2013年高考真题——文科数学(辽宁卷)解析版Word含答案

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数 学（供文科考生使用）

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知集合A 1,2,3,4 ,B x|x 2 ,则A B

（A） 0 （B） 0,1 （C） 0,2 （D） 0,1,2 （2）复数的Z

1i 1

模为

（A）

12

（B

）

2

（C

（D）2

（3）已知点A 1,3 ,B 4, 1 ,则与向量AB同方向的单位向量为

（A） ，-

3 54 3 4

，- （B）

5 55

43

55

（C） （D） （4）下面是关于公差d 0的等差数列 an 的四个命题：

34 55

p1:数列 an 是递增数列； p2:数列 nan 是递增数列；

a

p3:数列 n 是递增数列； p4:数列 an 3nd 是递增数列；

n

其中的真命题为

（A）p1,p2 （B）p3,p4 （C）p2,p3 （D）p1,p4

（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为 20,40 , 40,60 , 60,80 ,8 20,100 . 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是

（A）45 （B）50 （C）55 （D）60

（6）在 ABC，内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosC csinBcosA

12

b,

且a b,则 B

A．

2 5

B． C． D．

3663

（7）已知函数f

x ln

1

3x 1,.则f lg2 f lg

2

A． 1 B．0 C．1 D．2

（8）执行如图所示的程序框图，若输入n 8,则输出的S

A．

49

B．

67

C． D．

9

81011

（9）已知点O 0,0 ,A 0,b ,Ba,a

3

.若 ABC为直角三角形,则必有

1a

A．b a3 B．b a3

1 a

1a

C． b a3 b a3 0 D．b a3 b a3

（10）已知三棱柱ABC A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB 3，AC 4，

AB AC,AA1 12，则球O的半径为

A

．

2

B

． C．

x2a

2

132

D

．

（11）已知椭圆C:

y2b

2

1(a b 0)的左焦点为FF,C与过原点的直线相交于

A,B两点，连接AF,BF.若AB 10,BF 8,cos ABF

（A）

35

（B）

2

57

（C）

2

45

（D）

2

,则C的离心率为

567

2

4

（12）已知函数f x x 2 a 2 x a,g x x 2 a 2 x a 8.设

H1 x max f x ,g x ,H2 x min f x ,g x , max p,q 表示p,q中的较

大值，min p,q 表示p,q中的较小值，记H1 x 得最小值为A,H2 x 得最小值为B,则

A B

（A）a 2a 16 （B）a 2a 16 （C） 16 （D）16

2

2

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第22题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .

（14）已知等比数列 an 是递增数列,Sn是 an 的前n项和.若a1，a3是方程

x2 5x 4 0的两个根，则S6

（15）已知F为双曲线C:

x29

y216

1的左焦点，P,Q为C上的点，若PQ的长等于

点A 5,0 在线段PQ上，则 PQF的周长为 . 虚轴长的2倍，

（16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班

级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

设向量a

x,sinx,b cosx,sinx ,x 0, .

2

（I）若a b.求x的值；

b,求f x 的最大值. （II）设函数f x a

18．（本小题满分12分）

如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.

（I）求证：BC 平面PAC；

（II）设Q为PA的中点，G为 AOC的重心，求证：QG//平面

PBC.

19．（本小题满分12分）

现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取3道题解答.试求： （I）所取的2道题都是甲类题的概率；

（II）所取的2道题不是同一类题的概率. 20．（本小题满分12分）

如图，抛物线C1:x 4y,C2:x 2py p 0 .点M x0,y0 在抛物线C2上，

2

2

过M作C1的切线，切点为A,B

M为原点O时，A,B重合于O .当x0 1 1切线MA的斜率为-.

2

（I）求P的值；

（II）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程

A,B重合于O时,中点为O .

21．（本小题满分12分）

（I）证明：当x

0,1 2

x sinx x;

（II）若不等式ax x 范围.

2

x32

2 x 2 cosx 4对x 0,1 恒成立，求实数a的取值

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

BC垂直于 如图，AB为 O直径，直线CD与 O相切于E.AD垂直于CD于D，CD于C，EF垂直于F，连接AE,BE.证明：

（I） FEB CEB; （II）EF AD BC.

2

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1，直线C2的极

坐标方程分别为 4sin , cos

.

4

（I）求C1与C2交点的极坐标；

.PQ的参数方程为 （II）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线

x t3 a

t R为参数 ,求a,b的值. b3

y t 1 2

22．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f x x a,其中a 1.

（I）当a=2时，求不等式f x 4 x 4的解集;

（II）已知关于x的不等式 f 2x a 2f x 2的解集为 x|1 x 2 ,

求a的值.

2013高考数学辽宁卷（文科）解析

大连市红旗高级中学 王金泽

一．选择题 1. [答案]B

[解析] 由已知B {x| 2 x 2}，所以A B {0,1}，选B。 2. [答案]B

[解析]由已知Z 3 [答案]A

1 i( 1 i)( 1

i)

12

12

i,所以|Z|

2

1 34

[解析]AB (3, 4)，所以|AB| 5，这样同方向的单位向量是AB (, )

555

4 [答案]D

[解析]设an a1 (n 1)d dn m，所以P1正确；如果an 3n 12但nan 3n 12n并非递增所以P2错；如果若an n 1，则满足已知，但是递减数列，所以P3错；an 3nd 4dn m，所以是递增数列，P4正确

5 [答案]B

[解析]第一、第二小组的频率分别是0.1、0.2，所以低于60分的频率是0.3，设班级人数为m，则6 [答案]A

[解析]边换角后约去sinB，得sin(A C)

2

则

ann

1

1n

，

15m

0.3，m 50。

12

，所以sinB

12

，但B非最大角，所以

B

6

。

7 [答案]D

[解析

]f( x) 3x) 1所以f(x) f( x) 2，因为lg2，lg数，所以所求值为2. 8 [答案]A

12

为相反

i 1i 12i 1

11111114

注意i i 2，所以所求和为[( ) ( ) ( )]=

92133579

[解析]s s

1i 1

2

的意义在于是对

1

2

求和。因为

1

2

1

(

1

1i 1

)，同时

9 [答案]C

[解析]若A为直角，则根据A、B纵坐标相等，所以b a 0；若B为直角，则利用

3

KOBKAB 1得b a3

10 [答案]C

1a

0，所以选C

52

[解析]由球心作面ABC的垂线，则垂足为BC中点M。计算AM=，由垂径定理，OM=6，

所以半径

132

11 [答案]B

[解析]由余弦定理，AF=6，所以2a 6 8 14，又2c 10，所以e 12 [答案]C

[解析]f(x)顶点坐标为(a 2, 4a 4)，g(x)顶点坐标(a 2, 4a 12)，并且f(x)与g(x)的顶点都在对方的图象上，图象如图， A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以A-B=( 4a 4) ( 4a 12) 16 [方法技巧]（1）本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口。（2）并不是A，B在同一个自变量取得。 二．填空题

13 [答案]16 16

[解析]直观图是圆柱中去除正四棱柱。V 2 4 2 4 16 1614 [答案]63

[解析]a1 a3 5,a1a3 4由递增，a1 1,a3 4，所以q 比求和公式得S6 63 15 [答案]44

2

1014

57

22

a3a1

4，q 2代入等

[解析]|FP| |PA| 6,|FQ| |QA| 6,两式相加，所以并利用双曲线的定义得

|FP| |FQ| 28，所以周长为|FP| |FQ| |PQ| 44

16 [答案]10

[解析]设五个班级的数据分别为a b c d e。由平均数方差的公式得

a b c d e

5

7，

(a 7)2 (b 7)2 (c 7)2 (d 7)2 (e 7)2

5

4，显然各个括号为整

数。设a 7,b 7,c 7,d 7,e 7分别为p,q,r,s,t，(p,q,r,s,t Z)，则

p q r s t 0 (1)2222

f(x) (x p) (x q) (x r) (x s)。设= 22222

p q r s t 20 (2)

4x2 2(p q r s)x (p2 q2 r2 s2)=4x2 2tx 20 t2，由已知f(x) 0，由

判别式 0得t 4，所以t 3，所以e 10。 三．解答题

17[解题思路]（Ⅰ）（1）一般给出模的关系就可以考虑把模平方，进而可以把向量问题转化为三角函数问题求出4sinx 1（2）因为x [0,

2

2

]，根据象限符号知sinx

0求出

sinx

12

，所以x

6

。

（Ⅱ）通过降幂公式和二倍角公式可化简f(x) sin(2x

6

)

12

，最后解得最大值为

32

。

18. [解题思路]（Ⅰ）由AB为直径条件推出BC AC，再结合PA 面ABC即可证BC 面PAC。（Ⅱ）由重心想到中点是关键，由面面平行推出线面平行是重要方法。

19[解题思路]（Ⅰ）基本事件空间中有15个基本事件，都是甲类的有6个，所以可求得概率

25

（Ⅱ）不是同一类的有8个基本事件，所以所求的概率是

815

。

20[解题思路]（Ⅰ）（1）切线的斜率可通过求导求解。（2）用点斜式建立切线方程（3）

用方程的思想解决求值问题。（Ⅱ）列MA和MB两个切线方程，利用解方程的方法求得M坐标再代入C2最后可得所求的轨迹方程

21[解题思路]（Ⅰ）（1

）不等式中间式子分别减左，减右的式子记为F(x) sinx

2

x，

（2）求导研究单调性（3）根据单调性分析在区间上的那个自变量能得H(x) sinx x，

到为零的最值。然后与这个最值比较即可证出不等式。（Ⅱ）解法一，利用上面证明的不等式代入化简，在进行分析;解法二：利用二阶导数研究单调性，进而求出范围。

22[解题思路]（Ⅰ）(1)弦切角等于弦所对的圆周角(2)直径所对是圆周角是直角得到互余关系从而找到角的相等关系（Ⅱ）利用全等相似导乘积式。 23[解题思路]（Ⅰ）由已知极坐标化成直角坐标方程再解出直角坐标，然后再化极坐标（Ⅱ）参数方程化成普通方程，列PQ两种形式的直角坐标方程，再用待定系数法求解。 24[解题思路]（Ⅰ）将已知不等式转化为f(x) |x 4| 4，再分类讨论。（Ⅱ）构造辅助函数h(x) f(2x a) 2f(x)用两种方法列出h(x)的解集，然后进行比较即可得到答案。

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