最值．

2．配方法（对称轴法）：对于型如f (x )=ax 2+bx +c ，x ∈,m ，n-的形式的二次函数，利用配方法或直接利用对

称轴x =?b 2a 完成．可以结合图象完成求值域或最值．【配方其实也是为了找出对称轴！】

3．换元法：代数换元法，三角换元法．运用换元法解题时要注意新元的取值范围和整体置换的策略．

①y =ax +b + √cx +d ，令t =√cx +d ．（注意：该函数有时可直接快速判定单调性！）

②y =a f(x)，令u =f(x)，则y =a u ； ③y =log a f(x)，令u =f(x)，则y =log a u ；

④y =f(a x )，令t =a x ，则y =f(t)； ⑤y =f(log a x)，令t =log a x ，则y =f(t)；

⑥令a x +a ;x =t ，则a 2x +a ;2x =t 2?2(t ≥2)； ⑦令√1?x +√1+x =t ，则√1?x 2=

t 2;22． ⑧y =ax +b ±2?x 2x =csinα，α∈,?π2，π2-（或令x =ccosα，α∈,0，π-）．

⑨x ∈R 时，令x =tanα，α∈(?π2，π2)； ⑩令sinx +cosx =t ，则sinxcosx =t 2;12．

4．图象法（数形结合法）： (直观实用！)■

①一些简单函数及分段函数的求值域或最值常利用图象完成．

②求f (x )=max*f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )+或f (x )=min*f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )+的值域，可先分别作出其中三个函数： f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )的图象，再利用它们的交点分段确定f(x)的图象，从而确定值域或最值．

③根据函数表达式的几何意义【分式→斜率？平方和（的算术根）→距离？等】，作出图象，求出值域或最值．

5．单调性法：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域或最值． (优先考虑！)■

6．有界性法：含x 2，|x |，√x ，x (x ∈(m ，n ))，a x ，sinx ，cosx 的函数，若可用y 表示它们，则常利用其有界性来

求值域或最值．

7．基本（均值）不等式法：利用a:b 2≥√ab 或a:b:c 3≥√abc 3(一正二定三相等)等公式来求值域或最值，一定要看等

号能否成立，否则用数形结合法、单调性法完成，如y =x +k x ( >0)． 【还要注意柯西不等式的应用．】

8．判别式法：用于y =f (x )=a 1x 2:b 1x:c 1

a 2x :

b 2x:

c 2．（a 12+a 22≠0，分子、分母无公因式，且x 无人为限制．）

先化成(a 2y ?a 1)x 2+(b 2y ?b 1)x +(c 2y ?c 1)=0，再运用Δ≥0求值域（但要注意讨论二次项系数为0的情况）． 附：若含参数的函数f (x )=a 1x 2:b 1x:c

1a 2x :b 2x:c 2的值域为,a ，b-，求所含参数的值． 方法①：利用判别式法；方法②：利用a ≤a 1x 2:b 1x:c

1a 2x 2:b 2x:c 2≤b 恒成立且等号也可成立． 9．导数法：通过求导研究函数的单调性，确定极值与端点值，从而得出值域或最值． (万能方法！)■ ⒑ 分类讨论法：对于含参数的函数求值域或最值，最常用的方法是数形结合、分类讨论．通常先作出函数的一般

图象（形状），再由函数图象左右移动悟出讨论标准！二次函数f (x )=ax 2+bx +c ，x ∈,m ，n-的最值问题 （对称轴含参数问题、区间含参数问题）是最典型的．注意是否需要讨论开口方向，

①对称轴x =?b 2a 与x 轴上区间,m ，n -的两端点m ，n 的三种位置关系；

②对称轴x =?b 2a 与x 轴上区间,m ，n-的中点m:n 2的两种位置关系；

同理：对于函数f (x )= |x ?a|+b ，x ∈,m ，n-的最值问题（对称轴含参数问题），可参照上述思路解决．

1．值域必须是用集合或区间的形式表示！ 2．集合*y|y =f (x )+的含义：即函数y =f(x)的值域．

不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。

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知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！

补充

1．求函数值域问题，从方程角度讲，就是关于x 的方程．．在定义域内有解．．，从而求参数y 的取值范围问题！ 求函数值域问题，从图象角度讲，就是函数图象上每一点的纵坐标．．．

组成的集合！ 2．求函数值域与求最值方法是相同（通）的，既可求出值域而确定最值，也可求出最值而确定值域． 3．可学会使用的符号：①f (x )max =f (p )，f (x )min =f (q )；

②f (x )max =max{f (p )，f (q )}=?，f (x )min =min{f (p )，f (q )，f (r )}=?． 4．下面几种分式函数求值域要熟练： ①y =mx:n

(ax:b)2（令t =1

ax:b 倒数换元法）， ②y =√mx:n

ax:b (令t =√mx +n )，

③y =

ax 2:bx:c mx:n 或y =mx:n

ax :bx:c (令t =mx +n )． 【分式看作斜率，则可用数形结合法．】

先化简(换元、化繁分式、分子常数化)，再用均值不等式或单调性法或导数法．（注意双勾函数的性质的运用．） 5．求y =m √x ?c +n √d ?x 最值的方法：

①导数法；②mn <0时单调性法；③向量法、柯西不等式、三角换元法；④m =n 时，平方法． 6．求高次分式函数f (x )=a 1x 3:b 1x 2:c 1x:d

1a 2

x 3:b 2

x 2:c 2

x:d 2

的最值，也可考虑先分子降次、分子常数化．

7．若a ?*y|y =f (x )，x ∈A+，则f (x )=a 在集合A 中无解！ 例：2?*y|y = x 2?x +1+，求 的取值范围． 8．y =|f (x )|+g(x)：变分段函数、数形结合求值域． 例：|x ?m +5|+x ≥1恒成立，求m 的取值范围． 9．已知f (x )=|x ?a |+1，x ∈,0，1-，其中常数a ∈,0，1-，求f(x)的最大值．【先作图，再由图悟出讨论标准！】 【答案：7．

4；

8．m ≥6；

9．当0≤a ≤1

2时，f (x )max =f(1)；当1

2

数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合千般好，隔裂分家万事休．——华罗庚

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知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！

专题5 函数图象及其变换(B1)

1．轴对称(自对称)：

①f (a +x )=f (a ?x )?y =f(x)图象关于直线x =a 对称； ②f (a +x )=f (b ?x )?y =f (x )图象关于直线x =a:b 2

对称．2．中心对称(自对称)：

①f (a +x )+f (a ?x )=0?函数y =f(x)图象关于点(a ，0)成中心对称； ②f (a +

x )+f (a ?x )=2b ?函数y =f(x)图象关于点(a ，b)成中心对称； ③f (a +x )+f (b ?x )=c ?函数y =f(x)图象关于点(

a:b 2，c

2)成中心对称． 3．两个函数图象间的变换及函数关系：【会根据变换写解析式】

平移变换：①y =f (x )左右平移a 个单位

→ 左加右减

y =f (x ±a ) (a >0)； ②y =f (x )上下平移b 个单位

→ 上加下减

y =f (x )±b (b >0)；

翻折变换：③y =f (x )翻折变换 → 下往上翻

y =|f (x )|； ④y =f (x )翻折变换

→ 作右翻左

y =f (|x|)(偶函数)；

伸缩变换：⑤y =f (x ) 伸缩变换 → 沿横轴伸缩1

ω

倍

y =f (ωx )； ⑥y =f (x ) 伸缩变换 → 沿纵轴伸缩 A 倍

y =Af (x )． 4．两个函数图象间的对称性及函数关系：【会根据对称性写解析式】 ①{

y =f (x )，

y =f (?x )．关于直线x =0(即y 轴)对称； ④{y =f (x )，

y =f (2a ?x )．关于直线x =a 对称；

②{

y =f (x )， y =?f (x )．关于直线y =0(即x 轴)对称； ⑤{y =f (a +x )，y =f (b ?x )．关于直线x =b;a

2对称．

③{

y =f (x )，

y =?f (?x )．关于原点对称； ⑥{y =f (x )，

y =2b ?f (2a ?x )．关于点(a ，b)对称；

5．熟记一些基本函数图象，便于以此为基础进行图形变换，作出相关的函数图象，从而进一步解决有关问题． ①y =|x |（偶函数）； ②y =a |x|(偶函数)； ③y =log a |x|(偶函数)； ④y =x 3(奇函数)． 6．含绝对值符号的函数的图象，如果不能由图形变换得到，则采用零根分段去绝对值法变分段函数作图！ 7．①若将函数y =f(x)的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数y =f (x ?a )+b 的图象； ②若将曲线F (x ，y )=0的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线F (x ?a ，y ?b )=0的图象． 8．求与已知曲线相关联的曲线方程问题，实质上是利用代入法转化为求点的轨迹问题；

9．证明一个函数图像的自身对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（或对称轴）的对称点仍在图像上．

①证明y =f (x ?a )+b 关于点(a ，b)成中心对称的一种简便方法：先证明y =f(x)是奇函数，即关于原点对称，再利用平移变换就可说明y =f (x ?a )+b 关于点(a ，b)成中心对称．

②证明y =f (x ?a )关于直线x =a 成轴对称的一种简便方法：先证明y =f(x)是偶函数，即关于y 轴对称，再利用平移变换就可说明y =f (x ?a )关于直线x =a 成轴对称． ⒑ 证明图像C 1与C 2的对称性，需证两方面：

①证明C 1上任意点关于对称中心（或对称轴）的对称点仍在C 2上；

②证明C 2上任意点关于对称中心（或对称轴）的对称点仍在C 1上．（表述上用“同理可证”即可．）

由形到数易，由数到形难；难点一突破，思路如涌泉．

14

知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！

快速作出常用函数的图象（利用好函数性质，并抓住关键点、关键线．）

【会读图】读出定义域，值域，最值，极值，零点，解集，单调性，奇偶性（对称性），周期性，有界性，渐近线． 【会作图】熟练掌握一些基本函数图象．作图时，抓住关键点（端点、最值点、极值点、零点、与y 轴的交点等），

关键线（对称轴、渐近线），利用好函数性质（奇偶性、单调性、周期性等）．

1．反比例型函数：y =ax:b cx:d (c ≠0，a c ≠b

d )分子常数化

→ y =k

x;x 0

+y 0的图像是双曲线，其对称中心为点(x 0，y 0)，

其图象可由y =k

x 变换得到．【也可根据对称中心(x 0，y 0)，先画出两条渐近线，再根据 的符号画出双曲线！】 事实上，x 0=?d

，y 0=a

c ；该函数定义域为*x|x ≠?d

c +，值域为*y|y ≠a

c +．

2．y =x +k

x ( >

0)(俗称双勾函数)，见上第四图；【更一般形式的双勾函数：y =ax +b

x (a >0，b >0)】 注意区别于y =x ?k

x ( >0)的图象，见上第三图．

3．掌握f (x )=a 1|x ?x 1|+a 2|x ?x 2|+?+a n |x ?x n |+b 的图象．用零根分段去绝对值法变分段函数，显然每段

均为一次函数或常数．因此，图象特征为：由两条射线和一条(或几条)线段组成，线段都在中间且依次相连，两条射线在两端，线段的各个端点横坐标就是各绝对值的零点．画图时可以先在x 轴上标出x 1，x 2，?，x n ，再确定线段的各个端点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，?，(x n ，f (x n ))，两端射线的起伏可以通过取点而确定．

12②f (x )=|x ?x 1|?|x ?x 2|+b ；

③f(x)= |x ?a |+b 的图象：顶点坐标为(a ，b)， 当 >0时，正∨字形；当 <0时，倒∨(即∧)字形；

4．如何作出f (x )=max*f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )+或f (x )=min*f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )+的图象？

在同一坐标系中先分别作出函数f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )图象，再利用它们的交点分段确定f(x)的图象． 5．某些函数的图象可以通过对解析式变形，变形为曲线方程来判断．

如：f (x )=1+√4?x ?32?y =1+√4?(x ?3)2?(x ?3)2+(y ?1)2=4(y ≥1)，其图象为半圆． 6．研究函数综合问题：如果能确定函数单调性，奇偶性，周期性，渐近线，再结合零点，极值、最值、端点值，那么画出的函数图象是比较准确的了，这样就更便于我们寻找解题思路，从而解决问题．切记，切记！ 7．y =1

f(x)的图象：若?x 0∈R ，使得f (x 0)=0，则x =x 0为y =1

f(x)图象的渐近线．

你能作出y =

1lgx

，y =

1sinx

等函数的图象吗？

00

锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。

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知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！ 专题6 单调性(B1)

1．定义：对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2．

①若x 1

②若x 1f(x 2)，称f(x)为D 上减函数．

【说明】单调函数的图象不一定是连续的曲线，如：某些分段函数可以在定义域上为单调函数．

2．写出函数的单调区间时，正确的表示方法是：（在单调性相同的）多个单调区间之间用逗号隔开的方式来书写．

绝对不能出现并集符号“?”．确定函数的单调性必须指明单调区间（可充分利用图象）．

3．用单调性定义证题的步骤：①取值，②作差变形（变形务必彻底，最后形式为各个因式之积商），③定号．

?(?∞，a)→x 1【另外】当f (x )≠0时可通过：①取值，②作商变形，③定号，来证明单调性．

4．性质：①若f(x)为增函数，则f (x 1)x 2．

常结合奇偶性解抽象函数不等式，化得具体的不等式（组），具体应用时还应要求x 1，x 2在定义域内！

【转化时，先要转化（写）完整，然后再解不等式组；又如求函数定义域的题，也应如此！】

5．设x 1，x 2∈,a ，b-，且x 1≠x 2，【必要时要规定x 1

①

f(x 1);f(x 2)x 1;x 2>0?(x 1?x 2),f (x 1)?f (x 2)->0?f(x)在,a ，b-是增函数?f′(x )≥0恒成立（等号不能漏掉！） ②

f(x 1);f(x 2)x 1;x 2<0?(x 1?x 2),f (x 1)?f (x 2)-<0?f(x)在,a ，b-是减函数?f′(x )≤0恒成立（等号不能漏掉！） ③

f(x 1);f(x 2)x 1;x 2>c ?f (x 1)?cx 1f (x 2)?dx 2?y =f (x )?dx 在,a ，b-是减函数?f′(x )≤d 在,a ，b-恒成立．

⑤c

x 1;x 2

①定义法【用于具体函数，或满足一个恒等式的抽象函数，或由一个函数的单调性推出另一个函数的单调性】 ②推理法【判断具有奇偶性的函数在对称区间上的单调性．常要用到单调性定义和不等式性质．】

③快速判断法【结构要整理好：分式型函数采取分子常数化，或化繁分式，或分子、分母有理化等手段整理．】 ④图象法【直观实用！】 ⑤复合函数法【同增异减！或大同小异！】 ⑥导数法【制胜法宝！】

7．快速判定函数单调性：设f (x )， g(x)具有单调性（常数 >0），则

①√n ， f(x)与f(x)有相同的单调性；【但要注意√f(x)n （n 为偶数时）的单调区间的变化．

】 ②? f(x)，1f(x)与f(x)有相反的单调性；【但要注意1

f(x)（当存在x 0使得f (x 0)=0时）的单调区间的变化．】 ③若f (x )，g(x)都是区间D 上的增（减）函数，则F(x)=f (x )+g(x)在区间D 上也是增（减）函数．

④设f (x )，g(x)都是区间D 上的函数值恒正的增（减）函数，则F(x)=f (x )?g(x)在区间D 上也是增（减）函数．

8．讨论二次函数的单调性（或值域），总是与对称轴有不解之缘，要时刻考虑对称轴的位置．

9．①奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；②偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．

⒑ 解决函数问题起着非常重要的作用．

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

读书百遍，其义自见。

16

知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！ 补充

1．由y =f (u )，u =g (x )得到y =f(g(x))，则y =f(g(x))就称为y =f (u )，u =g(x)的复合函数．

2．复合函数的单调性（如右表）：“同增异减”．

（还可用单调性定义研究y =f(g(x))的单调性．）

（还可用导数法直接研究y =f(g(x))的单调性！） 2.1当外层函数y =f (u )的单调性单一时，应重点研究内层函数u =g(x)的单调性，最后针对内层函数u =g(x)的单

调区间复合．【设u =g(x)的定义域为区间A ，值域为区间B ，若y =f(u)在区间B 上为减函数，u =g(x)在区间A 上为减函数，则y =f(g(x))在区间A 为增函数．可以用单调性定义证明这个结论！其它三种情形同理．】

2.2当外层函数y =f (u )的单调性多样时，应先研究外层函数y =f (u )的单调性，然后由u 的每一个单调范围解出对

应的x 的范围并确定在此范围下g(x)的单调性，最后复合． 【其实此时用导数法更为简单！】

2.3能根据y =f (u )，u =g (x )，y =f(g(x))这三个函数中任意两个函数的单调性，确定第三个函数的单调性．

2.4“同增异减”：①对于y =a f(x)，令u =f(x)，则y =a u ； ②对于y =log a f (x )，令u =f(x)，则y =log a u ，

这样就变成复合函数来研究单调性问题．

2.5“大同小异”：对于y =a f(x)，或y =log a f (x )， ①大同：当a >1时，y =a f(x)(或y =log a f (x ))的增减性与y =f(x)的增减性相同，

②小异：当0

函数问题主要表现为以下方面

?求定义域，?求解析式，?求值、值域或最值，?作图或利用图象（含变换），?确定单调性，?判断奇偶性， ?比较大小，?解方程，?解不等式，?分段函数、复合函数、抽象函数问题，⑴求定点、定值，⑵含参数分类讨论问题，⑶恒成立、有解、无解求参数取值范围问题，⑷零点问题，⑸函数的应用，⑹函数综合题．

在2.4与2.5中，对于y =log a f (x )，

都应该在f (x )>0条件下研究．

黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。

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知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！ 专题7 奇偶性、对称性(B1)

1．奇偶性定义：先注意定义域是否关于原点对称，再比较f(?x)与f(x)的关系．

【奇函数、偶函数定义域一定关于原点对称．】

?f (?x )=f (x )?f(x)为偶函数?f(x)的图象关于y 轴对称

【?f (?x )?f (x )=0?

f(;x)f(x)=1】； ?f (?x )=?f (x )?f(x)为奇函数?f(x)的图象关于原点对称 【?f (?x )+f (x )=0?

f(;x)f(x)=?1】． 【注意】①奇函数f (x )的定义域若包括0，则有f (0)=0． ②f(x)为偶函数?f (x )=f(|x|)，常用于解（抽象函数型）不等式或方程． ③判断函数奇偶性有时还需先在定义域内对函数解析式化简或作适当变形．

④分段函数可以分步判断，或整体代入后判断，（也可以考虑合二为一后判断．）

⑤若没有奇偶性，则可通过取反例证明，如：f (?2)≠±f(2)．

2．①偶函数利用f (x )=f (?x )=?，奇函数利用f (x )=?f (?x )=?，

求具有奇偶性的分段函数在对称区间上的解析式．

②偶函数利用f (x )=f(|x|)，奇函数利用?f (x )=f(?x)，结合单调性解与抽象函数有关的不等式或方程． 或对偶函数型不等式f (x 1)

3．含参数的函数具有奇偶性，一般要先利用奇偶性求出参数！

①用定义f (?x )=f (x )，或f (?x )=?f (x )去转化求解（利用恒成立或比较系数完成）；

②对定义f (?x )=f (x )，或f (?x )=?f (x )中的x 取具体值而得方程（组），然后解方程（组）．

说明：方法②用于解答题中，则需将所求得的值代入函数，验证函数确实为奇函数或偶函数．

4．两段式的分段函数若具有奇偶性，则其构造模式为（注意：必要时可合二为一！）：

奇函数：y ={f (x )， x >0，?f (?x )，x <0．

【=|x|x f (|x |)】； 偶函数：y ={f (x )， x >0，

f (?x )，x <0． 【=f(|x |)】． 【两段式的分段函数，只有当上下两段只有“+，?”的符号差异时，则才可能具有奇偶性！】

5．①y =f (x +a )为奇函数?y =f(x)的图象关于点(a ，0)成中心对称；

②y =f (x +a )为偶函数?y =f (x )的图象关于直线x =a 对称．

可借助令g(x)=f(x +a)后根据奇偶性转化或根据图象变换，来理解这两个结论！

【①的证明：∵g(x)是奇函数，∴g (?x )=?g(x)，即f (?x +a )=?f(x +a)，

又即f (a ?x )+f (a +x )=0，∴y =f(x)的图象关于点(a ，0)成中心对称．

②的证明：∵g(x)是偶函数，∴g (?x )=g(x)，即f (?x +a )=f(x +a)，

又即f (a ?x )=f (a +x )，∴y =f(x)的图象关于直线x =a 对称．】

这两条一定要掌握！ 常用于对数型函数的

奇偶性的判断或证明．

业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。

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知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！ 补充

1．轴对称（自对称）：

①f (a +x )=f (a ?x )?y =f(x)图象关于直线x =a ②f (a +x )=f (b ?x )?y =f (x )图象关于直线x =

a:b

2对称．2．中心对称（自对称）：

①f (a +x )+f (a ?x )=0?函数y =f(x)图象关于点(a ，0)成中心对称；

②f (a +x )

+f (a ?x )=2b ?函数y =f(x)图象关于点(a ，b)成中心对称；

③f (a +x )+f (b ?x )=c ?函数y =f(x)图象关于点(a:b

2，c 2)成中心对称．3．若f(x)图象关于直线x =a 或点(a ，0)对称，且f(x)有n 个零点x 1，x 2，?，x n ，则x 1+x 2+?+x n =na ．

若f (x )，g(x)的图象都关于直线x =a 对称，且它们有n 个交点，则交点的横坐标之和为na ．

若f (x )，g(x)的图象都关于点(a ，b)对称，且它们有n 个交点，则交点的横坐标之和为na ，纵坐标之和为nb ．

【上面这些结论的推导，都需要运用中点坐标公式．】

4．可以利用f (x )与f ′(x)，探索f(x)的对称轴x =a 或对称中心(a ，f (a ))．

性质：若函数y =f(x)是偶函数，则y =f′(x)是奇函数；若函数y =f(x)是奇函数，则y =f′(x)是偶函数．

5．奇函数、偶函数定义域关于原点对称．一般地，函数关于点(a ，b)成中心对称或关于直线x =a 成轴对称，则定

义域关于直线x =a 对称或点(a ，0)对称．

数学思想方法

1．函数与方程的思想：

（1）函数思想：用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题．

（函数的单调性、奇偶性、零点等能否确定?）

（2）方程思想：转化为方程或方程组去分析问题和解决问题．如含参数的方程的讨论、曲线与方程的相互转化．

2．数形结合的思想：是一种非常实用的思想方法．

（求单调区间、值域、解集、零点、判断奇偶性等都可充分利用图象．）

（1）由形到数易，由数到形难；难点一突破，思路如涌泉．

（2）数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合千般好，隔裂分家万事休．

3．分类讨论的思想（分类与整合的思想）：整合（即总结）时需要注意下列情形

（1）对参数a 分情况，解关于x 的不等式：最后结果不能并，只能对参数a 分情况，将x 的解集对应列出；

（2）对变量x 分情况，解关于x 的不等式：最后结果必须并，如解与分段函数有关的不等式．

（3）关于x 的不等式恒成立，求参数a 的取值范围：

若需对x 分情况，才能对应求出参数a 的取值范围，则最后结果要取交集．

4．化归与转化的思想：几乎无处不在．复杂问题简单化，较难问题容易化，陌生问题熟悉化．

思路未定，化简先行；已知推导，未知转化；前后联系，问题突破．

腹有诗书气自华。

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知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！ 专题8 周期性(B4)

1．若函数f(x)对定义域内的任意x 满足：f (x +T )=f(x)，则T 为函数f(x)的周期．

2．你能熟练地推出下列函数的周期吗？【变量替换，等量代换！】还要注意这些式子本身的应用．

①f (x +a )=1f(x)，则f(x)的周期T =2a ； ②f (x +a )=f(x ?a)，则f(x)的周期T =2a ； f (x +a )=?1f(x)，则f(x)的周期T =2a ； f (x +a )=?f(x)，则f(x)的周期T =2a ； f (x +a )=λf(x)，则f(x)的周期T =2a ；(λ为常数) f (x +a )+f (x )=b ，则f(x)的周期T =2a ；

③若f(x)关于点(a ，0)，(b ，0)对称，则f(x)是周期函数，且T =2|a ?b|；

④若f(x)图象有两条对称轴x =a ，x =b ，则f(x)是周期函数，且T =2|a ?

⑤若f(x)关于点(a ，0)对称，且关于x =b 对称，则f(x)是周期函数，且T =4|a ?b|；

【若一个函数f(x)具有?对称性Ⅰ：中心对称或轴对称；?对称性Ⅱ：中心对称或轴对称；?周期性中的任意两个条件，则第三个也必然成立．即在???中可以“知二求一”．在客观题中对于③④⑤要学会运用图象迅速观察出周期．】

⑥f (x +a )=11;f(x)，则f(x)的周期T =3a ；【先推出f (x +2a )=1?1f(x)，则f (x +3a )=f(x)．】

⑦f (x +a )=1:f(x)1;f(x)，则f(x)的周期T =4a ；【先推出f (x +2a )=?1f(x)，则f (x +4a )=f(x)．】

⑧f (x +2a )=1:f(x:a)

f(x)，则f(x)的周期T =5a ；【直接证明比较麻烦，可用赋值法转化求数列的周期．】

⑨f (x +2a )=f (x +a )?f(x)，则f(x)的周期T =6a ；【先推出f (x +3a )=?f (x )，则 f (x +6a )=f (x )．】 ⑩有时可由两个函数型不等式联立推出周期．如：f (x +10)≥f (x )，f (x +1)≤f (x )?f (x +1)=f(x)．

3．当x =n ∈N :，a ∈N :时，若a n =f(n)，则由①~⑩可推出数列*a n +的周期．

4．应用：利用f (x )=f(x + T)( ∈Z)求函数值和某个指定区间上的函数解析式，或用于数形结合．

5．函数f (x )={g (x )， x ≤0，

f (x ?T )，x >0．的图象如何作？先作出x ≤0时，f (x )=g(x)的图象，再取(?T ，0-上的图象，

将它向右每次平移T 个单位，即得到(0，T-，(T ，2T-， (2T ，3T-，…，各个区间上的图象．

补充

1．①若f (x +T )=f (x )+B(T ，B 为非零常数)，则称f(x)为“周期性”阶梯函数．

迭代：f (x )=f (x ?T )+B =f (x ?2T )+2B =?=f (x ?nT )+nB ．

②若f (x +T )=Af (x )(T ，A 为非零常数)，则称f(x)为“周期性”倍增函数．

迭代：f (x )=Af (x ?T )=A 2f (x ?2T )=?=A n f(x ?nT)．

③若f (x +T )=Af (x )+B(T ，A ，B 为非零常数)，则称f(x)为“周期性”倍增阶梯函数．

迭代：f (x )=Af (x ?T )+B =A 2f (x ?2T )+AB +B =?=A n f (x ?nT )+(A n;1+A n;2+?+A +1)B ．

2．若f (ωx )=Af (x )，则称f(x)为“移动分段放大（或伸缩）”函数．

①利用f (x )=Af (x ω)=?=A n f(x ω)或f (x )=1A f (ωx )=?=1A f(ωn x)可求函数值或分段求解析式； ②利用f (ωx )=Af(x)或f (x )=1A f (ωx )可分段画出下列区间上的图象：

…，(ω?2x 0，ω?1x 0-，(ω?1x 0，x 0-，(x 0，ωx 0-，(ωx 0，ω2x 0-，(ω2x 0，ω3x 0-，?，

【相邻区间上的图象，本质上是伸缩变换：{x ′=ωx ，y ′=Ay ．

因此每个区间上的曲线类型不变！】注意每个“周期”上f(x)的图象特点．

天下事有难易乎？为之，则难者亦易矣；不为，则易者亦难矣。

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专题9 指数与指数函数(B1)

1．若x n =a ，则x 叫做a 的n 次方根． （1）当n 为奇数时，x =√a n ；

（2）当n 为偶数时，x =±√a n ；

（n >1，n ∈N ?） 2．根式的性质：①(√a n )n =a ， ②√a n n ={

a ， 当n 为奇数时；|a |，当n 为偶数时． （n >1，n ∈N ?） 3．正数的正分数与负分数指数幂的意义： ①a m

n =√a m n

； ②a ;m

n =

1

a m n

=

√a m

n

．(a >0，m ，n ∈N ?，且n >1)

4．正数的指数幂的运算性质：（a >0，b >0，m ，n ∈R ）

①a m ?a n =a m:n ， ②(a m )n =a mn ， ③(ab )n =a n ?b n ； ④a m

a n =a m;n ， ⑤(b

a )n =

b n

a n ， ⑥√a

b n =√a n ?√b n

． 【说明】（1）当a ≤0，b ≤0时，这些运算性质不一定适用．

（2）化简技巧：①b a =(a

b );1；

②若√p ±2√q =√(√a )2+(√b )2±2?√a ?√b ，则√p ±2√q =√a ±√b(a >b)．

（3）因式分解：①a ?b =(a 1

2)2?(b 1

2)2=(√a ?√b )(√a +√b)，

②a ±b =(a 1

3)3

±(b 13)3

=(a 13

±b 13

)(a 23

?a 13

b 13

+b 23

)．

（4）根据正数的指数幂的运算性质，上升到抽象函数：f (x +y )=f (x )?f(y)，f (x ?y )=f(x)

f(y)．

5．指数函数y =a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质：见右图 【通过图象掌握性质：定义域，值域，定点，单调性．】 6．与指数函数有关的奇函数、偶函数，及其单调性： 奇函数：①f (x )=

a x ;a ?x

2

，

【单调性：变形为f (x )=1

2,a x +(?1

a )-可快速判断单调性】 ②f (x )=a x ;1

a x :1（同乘）； 【单调性：变形为f (x )=

(a x :1);2a x :1

=1?2

a x :1可快速判断单调性】

偶函数：③f (x )=a |x|，【还要掌握③的图象！】

④f (x )=

a x :a ?x

2

．

7．比较大小的方法：①利用单调性；②利用中间量0，1或构造的中间量（如指数幂a a 等）．

8．注意a 1

2

?a ;

12，a 12

+a ;

12

，a ?a ;1，a +a ;1，a 2?a ;2，a 2+a ;2这些代数式之间的联系：平方法、换元法． 9．求值问题：对于含多个式子的求值，有些单独可求出，有些需组合算出，有些正负抵消，有些约分约掉．

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

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专题10 对数与对数函数(B1)

1．如果a x =N(a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ．

2．a x =N ?x =log a N(a >0，且a ≠1)． 【log 10N =lgN ，log e N =lnN ，其中e =2.71828?】 ①log a 1=0； ②log a a =1； ③a log a N =N ； ④log a a x =x ． 3．对数的运算性质(a >0，且a ≠1，M >0，N >0)： （1）log a (M ?N )=log a M +log a N ；

（2）log a M

N =log a M ?log a N ； 【log a M

N =log a (N

M );1=?log a N

M 】 （3）log a M n =nlog a M ． 【log a 1

M =?log a M ．】 【注意】①log a x 2≠2log a x ，正确的是：log a x 2=2log a |x|．

②对常用对数式的化简，要充分利用lg2+lg5=1． ③根据对数的运算性质，上升到抽象函数：

f (xy )=f (x )+f(y)，f (x

y )=f (x )?f(y)，f (x n )=nf (x )，f (1

x )+f (x )=0．

4．换底公式：log a N =log c N log c a ；(其中，a >0，且a ≠1，c >0，且c ≠1)

推论：①log a n b m =

m

n

log a b ； ②log a n b n =log a b ； ③log a b =1

log b

a ． 5．对数函数y =log a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质：见右图． 【通过图象掌握性质：定义域，值域，定点，单调性】 6．与对数函数有关的奇函数、偶函数，及其单调性： 奇函数：①f (x )=log a (√x 2+1 +x)（分子有理化），

【单调性：先判断x ≥0时的单调性，而后由奇函数性质得知R 上的单调性】 ②f (x )=log a 1;x

1:x （利用b

a =(a

b );1或利用展开）； 【单调性：变形为f (x )=log a

2;(x:1)1:x

=log a (2

1:x ?1)可判断单调性】

偶函数：③f (x )=log a |x|，【还要掌握③的图象！】

④f (x )=log a ,(1?x)(1+x)-．

7．①y =log a x 与y =a x 互为反函数；

②互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称，反之亦然． ③点A(a ，b)与A ′(b ，a)关于直线y =x 对称．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/puaq.html