高数作业第一章疑难题答案

第1次作业

二选择题

4， 下面三个函数中，不是初等函数的是（ ）；

A,y={ B,y={

x,0?x?12?x,1?x?2;

x,x?0?x,x?0

C,y=sgnx

解答：基本初等函数：幂函数 y=x ，指数函数 y=a ，对数函数 y=loga ，三角函数 ，反三角函数，初等函数和基本函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数。

axx第2次作业

四，根据数列极限定义证明

1，lim (n?1?n)=0

n??2证明: lim (n?1?n)=limn??21n?1?n2n??

0<

1 n2n?1?n2<

1对于任给的??0，取N=[

1]于是当n>N时，有 2?1n?1?n2-0

3n?n33, lim? n??2n2?12证明：

?0???1,限定n?3,对于任给的??0，取N=max{3,[

13?]},于是当n>N2?2时，有

3n2?n32n?332n2?1?2=

2(2n2?1)<

2n?4n2?9<12n?3

五，对于数列 {xn }，若x2k?1 ?a (k??) , x2k ?a 证明：xn?a(n??). 证明：???0

{

?k1?0,?k?k1,x2k?a???k2?0,?k?k2,x

2k?1?a??取N=max{2k1,2k2-1}, 故xn?a??。

第3次作业

三，用极限定义证明下列极限

1，limn??cosx?cosx0

证明：???0,要使cosx?cosx0=

sin(x?x0x?x02)sin2 ?

2sinx?x0?x02?2x2?x?x0??

取???

四，讨论函数在点 x=0 的极限是否存在。

1， f(x)=

?x?x;

x?(0,1],xlim?x??0?x?0

(k??) ,

x?0lim??x????

x

1sin,x?0x2， f(x)={

1xsin,x?0xsin

11,x=2k?,sin?0, xx1 x=2k???2, sin 2k???2?1

第4次作业

一， 填空题

x?etx3， 函数f(x)=lim 的表示式为f(x) =______________;

t???1?etxx?1txelim?1,x?0t???1?1txetxx?e1解: f(x)=lim ,f(x)={ ,x?0txt???1?e2x,x?0

二， 选择题

x2?1x?1e 的极限是（ ）2，当x?1时，函数 ； x?1

A,等于2； B, 等于0 C,为 ? D, 不存在但不为 ? 。

1x2?1x?1解：x?1时,lim e=lim(x+1)ex?1

x?1x?1x?1x2?1x?11?x?1时,<0,即lim?e=0

x?1x?1x?1x?1时,lim? (x+1)e

x?1111?1x?1=lim?(x+1)e?=?,

x?11x?1? lim (x+1)e

x?1?1x?1?lim (x+1)e

x?1?

所以，不存在，且不为? 。

第四次作业

三计算下列极限 3、limn??1?x?1?x31?x?1?x3

?11?x?1?x2解：原式=limx?0(1?x)?(1?x)31?x?1?x3

23 =limx?0(1?x)2?31?x?3(1?x)1?x?1?x

= 4、limx?032cosx?cos2x???coxnx?n

cosx?1解：设t=cosx x?0时，t?1

原式=limt?1t?1?t2?1???tn?1

t?1 =lim[1?(t?1)?(t2?t?1)???(tn?1?tn?2???1)]

t?1 =1+2+3+??(n-1)

=

n(n?1) 2四、证明题

2、证明f(x)=xcosx在（??,??)内无界，且当x??时，f(x)不是无穷大量。

证明：（1）?M?0,?x0?2k?,2k??M,有f(2k?)?2k??M存在， ?f(x)?xcosx在（-?,??)内无界 （2）反证法：假设x??时，y=xcosx是无穷大

则??.0,总存在X〉0，使对x.?X均有f(x)?? 但x0=2(x+1)??f(x0)?2(x?1)???2,满足

?cos2(x?1)???2?2?0??,矛盾。

?当x??时，f(x)不是无穷大

第五次作业

一、 填空题 2、lim(x?02?e1?e1x4x?sinx) x1x解：当x??0时，设t=e,则t???,原式=lim(t???2?t?1)?1 41?t当x??0时，原式=lim(x?0?2?e1?e1x4x?sinxsinx)?2?lim?1 xxx??0f(0+0)=f(0-0)=f(0)=1 所以原式=1 二、 计算题

2、lim{lim[coscosx?0n??x2xx?cos]} 2n22解

xxx[coscos?cos]?limlim2n222n??n??2sinxxxxxxcos?cossincossinx2n2?2n2n22??limlimxxxxn??n??2sinn2n?1sinnsinn22 =sinxx 原式=limsinxx?0x?1 三.利用极限存在准则证明下列各题

12.设ann1,a2,?,am为非负数，求证：lim(a?a???an12m)n?n??max{ak}

1?k?m1111证：{（

max{a}nk}n?(annn1?a2???am)n?mn1?k?mmax{ak} limmn?1

1?k?mn??根据两边夹定理，此极限存在，且得证。 3.设x11>0 xn?1=(x12n?x) (n=1,2,…) 证明：limxn存在，并求 nn??limxn?

n??证：?n?N? x11n?1=2(xn?x)?1?2x1n?x?1 ?{xn}有下界 n2nx11?x2nn?1-xn=2?x?0 ?xn?1?xn {xn}单调递减有下界 n则limxn存在。 设a=limxn

n??n??limxn?1?12limxn?11 a=1a?1 a=1(a=-1舍) n??n??2limn??xn22a?limxn=1

n??2第六次作业

六.选做题 1.limx?0(etanx?ex)(1?cos3x)

(tanx?x)ln(1?x)sin2x=limx?0etanx(1?ex?tanx)11?cos3x??

tanx?xxsin2x=2limx?032(x)etanx(x?tanx)12 ??x?tanxx2x=

第七次作业

一.填空题

?x3?x??sin?x,3．函数f(x)???ln(1?x)?sin1,?x2?1?x?0x?094的间断点为 1，0，

-1,-2,……。其解:

0，-1。

因为sin?x?0、x2?1。所以1，-1，-2……为间断点。又因为

x3?x1?x(x2?1)?11lim??lim??，而lim?ln(1?x)?sin2?sin(?1)。左极x?0sin?xx?0?x?0sin?x?x?1限与右极限存在但不相等，所以0也是函数f(x)间断点（第一类间断点）。

x3?xx3?xx(x?1)(x?1)x(x?1)?2， lim?lim?lim?lim?x??1sin?xx??1?sin(?x??)x??1?sin?(x?1)x??1???在-1点，函数f(x)极限存在，所以-1是函数f(x)的第一类间断点。 二.选择题

2、方程x3?9x?1?0实根的个数。

令f(x)?x3?9x?1，对f(x)求一阶导数得f'(x)?3x2?9。由f'(x)=0得

x??3。 f(?3)?63?1?0,

三.计算下列极限 4.lim(sin?cos)x

x??2x1x(sin2111111?cos)x?(2sincos?cos)x?(cos)x(1?2sin)xxxxxxxx1(?2sin2)x1x?2sin2x11?（1?2sin2）x21则lim(sin?cos)x?1?e2?e2 x??xx1(1?2sin)x1(2sin)x1x2sinx1

六.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x,y,恒有

f(x)?f(y)?Lx?y,其中L为正常数，且f(a)f(b)<0,证明至少有一点

??(a,b),使得f(?)=0

证明：

?x0?(a,b).L说明f(x)在(a,b)上连续。L说明f(x)在a点右连续。???0,??????0,?????0,?x?x0??,有f(x)?f(x0)?Lx?x0????0,0?x?a??L,有f(x)?f(x0)?Lx?x0??

同理可证f(x)在b点左连续。得出函数f(x)在[a,b]上连续，又因为f(a)f(b)?0,根据零点定理，至少有一点??(a,b),使得f(?)?0。第八次作业

一. 填空题

ln(1?f(x))f(x)sin2x?5,则? lim2x3x?1x?04.已知limx?0证明：f(x)f(x)x2f(x)lim?lim2?lim2?0?0,则x?0sin2xx?0xsin2xx?0xf(x)f(x)f(x) ln(1?)ln(1?)1sin2x?limsin2x?limsin2x?limf(x)2xlim?5x?0x?0x?0xln3x?0x2sin2x2ln3xln33x?1f(x)?lim2?10ln3x?0x5.求下面两个极限

lim(x?e2x)x?01sinx?lim(1?x?e2x?1)x?0x?e2x?1xxsinxx?e2x?11?limex?01?e2x?1x?e311tan(x2sin)x2sinx?limx?limxsin1?0(?sin1?1)limx?0x?0x?0xxxx

6.

证：

e2x?1limf(x)?lim??2x?0?x?0xlim?f(x)?lim?acosx?x2?a

x?0x?0?a?2

7.已知limx?1x2?ax?b?3,则a= ,b= x?1

x2?ax?bx2?x?(ax?x?a?1)?b?a?1a?b?1lim?lim?limx?a?1??3x?1x?1x?1x?1x?1x?1?a?b?1?0??

a?2?3??a?1,b??2

二. 选择题

3.设f(x)=2x+3x-2,则当x?0时，有（ ）

A.f(x)与x是等价无穷小; B. f(x)与x同阶，但非等价无穷小 C. f(x)是比x高阶的无穷小； D. f(x)是比x低阶的无穷小 证明：

2x?3x?22x?13x?111lim?lim?lim???1x?0x?0x?0xxxln2ln3 ?f(x)与x同阶，但不是等价无穷小三. 计算题 2.设f(x)=limn??x2n?1?ax2?bx,当a,b取何值时，f(x)在（-?,??)上连续

x2n?1当x?1时x?ax2?2n?bx1?2nf(x)?lim?xn??11?2nx?f(x)在(??,?1)和(1,?)是连续的。当x?1时f(x)?ax2?bx?f(x)在(?1,1)是连续的。a?b?1,lim?f(x)??1,lim?f(x)?a?bx??1x??12由f(?1)?lim?f(x)?lim?f(x)f(?1)?x??1x??1?a?b??1a?b?1,lim?f(x)?a?b,lim?f(x)?1x?1x?12由f(1)?lim?f(x)?lim?f(x)f(1)?x?1x?1解：?a?b?1?a?0解得??b?1

3．求下列极限

（1）limn1n?2n???10n;

n??解: ?10?n1n?2n???10n?101010

limn10?1

n??? limnnn??21?2n???10n?1

(2)lim =limln(sin2x?e2)?xln(x?e2xx?0)?2x;

ln(sin2x?e2)?lnexln(x?e22xx?0)?lne2xlnex?sin2xex 22xx?ee2xsin2xex2e2xx =limx?0lnln(1?)=limx?0

)ln(1?sin2xxe=limx?0x2

e2x=1 （3）lim=limx?a?x?ax?a22x?a；

x?a?x?ax?ax?ax?a

?1(x?a)(x?a)=limx?a(x?a)x?ax?a?1x?ax?a

=lim=

1x?a

2a

(4)lim?x?0??1?ax?bx?cx?x3?(a?0,b?0,c?0) ??????

=limex?01?ax?bx?cx?lnx?3?=limex?01?ax?1?bx?1?cx?1??ln?1??x?3??

=e1?ax?1?bx?1?cx?1??limln?1???3x?0x??

?ax?1?bx?1?cx?1??lim??3xx?0??? e=

lna?lnb?lnc3=e

=3abc

(5) lim?sinx?tanx

x??2令y=?x

2?原式=lim??sin(?y)?y?0??tan(?y)?2?2?

=limey?01lncosytany

=e=e

1limln(1?cosy?1)tanyy?01lim(cosy?1)y?0y

y2lim?=ex?02

y=1

(6)设x1?1,xn?2xn?1?3(n?2,3,?),求limxn

n??解：0?xn?3,显然，xn?0,下面用数学归纳法证明xn?3，

当n?1时，x1?1?3, 假设当n?1时，xn?1?3, xn?2xn?1?3?2?3?3?3 所以0?xn?3

222?xn xn?1?2xn?1?3?xn?1?(3?xn?1)(xn?1?1)?0

所的以极限存在 所以xn?xn?1,{xn}是单调递增数列，它

2 设a?limxn,由xn?2xn?1?3，取极限可得，a2?2a?3,

n?? 解得a?3,a??1(舍） 即limxn?3

n??4.设F(x,t)???t?1??1?x?1?x?t((x?t)(t?1)?0,x?t),函数f(x)由下列表达式确定

f(x)?limF(x,t)，试求f(x)的连续区间和间断并点研，究在其间断点

t?x处的左右极限1?x?1?x?t

=lim??1?t?x?1x?t?x?t 解:f(x)?limF(x,t)=lim?t?x?t?1t?x???t?1?

=lim??1?t?x?t?1x?t1x?t?x?tt?1x?t?t?1?=limt?xt?1x?t1?x?t?x?tln?1??t?1x?tt?1??e

t?1x?t1?x?t?x?tlimln?1??t?1x?tt?1t?x??=e t?1x?t1?x?t?x?tlimlimln?1??t?1x?tt?1t?xt?x??=e

1=ex?1

所以x?1是间断点，limf(x)???,limf(x)?0,

x?1?x?1?四．证明题 1．

(1)lim利用及定义证明：

1?6n??3

n??3?2n1?6n1010?3????,成立 3?2n3?2n2n证：??〉0，要使解得，n??5?,取N??? ????51?6n?5???〉0，?N???,?n?N,有?3??,成立

?3?2n??所以lim1?6n??3

n??3?2n4?x2??4

(2)limx?2x2?3x?2??〉0，限定0?x?2?要使4?x2111,则x?1?x?2?1?1?x?2?1??222(2?x)(2?x)?4?3?6x?2??成立(x?2)(x?1)x?1x?2

x2?3x?2?4?解得x?2??1?,所以取??min(,) 6261?4?x2 ??〉0，???min(,),?x,0?x?2??时,有?4??成立 226x?3x?2即lim4?x2??4

x?2x2?3x?2a2.若f(x）在[0,a]上连续（a?0)且f(0)?f(a),证明方程f(x)?f(x?)在（0,a)内至少2有一个实根。

a证：令g(x)?f(x)?f(x?),则g(x)是[0，a]上的连续函数。2ag(0)?f(0)?f(),2aaag()?f()?f(a)?f()?f(0)222

aaa若f(0)?f(),则0,满足f(x)?f(x?)222aaa若f(0)?f(),则g(0)g()?0，根据零点定理，g(x)在(0,)至少存在一个实根222a即f(x)?f(x?)在（0,a)内至少有一个实根。2

a证：令g(x)?f(x)?f(x?),则g(x)是[0，a]上的连续函数。2ag(0)?f(0)?f(),2aaag()?f()?f(a)?f()?f(0)222

aaa若f(0)?f(),则0,满足f(x)?f(x?)222aaa若f(0)?f(),则g(0)g()?0，根据零点定理，g(x)在(0,)至少存在一个实根222a即f(x)?f(x?)在（0,a)内至少有一个实根。2

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