数学高考总复习：随机变量及其分布

数学高考总复习：随机变量及其分布

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目标认知 考试大纲要求：

1. 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.

2. 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，

并能解决一些实际问题.

3. 理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题. 4. 理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.

重点：

离散型随机变量及其分布列的概念，离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.

难点：

正确写出离散型随机变量的分布列，求出均值与方差。

知识要点梳理

知识点一：离散型随机变量及其分布列

1．离散型随机变量：

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用希腊字母

等表示。

2．离散型随机变量

对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机

变量；

若是随机变量，性（离散型、连续型）。

3．离散性随机变量的分布列：

设离散型随机变量可能取得值为x1,x2,?,x3,?,若取每一个值xi(i=1,2,?)的概率为

P ，则称表 x1 P1 x2 P2 ? ? xi Pi ? ? 其中a,b是常数，则也是随机变量，并且不改变其属

为随机变量的概率分布，简称的分布列. 4．离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： （1）pi≥0,i=1,2?； （2）P1+P2+?=1

知识点二：离散型随机变量的二点分布

如果随机变量X的分布列为 P 1 服从参数为

的两点分布。

0 称离散型随机变量

知识点三：离散型随机变量的二项分布

在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量，如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

，

于是得到随机变量的概率分布如下： 0 1 ? K ? N p 恰好是二项展开式

? ? 由于

中的各项的值，所以称这

样的随机变量服从二项分布，记作～

若～

，则

，

。

，其中n,p为参数，并记

知识点四：离散型随机变量的几何分布

独立重复试验中，某个事件第一次发生时所作试验的次数也是一个正整数的离散型随机变量。

表示在第k次独立重复试验时该事件第一次发生，

且

如果把第k次重复试验时事件A发生记作Ak，事件A不发生记作

那么离散型随机变量ξ的概率分布是： ξ P 1 P 2 (1-P)P 3 (1-P)2P ? ?

k (1-P)k-1P 其中

? ? 称这样的随机变量服从几何分布，记作

若随机变量服从几何分布

，则，

知识点五：超几何分布

在含M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件概率为：

发生的

，其中，

称分布列 0 1 ? ? 为超几何分布列。离散型随机变量X服从超几何分布。

若随机变量X服从超几何分布

。

，则，

知识点六：离散型随机变量的期望与方差

1、离散型随机变量的期望：

一般地，若离散型随机变量的概率分布为 p 则称均值。

数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平或集中位置， 若

（a,b是常数），

。

x1 p1 x2 p2 ? ? xn pn ? ? 的数学期望，简称期望，又称为平均数、

二项分布的期望：

若离散型随机变量ξ服从二项分布，即 几何分布的期望：

若离散型随机变量ξ服从几何分布，且

2、离散型随机变量的方差：

对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是x1,x2,?xn,?，且取这些值的概率分

别是p1,p2,?,pn,?，那么，

称为随机变量的均

方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望。 Dξ的算术平方根

叫做随机变量ξ的标准差，记作

。

随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波动越大。 若

（a,b是常数），ξ是随机变量，则D（aξ+b）=a2Dξ。

二项分布的方差：

若离散型随机变量ξ服从二项分布，即 几何分布的方差：

若离散型随机变量ξ服从几何分布，且

规律方法指导

①由于理科学习了计数原理和条件概率以及相互独立事件的概率，在概率的计算上理科出题的范围非常广，要求会用计数原理和排列、组合的知识计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 高考中经常把概率的计算问题放在离散型随机变量的分布列中考查. 对于离散型随机变量的均值与方差特别要注意几个基本概率模型.考查离散型随机变量的分布列以及均值与方差问题是高考中的热点问题.

②求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出取各个值的概率即必须解决好两个问题，一是求出的所有取值，二是求出取每一个值时的概率，同时按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证. ③求离散型随机变量的均值（期望）和方差,重要的是能正确写出分布列.在解题时要注意判断一个实际问题是否属于二项分布，成功概率是多少，找出其他随机变量与二项分布的随机变是间的关系式，利用二项分布的均值与方差的计算公式求解.

经典例题精析

类型一：独立重复试验的概率

1、把n个不同的球随机地放入编号为1，2，?，m的m个盒子内，求1号盒恰有r个球的概率

法一：用独立重复试验的概率公式

把1个球放入m个不同的盒子内看成一次独立试验，其中放入1号盒的概率为P=

，

这样n个球放入m个不同的盒子内相当于做n次独立重复试验， 由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式知， 1号盒恰有r个球的概率

法二：用古典概型

把n个不同的球任意放入m个不同的盒子内共有m个等可能的结果， 其中1号盒内恰有r个球的结果数为C（m－1）

n－rn

，

故所求概率P（A）=

答：1号盒恰有r个球的概率为

举一反三：

。

【变式1】十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？ 【答案】依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，??，直到停9次

∴从低层到顶层停不少于3次的概率

设从低层到顶层停次，则其概率为，

∴当或时，最大，即最大，

答：从低层到顶层停不少于3次的概率为

，停4次或5次概率最大．

【变式2】实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．

（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率． （2）按比赛规则甲获胜的概率．

【答案】甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为 记事件 记事件 记事件

=“甲打完3局才能取胜”， =“甲打完4局才能取胜”， =“甲打完5局才能取胜”．

，乙获胜的概率为．

①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜

∴甲打完3局取胜的概率为．

②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负

∴甲打完4局才能取胜的概率为．

③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负

∴甲打完5局才能取胜的概率为 (2)事件

＝“按比赛规则甲获胜”，则

、

、

彼此互斥，

，

．

又因为事件

故

答：按比赛规则甲获胜的概率为

．

类型二：分布列的性质

2、若离散型随机变量ξ的概率分布列为： ξ p 0 9c-c 21 3-8c 试求出常数c与ξ的分布列。

解析：由离散型随机变量分布列的基本性质知：

解得常数

ξ p ，从而ξ的分布列为：

0 1 总结升华：解题关键是理解随机变量分布列的两个基本性质，在写出ξ的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1。

举一反三：

【变式1】某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下： ξ P 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22 求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率． 【答案】根据射手射击所得的环数ξ的分布列，有

P(ξ=7)＝0.09，P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)＝0.22. 所求的概率为 P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88．

【变式2】随机变量的分布列如下：

其中成等差数列，若，则的值是_______．

【答案】；

由题意知：，解得，

所以

。

类型三：离散型随机变量的分布列

3、某人参加射击，击中目标的概率是。

①设为他射击6次击中目标的次数，求随机变量的分布列； ②设为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求的分布列；

③若他只有6颗子弹，若他击中目标，则不再射击，否则子弹打完，求他射击次数的分布列。

思路点拨：由已知，某人射击6次相当于6次独立重复试验，他射击6次击中目标的次数ξ满足

，，因此，随机变量ξ服从二项分布；

第一次击中目标时所需要射击的次数η满足服从几何分布。 解析：

，因此η

①随机变量服从二项分布，而的取值为0,1,2,3,4,5,6，

则

故的分布列为： 0 1 2 3

4 5 6 P ②设

表示他前

次未击中目标，而在第次射击时击中目标，

则的取值为全体正整数1,2,3,? 则 P 1 的分布列为

2 3 4 ?

? ? ? ③的取值为1,2,3,4,5,6

，表示前

次未击中，而第次击中，

∴ 而

，；

表示前5次未击中，第6次可以击中，也可以未击中

∴

∴的分布列为： P 1

2 3 4 5 6 总结升华：求离散型随机变量分布列要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率.

举一反三：

【变式1】在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： （1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列； （2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列.

【答案】η也可以取0，1，2，3，放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析.

（1）随机变量ξ取值为0，1，2

P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，

所以ξ的分布列为 ξ P 0 1 2 （2）随机变量η取值为0，1，2，3

P(η=k)=C·0.83－k·0.2k（k=0，1，2，3）， 所以η的分布列如下， η P

【变式2】从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率 （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率

；

．

：

0 C0.83 1 C0.82·0.2 2 C0.8·0.22 3 C0.23 （2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列． 【答案】 （1）记 则 故 于是

（2）的可能取值为

．解得．

件，

；

表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．

互斥，且

，

若该批产品共100件，由（1）知其二等品有

故

所以的分布列为

0 ，，．

1 2

【变式3】某运动员射击一次所得环数 6 0 7 的分布如下： 8 9 10 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为. (I)求该运动员两次都命中7环的概率； (II)求的分布列； 【答案】

(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为 (Ⅱ)的可能取值为7、8、9、10 P

分布列为：

7 0.04 8 0.21 9 0.39 10 0.36 ；

；

类型四：离散型随机变量的期望和方差

4、已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4

个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率； （Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望． 解析：

（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件为黑球”为事件

．

，“从乙盒内取出的2个球均

由于事件相互独立，且，．

故取出的4个球均为黑球的概率为．

（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球，从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件

，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球，从乙盒内取出的2

个球均为黑球”为事 件

．由于事件

互斥，

且，．

故取出的4个球中恰有1个红球的概率为

．

（Ⅲ）可能的取值为

．

由（Ⅰ），（Ⅱ）得，，．

从而

的分布列为

0 1 2 ．

3 的数学期望．

总结升华：求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列； ③根据分布列，由期望的定义求出Eξ； ④根据方差、标准差的定义求出Dξ、σξ.

举一反三：

【变式1】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．

（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

（II）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望． 【答案】任选1名下岗人员，

记“该人参加过财会培训”为事件 由题设知，事件 （I）

法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是

所以该人参加过培训的概率是

法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是

该人参加过两项培训的概率是 所以该人参加过培训的概率是

． ．

．

与

，“该人参加过计算机培训”为事件

，

．

，

相互独立，且

（II）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布

，

即的分布列是

0 0.001 的期望是

） 1 0.027 2 0. 243 ．

3 0.729 ，

，

（或的期望是

【变式2】某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望． 【答案】分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件 （1）设

表示第一次烧制后恰好有一件合格，则

，

，

，

，

，

，．

，

，

（2）

法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 故

．

．

，所以，

法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件 则 所以

，

，

，

于是，

．

，

，

．

【变式3】A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下： 对阵队员 A1对B1 A2对B2 A3对B3 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η，

（1）求ξ、η的概率分布； （2）求Eξ、Eη。 【答案】

（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0

A队队员胜的概率 A队队员负的概率 ，

，

根据题意知ξ+η=3，

所以

。

（2）

因为ξ+η=3，所以

5、甲乙两人独立解某一道数学题，该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92。

(1)求该题被乙独立解出的概率；

(2)求解出该题的人数ξ的数学期望和方差。 解析：

(1)甲、乙解出此题分别记为事件A、B，甲、乙没有解出此题分别记为事件 则有

，

，

甲或乙解出此题的对立事件：甲乙都没有解出此题，记为 则甲或乙解出的概率 ∴ ∴

即：该题被乙独立解出的概率是0.8； (2)解出该题的人数ξ为：0、1、2

则解出该题的人数ξ的分布列为： ξ P 0 0.08 1 0.44

∴

2 0.48 期望 方差

举一反三：

【变式】 一名学生骑自行车上学，从他的家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各

交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是。

(Ⅰ)求这名学生首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率； (Ⅱ)求这名学生在途中遇到红灯数ξ的期望与方差。 【答案】

(Ⅰ)由于该学生在各交通岗遇到红灯的事件是独立的，利用相互独立事件的概率，

其首次遇到红灯前已经过了两个交通岗的概率．

(Ⅱ)依题意该学生在途中遇到红灯数ξ服从二项分布

则期望望，

方差

。

类型五：离散型随机变量的期望和方差在实际生活中的应用

6、A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示： A机床 次品数ξ1 概率p B机床 次品数ξ2 概率p 0 0.8 1 0.06 2 0.04 3 0.10 0 0.7 1 0.2 2 0.06 3 0.04 问哪一台机床加工质量较好. 思路点拨：

解析：Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44 它们的期望相同，再比较它们的方差。

Dξ1=(0-0.04)×0.7+×(1-0.44)×0.2+(2-0.44)×0.06+(3-0.44)×0.04=0.6064,

Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264

∴Dξ1＜Dξ2，故A机床加工较稳定、质量较好. 总结升华：

①期望仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值的大小还不够。如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差。方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值分散性小或者取值比较集中、稳定。

②对于两个随机变量ξ1和ξ2，在Eξ1和Eξ2相等或很接近时，比较Dξ1和Dξ2。可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要。

举一反三：

【变式1】利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是________.

2

2

2

2

【答案】 A1的数学期望： A2的数学期望： A3的数学期望： A4的数学期望：

=0.25×50+0.30×65+0.45×26=43.7 =0.25×70+0.30×26+0.45×16=32.5 =0.25×（－20）+0.30×52+0.45×78=45.7 =0.25×98+0.30×82+0.45×（－10）=44.6

∴应选择的方案是A3

【变式2】甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下： ε P η P 0 1 2 0 1 2 试对这两名工人的技术水平进行比较。

【答案】工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为：

，

工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：

，

由Eε=Eη知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当， 但Dε＞Dη，可见乙的技术比较稳定。

【变式3】甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与

的分布列为： ξ p

p 1 0.3 2 b 3 0.3 1 a 2 0.1 3 0.6

(1)求a、b的值；

(2)甲、乙两名射手在一次射击中的得分均小于3的概率谁更大？ (3)计算 【答案】

(1)∵a+0.1＋0.6=1，∴a=0.3，同理b=0.4 (2) ∴ (3)期望 方差 同理 由计算结果 但

，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，

说明甲得分的稳定性比乙差，因而，甲乙两人的技术都不够全面。

的期望与方差，并以此分析甲乙的技术状况。

高考题萃

1.（2008全国I）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望． 解析：

（Ⅰ）对于甲： 次数 概率 对于乙： 次数 2 3 1 0.2 2 0.2 3 0.2 4 0.4 概率 0.6 0.4 ∴方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率：

．

．

（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，的期望为

2.（2008全国II）．购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为

．

；

（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率

（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）． 解析：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是的人数为， 则 （Ⅰ）记 则 又

（Ⅱ）该险种总收入为 支出 盈利

盈利的期望为 由

知，

，

，故

．

．

表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金， 发生当且仅当

，

，

，记投保的10 000人中出险

元，支出是赔偿金总额与成本的和． ，

，

，

（元）．

．

故每位投保人应交纳的最低保费为15元．················ 12分

3.（2008北京）．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到位服务，每个岗位至少有一名志愿者． （Ⅰ）求甲、乙两人同时参加

岗位服务的概率；

四个不同的岗

（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； （Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加 解析：

（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加

岗位服务为事件

，

岗位服务的人数，求的分布列．

那么，

即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．

（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，

所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 （Ⅲ）随机变量可能取的值为1，2．事件“

”是指有两人同时参加

． 岗位服务，

则．

所以

的分布列是 ，

1 3 ，购买乙种商

4.（2008四川）．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为品的概率为独立的。

（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互

（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅲ）记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望。 解析：记 记 记 记 （Ⅰ）

表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品， 表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，

表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种， 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，

（Ⅱ）

（Ⅲ），

故的分布列： 所以

5.（2008安徽)为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳

的株数，数学期望，标准差为。

（Ⅰ）求n,p的值并写出的分布列；

（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率。 解析：

(1)由得,

从而

的分布列为 0

1 2 3 4 5 6

(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则

∴

或

6.（2008山东）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者

为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概

率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.

（Ⅰ）求随机变量ε分布列和数学期望；

(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB). 解析： (Ⅰ)

法一：由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且

所以ε的分布列为 ε P 0 1 2

3 ε的数学期望为

Eε=

法二：根据题设可知 因此ε的分布列为

（Ⅱ）

法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，

所以AB=C∪D,且C、D互斥，

又

由互斥事件的概率公式得

法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3 由于事件A3B0,A2B1为互斥事件， ∴P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).

=

7.（2008江西）某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5. 若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5； 第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6. 实施每种方案，第二年与第一年相互独立。令 （1）写出

表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．

的分布列；

（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？

（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？ 解析： （1）

的所有取值为

P P 的所有取值为、

的分布列分别为： 0.8 0.2 0.9 0.15 ,

1.0 0.35 1.125 0.15 1.25 0.15 0.8 0.3 0.96 0.2 1.0 0.18 1.2 0.24 1.44 0.08 （2）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，

,

可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大 （3）令

P P 所以

10 0.5

15 0.18 20 0.32 表示方案所带来的效益，则

10 0.35 15 0.35 20 0.3 可见，方案一所带来的平均效益更大。

8.（2008湖北）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个（=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号. （Ⅰ）求的分布列，期望和方差； （Ⅱ）若

,

,

,试求a,b的值.

解析：

（Ⅰ）的分布列为： P 0 1 2 3 4 ∴

（Ⅱ）由 又

，得a2×2.75＝11，即所以

当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2; 当a=-2时，由1＝-2×1.5+b，得b=4.

∴

或即为所求.

9.（2008湖南）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签

约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：

（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率; （Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望. 解析：

用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.

由题意知A，B，C相互独立，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝ （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是

.

（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.

＝

＝

=

=

所以， 的分布列是 P 0 1

2 3

的期望

10.（2008陕西）某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得

分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率

为0.8，其各次射击结果互不影响． （Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；

（Ⅱ）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望． 解析：

（Ⅰ）设该射手第次击中目标的事件为

．

，则

，

（Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3．

11.（2008重庆）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率

的分布列为

0 0.008 1 0.032 2 0.16 .

3 0.8 均为，且各局胜负相互独立.求：

（Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率； （Ⅱ）比赛停止时已打局数的分别列与期望 解析：令

.

分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.

（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，

打满3局比赛还未停止的概率为 （Ⅱ）的所有可能值为2，3，4，5，6，且

故有分布列 2 3

4 5 6 P 从而

（局）.

12.（2008福建）某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可

获得证书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试

成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.

（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；

（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望

.

解析：设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2.

(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立，

则.

∴该考生不需要补考就获得证书的概率为.

(Ⅱ)由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性可得

故

13.（2008广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为． （1）求的分布列；

（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）； （3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为

，一等品率提高为

．如

果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ 解析：的所有可能取值有6，2，1，-2；

，

故的分布列为：

（2）

6 0.63 ，

2 0.25 1 0.1

-2 0.02 （3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为

依题意，

所以三等品率最多为

14.（2008浙江）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸

，即

，解得

出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是。

（Ⅰ）若袋中共有10个球， （i）求白球的个数；

（ii）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望

。

（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于中哪种颜色的球个数最少。 解析：

。并指出袋

（Ⅰ）（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A， 设袋中白球的个数为，

则

故白球有5个．

，得到．

（ii）随机变量的取值为0，1，2，3， 分布列是 0 1 2 3 的数学期望．

（Ⅱ）证明：设袋中有个球，其中个黑球，由题意得，

所以，，故．

记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，

则．

所以白球的个数比黑球多，白球个数多于 故袋中红球个数最少．

，红球的个数少于．

15.（2008辽宁）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示： 周销售量 频数 2 20 3 50 4 30 （Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；

（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望． 解析：

（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． （Ⅱ）的可能值为8，10，12，14，16，且 P（=8）=0.2=0.04， P（=10）=2×0.2×0.5=0.2， P（=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37， P（=14）=2×0.5×0.3=0.3， P（=16）=0.32=0.09．

P

的分布列为

8 0.04 10 0.2 12 0.37 14 0.3 16 0.09 2

=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）

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