高二数学（理）暑假作业

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高二数学（理）暑假作业 1，解三角形练习题

1. △ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为( )

A直角三角形 B等腰直角三角形C等边三角形 D等腰三角形

2. 在△ABC中，b=3，c=3，B=300，则a等于（ ） A．3 B．123 C．3或23 D．2 3. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ）

A．a=7，b=14，A=300有两解 B．a=30，b=25，A=1500有一解 C．a=6，b=9，A=450有两解 D．a=9，c=10，B=600无解

4. 已知△ABC的周长为9，且sinA:sinB:sinC?3:2:4，则cosC的值为 （ ）

A．?1B．1C．?224 4 3 D．

3 5. 在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则a?b?csinA?sinB?sinC等于( )

A．33 B．

239393 C．833 D．

2 6. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则AB2AC的值为( ) A．79

B．69 C．5

D．-5

7.关 于x的方程x2?x?cosA?cosB?cos2C2?0有一个根为1，则△ABC一定是（

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形

8. 设m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m的取值范围是( ) A.0＜m＜3

B.1＜m＜3

C.3＜m＜4

D.4＜m＜6

9. △ABC中，若c=a2?b2?ab，则角C的度数是( ) A.60°

B.120°

C.60°或120° D.45°

10. 在△ABC中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A的取值范围是( ) A.0°＜A＜30° B.0°＜A≤45° C.0°＜A＜90° D.30°＜A＜60° 11.在△ABC中，tanA?sin2B?tanB?sin2A，那么△ABC一定是 （ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等腰三角形或直角三角形

12. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）

(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形

） -

(C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定

13.在△ABC中，有等式：①asinA=bsinB；②asinB=bsinA；③acosB=bcosA；④中恒成立的等式序号为______________

14. 在等腰三角形 ABC中，已知sinA∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC的周长是 。 15. 在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于________.

a2?b2?c216. 已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积S?，则角C=____________．

4ab?c. 其?sinAsinB?sinC17. 已知在△ABC中，A=450，AB=6，BC=2，求解此三角形.

18. 在△ABC中，已知a-b=4,a+c=2b，且最大角为120°，求△ABC的三边长.

19. 在锐角三角形中，边a、b是方程x2－23 x+2=0的两根，角A、B满足2sin(A+B)－3 =0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积.

cosAb4

20. 在△ABC中，已知边c=10, 又知 = = ，求a、b及△ABC的内切圆的半径。

cosBa3

7

21.在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c= ，且tanA+tanB=3 tanA2tanB

2－3 ，又△ABC的面积为S△ABC=

33

，求a+b的值。 2

?． 322. 在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c?2，C?⑴．若△ABC的面积等于3，求a，b；

⑵．若sinC?sin(B?A)?2sin2A，证明：△ABC是直角三角形．

2，数列练习题

1．已知两数的等差中项为10，等比中项为8，则以两数为根的一元二次方程是（ ）

A．x2+10x+8=0 C．x2+20x+64=0

B．x2－10x+64=0

D．x2－20x+64=0

2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个

可繁殖成（ ）A．511个

B．512个

12C．1023个 D．1024个

a3?a4等于（ ）

a4?a53．等比数列{an}，an>0，q≠1，且a2、a3、a1成等差数列，则

A．

5?1 2 B．

5?1 2 C．

1?5 2 D．

5?1 24．已知数列2、6、10、14、32??那么72是这个数列的第（ ）项（ ）

-

A．23 B．24 C．19 D．25

5．等差数列{an}中，S9=－36，S13=－104，等比数列{bn}中，b5=a5，b7=a7，则b6等于（ ）

A．42

B．－42

C．±42

D．无法确定

6．数列{an}前n项和是Sn，如果Sn=3+2an（n∈N*），则这个数列是（ ）

A．等比数列

B．等差数列 C．除去第一项是等比

D．除去最后一项为等差

7．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a12a22a32?2a30=230，则a32a62a92?2a30

等于（ ）A．210

B．220

C．26

D．215

8．若Sn是{an}前n项和且Sn=n2，则{an}是（ ）

A．等比但不是等差 C．等差也是等比

B．等差但不是等比 D．既非等差也非等比

9．a、b、c成等比数列，则f（x）=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数是（ ）

A．0

B．1

C．2

D．不确定

10．一房地产开发商将他新建的20层商品房的房价按下列方法定价，先定一个基价a元/m2，再据楼层

的不同上下浮动，一层价格为（a－d）元/m2，二层价格a元/m2，三层价格为（a+d）元/m2，第i层（i≥4）价格为［a+d（）i－3］元/m2．其中a>0，d>0，则该商品房的各层房价的平均值为（ ）A．a元/m2

23

23C．a+［1－（）17］d元/m2 11．已知an?

A．

12［（1－（）17）d元/m2

31012D．a+［1－（）18］d元/m2

310B．a+

1n?N*?，则a1?a2???a10的值为（ ） ?n(n?1)9 10B．

9 11C．

10 11D．1

（ ）

12．在数列{an}中，a1=2,an+1=2an+2,则a100的值为

A．2100-2 B．2101-2 C．2101 D．215

13．一条信息，若一人得知后，一小时内将信息传给两人，这两人又在一小时内各传给未知信息的另外两人．如此下去，要传遍55人的班级所需时间大约为_______小时．

9n(n?1)14．已知an=（n∈N*），则数列{an}的最大项为_______． n1015．一个五边形的五个内角成等差数列，且最小角为46°，则最大角为_______．

16．在数列{an}中，已知a1=1，an=an－1+an－2+?+a2+a1．（n∈N*，n≥2），这个数列的通项公式是_______． 17．数列3、9、?、2187，能否成等差数列或等比数列？若能．试求出前7项和．

18．已知三个实数成等比数列，在这三个数中，如果最小的数除以2，最大的数减7，所得三个数依

次成等差数列，且它们的积为103，求等差数列的公差．

19．已知y=f（x）为一次函数，且f（2）、f（5）、f（4）成等比数列，f（8）=15，求Sn=f（1）+f（2）

-

+?+f（n）的表达式．

20．设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，求数列{an}的通项公式．

21．是否存在互不相等的三个数，使它们同时满足三个条件①a+b+c=6，②a、b、c成等差数列，③

将a、b、c适当排列后，能构成一个等比数列．

22．已知等比数列?an?的通项公式为an?3n?1,设数列?bn? 满足对任意自然数n都有

bn=2n+1恒成立.①求数列?bn?的通项公式；②求b1?b2?b3?┅+b2005的值. anb1b2b3+++┅a1a2a3+

3，不等式练习题

1.如果a?0,b?0，那么，下列不等式中正确的是（ ）

11? B. ?a?b C. a2?b2 D. |a|?|b| abx?12.不等式?0的解集为（ ）

2?xA.

A.{x|?1?x?2} B.{x|?1?x?2}C.{x|x??1或x?2} D.{x|x??1或x?2} 3.下 面四个不等式中解集为R的是（ ）

A.?x2?x?1?0 B.x2?25x?5?0 C.x2?6x?10?0 D.2x2?3x?4?0 4.下列函数中，最小值是2的是（ ）

A.y?x?111? B.y?3x?3?x C.y?lgx?(1?x?10) D.y?sinx?(0?x?)

lgxxsinx25.设x,y?R，且x?y?5，则3x?3y的最小值是（ ）

A. 63 B. 183 C. 46 D. 66 6.已知点（3，1）和（?4，6）在直线3x?2y?a?0的两侧，则实数a的取值范围是（ ）

A. a??7或a?24 B. a?7或a?24 C. ?7?a?24 D.?24?a?7

?x?2y?4?7.在约束条件?x?y?1下，目标函数z?3x?y（ ）A.有最大值3，最小值?3

?x?2?0? B.有最大值5，最小值?3C.有最大值5，最小值?9 D.有最大值3，最小值?9 8.如果a?0且a?1，M?loga(a3?1),N?loga(a2?1)，则（ ）

A. M?N B. M?N C. M?N D.M,N的大小与a值有关 9.已知不等式x2?2x?k2?1?0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是（ ） A. (?2,2) B.(??,?2)?(2,??) C. (2,??) D.(?2,2)

-

10.若x1,x2是方程x2?ax?8?0的两相异实根，则有（ ）

A.|x1|?2,|x2|?2 B.|x1|?3,|x2|?3

C.|x1?x2|?42 D.|x1|?|x2|?42 11.已知不等式ax2?bx?1?0的解集是{x|3?x?4}，则a?b? . 12.不等式(3x?1)(x?3)(x?1)?0的解集为 13.正数a,b满足ab?a?b?3，则ab的取值范围是__________.

?x?y?4,?14.已知点P(x,y)的坐标满足条件?y?x,点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于____________,

?x?1,?最大值等于_____________ 15.已知集合A?{x|x2?4?0},B?{x|2x?3?0}，求A?B和A?(CRB). x?316.解关于x的不等式x2?(m?m2)x?m3?0.

17.建造一个容积为4800m3,深为3m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为150元和120元,那么怎样设计水池能使总造最低，最低总造价为多少元？

18.某厂使用两种零件A,B装配两种产品X,Y，该厂生产能力是月产X最多2500件，月产Y最多1200件，而组装一件X需要4个A，2个B，组装一件Y需要6个A，8个B.某个月该厂能用A最多14000个，B最多12000个，已知产品X每件利润1000元，产品Y每件利润2000元，欲使该月利润最高，需要组装产品X,Y各多少件，最高利润是多少？ （12分）

4，简易逻辑练习题

1．函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（ ） A．ab=0

B．a+b=0

C．a=b

D．a2+b2=0

2．“至多有三个”的否定为（ ）

A．至少有三个 B．至少有四个 C．有三个

D．有四个

3．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p：肖像在这个盒子里；

银盒上写有命题q：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r：肖像不在金盒里．p、q、r中有且只有一个是真命题，则肖像在（ ） A．金盒里 C．铅盒里

B．银盒里 D．在哪个盒子里不能确定

（ ）

4．不等式(a?2)x2?2(a?2)x?4?0 对于x?R恒成立，那么a的取值范围是 A．(?2,2)

B．(?2,2] C．(??,2] D．(??,?2)

-

5．“a和b都不是偶数”的否定形式是（ ）

A．a和b至少有一个是偶数 B．a和b至多有一个是偶数 C．a是偶数，b不是偶数 D．a和b都是偶数

6．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而他的实

际效果大哩，原来这句话的等价命题是（ ）

A．不拥有的人们不一定幸福 B．不拥有的人们可能幸福 C．拥有的人们不一定幸福 D．不拥有的人们不幸福 7．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（ ）

A．p真q真 B．p假q真 C．p真q假

D．p假q假

8．条件p：x?1，y?1，条件q：x?y?2，xy?1，则条件p是条件q的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 9．2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是（ ） A．－＜x＜3

12B．－＜x＜0 C．－3＜x＜ D．－1＜x＜6

121210．设原命题：若a+b≥2，则a,b 中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况是（ ） A．原命题真，逆命题假 C．原命题与逆命题均为真命题 11．下列命题中_________为真命题． ①“A∩B=A”成立的必要条件是“AB”； ②“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题； ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题； ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．

12．若p：“平行四边形一定是菱形”，则“非p”为___ _____．

13．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件,q是s的充分条件，则s是q的 条件，r是q的 条件，p是s的 条件．

14．设p、q是两个命题，若p是q的充分不必要条件，那么非p是非q

的 条件．

15．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．

（1）矩形的对角线相等且互相平分；（2）正偶数不是质数．

B．原命题假，逆命题真 D．原命题与逆命题均为假命题

16．写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复

合命题的真假．

（1）p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除；

-

（2）p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形；

17．给定两个命题,

P：对任意实数x都有ax2?ax?1?0恒成立；Q：关于x的方程x2?x?a?0有实数根；如果P与

Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．

18．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么

（1）s是q的什么条件？（2）r是q的什么条件？（3）p是q的什么条件？ 19．设0

1． 420．求证：关于x的方程x2+2ax+b=0 有实数根，且两根均小于2的充分但不必要条件 是a≥2且|b| ≤4.．

5，圆锥曲线练习题

x2y21. 过椭圆2?2?1(a?b?0)的焦点F(c, 0)的弦中最短弦长是 ( )

ab2b22a22c22c2 A. B. C. D.

abab2. 过椭圆左焦点F且倾斜角为60?的直线交椭圆于A、B两点，若FA?2FB，则椭圆的离心率为

（ ） A．

2212 B. C. D. 3223x2?y2?1相交,若直线l被曲线C所截得的线段长不大于6,则直线l的3. 过原点的直线l与曲线C:3倾斜角?的取值范围是 ( )A

?6???5??2??2??3? B ??? C ??? D. ??? 66333444. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线AB1与BF交于D,且?BDB1?90?,则椭圆的离心率为

( ) A

3?1 B 25?1 2 C

5?13 D 22x2y2 5. P为双曲线2?2?1上一点,F1为一个焦点,以PF1为直径的圆与圆x2?y2?a2的位置关系为

ab( )A. 内切 B. 外切 C. 内切或外切 D. 无公共点或相交. 6. 设??(0,?4),则二次曲线x2cos??y2tan??1的离心率的取值范围是 ( ) sin?

-

A. (0,11) B. (,2222) C. (2,??) D. (,222)

x27. 设F1,F2是双曲线?y2?1的两个焦点,点P在双曲线上且满足?F1PF2?90?,则?PF1F2的面积

4为 ( ) A. 1 B.

5 C. 2 D. 25

x28. 设F1,F2是双曲线?y2?1的左、右焦点,P在双曲线上,当?F1PF2的面积为1时,PF1?PF2的值为

4( ) A. 0 B. 1 C.

1 D. 2 29. 过点(0, 2)与抛物线y2?8x只有一个公共点的直线有( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条.

10. 抛物线y2?2px(p?0) 的动弦AB长为a(a?2p),则AB中点M到y轴的最短距离是 ( ) (A)

aa?pa?pp (B) (C) (D) 222211. 直线l过抛物线y2?a(x?1)(a?0)的焦点,并且与x轴垂直,若l被抛物线截得的线段长为4,则a? ( )A. 4 B. 2 C.

11 D. 4212. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为A1,B1,则

?A1FB1? ( ) A. 45? B. 60? C. 90? D. 120?

x2y2??1的焦点为F1,F2,点P为其上的动点,当?F1PF2为钝角时,点P横坐标的取值范围是 13. 椭圆9414. 已知F1,F2为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若?PF1F2:?PF2F1:?F1PF2?1:2:3, 则此椭圆的

离心率为

x2y2??1的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离15. 设圆过双曲线

916为

16，过点P(-2, -4)的抛物线的标准方程为 17，设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e?为7,求这个椭圆方程.

33.已知点P(0,)到这个椭圆上的点的最远距离22

-

18，已知梯形ABCD中,AB?2CD,点E分有向线段AC所成的比为?,双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点,当

23???时,求双曲线离心率e的取值范围. 3419，过抛物线y2?2x的顶点作互相垂直的二弦OA、OB。

求 (1)AB中点的轨迹方程。

(2)证明：AB与x轴的交点为定点。

x2y220，双曲线2?2?1 (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),

ab且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0) 到直线l的距离之和s≥围．

4c，求双曲线的离心率e的取值范521，已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0, y0），F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、

|BF|成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N．

（1）求点N的坐标（用x0表示）；

（2）过点N与MN垂直的直线交抛物线于P、Q两点，若|MN|=42，求△MPQ的面积．

x28y222，设F1、F2分别为椭圆C：2?2 =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点.

ab3（1）若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；

2（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；

6，立体几何练习题

1．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（ ）

A．60°

B．90°

C．105°

D．75°

2．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝

则BE1与DF1所成角的余弦值是（ ）

A．

A1B1，415 178 17B．

1 2图 C．D．

3 2图 A1

B1 C1 D

3．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1

的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）

A

B 图

C

30A．

101B．

2 -

C．

30 15D．

15 104．正四棱锥S?ABCD的高SO?2，底边长AB?2，则异面直线BD和SC之间的距离（ ）

A．

15 5B．

5 5C ．

25 5D．

5 105．已知ABC?A1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．点C1到平面AB1D的距离

（ ） A．

2a 4B．

2a 8C．

32a 4D．

2a 26．在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，则平面AB1C与平面AC11D间的距离 （ ）

A．

3 6B．

3 3C ．

23 3D．

3 27．在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝

1PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面2ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值 （ ）

21 6 A．B．

83 3C．

210 60D．

210 308．在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，?ACB?90?，侧棱AA1?2，D，E分别是

CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是?ABD的重心G．则A1B与平面ABD所成角的余弦值（ ）A．

2 3B．

7 3C．

3 2D．

3 79．正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1?则二面角B1?AD?B的大小（ ）

A．

33，D是CB延长线上一点，且BD?BC，2? 3B．

5?? C ．

66D．

2? 310．正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，

EF?BD?G．则三棱锥B1?EFD1的体积V（ ）

A．

6 6B．

16316 C ． 33D．16

11．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则异面直线D1E和BC1间的距离 ． 12． 在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别是A1B1、CD的中点，求点B到截面AEC1F的

-

22. 解：（1）?对任意正整数n，有

b1b2b3b+++┅+n=2n+1 ① a1a2a3an∴当n=1时，

b1a?3,又a1?1，∴b1?3； 1当n?2时，

b1a+b2+b3+┅+bn?1=2n-1 ② 1a2a3an?1∴②-①得

bna?2； bn?2an?2?3n?1； n∴b?3 , (n?1),n???2?3n-1 , (n?2) （2）b1?b2?b3?┅+b2005

=3?(2?3?2?32???2?32004) =3?3(32004?1)=32005

3，参考答案

1,A 2，D 3,C 4,B 5,B 6,C 7,C 8,A 9,B 10,D 11、12 12、{x|x??3或?1?x?13}

13、[9,??) 14、2;10 15、解：解不等式x2?4?0得x??2或x?2，

即A?{x|x??2或x?2}；

解不等式

2x?3x?3?0得x??32或x?3 即B?{x|x??32或x?3}；C3RB?{x|?2?x?3}

?A?B?{x|x??32或x?2}；

A?(CRB)?{x|2?x?3}.

16、解：方程x2?(m?m2)x?m3?0的两根为x1?m,x2?m2. （1） 当m?m2，即{m|m?0或m?1}时，不等式的解集为

{x|x?m或x?m2}；

（2） 当m?m2，即{m|0?m?1}时，不等式的解集为

-

{x|x?m2或x?m}；

（3） 当m?m2，即m?0或m?1时，不等式的解集为 {x|x?m}.

17、解：设水池底面长为x米时，总造价为y元. 由题意知水池底面积为

48001600?1600m2，水池底面宽为m. 3x1600?y?150?1600?120?3?(2x?2?)

x1600 ?150?1600?720(x?)

x16001600?2x??80，“?”当且仅当“x?40”时取得. xx?x?所以当x?40时，ymax?297600.

答：水池底面设计成边长为40米的正方形时总造价最低，最低造价为297600元. 18、解：设月生产产品X,Y分别为x件，y件，该月利润为z，则有

?0?x?2500?0?x?2500?0?y?1200?0?y?1200??? ??4x?6y?140002x?3y?7000????2x?8y?12000??x?4y?6000目标函数z?1000x?2000y，即z?1000(x?2y).

21设x?2y?k1(2x?3y)?k2(x?4y)，可得k1?,k2?.

552121所以x?2y?(2x?3y)?(x?4y)??7000??6000?4000

5555?zmax?1000?4000?4000000.

?2x?3y?7000?x?2000等号成立的条件是?，即?，符合条件.

?x?4y?6000?y?1000答：组装产品2000件X，1000件时Y，月利润最高，最高利润为400万元.

4，参考答案

一、

1．D；解析：若a2+b2=0，即a=b=0时，f（－x）=（－x）|x+0|+0=－x|x|=

－f（x）∴a2+b2=0是f（x）为奇函数的充分条件.又若f（x）为奇函数即f（－x）=－x|（－x）+a|+b=－（x|x+a|+b），则必有a=b=0，即a2+b2=0，∴a2+b2=0是f（x）为奇函数的必要条件. 2．B；提示：这是一个含有量词的命题的否定．

-

3．B；本题考查复合命题及真值表．解析：∵p=非r，∴p与r一真一假，而p、q、r中有且只有一个真命题，∴q必为假命题，∴非q：“肖像在这个盒子里”为真命题，即：肖像在银盒里．评述：本题考查充要条件的基本知识，难点在于周期概念的准确把握. 4．B；解析：注意二次项系数为零也可以．

5．A；解析：对“a和b都不是偶数”的否定为“a和b不都不是偶数”，等价于“a和b中至少有一个是偶数”．

6．D；解析：该题考察的是互为逆否命题的真值相同，也就是在选项中找到该命题逆否命题． 7．B；解析：由“非p”为真可得p为假，若同时“p或q”为真，则可得q必须为真．

8．A；解析：由我们学习过的不等式的理论可得p?q，但x?100,y?0.1满足q：x?y?2，xy?1，但不满足q，故选项为B．

9．D；解析：由2x2－5x－3＜0，解得－＜x＜3，记为P，则①P?A，②BP，B是P的充分非必

要条件，③C

P，C既不是P的充分条件，也不是P的必要条件，④D

P，PD，D是P的必

12要不充分条件．

10． A；提示：举例：a=1.2，b=0.3，则a+b=1.5<2，∴逆命题为假． 二、 11．②④；

解析：本题是一道开放性题，考查四种命题间的关系及充要条件． ①A∩B=A?A?B但不能得出AB，∴①不正确； ②否命题为：“若x2+y2≠0，则x，y不全为0”，是真命题；

③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题； ④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，∴逆否命题也为真命题． 12．平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形；

解析：本题考查复合命题“非p”的形式，p：“平行四边形一定是菱形”是假命题，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”？若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题的“非p”为“平行四边形不一定是菱形”，是一个真命题． 第二种说法是命题是全称命题的简写形式，应用规则变化即可． 13．必要，充分，必要．

提示：画出箭头图． 14．必要不充分． 三、

15．本题考查四种命题间的关系．

-

解：（1）逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形（假命题）．

否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分（假命题）． 逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形（真命题）． （2）逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数（假命题）． 否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数（假命题）． 逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数（假命题）． 16．解：（1）根据真值表，复合命题可以写成简单形式： p或q：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除. p且q：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除. 非p：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除.

∵连续的三整数中有一个（或两个）是偶数，而有一个是3的倍数， ∴p真，q真，∴p或q与p且q均为真，而非p为假.

（2）根据真值表，只能用逻辑联结词联结两个命题，不能写成简单形式： p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形. p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形. 非p：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形. ∵p假q假，∴p或q与p且q均为假，而非p为真.

?a?017．解：对任意实数x都有ax?ax?1?0恒成立?a?0或?

??0?2?0?a?4；关于x的方程x2?x?a?0有实数根?1?4a?0?a?1；如果P正确，且Q不正411确，有0?a?4,且a???a?4；如果Q正确，且P不正确，有a?0或a?4,且a?1?a?0．所

4441?以实数a的取值范围为???,0????,4?．

?4?18．本题考查充要条件、充分条件、必要条件．对于这类问题，将语言叙述符号化，画出它们的综合

结构图，再给予判定．

解：p、q、r、s的关系如图所示，由图可知

答案：（1）s是q的充要条件 （2）r是q的充要条件 （3）p是q的必要条件

-

11??(1?a)b?(1?a)b???42??11??19．证明：用反证法，假设?(1?b)c???(1?b)c?，①+②+③得：

42??11??(1?c)a?(1?c)a???42??31?a?b1?b?c1?c?a3?(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a????，左右矛盾，故假设不成立，222221∴（1－a）b,（1－b）c，（1－c）a不同时大于.

420．解析：先证充分性，而必要性只需要通过举反例来否定. 先证明条件的充分性：

?a?2???a2?4?b,?b?4???4(a2?b)?0,?a?2??2a??4????,b??4b??4???(x1?2)?(x2?2)?(x1?x2)?4??2a?4??4?4??8?0,而(x1?2)(x2?2)?x1x2?2(x1?x2)?4?b?4a?4??4?8?4?8?0,?(x1?2)?(x2?2)?0?x1?2?0?x1?2??????,?(x1?2)(x2?2)?0?x2?2?0?x2?2∴方程有实数根 ①

①、②知“a≥2且|b|≤4” ?“方程有实数根，且两根均小于2”. 再验证条件不必要：

∵方程x2－x=0的两根为x1=0, x2=1，则方程的两根均小于2，而a=－∴“方程的两根小于2” ?“a≥2且|b|≤4”.

综上，a≥2且|b|≤4是方程有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件.

评析：充分条件与必要条件是数学学习中的重要概念，在解答任何一个数学问题时都必须准确认识到问题所需要解决的是满足条件的充分性、必要性，还是充分且必要.对于证明题、计算题等，往往只需满足命题条件的充分性，即由条件进行推理、演绎得出结论；而对于求参数的范围，求不等式的解集，求函数的值域等许多问题，则必需保证推理的充要性.

1<2， 25，参考答案

A D D B C C A A C D A C 13，?331622 14，3?1 15， 16，x??y,y??8x ?x?355x2y2c317，解:设椭圆方程为2?2?1(a?b?0), M(x,y)为椭圆上的点,由? 得a?2b

a2ab

-

设n?(x,y,z)是平面BDEF的法向量.

1由n?DB,n?DF,DB?(1,1,0),DF?(0,,1)

2?n?DB?x?y?0?x??y?得?则 ??11z??y.?n?DF?y?z?0?2?2?1令y?1,得n?(?1,1,?)．

2设点A1在平面BDFE上的射影为H，连结A1D，知A1D是平面BDFE的斜线段．

13?A1D?(?1,0,?1),?AD?n?(?1)(?1)?0?1?(?1)(?)?.

2213又?|A1D|?(?1)2?O2?(?1)2?2,|n|?(?1)2?12?(?)2?,223 A1D?n22?cos?A1D,A1H????.32|A1D|?|n|2?22?|A1H|?|A1D|?cos?A1D,A1H??2??1.2即点A1到平面BDFE的距离为1．

（3）由（2）知，A1H=1，又A1D=2，则△A1HD为等腰直角三角形，

?A1DH??DA1H?45?

?A1H?平面BDFE,HD是A1D在平面BDFE上的射影,??A1DH就是直线A1D与平面BDFE所成的角,??A1DH?45?.

19．解：建立坐标系如图，则A?2,0,0?、B?2,2,0?，C?0,2,0?，

z ?????D1 A1?2,0,2?，B1?2,2,2?，D1?0,0,2?，E?2,1,0?，A1C???2,2,?2?， ??????????????D1E??2,1,?2?，AB??0,2,0?，BB1??0,0,2?．

A1 B1 C1 ?????（Ⅰ）不难证明AC为平面BC1D的法向量， 1????????????????????A1C?D1E3∵ cosA1C,D1E????? ???????9A1CD1Ex D A y C E B ∴ D1E与平面BC1D所成的角的正弦

3．

9?????????（Ⅱ）AC、AB分别为平面BC1D、BC1C的法向量， 1??????????????????A1C?AB3∵ cosA1C,AB?????，∴ 二面角D－BC1－C余弦的大小为3． ??????33A1CAB

??????????ACBB1231?（Ⅲ）∵ B1D1∥平面BC1D，∴ B1D1与BC1之间的距离为d?????． ??3AC1 -

20．(证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明EF∥AC，EG∥B1C，FG∥AB1来证明，而我们借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了．)

(1)分析：要证平面EFG平面ACB1，由题设知只要证BD1垂直平面ACB1即可．

证明：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为a，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D1（0，0，a），B1（a，a，a），E（xE，0，a），F（0，yF，a），G（0，0，zG）．

∴BD1=（－a，－a，a），AB1=（0，a，a），EF（－xE，yF，0），AC=（－a，a，0），B1C=（－a，0，－a），

∵BD12AB1=(－a，－a，a)2(0，a，a)=0， ∴BD1⊥AB1 ，

同理 BD1⊥AC，

AC?而AB1与?不共线且相交于点A，

∴BD1⊥平面ACB1，又已知BD1⊥平面EFG， ∴ 平面EFG∥平面ACB1；

又因为BD1⊥平面EFG，所以 BD1⊥EF，

则BD12EF=0，

即 (－a，－a，a)2(－xE，yF，0)=0， 化简得 xE－yF=0；

同理 xE－zG=0, yF－zG=0， 易得

EF????????????????????? EA1D1PGDxAzFO1B1JC1KyCB =EF=FG，

O ∴ △EFG为正三角形．

(2)解：因为△EFG是正三角形，显然当时，△EFG的边最长，其面积也最大，此时，

∴S?EFG= S?ACD

11??1 = A1C1·A1D2sin600

2图5*△EFG与△A1C1D重合

EF=A1C1=22a，

31 = (22a)22

22 =

32a2 ． 2此时EF与B1C的距离即为A1C1与B1C的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B1到平面 A1C1D的距离，记A1C1与B1D1交于点O1，作O1H∥D1B并交BB1于点H，则O1H⊥平面A1C1D，

-

?aaa垂足为O1，则O1(，，a)，H(a，a，)，而O1H作为平面A1C1D的法向量，

222所以异面直线EF与B1C的距离设为d是

a2a2(?)?O1H4=32a． d = O1B1·?=433a2O1H4?(证明（2）时一般要找到求这两平面距离的两点，如图5*，而这两点为K与J，在立体图形中较难确定，且较难想到通过作辅助线DO1，OB1来得到，加上在如此复杂的空间图形中容易思维混乱，但只要借助平面法向量求线段的射影长度的思想，结合题设，使思路清晰明了，最终使问题的解决明朗化；把握这种思想，不管是空间线线距离，线面距离，面面距离问题，一般我们都能转化成点线或点面距离，再借助平面法向量很好地解决了．)

-

AM231?x2?(y?)2??3(y?)2?4b2?3,(?b?y?b)

22 若b?1331112,则当y??b时AM最大,即(?b?)2?7, ?b?7??,故矛盾. 若b?时,y??232222时4b2?3?7, b2?1

x2 所求方程为 ?y2?1

418，解:如图建系:设双曲线方程为:

cC(,h),A(-c,0) 2?E(x2y2?2?1则B(c,0), 2ab??2?hc,),代入双曲线方

2(1??)1??程得:

?2c22222?b??ah?ab42??123?2, ?e?,??[,] ?21??34?b2?(??2)?c2?a2(?b)2?a2b2?1??4(1??)2??7?e?10

19， 解(1)设A?x1,y1?,B?x2,y2?,M?x,y?,则lAB::x?my?t,代入抛物线方程y2?2x得:y2?2my?2t?0?y1?y2?2m,y1y2??2t,及x1x2?t2,x1?x2?2m2?2t.又OA⊥

x1?x2?2x??m?2??2OB,?x1x2?y1y2?0.得t2?2t?0,t?2,t?0(舍),而?消去M:y2?x?2

?y?y1?y2?m?2?(2)在直线方程lAB:x?my?t中,令y?0,得x?t?2所以交点为(2,0)

20， 解：直线l的方程为bx+ay－ab=0.由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l的距离d1 =

b(a?1)a?b22．同理得到点(－1,0)到直线l的距离

aba2?b2d2 =

b(a?1)a2?b2.s= d1 +d2==

2ab. c由s≥

2ab44c,得≥c,即5ac2?a2≥2c2. 55c5≤e2≤5. 4于是得5e2?1≥2e2.即4 e2－25e+25≤0.解不等式,得

-

由于e>1>0,所以e的取值范围是

5?e?5. 221，（1）设A(x1, y1)、B(x2、y2)，由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得x1+x2=2x0． 得线段AB垂直平分线方程：y?y1?y2x?x2??1(x?x0), 2y1?y2令y=0，得x=x0+4, 所以N(x0+4, 0)．

（2）由M(x0, y0) , N(x0+4, 0), |MN|=42, 得x0=2．

由抛物线的对称性，可设M在第一象限，所以M(2, 4), N(6,0)．

?y?x?6,得P(18,12),Q(2,?4),得△MPQ的面积是64． 直线PQ: y=x－6, 由?2y?8x.?22解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.

3()231又点A（1，）在椭圆上，因此2?22=1得b2=3，于是c2=1.

22bx2y2所以椭圆C的方程为?=1，焦点F1（－1，0），F2（1，0）.

43（2）设椭圆C上的动点为K（x1，y1），线段F1K的中点Q（x，y）满足：

x??1?x1y,y?1， 即x1=2x+1，y1=2y. 22(2x?1)2(2y)2124y2??1为所求的轨迹方程. 因此=1.即(x?)?43236，参考答案

一、1．B；2．A；3．A；4．C； 分析：建立如图所示的直角坐标系，则

A(22,?,0)， 22z22 B(,,0)，

22C(?D(?22,,0)， 22S 22,?,0)，S(0,0,2)． 22????????22?DB?(2,2,0)，CS?(,?,2)．

22D A xO 图 B C y?????????????????n?DB?0?令向量n?(x,y,1)，且n?DB,n?CS，则?????， ?n?CS?0??

-

?(x,y,1)?(2,2,0)?0????x??2??x?y?0??n?(?2,2,1)． ，，，????22?,?,2)?0??x?y?22?0?(x,y,1)?(?y?2?22?异面直线BD和SC之间的距离为：

22?????(?,,0)?(?2,2,1)OC?n22??d??n(?2,2,1)1?1?0(?2)2?(2)2?12?25． 55．A；分析：

?????ABB1A1为正方形，?A1B?AB1，又平面AB1D?平面ABB1A1，?A1B?面AB1D，?A1B是平面AB1D的一个

法向量，设点C到平面AB1D的距离为d，则

????????AC?A1Bd?????A1B=????????????AC?(A1A?AB)2a=????????????????AC?A1A?AC?AB)2a=0?a?a?cos6002a?2a 4．

6．B；分析：建立如图所示的直角坐标系，

????????n?DA?1?0n?(x,y,1)设平面AC的一个法向量，则，D???????11??n?DC1?0z D B C y

即

A D1 x

?(x,y,1)?(1,0,1)?0?x??1?， ??(x,y,1)?(0,1,1)?0y??1????n?(?1,?1,1)，?平面AB11D间的距离1C与平面ACC1 B1 图

A1 E ?????AD?n(_1,0,0)?(?1,?1,1)3d???. ?2223n(?1)?(?1)?17．D；

-

? OP?平面ABC，OA?OC，AB?BC，? OA?OB，OA?OP，OB?OP.以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O?xyz?如图?，?2?????22设AB?a，则A?a,0,0,B0,a,0,C?a,0,0.?????2??????2?????2?设OP?h，则P?0,0,h?.Ⅰ??? D为PC的中点，??????????2?21?? OD???a,0,h, 又PA?a,0,?h，???????

?4? ???OD???1????2PA.

2?? ???OD?∥???PA?. ?2?? OD∥平面PAB.zPDxACOBy -

zC1A1EGDCBB1xAy?Ⅱ?? PA?2a,? h?7a,2?????214?? OD????4a,0,4a??,????1?可求得平面PBC的法向量n????1,1,7??,??8．B；解 以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB??????????OD?n210? cos?OD,n????????.30OD?n设OD与平面PBC所成的角为?，?????210则 sin??cos?OD,n??30

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